《醫(yī)用高等數(shù)學(xué)》教學(xué)課件

《醫(yī)用高等數(shù)學(xué)》教學(xué)課件,醫(yī)用高等數(shù)學(xué),醫(yī)用,高等數(shù)學(xué),教學(xué),課件 第四節(jié).導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用一一一一.Lagrange.Lagrange.Lagrange.Lagrange中值定理中值定理中值定理中值定理二二二二.LHospital.LHospital.LHospital.LHospital法則法則法則法則三三三三.函數(shù)的單調(diào)性和極值函數(shù)的單調(diào)性和極值函數(shù)的單調(diào)性和極值函數(shù)的單調(diào)性和極值四四四四.函數(shù)曲線的凹凸性和拐點(diǎn)函數(shù)曲線的凹凸性和拐點(diǎn)函數(shù)曲線的凹凸性和拐點(diǎn)函數(shù)曲線的凹凸性和拐點(diǎn)五五五五.函數(shù)曲線的漸近線函數(shù)曲線的漸近線函數(shù)曲線的漸近線函數(shù)曲線的漸近線六六六六.函數(shù)圖形的描繪函數(shù)圖形的描繪函數(shù)圖形的描繪函數(shù)圖形的描繪一.Lagrange中值定理定理：定理：定理：定理：a aB Bb bA A推論1 如果對(duì)于任意如果對(duì)于任意推論2 如果對(duì)于任意如果對(duì)于任意思考：思考：思考：思考：二.LHospital法則也也可能不存在可能不存在.通常將這種極限叫做不定式（未定式）通常將這種極限叫做不定式（未定式）.不定式還有其它類型：不定式還有其它類型：定理：定理：(1)(1)(2)(2)(3)(3)L L L L HospitalHospitalHospitalHospital法則法則法則法則推論：推論：當(dāng)當(dāng)導(dǎo)數(shù)比的極限仍是不定式，且滿足定理中的條件，導(dǎo)數(shù)比的極限仍是不定式，且滿足定理中的條件，則可繼續(xù)用則可繼續(xù)用LHospitalLHospital法則法則.例例1 1解解例例2 2解解不能等量替換！不能等量替換！Why?例例3 3解解例例4 4解解例例5 5解解另例另例4040三、函數(shù)的單調(diào)性和極值三、函數(shù)的單調(diào)性和極值定理例例1 1解解注意注意:函數(shù)的單調(diào)性是一個(gè)區(qū)間上的性質(zhì)，要用函數(shù)的單調(diào)性是一個(gè)區(qū)間上的性質(zhì)，要用導(dǎo)數(shù)在這一區(qū)間上的符號(hào)來(lái)判定，而不能用一導(dǎo)數(shù)在這一區(qū)間上的符號(hào)來(lái)判定，而不能用一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)符號(hào)來(lái)判別一個(gè)區(qū)間上的單調(diào)性點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)符號(hào)來(lái)判別一個(gè)區(qū)間上的單調(diào)性單調(diào)區(qū)間求法問(wèn)題問(wèn)題:如上，函數(shù)在定義區(qū)間上不是單調(diào)的，如上，函數(shù)在定義區(qū)間上不是單調(diào)的，但在各個(gè)部分區(qū)間上單調(diào)但在各個(gè)部分區(qū)間上單調(diào)定義定義:若函數(shù)在其定義域的某個(gè)區(qū)間內(nèi)是單調(diào)若函數(shù)在其定義域的某個(gè)區(qū)間內(nèi)是單調(diào)的，則該區(qū)間稱為函數(shù)的的，則該區(qū)間稱為函數(shù)的單調(diào)區(qū)間單調(diào)區(qū)間.