信號與系統(tǒng)教案第3章

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1、單擊此處編輯母版標(biāo)題樣式,單擊此處編輯母版文本樣式,第二級,第三級,第四級,第五級,*,信號與系統(tǒng),第,3-,*,頁,第三章 離散系統(tǒng)的時域分析,3.1,LTI,離散系統(tǒng)的響應(yīng),一、差分與差分方程,二、差分方程,的經(jīng)典解,三、,零,輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng),3.2,單位序列響應(yīng)和階躍響應(yīng),一、單位序列響應(yīng),二、,階躍響應(yīng),3.3,卷積和,一、序列分解與卷積和,二、,卷積的圖解,三、不進(jìn)位乘法,四、卷積和的性質(zhì),第三章 離散系統(tǒng)的時域分析,第三章 離散系統(tǒng)的時域分析,3.1,LTI,離散系統(tǒng)的響應(yīng),一、差分與差分方程,設(shè)有序列,f(k),，則,，,f(k+2),，,f(k+1),，,，,f(k-1)

2、,，,f(k-2),等稱為,f(k),的,移位序列,。,仿照連續(xù)信號的微分運算，定義離散信號的,差分,運算。,1.,差分運算,離散信號的變化率有兩種表示形式：,3.1,LTI,離散系統(tǒng)的響應(yīng),（,1,）,一階前向差分定義,：,f(k)=f(k+1)f(k),（,2,）,一階后向差分定義,：,f(k)=f(k)f(k 1),式中，,和,稱為差分算子，無原則區(qū)別。本書主要用后向差分，簡稱為,差分,。,（,3,）,差分的線性性質(zhì),：,af,1,(k)+bf,2,(k)=a f,1,(k)+b f,2,(k),（,4,）,二階差分定義,：,2,f(k)=f(k)=f(k)f(k-1)=f(k)f(k-

3、1),=f(k)f(k-1)f(k-1)f(k-2)=,f(k)2 f(k-1)+f(k-2),（,5,）,m,階差分,:,m,f(k)=,f(k)+b,1,f(k-1)+,b,m,f(k-m,),因此，可定義：,3.1,LTI,離散系統(tǒng)的響應(yīng),2.,差分方程,包含未知序列,y(k),及其各階差分的方程式稱為,差分方程,。將,差分,展開為,移位序列,，得一般形式,y(k)+a,n-1,y(k-1)+a,0,y(k-n)=,b,m,f(k,)+b,0,f(k-m),差分方程本質(zhì)上是遞推的代數(shù)方程，若已知初始條件和激勵，利用迭代法可求得其數(shù)值解。,例,：若描述某系統(tǒng)的差分方程為,y(k)+3y(k

4、 1)+2y(k 2)=f(k),已知初始條件,y(0)=0,y(1)=2,激勵,f(k)=2,k,(k),求,y(k),。,解,：,y(k)=3y(k 1)2y(k 2)+f(k),y(2)=3y(1)2y(0)+f(2)=2,y(3)=3y(2)2y(1)+f(3)=10 ,一般不易得到解析形式的,(,閉合,),解。,3.1,LTI,離散系統(tǒng)的響應(yīng),二、差分方程的經(jīng)典解,y(k)+a,n-1,y(k-1)+a,0,y(k-n)=,b,m,f(k,)+b,0,f(k-m),與微分方程經(jīng)典解類似，,y(k)=,y,h,(k,)+,y,p,(k,),1.,齊次解,y,h,(k,),齊次方程,y(

5、k)+a,n-1,y(k-1)+a,0,y(k-n)=0,其,特征方程,為,1+a,n-1,1,+a,0,n,=0,，,即,n,+a,n-1,n 1,+a,0,=0,其根,i,(i=1,，,2,，,，,n),稱為差分方程的,特征根,。,根據(jù)特征根，齊次解的兩種情況,2.,有重根,特征根,為,r,重根,時,3.1,LTI,離散系統(tǒng)的響應(yīng),3.1,LTI,離散系統(tǒng)的響應(yīng),激勵,f,(,k,),響應(yīng),y,(,k,),的特解,y,p,(,k,),特解的形式與激勵的形式類似,2.,特解,y,p,(k,):,例,：,若描述某系統(tǒng)的差分方程為,y(k)+4y(k 1)+4y(k 2)=f(k),已知初始條件

