高考數學總復習 第七章 解析幾何課件 文（打包10套）.zip

高考數學總復習 第七章 解析幾何課件 文（打包10套）.zip,高考數學總復習,第七章,解析幾何課件,文打包10套,高考,數學,復習,第七,解析幾何,課件,打包,10 第10講直線與圓錐曲線的位置關系 1 直線與圓錐曲線的位置關系判斷直線l與圓錐曲線C的位置關系時 通常將直線l的方程Ax By C 0 A B不同時為0 代入圓錐曲線C的方程F x y 0 消去y 也可以消去x 得到一個關于變量x 或變量y 的一元方程 1 當a 0時 設一元二次方程ax2 bx c 0的判別式為 則 0 直線l與圓錐曲線C相等 0 直線l與圓錐曲線C 相切 0 直線l與圓錐曲線C無公共點 2 當a 0 b 0時 即得到一個一次方程 則直線l與圓錐曲線C相交 且只有一個交點 此時 若C為雙曲線 則直線l與雙曲線的漸近線的位置關系是平行 若C為拋物線 則直線l與拋物線的對稱軸的位置關系是平行 2 圓錐曲線的弦長 1 圓錐曲線的弦長 直線與圓錐曲線相交有兩個交點時 這條直線上以這兩個交點為端點的線段叫做圓錐曲線的弦 就是連接圓錐曲線上任意兩點所得的線段 線段的長就是弦長 2 圓錐曲線的弦長的計算 3 直線與圓錐曲線的位置關系口訣 聯立方程求交點 根與系數的關系求弦長 根的分布找 范圍 曲線定義不能忘 A 答案 C 3 橢圓的中心在原點 有一個焦點F 0 1 它的離心率是方程2x2 5x 2 0的一個根 橢圓的方程是 圖7 10 1 思維點撥 利用點到直線的距離求解 CD 后 再將直線方程與圓錐曲線方程聯立 消元后得到一元二次方程 利用根與系數的關系得到兩根之和 兩根之積的代數式 然后再利用弦長公式進行整體代入求出 AB 互動探究 1 2014年湖南 由人教版選修1 1P62 例5改編 平面上一機器人在行進中始終保持與點F 1 0 的距離和到直線x 1的距離相等 若機器人接觸不到過點P 1 0 且斜率為k的直線 則k的取值范圍是 1 1 考點2 點差法的應用 思維點撥 用點差法求出割線的斜率 再結合已知條件求解 規(guī)律方法 1 本題的三個小題都設了端點的坐標 但最終沒有求點的坐標 這種 設而不求 的思想方法是解析幾何的一種非常重要的思想方法 2 本例這種方法叫 點差法 點差法 主要解決四類題型 求平行弦的中點的軌跡方程 求過定點的割線的弦的中點的軌跡方程 過定點且被該點平分的弦所在的直線的方程 有關對稱的問題 3 本題中 設而不求 的思想方法和 點差法 還適用 于雙曲線和拋物線 答案 D 思想與方法 圓錐曲線中的函數與方程思想 例題 2014年湖北 在平面直角坐標系xOy中 點M到點F 1 0 的距離比它到y(tǒng)軸的距離多1 記點M的軌跡為C 1 求軌跡C的方程 2 設斜率為k的直線l過定點P 2 1 求直線l與軌跡C恰好有一個公共點 兩個公共點 三個公共點時k相應的取值范圍 第七章解析幾何 第1講 直線的方程 1 直線的傾斜角 1 定義 當直線l與x軸相交時 取x軸作為基準 x軸正方向與直線l向上方向之間所成的角 叫做直線l的傾斜角 當直線l與x軸平行或重合時 規(guī)定它的傾斜角為 2 傾斜角的取值范圍是 0 0 2 直線的斜率 1 定義 當 90 時 一條直線的傾斜角 的正切值叫做這條直線的斜率 斜率通常用小寫字母k表示 即k tan 當 90 時 直線沒有斜率 2 經過兩點的直線的斜率公式 經過兩點P1 x1 y1 P2 x2 y2 x1 x2 的直線的斜率公式 為 3 直線方程的五種形式 y kx b x x1 y y1 C A 3 已知點A 1 2 B 3 1 則線段AB的垂直平分線的方程 為 B A 4x 2y 5C x 2y 5 B 4x 2y 5D x 2y 5 