《醫(yī)用高等數(shù)學》教學課件

《醫(yī)用高等數(shù)學》教學課件,醫(yī)用高等數(shù)學,醫(yī)用,高等數(shù)學,教學,課件 第三章、一元函數(shù)積分學第一節(jié)、不定積分第一節(jié)、不定積分第二節(jié)、定積分第二節(jié)、定積分第三節(jié)、定積分的應用第三節(jié)、定積分的應用第四節(jié)、廣義積分第四節(jié)、廣義積分10/11/20221第一節(jié)、不定積分一、不定積分的概念一、不定積分的概念回顧：回顧：問題：問題：可導函數(shù)f(x),已知 ，如何求f(x)。10/11/20222原函數(shù)存在定理：原函數(shù)存在定理：即：即：連續(xù)函數(shù)一定有原函數(shù)連續(xù)函數(shù)一定有原函數(shù).問題：問題：(1)原函數(shù)是否唯一？原函數(shù)是否唯一？例例(2)若不唯一它們之間有什么關系？若不唯一它們之間有什么關系？10/11/20223顯然顯然：證證（不唯一性）（不唯一性）（不同原函數(shù)（不同原函數(shù)間的關系）間的關系）10/11/20224被積表達式積分號被積函數(shù)積分變量10/11/20225不定積分的幾何意義：不定積分的幾何意義：10/11/20226二、不定積分的性質(zhì)和基本積分公式性質(zhì)性質(zhì)3 31 1性質(zhì)性質(zhì)3 32 2微分運算與求不定積分的運算是微分運算與求不定積分的運算是互逆互逆互逆互逆的的.例例10/11/20227基本積分公式：基本積分公式：10/11/2022810/11/20229性質(zhì)性質(zhì)3 33 3性質(zhì)性質(zhì)3 34 4解解例例1 1 求積分求積分10/11/202210例例2 2 設曲線通過點（設曲線通過點（1，2），且其上任一點處的），且其上任一點處的切線斜率等于這點橫坐標的兩倍，求此曲線方程切線斜率等于這點橫坐標的兩倍，求此曲線方程.解解設曲線方程為設曲線方程為根據(jù)題意知根據(jù)題意知由曲線通過點（由曲線通過點（1，2）所求曲線方程為所求曲線方程為10/11/202211例例3 3 求積求積分分解解例例4 4 求積求積分分解解10/11/202212三、換元積分法1 1、第一換元積分法（湊微分法）、第一換元積分法（湊微分法）問題問題解決方法解決方法 利用復合函數(shù)，設置中間變量利用復合函數(shù)，設置中間變量.過程過程令令（換元積分法）（換元積分法）10/11/202213定理定理3 31 1 第一類換元公式第一類換元公式（湊微分法湊微分法）例例5 5 求求解解10/11/202214例例6 6 求求解解10/11/202215例例7 7 求求解解當被積函數(shù)為三角函數(shù)得偶次冪時，一當被積函數(shù)為三角函數(shù)得偶次冪時，一般應先降冪（利用倍角公式）般應先降冪（利用倍角公式）.10/11/202216例例8 8 求求解解當被積函數(shù)是三角函數(shù)相乘時，拆開奇當被積函數(shù)是三角函數(shù)相乘時，拆開奇次項去湊微分次項去湊微分.10/11/202217例例9 9 求求解解當被積函數(shù)是兩個不同角的三角函數(shù)相當被積函數(shù)是兩個不同角的三角函數(shù)相乘時，可利用積化和差公式乘時，可利用積化和差公式.10/11/202218解解例例1010 求求同一積分可以有幾種不同的解法，其結(jié)果形同一積分可以有幾種不同的解法，其結(jié)果形式可能不同，但實質(zhì)上只差一個常數(shù)式可能不同，但實質(zhì)上只差一個常數(shù).10/11/202219例例1010 求求10/11/2022202 2、第二換元積分法、第二換元積分法過程過程問題問題解決方法解決方法改變中間變量的設置方法改變中間變量的設置方法.