6、,y(0)=0,，,y(1)=1,；,激勵,f(k)=2,k,，,k0,。,求方程的全解。,解,：,特征方程為,2,+4+4=0,可解得特征根,1,=,2,=2,，,其齊次解,y,h,(k,)=(C,1,k+C,2,)(2),k,特解為,y,p,(k,)=P(2),k,k0,代入差分方程得,P(2),k,+4P(2),k 1,+4P(2),k2,=f(k)=2,k,，,解得,P=1/4,所以得特解：,y,p,(k,)=2,k2,k0,故全解為,y(k)=,y,h,+y,p,=(C,1,k+C,2,)(2),k,+2,k2,k0,代入初始條件解得,C,1,=1,C,2,=1/4,3.1,LTI,

7、離散系統(tǒng)的響應(yīng),3.1,LTI,離散系統(tǒng)的響應(yīng),三、零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng),設(shè),激勵,f(k),在,k=0,時接入系統(tǒng),，,通常以,y(1),y(2),，,y(n),描述系統(tǒng)的,初始狀態(tài),。,y,zs,(1)=,y,zs,(2)=,y,zs,(n)=0,所以,y(1)=,y,zi,(1),y(2)=,y,zi,(2),，,y(n)=,y,zi,(n),然后利用迭代法分別求得零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)的,初始值,y,zi,(j,),和,y,zs,(j,)(j=0,1,2,，,n 1),1.,零輸入響應(yīng)：輸入為零，差分方程為齊次,齊次解形式：,2.,零狀態(tài)響應(yīng)：初始狀態(tài)為,0,，即,y,(k,)=,y

8、,zi,(k,)+,y,zs,(k,),也可以,分別,用經(jīng)典法求解。,i,-特征根，,C,i,由初始值確定。,3.1,LTI,離散系統(tǒng)的響應(yīng),例,：若描述某離散系統(tǒng)的差分方程為,y(k)+3y(k 1)+2y(k 2)=f(k),已知激勵,f(k)=2,k,k0,，,初始狀態(tài),y(1)=0,y(2)=1/2,求系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)、零狀態(tài)響應(yīng)和全響應(yīng)。,解,（,1,）,y,zi,(k,),滿足方程,y,zi,(k,)+3y,zi,(k 1)+2y,zi,(k 2)=0,其初始狀態(tài),y,zi,(1)=y(1)=0,y,zi,(2)=y(2)=1/2,首先遞推求出初始值,y,zi,(0),y,zi,(

9、1),y,zi,(k,)=3y,zi,(k 1)2y,zi,(k 2),y,zi,(0)=3y,zi,(1)2y,zi,(2)=1,y,zi,(1)=3y,zi,(0)2y,zi,(1)=3,方程的特征根為,1,=1,，,2,=2,，,其解為,y,zi,(k,)=C,zi1,(1),k,+C,zi2,(2),k,將初始值代入 并解得,C,zi1,=1,C,zi2,=2,所以,y,zi,(k,)=(1),k,2(2),k,k0,3.1,LTI,離散系統(tǒng)的響應(yīng),y,zs,(k,)+3y,zs,(k 1)+2y,zs,(k 2)=f(k),初始狀態(tài),y,f,(1)=,y,f,(2)=0,遞推求初始值

10、,y,zs,(0),y,zs,(1),，,y,zs,(k,)=3y,zs,(k 1)2y,f,(k 2)+2,k,k0,y,zs,(0)=3y,zs,(1)2y,zs,(2)+1=1,y,zs,(1)=3y,zs,(0)2y,zs,(1)+2=1,分別求出齊次解和特解,，得,y,zs,(k,)=C,zs1,(1),k,+C,zs2,(2),k,+,y,p,(k,),=C,zs1,(1),k,+C,zs2,(2),k,+(1/3)2,k,代入初始值,求得,C,zs1,=1/3 ,C,zs2,=1,所以,y,zs,(k,)=(1),k,/3+(2),k,+(1/3)2,k,k0,（,2,）,零狀態(tài)

11、響應(yīng),y,f,(k,),滿足,3.2,單位序列響應(yīng)和階躍響應(yīng),3.2,單位序列響應(yīng)和階躍響應(yīng),一、單位序列響應(yīng),由單位序列,(k),所引起的,零狀態(tài)響應(yīng),稱為,單位序列響應(yīng),或,單位樣值響應(yīng),或,單位取樣響應(yīng),，或簡稱,單位響應(yīng),，記為,h(k),。,h(k)=T0,(k),例,1,已知某系統(tǒng)的差分方程為,y(k)-y(k-1)-2y(k-2)=f(k),求單位序列響應(yīng),h(k),。,解,根據(jù),h(k),的定義 有,h(k)h(k 1)2h(k 2)=(k),（,1,）,h(1)=h(2)=0,（,1,）,遞推求初始值,h(0),和,h(1),。,3.2,單位序列響應(yīng)和階躍響應(yīng),h(k)=h(