4 若直線3x y a 0過圓x2 y2 2x 4y 0的圓心 則a的值為 B A 1 B 1 C 3 D 3 考點1 直線的傾斜角和斜率 例1 已知兩點A 2 3 B 3 0 過點P 1 2 的直線l與線段AB始終有公共點 求直線l的斜率k的取值范圍 解 方法一 如圖D21 直線PA的斜率是圖D21 互動探究 1 已知直線l經過點P 1 1 且與線段MN相交 M 2 3 N 3 2 則直線l的斜率k的取值范圍是 考點2 求直線方程 例2 1 直線l1 3x y 1 0 直線l2過點 1 0 且l2的 傾斜角是l1的傾斜角的2倍 則直線l2的方程為 答案 D 2 已知直線l ax y 2 a 0在x軸和y軸上的截距相 等 則a的值是 A 1C 2或 1 B 1D 2或1 答案 D 互動探究 2 已知點A 3 4 1 經過點A 且在兩坐標軸上截距相等的直線方程為 2 經過點A 且與兩坐標軸圍成一個等腰直角三角形的直 線方程為 3 經過點A 且在x軸上的截距是在y軸上的截距的2倍 的直線方程為 答案 1 4x 3y 0或x y 7 0 2 x y 1 0或x y 7 0 3 x 2y 11 0 考點3 直線方程的綜合應用 例3 如圖7 1 1 過點P 2 1 的直線l交x軸 y軸正半軸于A B兩點 求滿足 圖7 1 1 1 AOB面積最小時l的方程 2 PA PB 最小時l的方程 思維點撥 可設截距式方程 再由均值不等式求解 也可設點斜式方程 求出與坐標軸的交點坐標 再由均值不等式求解 互動探究 3 已知直線x 2y 2與x軸 y軸分別相交于A B兩點 若動點P a b 在線段AB上 則ab的最大值為 12 思想與方法 直線中的函數與方程思想 例題 如果直線l經過點P 2 1 且與兩坐標軸圍成的三角 形面積為S 1 當S 3時 這樣的直線l有多少條 2 當S 4時 這樣的直線l有多少條 3 當S 5時 這樣的直線l有多少條 4 若這樣的直線l有且只有2條 求S的取值范圍 5 若這樣的直線l有且只有3條 求S的取值范圍 6 若這樣的直線l有且只有4條 求S的取值范圍 第2講 兩直線的位置關系 1 兩條直線的位置關系 續(xù)表 1 1 如果直線ax 2y 2 0與直線3x y 2 0平行 那 么實數a B A 3 B 6 C 32 2D 3 2 已知兩條直線y ax 2和y a 2 x 1互相垂直 則 a D A 2 B 1 C 0 D 1 3 圓C x2 y2 2x 4y 4 0的圓心到直線3x 4y 4 0的距離d 3 0或8 4 若點A 3 m 與點B 0 4 的距離為5 則m 考點1 兩直線的平行與垂直關系 例1 1 已知兩直線l1 x m2y 6 0 l2 m 2 x 3my 2m 0 若l1 l2 求實數m的值 2 已知兩直線l1 ax 2y 6 0和l2 x a 1 y a2 1 0 若l1 l2 求實數a的值 規(guī)律方法 1 充分掌握兩直線平行與垂直的條件是解決本題的關鍵 對于斜率都存在且不重合的兩條直線l1和l2 l1 l2 k1 k2 l1 l2 k1 k2 1 若有一條直線的斜率不存在 那么另一條直線的斜率是多少一定要特別注意 2 設l1 A1x B1y C1 0 l2 A2x B2y C2 0 則l1 l2 A1A2 B1B2 0 互動探究 1 已知直線l1的斜率為2 l1 l2 直線l2過點 1 1 且 D 與y軸交于點P 則點P的坐標為 A 3 0 B 3 0 C 0 3 D 0 3 解析 由題意知 直線l2的方程為y 1 2 x 1 令x 0 得y 3 即點P的坐標為 0 3 考點2 直線系中的過定點問題 例2 求證 不論m取什么實數 直線 m 1 x 2m 1 y m 5都通過一定點 規(guī)律方法 