《醫(yī)用高等數(shù)學》教學課件

《醫(yī)用高等數(shù)學》教學課件,醫(yī)用高等數(shù)學,醫(yī)用,高等數(shù)學,教學,課件 醫(yī)用高等數(shù)學多媒體教學課件制作制作者 吳靜v確定性現(xiàn)象確定性現(xiàn)象第六章第六章 概率論初步概率論初步在一定條件下在一定條件下必然會發(fā)生或不可能發(fā)生必然會發(fā)生或不可能發(fā)生的現(xiàn)象的現(xiàn)象.v不確定性現(xiàn)象隨機現(xiàn)象不確定性現(xiàn)象隨機現(xiàn)象在一定條件下在一定條件下可能發(fā)生也可能不發(fā)生可能發(fā)生也可能不發(fā)生,或者說或者說可能出現(xiàn)這個結(jié)果可能出現(xiàn)這個結(jié)果,也可能出現(xiàn)那個結(jié)果也可能出現(xiàn)那個結(jié)果.例如例如:熱脹冷縮現(xiàn)象熱脹冷縮現(xiàn)象,水在水在0oC以下必結(jié)成冰等現(xiàn)以下必結(jié)成冰等現(xiàn)象象例如例如:投擲一枚壹角的硬幣投擲一枚壹角的硬幣.又如又如:附屬醫(yī)院每天就診的病人人數(shù)附屬醫(yī)院每天就診的病人人數(shù)v隨機現(xiàn)象隨機現(xiàn)象 是偶然性的是偶然性的,隨機性的隨機性的,但也并不是雜亂無章但也并不是雜亂無章,不不 可可捉捉摸的摸的.許多實踐表明許多實踐表明:對同一隨機現(xiàn)象作大量次數(shù)的觀測對同一隨機現(xiàn)象作大量次數(shù)的觀測,可發(fā)現(xiàn)可發(fā)現(xiàn) 其中隱藏著某種確定的數(shù)量規(guī)律性其中隱藏著某種確定的數(shù)量規(guī)律性(統(tǒng)計規(guī)律性統(tǒng)計規(guī)律性).第一節(jié)第一節(jié) 隨機事件和概率隨機事件和概率一隨機試驗和隨機事件一隨機試驗和隨機事件二事件間的關(guān)系和運算二事件間的關(guān)系和運算:三概率的統(tǒng)計定義與古典定義三概率的統(tǒng)計定義與古典定義一一.隨機試驗和隨機事件隨機試驗和隨機事件:v隨機試驗隨機試驗對隨機現(xiàn)象進行的實驗或觀察對隨機現(xiàn)象進行的實驗或觀察試驗之前不能確定出現(xiàn)哪一種結(jié)果試驗之前不能確定出現(xiàn)哪一種結(jié)果.v性質(zhì)性質(zhì):即即:其試驗結(jié)果事先不能準確預(yù)言其試驗結(jié)果事先不能準確預(yù)言,但一切可能出現(xiàn)的結(jié)果卻是但一切可能出現(xiàn)的結(jié)果卻是 已知的已知的.可在同樣的條件下可在同樣的條件下重復(fù)進行重復(fù)進行.每次試驗的每次試驗的結(jié)果不止一個結(jié)果不止一個,能能事先明確所有可能結(jié)果事先明確所有可能結(jié)果.例如例如:投擲硬幣試驗投擲硬幣試驗;出生嬰兒的性別等都是隨機事件出生嬰兒的性別等都是隨機事件.隨機事件隨機事件:隨機試驗中隨機試驗中各種可能的結(jié)果各種可能的結(jié)果稱為隨機事件稱為隨機事件,簡稱事件簡稱事件.一次試驗中的每一個可能結(jié)果一次試驗中的每一個可能結(jié)果它是隨機試驗中它是隨機試驗中最簡單的不可再分的事件最簡單的不可再分的事件.基本事件基本事件:例如例如:投擲一個骰子可能出現(xiàn)的點數(shù)投擲一個骰子可能出現(xiàn)的點數(shù):1,2,6點都是基本事件點都是基本事件例如例如:在骰子投擲試驗中在骰子投擲試驗中,“出現(xiàn)偶數(shù)點出現(xiàn)偶數(shù)點”事件就是一個復(fù)合事件事件就是一個復(fù)合事件.復(fù)合事件復(fù)合事件:由若干個基本事件組合而成的事件由若干個基本事件組合而成的事件即即由部份基本事件組成的集合由部份基本事件組成的集合.