《機械工程測試技術》配套PPT課件

《機械工程測試技術》配套PPT課件,機械工程測試技術,機械工程,測試,技術,配套,PPT,課件 東北大學機械工程與自動化學院（東北大學機械工程與自動化學院（2012）Page 2學習導航學習導航8.1誤差的基本概念（誤差的基本概念（Error Basic Concept）8.2 隨機誤差（隨機誤差（Random Error）8.3 系統(tǒng)誤差（系統(tǒng)誤差（System Error）8.4 間接測量中的誤差計算（間接測量中的誤差計算（Error Calculation in Direct Measurement)8.5 測試數(shù)據(jù)測量及表示方法（測試數(shù)據(jù)測量及表示方法（Measurement and Representation of Test Data）Page 38.1 8.1 誤差的基本概念誤差的基本概念測量誤差與精度測量誤差與精度 真值（真值（true value）基本誤差源（基本誤差源（sources of elemental error）基本誤差分類基本誤差分類 ：標定誤差、數(shù)據(jù)采集誤差、數(shù)據(jù)處理誤差。：標定誤差、數(shù)據(jù)采集誤差、數(shù)據(jù)處理誤差。按性質(zhì)及產(chǎn)生原因，誤差可分為：按性質(zhì)及產(chǎn)生原因，誤差可分為：系統(tǒng)誤差系統(tǒng)誤差：重復性測量條件下，對同一被測量進行多次測量：重復性測量條件下，對同一被測量進行多次測量結果的平均值與被測量真值之差。結果的平均值與被測量真值之差。隨機誤差隨機誤差：單次測試結果與在重復性條件下對同一被測量進：單次測試結果與在重復性條件下對同一被測量進行多次測量結果的平均值之差。行多次測量結果的平均值之差。粗大誤差粗大誤差：一種明顯超出統(tǒng)計規(guī)律預期范圍的誤差。：一種明顯超出統(tǒng)計規(guī)律預期范圍的誤差。Page 4測量誤差與精度測量誤差與精度 準確度準確度(justness):):也稱正確度也稱正確度(correctness),),測量數(shù)據(jù)的平均測量數(shù)據(jù)的平均值偏離真實值的程度，是系統(tǒng)誤差的反映。值偏離真實值的程度，是系統(tǒng)誤差的反映。精密度精密度(precision):在進行某一量的測量時，各次測量的數(shù)據(jù)在進行某一量的測量時，各次測量的數(shù)據(jù)彼此接近的程度，是隨機誤差的反映。彼此接近的程度，是隨機誤差的反映。精確度精確度(accuracy):):簡稱為精度，指測量數(shù)據(jù)集中于真實值附近簡稱為精度，指測量數(shù)據(jù)集中于真實值附近的程度。的程度。a)高準確度，低精密度情形 b)低準確度，高精密度情形 c)高準確度、高精密度情形8.1 誤差的基本概念誤差的基本概念Page 58.1 誤差的基本概念誤差的基本概念誤差的表示方法誤差的表示方法 誤差誤差(error):):也稱絕對誤差也稱絕對誤差(absolute error)，是測量值，是測量值 與其真與其真值值 之差。之差。相對誤差相對誤差(relative error):測量誤差與真值之比。測量誤差與真值之比。引用誤差引用誤差(quoted error):):絕對誤差與儀表的滿量程值絕對誤差與儀表的滿量程值A之比。之比。Page 68.2 8.2 隨機誤差隨機誤差隨機誤差分布規(guī)律隨機誤差分布規(guī)律正態(tài)分布正態(tài)分布式中，式中，測量值（隨機變量）；測量值（隨機變量）；被測量的平均值，表征測量值平均水平或集中趨勢的被測量的平均值，表征測量值平均水平或集中趨勢的 參數(shù)；參數(shù)；被測量的標準差，表征測量值相對于其中心位置的離被測量的標準差，表征測量值相對于其中心位置的離散程度。