本題考查了方程思想在解題中的應用 構建方程組求解是解決本題的關鍵 很多學生不理解直線過定點的含義 找不到解決問題的切入點 從而無法下手 互動探究 B 解 設點B關于直線3x y 1 0的對稱點為B a b 如圖7 2 1 圖7 2 1 考點3 對稱問題 例3 已知在直線l 3x y 1 0上存在一點P 使得P到點A 4 1 和點B 3 4 的距離之和最小 求此時的距離之和 規(guī)律方法 在直線上求一點 使它到兩定點的距離之和 最小的問題 當兩定點分別在直線的異側時 兩點連線與直線的交點 即為所求 當兩定點在直線的同一側時 可借助點關于直線對稱 將問題轉化為情形 來解決 互動探究 A 3 與直線3x 4y 5 0關于x軸對稱的直線方程為 A 3x 4y 5 0C 3x 4y 5 0 B 3x 4y 5 0D 3x 4y 5 0 解析 與直線3x 4y 5 0關于x軸對稱的直線方程是3x 4 y 5 0 即3x 4y 5 0 易錯 易混 易漏 忽略直線方程斜率不存在的特殊情形致誤 例題 過點P 1 2 引一條直線l 使它到點A 2 3 與到點 B 4 5 的距離相等 求該直線l的方程 錯因分析 設直線方程 只要涉及直線的斜率 易忽略斜 率不存在的情形 要注意分類討論 正解 方法一 當直線l的斜率不存在時 直線l x 1 顯然與點A 2 3 B 4 5 的距離相等 當直線l的斜率存在時 設斜率為k 則直線l的方程為y 2 k x 1 當直線l過AB的中點時 AB的中點為 1 4 直線l的方程為x 1 故所求直線l的方程為x 3y 5 0或x 1 失誤與防范 方法一是常規(guī)解法 本題可以利用代數方法求解 即設點斜式方程 然后利用點到直線的距離公式建立等式求斜率k 但要注意斜率不存在的情況 很容易漏解且計算量較大 方法二利用數形結合的思想使運算量大為減少 即A B兩點到直線l的距離相等 有兩種情況 直線l與AB平行 直線l過AB的中點 第3講 圓的方程 1 圓的定義 在平面內 到定點的距離等于定長的點的軌跡叫做圓 確 定一個圓最基本的要素是圓心和半徑 a b x2 y2 r2 5 兩圓的位置關系設兩圓的半徑分別為R r 圓心距為d 兩圓相外離 d R r 公切線條數為4條 兩圓相外切 d R r 公切線條數為3條 2 兩圓相交 R r d R r 公切線條數為 條 兩圓內切 d R r 公切線條數為1條 兩圓內含 d R r 無公切線 A D 1 圓心為 0 4 且過點 3 0 的圓的方程為 A x2 y 4 2 25B x2 y 4 2 25C x 4 2 y2 25D x 4 2 y2 252 圓x2 y2 4x 6y 0的圓心坐標是 A 2 3 B 2 3 C 2 3 D 2 3 3 若直線y x b平分圓x2 y2 8x 2y 8 0的周長 則b D A 3C 3 B 5D 5 4 以點 2 1 為圓心 且與直線x y 6相切的圓的方 程是 考點1 求圓的方程 例1 1 求經過點A 5 2 B 3 2 圓心在直線2x y 3 0上的圓的方程 解 1 方法一 從數的角度 選用標準式 設圓心P x0 y0 則由 PA PB 得 x0 5 2 y0 2 2 x0 3 2 y0 2 2 規(guī)律方法 1 確定一個圓的方程 需要三個獨立條件 選形式 定參數 是求圓的方程的基本方法 是指根據題設條件恰當選擇圓的方程的形式 進而確定其中的三個參數 因此利用待定系數法求圓的方程時 不論是設哪一種圓的方程都要列出系數的三個獨立方程 2 研究圓的問題 既要理解代數方法 熟練運用解方程思想 又要重視幾何性質及定義的運用 以降低運算量 總之 要數形結合 拓寬解題思路 與弦長有關的問題經常需要用到點到直線的距離公式 勾股定理 垂徑定理等 互動探究 