必然事件必然事件(U)U)必然會發(fā)生的事件必然會發(fā)生的事件.記作記作U例如例如:骰子投擲骰子投擲 試驗中試驗中“投得點數(shù)不大于投得點數(shù)不大于6”的事件為的事件為 必然事件必然事件不可能事件不可能事件(V):V):不可能發(fā)生的事件不可能發(fā)生的事件.記作記作V例如例如:在骰子試驗中在骰子試驗中“投得投得7點點”為不可能事件為不可能事件.一切可能結(jié)果的集合一切可能結(jié)果的集合.即即由所有基本事件組成的集合由所有基本事件組成的集合.基本事件空間基本事件空間(樣本空間樣本空間):):例：投擲一個骰子例：投擲一個骰子,“出現(xiàn)出現(xiàn)1點點”.“出現(xiàn)出現(xiàn)6點點”構(gòu)成了基本事件空間構(gòu)成了基本事件空間.二二.事件間的關(guān)系和運算事件間的關(guān)系和運算:1.1.包含關(guān)系包含關(guān)系2.2.相等關(guān)系相等關(guān)系3.3.事件的積事件的積(交交)4.4.事件的和事件的和5.5.互不相容關(guān)系互不相容關(guān)系(互斥關(guān)系互斥關(guān)系)6.6.互逆關(guān)系互逆關(guān)系(互相對立互相對立)7.7.事件的差事件的差U1.包含關(guān)系包含關(guān)系:例如例如:1.骰子試驗骰子試驗;2.某動物存活年齡某動物存活年齡.AB A B 若若事件事件B的發(fā)生必然導(dǎo)致事件的發(fā)生必然導(dǎo)致事件A的發(fā)生的發(fā)生.記作記作A B或或 B A.動物存活動物存活15年以上年以上動物存活動物存活25年以上年以上U投得點數(shù)為偶數(shù)點投得點數(shù)為偶數(shù)點投得點數(shù)為投得點數(shù)為2點點U2.2.相等關(guān)系相等關(guān)系:UA=BA(B)若若事件事件A包含事件包含事件B,同時事件同時事件B也包含事件也包含事件A,即即A B且且B A,記作記作A=B,即事件即事件A與事件與事件B 看成是一樣的事件看成是一樣的事件.UABAB3.3.事件的積事件的積(交交)例例:“產(chǎn)品合格產(chǎn)品合格”是是“直徑合格直徑合格”和和“長度合格長度合格”的交的交關(guān)鍵詞關(guān)鍵詞:“同時同時”“且且”若若事件事件A A與事件與事件B B同時發(fā)生同時發(fā)生,記作記作A BA B或或AB.AB.u4.4.事件的和事件的和:事件事件A和事件和事件B至少有一個發(fā)生至少有一個發(fā)生的事件的事件.記作記作AUB(又稱事件又稱事件A與與B并并).A+BUAB不不交交并并例例:1.“產(chǎn)品不合格產(chǎn)品不合格”便是便是“直徑不合格直徑不合格”與與“長度不合格長度不合格”兩事件的和兩事件的和關(guān)鍵詞關(guān)鍵詞:“至少至少”，“或或”AUBUA相相交交并并BU5.互不相容關(guān)系互不相容關(guān)系(互斥關(guān)系互斥關(guān)系)事件事件A與事件與事件B不可能同時發(fā)生不可能同時發(fā)生.關(guān)系關(guān)系:AB=VAB例例:投擲骰子中投擲骰子中“出現(xiàn)出現(xiàn)1點點”,.,“出現(xiàn)出現(xiàn)6點點”等事件是兩兩互不相容等事件是兩兩互不相容U6.6.互逆關(guān)系互逆關(guān)系(互相對立互相對立):):A關(guān)系關(guān)系:A+B=UAB=V例例:1.“產(chǎn)品合格產(chǎn)品合格”與與“產(chǎn)品不合格產(chǎn)品不合格”2.投擲硬幣投擲硬幣.區(qū)別區(qū)別:互斥與互逆互斥與互逆若若事件事件A A與事件與事件B B中有且僅有一個發(fā)生中有且僅有一個發(fā)生B()互斥（互不相容）關(guān)系:AB=V互逆(互相對立)關(guān)系:A+B=U，AB=V互斥互逆區(qū)別:互逆與互斥ABUUAB()例：投擲硬幣與投擲骰子7.7.