散程度。標準正態(tài)分布標準正態(tài)分布將一般正態(tài)分布化為標準正態(tài)分布，令將一般正態(tài)分布化為標準正態(tài)分布，令Page 7隨機誤差分布規(guī)律隨機誤差分布規(guī)律則則 的概率密度函數(shù)為：的概率密度函數(shù)為：誤差落在區(qū)間誤差落在區(qū)間 的概率為：的概率為：其中，其中，稱為置信系數(shù)，稱為置信系數(shù)，稱為置信限，稱為置信限，稱為置信區(qū)稱為置信區(qū)間，概率間，概率P稱為置信水平。表稱為置信水平。表 8-1列出了典型置信區(qū)間與相應置列出了典型置信區(qū)間與相應置信水平之間的關系。信水平之間的關系。8.2 隨機誤差隨機誤差Page 8隨機誤差統(tǒng)計分析隨機誤差統(tǒng)計分析中心趨勢的度量中心趨勢的度量平均值：平均值：中位數(shù)：位于序列中間數(shù)據(jù)的值，或位于中間的兩個數(shù)據(jù)的平中位數(shù)：位于序列中間數(shù)據(jù)的值，或位于中間的兩個數(shù)據(jù)的平 均值（若序列中元素的數(shù)量為偶數(shù)）。均值（若序列中元素的數(shù)量為偶數(shù)）。眾眾 數(shù)：出現(xiàn)概率最大的隨機變量的值。數(shù)：出現(xiàn)概率最大的隨機變量的值。8.2 隨機誤差隨機誤差Page 9隨機誤差統(tǒng)計分析隨機誤差統(tǒng)計分析分散性的度量分散性的度量每次測量的偏差：每次測量的偏差：平均偏差：平均偏差：總體的標準差：總體的標準差：樣本標準差：樣本標準差：8.2 隨機誤差隨機誤差Page 10隨機誤差統(tǒng)計分析隨機誤差統(tǒng)計分析總體均值的區(qū)間估計總體均值的區(qū)間估計在估計總體平均值時，將其表示為在估計總體平均值時，將其表示為或 (8-17)其中，其中，是誤差，是誤差，是樣本平均值。區(qū)間（是樣本平均值。區(qū)間（，）為關）為關于均值的置信區(qū)間。分別稱于均值的置信區(qū)間。分別稱 、為關于均值的置信下為關于均值的置信下限和置信上限。置信區(qū)間取決于置信水平，平均值落入較大區(qū)限和置信上限。置信區(qū)間取決于置信水平，平均值落入較大區(qū)間的置信水平比落入較小區(qū)間的置信水平高。置信水平一般通間的置信水平比落入較小區(qū)間的置信水平高。置信水平一般通過顯著性水平（過顯著性水平（level of significance）表示：表示：(8-18)8.2 隨機誤差隨機誤差Page 11隨機誤差統(tǒng)計分析隨機誤差統(tǒng)計分析(1)(1)大樣本（大樣本（n n3030）事件總體均值的區(qū)間估計）事件總體均值的區(qū)間估計直接應用中心極限定理估計置信區(qū)間。因為直接應用中心極限定理估計置信區(qū)間。因為 是正態(tài)分布的，所以可以使用統(tǒng)計量是正態(tài)分布的，所以可以使用統(tǒng)計量:（8-20）其中，當其中，當 足夠大時，根據(jù)中心極限定理，足夠大時，根據(jù)中心極限定理，的標準差：的標準差：由由（8-18），有，有（8-21）也可以寫成：也可以寫成：（當置信水平為 ）8.2 隨機誤差隨機誤差Page 12隨機誤差統(tǒng)計分析隨機誤差統(tǒng)計分析(2)(2)小樣本小樣本()事件總體均值的區(qū)間估計事件總體均值的區(qū)間估計由于標準差的誤差，小樣本情況下，可以使用由于標準差的誤差，小樣本情況下，可以使用 分布統(tǒng)計量分布統(tǒng)計量:（8-23）與正態(tài)分布不同，與正態(tài)分布不同，分布取決于樣本量。