1 2013年江西 若圓C經過坐標原點和點 4 0 且與直線 y 1相切 則圓C的方程是 考點2 與圓有關的最值問題 圖D22 互動探究 2 已知實數x y滿足 x 2 2 y 1 2 1 則2x y的最 大值為 最小值為 考點3 圓的綜合應用 例3 2014年重慶 已知直線x y a 0與圓心為C的圓x2 y2 2x 4y 4 0相交于A B兩點 且AC BC 則實數a的值為 答案 0或6 互動探究 3 2013年重慶 已知圓C1 x 2 2 y 3 2 1 圓C2 x 3 2 y 4 2 9 M N分別是圓C1 C2上的動點 P為x 軸上的動點 則 PM PN 的最小值為 A 思想與方法 利用函數與方程的思想探討與圓有關的定值問題 1 求橢圓E的方程 2 如圖7 3 1 設橢圓E的上 下頂點分別為A1 A2 P是橢圓上異于A1 A2的任一點 直線PA1 PA2分別交x軸于點N M 若直線OT與過點M N的圓G相切 切點為T 證明 線段OT的長為定值 并求出該定值 圖7 3 1 規(guī)律方法 本題涉及橢圓 圓 多條直線及多個點 先設點P x0 y0 求出直線PA1 直線PA2的方程 進一步求出點M N的坐標是基礎 再設圓心為G 則OT2 OG2 r2或直接利用切割線定理OT2 OM ON求解 第4講 直線與圓的位置關系 1 直線與圓的位置關系 2 兩圓的位置關系 3 計算直線被圓截得的弦長的常用方法 1 幾何方法 運用弦心距 即圓心到直線的距離 弦長的 一半及半徑構成的直角三角形計算 1 圓 x 2 2 y2 4與圓 x 2 2 y 1 2 9的位置關系為 B A 內切C 外切 B 相交D 相離 2 2014年廣州一模 若直線y k x 1 與圓 x 1 2 y2 1 A 相交于A B兩點 則 AB 的值為 A 2B 1 C 12 D 與k有關的數值 解析 直線y k x 1 過點 1 0 即圓 x 1 2 y2 1的圓心 故 AB 的值為圓的直徑2 3 已知圓C的圓心是直線x y 1 0與x軸的交點 且圓C與直線x y 3 0相切 則圓C的方程為 x 1 2 y2 2 4 經過圓x2 2x y2 0的圓心C 且與直線x y 0垂 直的直線方程是 x y 1 0 考點1 直線與圓的位置關系 例1 2014年廣東珠海一模 已知圓C x2 y2 8y 12 0 直線l ax y 2a 0 1 當a為何值時 直線l與圓C相切 規(guī)律方法 1 判斷直線與圓的位置關系有兩種方法 幾 何法和代數法 根的判別式 2 關于圓的弦長問題 可用幾何法從半徑 弦心距 弦長的一半所組成的直角三角形求解 也可用代數法的弦長公式求解 互動探究 A 2 2012年廣東 在平面直角坐標系xOy中 直線3x 4y 5 0與圓x2 y2 4相交于A B兩點 則弦AB的長為 B 考點2 圓與圓的位置關系 例2 若圓x2 y2 2mx m2 4 0與圓x2 y2 2x 4my 4m2 8 0相切 則實數m的取值集合是 規(guī)律方法 1 判斷圓與圓的位置關系利用圓心距與兩圓半徑之間的關系 2 兩圓相切包括內切和外切 兩圓相離包括外離和內含 互動探究 3 2014年湖南 若圓C1 x2 y2 1與圓C2 x2 y2 6x 8y m 0外切 則m C A 21C 9 B 19D 11 考點3 直線與圓的綜合應用 例3 已知圓C x2 y2 x 6y m 0和直線x 2y 3 0相交于P Q兩點 若OP OQ 求m的值 思維點撥 本題主要考查直線的方程 直線與圓的位置關系 根與系數的關系及均值不等式等知識點 第5講 空間直角坐標系 1 在x軸 y軸 z軸上的點分別可以表示為 a 0 0 0 b 0 0 0 c 2 在坐標平面xOy xOz yOz內的點分別可以表示為 