事件的差事件的差:UABA-B例例:“直徑合格但長度不合格直徑合格但長度不合格”便是便是“直徑合格直徑合格”與與“長度合格長度合格”兩事件的差兩事件的差.事件事件A 發(fā)生而事件發(fā)生而事件B不發(fā)生的事件不發(fā)生的事件記作記作A-B(A )對偶原則：UA U B=A B重疊律：(將相交并分解為不交并)=B U（A B）U=A U（A B）U B=A U BUBAABA U B =（A B）U（A B）U（A B）UUU交換律;結(jié)合律;分配律(見P134)例例:若把依次檢查三人的脈象看作一次試驗若把依次檢查三人的脈象看作一次試驗,并且并且A=A=第一人正常第一人正常,B=,B=第二第二人正常人正常,C=,C=第三人正常第三人正常,試用試用A,B,CA,B,C三個事件的關(guān)系式表示下列事件三個事件的關(guān)系式表示下列事件:只第一人正常只第一人正常;只有一人正常只有一人正常;只有只有(恰有恰有)二人正常二人正常;至少有二人正常至少有二人正常;三人都不正常三人都不正常;三人都正常三人都正常;至少有一人正常至少有一人正常.ABC;(或AB+BC+AC);(或AUBUC).解:設(shè) =第一人不正常,=第二人不正常,=第三人不正常,則所求的四個事件分別為:A例例:在醫(yī)療系的學生中任選一名學生在醫(yī)療系的學生中任選一名學生,令事件令事件A A表示被選學生是表示被選學生是男生男生,事件事件B B表示該生是一年級學生表示該生是一年級學生,事件事件C C表示該生是?；@球隊表示該生是?；@球隊的隊員的隊員.敘述事件敘述事件ABAB 意義意義;在什么條件下在什么條件下ABC=C;ABC=C;什么時候關(guān)系式什么時候關(guān)系式C C B B是正確的是正確的?什么時候什么時候 =B=B成立成立?解解:被選的學生是一年級的男生被選的學生是一年級的男生,不是?；@球隊的隊員不是校籃球隊的隊員.在醫(yī)療系的?；@球隊隊員都是一年級男生的條件下在醫(yī)療系的校籃球隊隊員都是一年級男生的條件下ABC=C成立成立在醫(yī)療系的?；@球隊隊員全是一年級學生時在醫(yī)療系的?；@球隊隊員全是一年級學生時C B是正確的是正確的.當醫(yī)療系的一年級學生都是女生當醫(yī)療系的一年級學生都是女生,而其他年級都是男生時而其他年級都是男生時,=B成立成立P(A)三三.概率概率度量某事件出現(xiàn)可能性大小的數(shù)字特征度量某事件出現(xiàn)可能性大小的數(shù)字特征.概率的定義概率的定義統(tǒng)計定義統(tǒng)計定義古典定義古典定義(從試驗入手從試驗入手,進行大量的試驗進行大量的試驗)(從計算入手從計算入手,僅適用于古典概型僅適用于古典概型)概率的統(tǒng)計定義概率的統(tǒng)計定義:當試驗次數(shù)當試驗次數(shù)N足夠大時足夠大時,頻率可近似看成是概率頻率可近似看成是概率頻率頻率:設(shè)在設(shè)在N次數(shù)試驗中次數(shù)試驗中,隨機事件隨機事件A發(fā)生發(fā)生n次次,則稱比值則稱比值n/N為為 事件事件A的頻率的頻率,記作記作:fN(A)=(0nN 0 fN(A)1)即即 P（A）fN（A）（）（當試驗次數(shù)當試驗次數(shù)N足夠大時）足夠大時）例例:歷史上曾有多個數(shù)學家做過投擲硬幣試驗歷史上曾有多個數(shù)學家做過投擲硬幣試驗,結(jié)果如下結(jié)果如下:（設(shè)（設(shè)A為為“投擲硬幣出現(xiàn)正面投擲硬幣出現(xiàn)正面”）當試驗次數(shù)當試驗次數(shù)n較大時較大時,比值比值fN(A)=m/n總是圍繞在總是圍繞在0.5附近擺動附近擺動,試驗者試驗者投擲次數(shù)投擲次數(shù)N出現(xiàn)正面次數(shù)出現(xiàn)正面次數(shù)n頻率頻率 