分布取決于樣本量。由由（8-18），有，有（8-26）也可以寫成：也可以寫成：（當置信水平為 ）8.2 隨機誤差隨機誤差Page 13隨機誤差統(tǒng)計分析隨機誤差統(tǒng)計分析總體方差的區(qū)間估計總體方差的區(qū)間估計總體方差總體方差 的最佳估計是樣本方差的最佳估計是樣本方差 ，對于正態(tài)分布的總體，可以，對于正態(tài)分布的總體，可以應用應用 統(tǒng)計量估計置信區(qū)間。設隨機變量的平均值為統(tǒng)計量估計置信區(qū)間。設隨機變量的平均值為，標準差為，標準差為，則，則有：有：（8-28）變量變量 被定義為：被定義為：（8-29）聯(lián)立式聯(lián)立式(8-28)和和(8-29)，有，有（8-30）8.2 隨機誤差隨機誤差Page 14隨機誤差統(tǒng)計分析隨機誤差統(tǒng)計分析 是隨機變量，在正態(tài)分布總體的情況下是隨機變量，在正態(tài)分布總體的情況下不同自由不同自由度的度的概率密度函數(shù)概率密度函數(shù)曲線如右圖所示。曲線如右圖所示。變量變量 在任意兩個值之間的取值概率等于曲線下這兩值之間的面積：在任意兩個值之間的取值概率等于曲線下這兩值之間的面積：（8-32）為顯著性水平，按式為顯著性水平，按式（8-29）得：得：（8-33）則總體方差的置信區(qū)間為：則總體方差的置信區(qū)間為：（8-34）8.2 隨機誤差隨機誤差Page 15可疑數(shù)據(jù)的取舍可疑數(shù)據(jù)的取舍萊茵達準則（萊茵達準則（3 3準則）準則）若測量值只含有隨機誤差，且按正態(tài)分布，則測量數(shù)據(jù)落在置信區(qū)間若測量值只含有隨機誤差，且按正態(tài)分布，則測量數(shù)據(jù)落在置信區(qū)間 以外的概率只有以外的概率只有0.27%0.27%。萊茵達準則規(guī)定，如果實測數(shù)據(jù)的誤差滿足以下條件萊茵達準則規(guī)定，如果實測數(shù)據(jù)的誤差滿足以下條件 則將則將 作為異常數(shù)據(jù)處理。作為異常數(shù)據(jù)處理。注：根據(jù)統(tǒng)計學原理，萊因達準則不適用于測量次數(shù)注：根據(jù)統(tǒng)計學原理，萊因達準則不適用于測量次數(shù) 的場合。的場合。8.2 隨機誤差隨機誤差Page 16可疑數(shù)據(jù)的取舍可疑數(shù)據(jù)的取舍肖維納準則肖維納準則肖維納準則也是以正態(tài)分布為前提，規(guī)定在肖維納準則也是以正態(tài)分布為前提，規(guī)定在n n次測量中，某一誤差可能出現(xiàn)的次測量中，某一誤差可能出現(xiàn)的次數(shù)小于半次就被認為是過失誤差。次數(shù)小于半次就被認為是過失誤差。設任一次測量值的誤差落在區(qū)間設任一次測量值的誤差落在區(qū)間 的概率為的概率為，則誤差落在置信區(qū)，則誤差落在置信區(qū) 間間 之外的概率為之外的概率為對于對于n n次測量，令隨機誤差落在置信區(qū)間次測量，令隨機誤差落在置信區(qū)間 之外的次數(shù)等于之外的次數(shù)等于1/21/2，則有，則有于是于是8.2 隨機誤差隨機誤差Page 17可疑數(shù)據(jù)的取舍可疑數(shù)據(jù)的取舍則由式（則由式（8-108-10）得：）得：若已知測量次數(shù)若已知測量次數(shù) ，則可求出滿足肖維納準則的，則可求出滿足肖維納準則的 ，再由積分表查得置信，再由積分表查得置信系數(shù)系數(shù) 。