12、k 1)+2h(k 2)+(k),h(0)=h(1)+2h(2)+(0)=1,h(1)=h(0)+2h(1)+(1)=1,(2),求,h(k),。,對于,k 0,，,h(k),滿足齊次方程,h(k)h(k 1)2h(k 2)=0,其特征方程為,(+1)(2)=0,所以,h(k)=C,1,(1),k,+C,2,(2),k,，,k0,h(0)=C,1,+C,2,=1,h(1)=C,1,+2C,2,=1,解得,C,1,=1/3 ,C,2,=2/3,h(k)=(1/3)(1),k,+(2/3)(2),k,k0,或?qū)憺?h(k)=(1/3)(1),k,+(2/3)(2),k,(k),方程（,1,）移項寫

13、為,3.2,單位序列響應(yīng)和階躍響應(yīng),例,2,：若方程為：,y(k)y(k 1)2y(k 2)=f(k)f(k 2),求單位序列響應(yīng),h(k),解,h(k),滿足,h(k)h(k 1)2h(k 2)=(k)(k 2),令只有,(k),作用時，系統(tǒng)的單位序列響應(yīng),h,1,(k),它滿足,h,1,(k)h,1,(k 1)2h,1,(k 2)=(k),根據(jù)線性時不變性，,h(k)=h,1,(k)h,1,(k 2)=(1/3)(1),k,+(2/3)(2),k,(k)(1/3)(1),k 2,+(2/3)(2),k2,(k 2),3.2,單位序列響應(yīng)和階躍響應(yīng),二、階躍響應(yīng),g(k)=T,(k),0,由

14、于,，,(k)=(k)(k 1)=,(k),所以,，h,(k)=,g,(k),(k,2,k,1,),兩個常用的求和公式：,3.,3,卷積和,卷積和,卷積和圖解法,不進(jìn)位乘法求卷積,卷積和的性質(zhì),3.3,卷積和,3.3,卷積和,3.3,卷積和,一、卷積和,1,.,序列的時域分解,任意離散序列,f(k),可表示為,f(k)=+f(-1)(k+1)+f(0)(k)+f(1)(k-1)+f(2)(k-2),+f(,i,)(k,i,)+,3.3,卷積和,2,.,任意,序列作用下的零狀態(tài)響應(yīng),y,f,(,k,),f,(,k,),根據(jù),h(k),的定義：,(,k,),h,(,k,),由時,不變性：,(,k,

15、-,i,),h,(,k,-,i,),f,(,i,)(,k,-,i,),由,齊次性：,f,(,i,),h,(,k,-,i,),由,疊加性：,f,(,k,),y,f,(,k,),卷積和,3.3,卷積和,3,.,卷積和的定義,已知定義在區(qū)間（,，,）上的兩個函數(shù),f,1,(k),和,f,2,(k),，,則定義和,為,f,1,(k),與,f,2,(k),的,卷積和,，簡稱,卷積,；記為,f(k)=f,1,(k)*f,2,(k),注意,：求和是在虛設(shè)的變量,i,下進(jìn)行的，,i,為,求和變量，,k,為參變量。結(jié)果仍為,k,的函數(shù)。,3.3,卷積和,例,：,f,(,k,)=a,k,(,k,),h,(,k,)

16、=b,k,(,k,),，,求,y,f,(,k,),。,解,：,y,f,(,k,)=,f,(,k,)*,h,(,k,),當(dāng),i,k,時，,(k-,i,)=0,(,k,)*,(,k,)=(k+1),(,k,),3.3,卷積和,二、卷積的圖解法,卷積過程可分解為,四步,：,（,1,）,換元,：,k,換為,i,得,f,1,(,i,),，,f,2,(,i,),（,2,）,反轉(zhuǎn)平移,：由,f,2,(,i,),反轉(zhuǎn),f,2,(,i,),右移,k f,2,(k,i,),（,3,）,乘積,：,f,1,(,i,)f,2,(k,i,),（,4,）,求和,：,i,從,到,對乘積項求和,。,注意：,k,為參變量。,下面舉例說明。,3.3,卷積和,例,：,f,1,(k),、,f,2,(k),如圖所示，已知,f(k)=f,1,(k)*f,2,(k),，求,f(2)=,？,解,：,（,1,）換元,（,2,）,f,2,(,i,),反轉(zhuǎn)得,f,2,(,i,),（,3,）,f,2,(,i,),右移,2,得,f,2,(2,i,),（,4,）,f,1,(,i,),乘,f,2,(2,i,),（,5,）求和，得,f(2)=4.5,