導(dǎo)數(shù)等于零的點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)，可能是單調(diào)區(qū)間導(dǎo)數(shù)等于零的點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)，可能是單調(diào)區(qū)間的分界點(diǎn)的分界點(diǎn)方法方法:例例2 2解解單調(diào)區(qū)間為單調(diào)區(qū)間為例例3 3解解單調(diào)區(qū)間為單調(diào)區(qū)間為例例4 4證證注意注意:區(qū)間內(nèi)個(gè)別點(diǎn)導(dǎo)數(shù)為零區(qū)間內(nèi)個(gè)別點(diǎn)導(dǎo)數(shù)為零,不影響區(qū)間的單調(diào)性不影響區(qū)間的單調(diào)性.例如例如,函數(shù)極值的定義函數(shù)極值的定義定義定義函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱為極值,使函數(shù)取得極值的點(diǎn)稱為極值點(diǎn).函數(shù)極值的求法函數(shù)極值的求法定理1(必要條件)定義定義注意注意:例如例如,定理定理2(2(第一充分條件第一充分條件)(是極值點(diǎn)情形是極值點(diǎn)情形)求極值的步驟:(不是極值點(diǎn)情形不是極值點(diǎn)情形)例例1 1解解列表討論列表討論極極大大值值極極小小值值圖形如下圖形如下由第一充分條件,駐點(diǎn)是否為極值點(diǎn)須考慮導(dǎo)數(shù)在逐點(diǎn)兩側(cè)臨近點(diǎn)的符號(hào),比較麻煩,故補(bǔ)充定理如下例例2 2解解圖形如下圖形如下注意注意:例例3 3解解函數(shù)的不可導(dǎo)點(diǎn)函數(shù)的不可導(dǎo)點(diǎn),也可能是函數(shù)的極值點(diǎn)也可能是函數(shù)的極值點(diǎn).注意注意:極值是函數(shù)的局部性概念極值是函數(shù)的局部性概念:極大值可能小于極小極大值可能小于極小值值,極小值可能大于極大值極小值可能大于極大值.駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)統(tǒng)稱為駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)統(tǒng)稱為臨界點(diǎn)臨界點(diǎn).函數(shù)的極值必在函數(shù)的極值必在臨界點(diǎn)臨界點(diǎn)取得取得.判別法判別法第一充分條件第一充分條件;第二充分條件第二充分條件;(注意使用條件注意使用條件)最值的求法步驟步驟:1.求駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)求駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn);2.求區(qū)間端點(diǎn)及駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)的函數(shù)值求區(qū)間端點(diǎn)及駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)的函數(shù)值,比比較大小較大小,那個(gè)大那個(gè)就是最大值那個(gè)大那個(gè)就是最大值,那個(gè)小那個(gè)那個(gè)小那個(gè)就是最小值就是最小值;注意注意:如果區(qū)間內(nèi)只有一個(gè)極值如果區(qū)間內(nèi)只有一個(gè)極值,則這個(gè)極值就則這個(gè)極值就是最值是最值.(最大值或最小值最大值或最小值)解解計(jì)算計(jì)算例例1 1.4,314123223上的最大值與最小值上的最大值與最小值的在的在求函數(shù)求函數(shù)-+-+=xxxy比較得比較得實(shí)際問(wèn)題求最值應(yīng)注意實(shí)際問(wèn)題求最值應(yīng)注意:(1)建立目標(biāo)函數(shù)建立目標(biāo)函數(shù);(2)求最值求最值;例例2 2 某房地產(chǎn)公司有某房地產(chǎn)公司有50套公寓要出租，當(dāng)租金定套公寓要出租，當(dāng)租金定為每月為每月180元時(shí)，公寓會(huì)全部租出去當(dāng)租元時(shí)，公寓會(huì)全部租出去當(dāng)租金每月增加金每月增加10元時(shí)，就有一套公寓租不出去，元時(shí)，就有一套公寓租不出去，而租出去的房子每月需花費(fèi)而租出去的房子每月需花費(fèi)20元的整修維護(hù)元的整修維護(hù)費(fèi)試問(wèn)房租定為多少可獲得最大收入？