根據(jù)肖維納準則，若某次測量所得誤差絕對值大于相應的置信限根據(jù)肖維納準則，若某次測量所得誤差絕對值大于相應的置信限 ，應予，應予舍棄。舍棄。8.2 隨機誤差隨機誤差Page 18可疑數(shù)據(jù)的取舍可疑數(shù)據(jù)的取舍格拉布斯準則格拉布斯準則格拉布斯法假定測量結果服從正態(tài)分布，根據(jù)順序統(tǒng)計量來確定可疑數(shù)據(jù)的格拉布斯法假定測量結果服從正態(tài)分布，根據(jù)順序統(tǒng)計量來確定可疑數(shù)據(jù)的取舍。進行取舍。進行n n次重復試驗，試驗結果為次重復試驗，試驗結果為 ，且，且 服從正態(tài)分布。為服從正態(tài)分布。為了檢驗了檢驗 中是否有可疑值，可將其值由小到大順序重新排列，根據(jù)順序中是否有可疑值，可將其值由小到大順序重新排列，根據(jù)順序統(tǒng)計原則，給出標準化順序統(tǒng)計量統(tǒng)計原則，給出標準化順序統(tǒng)計量g g：當最小值當最小值 可疑時，則：可疑時，則：當最大值當最大值 可疑時，則：可疑時，則：8.2 隨機誤差隨機誤差Page 19可疑數(shù)據(jù)的取舍可疑數(shù)據(jù)的取舍根據(jù)格拉布斯統(tǒng)計量的分布，在給定的顯著性水平根據(jù)格拉布斯統(tǒng)計量的分布，在給定的顯著性水平（一般（一般=0.05=0.05）下，查）下，查得判別可疑值的臨界值得判別可疑值的臨界值 ，見表，見表8-48-4。該檢驗的拒絕域為：。該檢驗的拒絕域為：即標準化順序統(tǒng)計量大于其臨界值，即可認為其相應數(shù)據(jù)為粗大誤差影響的可疑數(shù)即標準化順序統(tǒng)計量大于其臨界值，即可認為其相應數(shù)據(jù)為粗大誤差影響的可疑數(shù)據(jù)。利用格拉布斯準則每次只能舍棄一個可疑值，若有兩個以上的可疑數(shù)據(jù)，應該據(jù)。利用格拉布斯準則每次只能舍棄一個可疑值，若有兩個以上的可疑數(shù)據(jù)，應該一個一個數(shù)據(jù)地判斷。即舍棄第一個數(shù)據(jù)后，試驗次數(shù)由一個一個數(shù)據(jù)地判斷。即舍棄第一個數(shù)據(jù)后，試驗次數(shù)由n n變?yōu)樽優(yōu)閚-1n-1，以此為基礎再，以此為基礎再判別第二個可疑數(shù)據(jù)。判別第二個可疑數(shù)據(jù)。8.2 隨機誤差隨機誤差Page 20可疑數(shù)據(jù)的取舍可疑數(shù)據(jù)的取舍t(yī)檢驗準則檢驗準則 檢驗準則是將測量列的檢驗準則是將測量列的 個測得值中可疑的測得值個測得值中可疑的測得值 先剔除，然后按余下先剔除，然后按余下的的 個數(shù)據(jù)計算算術平均值個數(shù)據(jù)計算算術平均值 和標準差和標準差 值，再判斷數(shù)據(jù)值，再判斷數(shù)據(jù) 是否含有粗大是否含有粗大誤差誤差。（不含 ）（不含 ）根據(jù)測量次數(shù)根據(jù)測量次數(shù) 和所選取的顯著度和所選取的顯著度 ，從表，從表8-5中查得中查得 k 值。若所懷疑的數(shù)據(jù)值。若所懷疑的數(shù)據(jù) 滿足下式：滿足下式：則可認為則可認為 為可疑數(shù)據(jù)，應予以剔除。為可疑數(shù)據(jù)，應予以剔除。8.2 隨機誤差隨機誤差Page 218.3 8.3 系統(tǒng)誤差系統(tǒng)誤差任何測量過程首先要注意發(fā)現(xiàn)與減小系統(tǒng)誤差，確保把它限制在允許的任何測量過程首先要注意發(fā)現(xiàn)與減小系統(tǒng)誤差，確保把它限制在允許的范圍內(nèi)。對于在實驗中無法補償?shù)南到y(tǒng)誤差，應對測量結果進行修正。