fn(A)De Morgan(狄摩根狄摩根)Buffon(布豐布豐)Pearson(皮爾遜皮爾遜)Pearson(皮爾遜皮爾遜)204840401200024000106120486019120120.51810.50690.50160.5005P（A）fN(A)=m/n 0.5 對任何事件對任何事件A:0P(A)1 對必然事件對必然事件U:P(U)=1 (即必然事件的概率為即必然事件的概率為1)對不可能事件對不可能事件V:P(V)=0 (即不可能事件的概率為即不可能事件的概率為0)概率概率P(A)P(A)的基本性質(zhì)的基本性質(zhì):注注:醫(yī)學統(tǒng)計中的所謂醫(yī)學統(tǒng)計中的所謂患病率患病率,死亡率死亡率,治愈率等治愈率等本來指的本來指的 是頻率是頻率,但但當統(tǒng)計的例數(shù)相當多時當統(tǒng)計的例數(shù)相當多時,可以把它們可以把它們看成是看成是 相應(yīng)的概率相應(yīng)的概率.藥物療效統(tǒng)計藥物療效統(tǒng)計治療結(jié)果治療結(jié)果 臨床治愈臨床治愈(A)明顯好轉(zhuǎn)明顯好轉(zhuǎn)(B)癥狀緩解癥狀緩解(C)無效無效(D)合計合計例數(shù)例數(shù)(n)頻率頻率(n/N)830.2061800.4471170.290230.057403(N)1.00P(A)f(A)=0.206例例:某醫(yī)院用一種新藥治療老年性氣管炎某醫(yī)院用一種新藥治療老年性氣管炎,療效如下表所示療效如下表所示,求臨床求臨床治愈率是多少治愈率是多少?解解:由于表中病例數(shù)由于表中病例數(shù)403可認為是足夠大可認為是足夠大，故由概率的統(tǒng)計定義知，故由概率的統(tǒng)計定義知，利用概率的統(tǒng)計定義求概率利用概率的統(tǒng)計定義求概率存在的缺陷存在的缺陷：須通過大量的重復(fù)試驗（過于繁瑣）須通過大量的重復(fù)試驗（過于繁瑣）求得的概率只是近似值求得的概率只是近似值n不大時不大時,不能用頻率代替概率不能用頻率代替概率為此下面介紹概率的另一個計算方法為此下面介紹概率的另一個計算方法:概率的古典定義概率的古典定義古典概型古典概型:具有以下特征的隨機現(xiàn)象的數(shù)學模型稱具有以下特征的隨機現(xiàn)象的數(shù)學模型稱為古典概率模型為古典概率模型,簡稱古典概型簡稱古典概型.概率的概率的古典定義古典定義:有限性有限性:試驗的所有可能結(jié)果只有有限個試驗的所有可能結(jié)果只有有限個 等可能性等可能性:每次試驗中各可能結(jié)果出現(xiàn)的可能性相等每次試驗中各可能結(jié)果出現(xiàn)的可能性相等例如例如:1拋硬幣試驗；投擲骰子拋硬幣試驗；投擲骰子概率的古典定義：概率的古典定義：(僅適用于古典概型僅適用于古典概型)MN 事件事件A A包含的基本事件數(shù)包含的基本事件數(shù)基本事件的總數(shù)基本事件的總數(shù)P（A）=“古典古典”名稱的由來名稱的由來:按古典定義計算隨機事件按古典定義計算隨機事件A A的概率的關(guān)鍵的概率的關(guān)鍵:判斷是否屬判斷是否屬古典概型古典概型(即是否滿足即是否滿足有限性有限性和等和等可能性可能性).求出樣本空間的基本事件的總個數(shù)求出樣本空間的基本事件的總個數(shù)N.求出求出A所含的基本事件的個數(shù)所含的基本事件的個數(shù)M.MN最后求出最后求出 P(A)=Cmn=n(n-1)(n-2).(n-m+1)m!事件事件A包含有包含有:(2,11),(2,13),(6,11),(6,13)(8,11),(8,13),(11,13).例例:在分別寫有在分別寫有2,6,8,11,13的五張卡片中任取兩張的五張卡片中任取兩張,用卡片上的兩用卡片上的兩 個數(shù)組成一個分數(shù)個數(shù)組成一個分數(shù),試求所得分數(shù)是既約分數(shù)的概率試求所得分數(shù)是既約分數(shù)的概率.