a b 0 a 0 c 0 b c 3 點P a b c 關于x軸的對稱點的坐標為 點P a b c 關于y軸的對稱點的坐標為 a b c 點P a b c 關于z軸的對稱點的坐標為 a b c 點P a b c 關于坐標平面xOy的對稱點為 a b c 點P a b c 關于坐標平面xOz的對稱點為 a b c 點P a b c 關于坐標平面yOz的對稱點為 a b c 點P a b c 關于原點的對稱點為 a b c a b c 4 已知空間兩點P x1 y1 z1 Q x2 y2 z2 則線段PQ 的中點的坐標為 C 1 在空間直角坐標系中 點A 2 0 3 的位置是在 A y軸上B xOy平面上C xOz平面上D yOz平面上 2 點P 3 2 1 關于坐標平面yOz的對稱點的坐標為 A A 3 2 1 B 3 2 1 C 3 2 1 D 3 2 1 A 考點1 對稱點 例1 在空間直角坐標系中 已知點P 4 3 5 求點P關于各坐標軸及坐標平面的對稱點 思維點撥 類比平面直角坐標系中的對稱關系 得到空間直角坐標系中的對稱關系 解 點P關于x軸的對稱點是 4 3 5 點P關于y軸的對稱點是 4 3 5 點P關于z軸的對稱點是 4 3 5 點P關于xOy坐標平面的對稱點是 4 3 5 點P關于yOz坐標平面的對稱點是 4 3 5 點P關于zOx坐標平面的對稱點是 4 3 5 點P關于原點的對稱點是 4 3 5 規(guī)律方法 記憶方法 關于誰對稱則誰不變 其余相 反 互動探究 1 在空間直角坐標系中 已知點P x y z 給出下列四條敘述 點P關于x軸的對稱點的坐標是 x y z 點P關于yOz平面的對稱點的坐標是 x y z 點P關于y軸的對稱點的坐標是 x y z 點P關于原點的對稱點的坐標是 x y z 其中正確的個數是 C A 3個 B 2個 C 1個 D 0個 考點2 空間的中點公式 例2 已知四邊形ABCD為平行四邊形 且A 4 1 3 B 2 5 1 C 3 7 5 求頂點D的坐標 思維點撥 先求出AC的中點坐標 再求點D的坐標 x 5 y 13 z 3 故D 5 13 3 規(guī)律方法 根據圖形特征 利用點的對稱性和中點坐標公式是解決有關中點問題的關鍵 B 2 點A 1 3 2 關于點 2 2 3 的對稱點的坐標為 A 3 1 5 B 3 7 4 C 0 8 1 D 7 3 1 互動探究 考點3 空間的距離公式 解 1 平面ABCD 平面ABEF 平面ABCD 平面ABEF AB AB BE BE 平面ABCD 則AB BE BC兩兩垂直 如圖7 5 1 以B為坐標原點 以BA BE BC所在直線分別為x軸 y軸 z軸 建立空間直角坐標系 過點M作MG CB于G 作MH AB于H 7 5 1 規(guī)律方法 首先證明AB BE BC兩兩垂直 然后以B為坐標原點 以BA BE BC所在直線分別為x軸 y軸 z軸 建立空間直角坐標系 利用空間兩點間的距離公式求出 MN 的值 然后利用二次函數求最值 互動探究 3 已知點P在z軸上 且滿足 OP 1 O為坐標原點 則 點P到點A 1 1 1 的距離為 考點4 空間坐標方程 例4 在空間直角坐標系中 y a表示 A y軸上的點B 過y軸的平面C 垂直于y軸的平面D 垂直于y軸的直線解析 y a表示所有在y軸上的投影是點 0 a 0 的點的集合 所以y a表示經過點 0 a 0 且垂直于y軸的平面 答案 C 規(guī)律方法 注意空間直角坐標系與平面直角坐標系的聯系與區(qū)別 中點公式和距離公式與平面直角坐標系中的公式是一致的 而直線與曲線的方程與平面直角坐標系中的方程是有區(qū)別的 互動探究 4 在空間直角坐標系中 方程y x表示 C A 