令令（應用（應用“湊微分湊微分”即可求出結(jié)果）即可求出結(jié)果）10/11/202221目的是去掉根號或?qū)⒈环e函數(shù)化為基本公式中目的是去掉根號或?qū)⒈环e函數(shù)化為基本公式中的某個形式的某個形式.10/11/202222例例1111 求求解解10/11/202223例例1212 求求解解10/11/202224例例1313 求求解解 10/11/202225說明說明(1)(1)以上后兩例所使用的均為以上后兩例所使用的均為三角代換三角代換.三角代換的三角代換的目的目的是化掉根式是化掉根式.一般規(guī)律如下：當被積函數(shù)中含有一般規(guī)律如下：當被積函數(shù)中含有10/11/202226 積分中為了化掉根式是否一定采用積分中為了化掉根式是否一定采用三角代換并不是絕對的，需根據(jù)被積函數(shù)的三角代換并不是絕對的，需根據(jù)被積函數(shù)的情況來定情況來定.說明說明(2)(2)例例1414 求求（三角代換很繁瑣）（三角代換很繁瑣）令令解解10/11/202227說明說明(3)(3)當分母的階較高時當分母的階較高時,可采用可采用倒代換倒代換例例1515 求求令令解解10/11/202228說明說明(4)(4)當被積函數(shù)含有兩種或兩種以上的當被積函數(shù)含有兩種或兩種以上的根式根式 時，可采用令時，可采用令 （其中（其中 為各根指數(shù)的最小公倍數(shù)）為各根指數(shù)的最小公倍數(shù)）例例1616 求求解解令令10/11/202229四、分部積分法四、分部積分法問題問題解決思路解決思路利用兩個函數(shù)乘積的求導法則利用兩個函數(shù)乘積的求導法則.分部積分公式分部積分公式對對等式兩邊求不定積分，得等式兩邊求不定積分，得目的：目的：10/11/202230例例1717 求積分求積分解（一）解（一）令令顯然，顯然，選擇不當，積分更難進行選擇不當，積分更難進行.解（二）解（二）令令結(jié)論：結(jié)論：若被積函數(shù)是冪函數(shù)和三角函數(shù)的乘若被積函數(shù)是冪函數(shù)和三角函數(shù)的乘積，就考慮設冪函數(shù)為積，就考慮設冪函數(shù)為 .10/11/202231例例1818 求積分求積分解解令令10/11/202232例例1919 求積分求積分解解 令令結(jié)論：結(jié)論：若被積函數(shù)是冪函數(shù)和對數(shù)函數(shù)或冪若被積函數(shù)是冪函數(shù)和對數(shù)函數(shù)或冪函數(shù)和反三角函數(shù)的乘積，就考慮設對數(shù)函函數(shù)和反三角函數(shù)的乘積，就考慮設對數(shù)函數(shù)或反三角函數(shù)為數(shù)或反三角函數(shù)為 .10/11/202233例例2020 求積分求積分解解注意循環(huán)形式注意循環(huán)形式10/11/202234思考：思考：結(jié)論：結(jié)論：若被積函數(shù)是指數(shù)函數(shù)和三角函若被積函數(shù)是指數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)的乘積，則將三角函數(shù)或指數(shù)函數(shù)令數(shù)的乘積，則將三角函數(shù)或指數(shù)函數(shù)令為為u u均可均可.實際應用中，分部積分一般按對數(shù)函數(shù)、實際應用中，分部積分一般按對數(shù)函數(shù)、反三角函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、三角函反三角函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)的順序優(yōu)先取為數(shù)的順序優(yōu)先取為u.u.10/11/202235例例2121 求積分求積分解解上例上例綜合使用了換元和分部積分法綜合使用了換元和分部積分法.10/11/202236