系統(tǒng)范圍內(nèi)。對于在實驗中無法補償?shù)南到y(tǒng)誤差，應對測量結果進行修正。系統(tǒng)誤差有恒值系統(tǒng)誤差和變值系統(tǒng)誤差。恒值系統(tǒng)誤差（固定系統(tǒng)誤差）是在誤差有恒值系統(tǒng)誤差和變值系統(tǒng)誤差。恒值系統(tǒng)誤差（固定系統(tǒng)誤差）是在整個測量過程中的大小和符號都不變的誤差。變值系統(tǒng)誤差是指在測量過程整個測量過程中的大小和符號都不變的誤差。變值系統(tǒng)誤差是指在測量過程中大小和符號都可能變化的誤差，變化規(guī)律可分為三種：中大小和符號都可能變化的誤差，變化規(guī)律可分為三種：1)1)線性變化測量過程中誤差值隨某些因素作線性變化。線性變化測量過程中誤差值隨某些因素作線性變化。2)2)周期性變化系統(tǒng)誤差的數(shù)值或符號隨某些因素按周期規(guī)律變化。例周期性變化系統(tǒng)誤差的數(shù)值或符號隨某些因素按周期規(guī)律變化。例如，軋輥有偏心，軋制時的精度誤差。如，軋輥有偏心，軋制時的精度誤差。3)3)復雜規(guī)律變化按復雜規(guī)律，例如按指數(shù)規(guī)律變化。復雜規(guī)律變化按復雜規(guī)律，例如按指數(shù)規(guī)律變化。Page 22系統(tǒng)誤差對測量結果的影響系統(tǒng)誤差對測量結果的影響恒恒值值系統(tǒng)誤差對測量結果的影響系統(tǒng)誤差對測量結果的影響如果在多次重復測量時存在恒值誤差，則一組測量值如果在多次重復測量時存在恒值誤差，則一組測量值 中的每一個中的每一個都含有恒值系統(tǒng)誤差都含有恒值系統(tǒng)誤差 。于是，不含系統(tǒng)誤差的測量值應為。于是，不含系統(tǒng)誤差的測量值應為其算術平均值為其算術平均值為由偏差的定義，有由偏差的定義，有恒值系統(tǒng)誤差只影響一系列重復測得值的算術平均值恒值系統(tǒng)誤差只影響一系列重復測得值的算術平均值 ，對測得值的偏差，對測得值的偏差 沒有影沒有影響，即不影響隨機誤差的分散性及精度參數(shù)。響，即不影響隨機誤差的分散性及精度參數(shù)。8.3 系統(tǒng)誤差系統(tǒng)誤差Page 23系統(tǒng)誤差對測量結果的影響系統(tǒng)誤差對測量結果的影響變值變值系統(tǒng)誤差對測量結果的影響系統(tǒng)誤差對測量結果的影響變變值值系系統(tǒng)統(tǒng)誤誤差差對對每每個個測測量量值值有有不不同同的的影影響響，但但有有規(guī)規(guī)律律，不不是是隨隨機機性性的的。設設有有一一系系列列測測得得值值 ，并并含含有有變變值值系系統(tǒng)統(tǒng)誤誤差差 ，則則不不含含系系統(tǒng)統(tǒng)誤誤差差的測量值為的測量值為其平均值為其平均值為如果測量中含有變值系統(tǒng)誤差，它將以算術平均值的形式影響測量結果，應在消如果測量中含有變值系統(tǒng)誤差，它將以算術平均值的形式影響測量結果，應在消除或校正后，以除或校正后，以 作為測量結果。作為測量結果。在偏差在偏差 的計算中有的計算中有偏差偏差 受變值系統(tǒng)誤差的影響，即變值系統(tǒng)誤差影響測量結果的精確度。受變值系統(tǒng)誤差的影響，即變值系統(tǒng)誤差影響測量結果的精確度。8.3 系統(tǒng)誤差系統(tǒng)誤差Page 24系統(tǒng)誤差的識別與修正系統(tǒng)誤差的識別與修正恒恒值值系統(tǒng)誤差判別方法系統(tǒng)誤差判別方法（1 1）對比檢定法）對比檢定法在在確確認認沒沒有有明明顯顯變變值值系系統(tǒng)統(tǒng)誤誤差差的的前前提提下下，可可以以改改用用更更理理想想的的測測量量條條件件，進進行行檢檢定定性性測測量量。