在坐標平面xOy中 第一 三象限的平分線B 平行于z軸的一條直線C 經過z軸的一個平面D 平行于z軸的一個平面 第6講 橢 圓 1 橢圓的概念 在平面內到兩定點F1 F2的距離之和等于常數2a 大于 F1F2 的點的軌跡 或集合 叫做橢圓 這兩定點叫做橢圓的焦點 兩焦點間的距離叫做焦距 集合P M MF1 MF2 2a F1F2 2c 其中a 0 c 0 且a c為常數 a c 1 若 則集合P為橢圓 2 若a c 則集合P為線段 3 若a c 則集合P為空集 2 橢圓的標準方程和幾何性質 續(xù)表 c2 a2 b2 D D 考點1 橢圓定義及標準方程 答案 A 2 2013年大綱 已知F1 1 0 F2 1 0 是橢圓C的兩個焦點 過F2且垂直于x軸的直線交C于A B兩點 且 AB 3 則C的方程為 答案 C 規(guī)律方法 1 求曲線的方程時 應從 定形 定焦 定式 定量 四個方面去思考 定形 是指首先要清楚所求曲線是橢圓還是雙曲線 定焦 是指要清楚焦點在x軸還是在y軸上 定式 是指設出相應的方程 定量 是指計算出相應的參數 2 求橢圓的關鍵是確定a b的值 常利用橢圓的定義解題 在解題時應注意 六點 即兩個焦點與四個頂點 對橢圓方程的影響 當橢圓的焦點位置不明確 應有兩種情況 亦可設方程為mx2 ny2 1 m 0 n 0 m n 這樣可以避免分類討論 互動探究 1 2013年廣東 已知中心在原點的橢圓C的右焦點為 D 考點2 橢圓的幾何性質 例2 1 若一個橢圓長軸的長度 短軸的長度和焦距成等 差數列 則該橢圓的離心率是 A 45 B 35 C 25 D 15 答案 B 圖D24 C 考點3 直線與橢圓的位置關系 例3 2014年遼寧 圓x2 y2 4的切線與x軸正半軸 y軸正半軸圍成一個三角形 當該三角形面積最小時 切點為P 如圖7 6 1 1 求點P的坐標 圖7 6 1 互動探究 答案 B 思想與方法 利用函數與方程的思想求解橢圓中的最值問題 第7講 雙曲線 1 雙曲線的概念平面內與兩個定點F1 F2 F1F2 2c 0 的距離之差的絕對值為常數 小于 F1F2 且不等于零 的點的軌跡叫做雙曲線 這兩個定點叫做雙曲線的焦點 兩焦點間的距離叫做焦距 集合P M MF1 MF2 2a F1F2 2c 其中a c為常數且a 0 c 0 a c 1 當 時 點M的軌跡是雙曲線 2 當a c時 點M的軌跡是兩條射線 3 當a c時 點M不存在 2 雙曲線的標準方程和幾何性質 續(xù)表 a a 續(xù)表 a2 b2 9 C 考點1 求雙曲線的標準方程 答案 A 互動探究 B 考點2 雙曲線的幾何性質 答案 D 答案 C 互動探究 C 考點3 直線與雙曲線的位置關系 例3 直線l y kx 1與雙曲線C 2x2 y2 1的右支交于不同的兩點A B 1 求實數k的取值范圍 2 是否存在實數k 使得以線段AB為直徑的圓經過雙曲線C的右焦點F 若存在 求出k的值 若不存在 說明理由 規(guī)律方法 當直線與雙曲線的漸近線平行時 此時二次項的系數為零 直線與雙曲線只有一個交點 因此利用根的判別式判斷直線與雙曲線的交點的個數時 要特別注意二次項的系數 直線與雙曲線的右支交于不同的兩點即方程有兩正根 直線與雙曲線的左支交于不同的兩點即方程有兩負根 直線與雙曲線的左 右支交于不同的兩點即方程有一正一負根 易錯 易混 易漏 忽視直線與雙曲線相交的判斷致誤 解 方法一 設符合題意的直線l存在 并設P x1 y1 失誤與防范 1 本題是以雙曲線為背景 探究是否存在符合條件的直線 題目難度不大 思路也很清晰 但結論卻不一定正確 錯誤原因是考生忽視對直線與雙曲線是否相交的判斷 從而導致錯誤 因為所求的直線是基于假設存在的情況下所得的 2 思考兩個問題 