解解:依題意可用古典概率來求依題意可用古典概率來求.首先求出基本事件的總數(shù)首先求出基本事件的總數(shù)N.所有取法有所有取法有:(2,6),(2,8),(2,11),(2,13),(6,8),(6,11),(6,13),(8,11),(8,13),(11,13).即N=10 (N=C25=10)再求事件再求事件A所包含的基本事件的個數(shù)所包含的基本事件的個數(shù)M.故所求的概率為P(A)=M/N=7/10設(shè)設(shè) A為為“兩張卡片上的數(shù)能組成既約分數(shù)兩張卡片上的數(shù)能組成既約分數(shù)”事件事件即M=7例例:袋中裝有袋中裝有10個紅球個紅球,5個白球個白球,從中一次隨機地摸出從中一次隨機地摸出3個球個球,求求摸出的摸出的3個球全是紅球的概率個球全是紅球的概率,摸出的全是白球的概率摸出的全是白球的概率,摸出摸出的是一個紅球的是一個紅球,二個白球的概率二個白球的概率.P(A)=120/455=24/91MANP(B)=10/455=2/91NMB P(C)=100/455=20/91NMC解解:從從(10+5)個球中隨機地任取個球中隨機地任取3個球個球,設(shè)設(shè)A=所摸出的所摸出的3個球全是紅球個球全是紅球,設(shè)設(shè)B=所摸出的所摸出的3個球全是白球個球全是白球,設(shè)設(shè)C=所摸出的是一個紅球所摸出的是一個紅球,二個白球二個白球,共有共有N=C153=455種取法種取法MA=C103=120MB=C53=10MC=C101C52=100思考題思考題1.某人的生日恰好是星期天的概率是多少某人的生日恰好是星期天的概率是多少?(如果他出生之年二月如果他出生之年二月分有分有28天天),試問他的生日是五月份的概率是多少試問他的生日是五月份的概率是多少?解解:以星期數(shù)為研究對象，屬于古典概型以星期數(shù)為研究對象，屬于古典概型“生日恰好是星期日生日恰好是星期日”的概率為的概率為1/7.以月份為研究對象，以月份為研究對象，不屬于古典概型（不等可能）不屬于古典概型（不等可能）在五月份生日在五月份生日”的概率是的概率是1/12以天數(shù)為研究對象，以天數(shù)為研究對象，屬于古典概型屬于古典概型N=365，五月份有五月份有31天天,即即M=31“生日是五月份生日是五月份”的概率為的概率為:31/365.2.在一次試驗中連續(xù)拋擲兩枚硬幣在一次試驗中連續(xù)拋擲兩枚硬幣,而且對硬幣未加區(qū)別而且對硬幣未加區(qū)別,問可能問可能出現(xiàn)的結(jié)果有哪些出現(xiàn)的結(jié)果有哪些?連續(xù)兩次均出現(xiàn)正面向上的可能性有多大連續(xù)兩次均出現(xiàn)正面向上的可能性有多大?解解:所含的基本事件組為所含的基本事件組為:“兩枚全正兩枚全正”,“一正一反一正一反”,“兩枚兩枚全反全反”.設(shè)設(shè)A=兩次均出現(xiàn)正面向上兩次均出現(xiàn)正面向上(即兩枚全正即兩枚全正),則則P(A)=1/3.錯誤的原因錯誤的原因:“一正一反一正一反”出現(xiàn)的可能性比其他兩個樣本點出現(xiàn)出現(xiàn)的可能性比其他兩個樣本點出現(xiàn)的的 可能性要大可能性要大.(不等可能）不等可能）正確的求法為正確的求法為:P(A)=1/4思考題：思考題：作業(yè)作業(yè):P165 3,4,6,7補充補充:檢查三人的脈象檢查三人的脈象:A=第一人正常第一人正常 B=第二人正常第二人正常 C=第三人正常第三人正常,試用試用A,B,C三個事件的關(guān)系表示下列事件三個事件的關(guān)系表示下列事件:1)只有第一人正常只有第一人正常.2)只有一人正常只有一人正常.3)三人都不正常三人都不正常.4)至少一人正常至少一人正常.