費(fèi)試問(wèn)房租定為多少可獲得最大收入？解解設(shè)房租為每月設(shè)房租為每月 元，元，租出去的房子有租出去的房子有 套，套，每月總收入為每月總收入為（唯一駐點(diǎn)）（唯一駐點(diǎn)）故每月每套租金為故每月每套租金為350元時(shí)收入最高。元時(shí)收入最高。最大收入為最大收入為注意最值與極值的區(qū)別注意最值與極值的區(qū)別.最值是整體概念而極值是局部概念最值是整體概念而極值是局部概念.實(shí)際問(wèn)題求最值的步驟實(shí)際問(wèn)題求最值的步驟.1 1、曲線凹凸的定義、曲線凹凸的定義問(wèn)題問(wèn)題:如何研究曲線的彎曲方向如何研究曲線的彎曲方向?圖形上任意弧段位圖形上任意弧段位于所張弦的上方于所張弦的上方圖形上任意弧段位圖形上任意弧段位于所張弦的下方于所張弦的下方四.函數(shù)曲線的凹凸性和拐點(diǎn)定義定義2 2 2 2、曲線凹凸的判定、曲線凹凸的判定、曲線凹凸的判定、曲線凹凸的判定定理1例例1 1解解注意到注意到,3 3、曲線的拐點(diǎn)及其求法、曲線的拐點(diǎn)及其求法1.定義注意:拐點(diǎn)處的切線必在拐點(diǎn)處過(guò)曲線.2.拐點(diǎn)的求法證方法方法1:1:例例2 2解解凹的凹的凸的凸的凹的凹的拐點(diǎn)拐點(diǎn)拐點(diǎn)拐點(diǎn)例例3 3解解曲線的彎曲方向曲線的彎曲方向凹凸性凹凸性;改變彎曲方向的點(diǎn)改變彎曲方向的點(diǎn)拐點(diǎn)拐點(diǎn);凹凸性的判定凹凸性的判定.拐點(diǎn)的求法拐點(diǎn)的求法1,2.1,2.五、函數(shù)曲線的漸近線五、函數(shù)曲線的漸近線定義:1.垂直漸近線例如例如有垂直漸近線兩條有垂直漸近線兩條:2.2.水平漸近線水平漸近線例如例如有水平漸近線兩條有水平漸近線兩條:3.3.斜漸近線斜漸近線斜漸近線求法斜漸近線求法:注意注意:例例1 1解解六、函數(shù)圖形的描繪利用函數(shù)特性描繪函數(shù)圖形利用函數(shù)特性描繪函數(shù)圖形.第一步第一步第二步第二步第三步第三步第四步第四步 確定函數(shù)圖形的水平、鉛直漸近線、斜漸確定函數(shù)圖形的水平、鉛直漸近線、斜漸近線以及其他變化趨勢(shì)近線以及其他變化趨勢(shì);第五步第五步舉例例例1 1解解非奇非偶函數(shù)非奇非偶函數(shù),且無(wú)對(duì)稱性且無(wú)對(duì)稱性.列表確定函數(shù)升降區(qū)間列表確定函數(shù)升降區(qū)間,凹凸區(qū)間及極值點(diǎn)和拐點(diǎn)凹凸區(qū)間及極值點(diǎn)和拐點(diǎn):拐點(diǎn)拐點(diǎn)極值點(diǎn)極值點(diǎn)間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)不存在不存在作圖作圖例例2 2解解無(wú)奇偶性及周期性無(wú)奇偶性及周期性.列表確定函數(shù)升降區(qū)間列表確定函數(shù)升降區(qū)間,凹凸區(qū)間及極值點(diǎn)與拐點(diǎn)凹凸區(qū)間及極值點(diǎn)與拐點(diǎn):拐點(diǎn)拐點(diǎn)極大值極大值極小值極小值函數(shù)圖形的描繪綜合運(yùn)用函數(shù)性態(tài)的研究函數(shù)圖形的描繪綜合運(yùn)用函數(shù)性態(tài)的研究,是是導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的綜合考察導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的綜合考察.最最大大值值最最小小值值極極大大值值極極小小值值拐拐點(diǎn)點(diǎn)凹的凹的凸的凸的單增單增單減單減