如將本題中點P的坐標改為 1 2 看看結論怎樣 中點弦問題的存在性 在橢圓內中點弦 過橢圓內一點作直線 與橢圓交于兩點 使這點為弦的中點 一定存在 但在雙曲線中則不能確定 這是因為過橢圓內一點的任一直線與橢圓肯定相交 而點在雙曲線內外在中學階段很難界定 因此直線與雙曲線的位置關系必須利用根的判別式檢驗 第8講 拋物線 1 拋物線的定義平面上到定點的距離與到定直線l 定點不在直線l上 的距離相等的點的軌跡叫做拋物線 定點為拋物線的焦點 定直線 為拋物線的 準線 2 拋物線的標準方程 類型及其幾何性質 p 0 y2 2px y2 2px x2 2py x2 2py 續(xù)表 y2 2px y2 2px x2 2py x2 2py 1 2013年上海 拋物線y2 8x的準線方程是 p 準線方程為 x 2 2 x 1 2 2013年北京 若拋物線y2 2px的焦點坐標為 1 0 則 3 教材改編題 已知拋物線的焦點坐標是 0 3 則拋 物線的標準方程是 A x2 12yC y2 12x B x2 12yD y2 12x 4 設拋物線的頂點在原點 準線方程為x 2 則拋物 線的方程是 C A y2 8xC y2 8x B y2 4xD y2 4x A 考點1 拋物線的標準方程 例1 1 已知拋物線的焦點在x軸上 其上一點P 3 m 到焦點距離為5 則拋物線的標準方程為 A y2 8xC y2 4x B y2 8xD y2 4x 答案 B 2 焦點在直線x 2y 4 0上的拋物線的標準方程為 對應的準線方程為 答案 y2 16x 或x2 8y x 4 或y 2 規(guī)律方法 第 1 題利用拋物線的定義直接得出p的值可以減少運算 第 2 題易犯的錯誤就是缺少對開口方向的討論 先入為主 設定一種形式的標準方程后求解 以致失去一解 互動探究 A 考點2 拋物線的幾何性質 例2 已知點P是拋物線y2 2x上的一個動點 則點P到點 0 2 的距離與點P到該拋物線準線的距離之和的最小值為 解析 由拋物線的定義知 點P到該拋物線準線的距離等于點P到其焦點的距離 因此點P到點 0 2 的距離與點P到該拋物線準線的距離之和即為點P到點 0 2 的距離與點P到焦點的距離之和 顯然 當P F 0 2 三點共線時 距離之和取得 答案 A 規(guī)律方法 求兩個距離和的最小值 當兩條直線拉直 三點共線 時和最小 當直接求解怎么做都不可能三點共線時 聯想到拋物線的定義 即點P到該拋物線準線的距離等于點P到其焦點的距離 進行轉換再求解 互動探究 2 已知直線l1 4x 3y 6 0和直線l2 x 1 拋物線y2 4x上一動點P到直線l1和直線l2的距離之和的最小值是 A 2 B 3 C 115 D 3716 A 考點3 直線與拋物線的位置關系 例3 2015年廣東惠州三模 已知直線y 2上有一個動點Q 過點Q作直線l1垂直于x軸 動點P在l1上 且滿足OP OQ O為坐標原點 記點P的軌跡為C 1 求曲線C的方程 2 若直線l2是曲線C的一條切線 當點 0 2 到直線l2的距離最短時 求直線l2的方程 互動探究 3 在直角坐標系xOy中 直線l過拋物線y2 4x的焦點F 且與該拋物線相交于A B兩點 其中點A在x軸上方 若直 線l的傾斜角為60 則 OAF的面積為 思想與方法 利用運動變化的思想探求拋物線中的不變問題例題 AB為過拋物線焦點的動弦 P為AB的中點 A B P在準線l的射影分別是A1 B1 P1 在以下結論中 FA1 FB1 AP1 BP1 BP1 FB1 AP1 FA1 其中 正確的個數為 A 1個 B 2個 C 3個 D 4個 解析 如圖7 8 1 1 AA1 AF AA1F AFA1 又AA1 F1F AA1F A1FF1 則 AFA1 A1FF1 同理 BFB1 B1FF1 則 A1FB1 90 故FA1 FB1 1 3 2 4 圖7 8 1 答案 D 規(guī)律方法 利用拋物線的定義 P到該拋物線準線的距離等于點P到其焦點的距離 能得到多個等腰三角形 然后利用平行線的性質 得到多對相等的角 最后充分利用平面幾何的性質解題 第9講 軌跡與方程 1 已知 ABC的頂點B 0 0 C 5 0 AB邊上的中線長 CD 3 則頂點A的軌跡方程為 2 在平面直角坐標系xOy中 已知拋物線關于x軸對稱 頂點在原點O 且過點P 2 4 則該拋物線的方程是 3 動點P到點F 2 0 的距離與它到直線x 2 0的距離相等 則點P的軌跡方程為 4 設圓C與圓x2 y 3 2 1外切 與直線y 0相切 則圓C的圓心軌跡為 A A 拋物線 B 雙曲線 C 橢圓 D 圓 x 10 2 y2 36 y 0 y2 8x y2 8x 考點1 利用直接法求軌跡方程 例1 如圖7 9 1 已知點C的坐標是 2 2 過點C的直線CA與x軸交于點A 過點C且與直線CA垂直的直線CB與y軸交于點B 設點M是線段AB的中點 求點M的軌跡方程 圖7 9 1 規(guī)律方法 求軌跡的步驟是 建系 設點 列式 化簡 建系的原則是特殊化 把圖形放在最特殊的位置上 這類問題一般需要通過對圖形的觀察 分析 轉化 找出一個關于動點的等量關系 考點2 利用定義法求軌跡方程 例2 已知圓C1 x 3 2 y2 1和圓C2 x 3 2 y2 9 動圓M同時與圓C1及圓C2相外切 求動圓圓心M的軌跡方程 所以 MC2 MC1 BC2 AC1 3 1 2 圖D25 解 如圖D25 設動圓M與圓C1及圓C2分別外切于點A和點B 根據兩圓外切的充要條件 得 MC1 AC1 MA MC2 BC2 MB 因為 MA MB 互動探究 2 已知動圓M與圓C1 x 3 2 y2 64內切 和圓C2 x 3 2 y2 4外切 求動圓圓心M的軌跡方程 解 設動圓M的半徑為r 根據兩圓相切的充要條件 得 MC1 8 r MC2 2 r 所以 MC2 MC1 10 這表明動點M到兩定點C2 C1的距離之和是常數10 根據橢圓的定義 動點M的軌跡為橢圓 即2a 10 a 5 又 C1C2 6 2c 則c 3 b2 a2 c2 16 考點3 利用相關點法求軌跡方程 例3 已知點A在圓x2 y2 16上移動 點P為連接M 8 0 和點A的線段的中點 求點P的軌跡方程 化簡 得 x 4 2 y2 4 故點P的軌跡方程為 x 4 2 y2 4 規(guī)律方法 動點P x y 依賴于另一動點Q x0 y0 的變化而變化 并且Q x0 y0 又在某已知曲線上 則可先用x y的代數式表示x0 y0 再將x0 y0代入已知曲線方程得要求的軌跡方程 這種求軌跡方程的方法叫相關點法 也叫轉移法 互動探究 3 設定點M 3 4 動點N在圓x2 y2 4上運動 以OM ON為兩邊作平行四邊形MONP 求點P的軌跡方程 思想與方法 軌跡方程中的分類討論例題 2014年廣東汕頭一模 由人教版選修1 1P35 例3改編 已知動點P x y 與兩個定點M 1 0 N 1 0 的連線的斜率之積等于常數 0 1 求動點P的軌跡C的方程 2 試根據 的取值情況討論軌跡C的形狀 2 討論如下 當 0時 軌跡C為中心在原點 焦點在x軸上的雙曲 線 除去頂點 當 1 0時 軌跡C為中心在原點 焦點在x軸上的 橢圓 除去長軸上的兩個端點 當 1時 軌跡C為以原點為圓心 1為半徑的圓 除 去點 1 0 1 0 當 1時 軌跡C為中心在原點 焦點在y軸上的橢 圓 除去短軸上的兩個端點 互動探究 5 設點A B的坐標分別為 5 0 5 0 直線AM BM相交于點M 且它們的斜率之積是 1 求點M的軌跡方程