以以此此兩兩種種不不同同的的測測量量條條件件對對同同一一量量值值進進行行次次數(shù)數(shù)相相同同的的重重復復測測量量，求求出出兩者算術平均值之差，則該差值即為被判斷的測量條件下的定值系統(tǒng)誤差。兩者算術平均值之差，則該差值即為被判斷的測量條件下的定值系統(tǒng)誤差。（2 2）均值與標準差比較法）均值與標準差比較法對對同同一一量量值值在在測測量量條條件件不不同同，測測量量次次數(shù)數(shù)也也不不同同的的情情況況下下進進行行兩兩組組（或或多多組組）測測量量。由由于于 和和 是是服服從從正正態(tài)態(tài)分分布布的的隨隨機機變變量量，故故其其差差值值 也也服服從從正正態(tài)態(tài)分分布布（其其分分布布的的平平均均值值為為零零，方方差差為為 ）。因因此此，可可用用區(qū)區(qū)間間的的概概率率估估計計原原理理來來判判斷斷是否有恒值系統(tǒng)誤差，即是否有恒值系統(tǒng)誤差，即8.3 系統(tǒng)誤差系統(tǒng)誤差Page 25系統(tǒng)誤差的識別與修正系統(tǒng)誤差的識別與修正在給定置信概率在給定置信概率 時，若無定值系統(tǒng)誤差，則時，若無定值系統(tǒng)誤差，則 應不超過應不超過 ；如；如果超出，則可認為果超出，則可認為 與與 的差異不只是受隨機誤差影響，而且還有恒值系統(tǒng)的差異不只是受隨機誤差影響，而且還有恒值系統(tǒng)誤差存在。這樣判斷的置信概率為誤差存在。這樣判斷的置信概率為 。8.3 系統(tǒng)誤差系統(tǒng)誤差Page 26系統(tǒng)誤差的識別與修正系統(tǒng)誤差的識別與修正變值變值系統(tǒng)誤差判別方法系統(tǒng)誤差判別方法（1 1）偏差觀察法）偏差觀察法偏偏差差觀觀察察法法是是將將一一系系列列等等精精度度測測量量值值，按按測測量量的的先先后后順順序序把把測測得得值值及及其其偏偏差差值值列列表表，觀觀察察其其偏偏差差數(shù)數(shù)值值及及其其符符號號的的變變化化規(guī)規(guī)律律。若若偏偏差差數(shù)數(shù)值值有有規(guī)規(guī)律律的的遞遞增增或或遞遞減減，并并且且在在測測量量開開始始和和結結束束時時偏偏差差符符號號相相反反，則則可可判判定定該該測測量量列列含含有有線線性性系系統(tǒng)統(tǒng)誤誤差差。若若在在某某一一測測量量條條件件時時，偏偏差差基基本本上上保保持持相相同同符符號號，當當變變?yōu)闉榱砹硪灰粶y測試試條條件件時時偏偏差差均均變變號號，則則表表明明測測量量中中含含有有隨隨測測量量條條件件而而變變的的恒恒值值系系統(tǒng)統(tǒng)誤誤差差。若若偏偏差差的的符符號號有有規(guī)規(guī)律律地地由由正正變變負負，再再由由負負變變正正，或或循循環(huán)環(huán)交交替變化多次，則可判定該測量序列含有周期性誤差。替變化多次，則可判定該測量序列含有周期性誤差。8.3 系統(tǒng)誤差系統(tǒng)誤差Page 27系統(tǒng)誤差的識別與修正系統(tǒng)誤差的識別與修正（2 2）偏差核算法）偏差核算法將測得值按測量先后順序排列，并將其分為前半組將測得值按測量先后順序排列，并將其分為前半組k k個和后半組個和后半組k k個，兩組個，兩組分別求和后相減，有分別求和后相減，有當測量次數(shù)當測量次數(shù)n足夠多時，足夠多時，所以，所以上式表明前后兩部分偏差和的差值取決于系統(tǒng)誤差，因線性系統(tǒng)誤差前后上式表明前后兩部分偏差和的差值取決于系統(tǒng)誤差，因線性系統(tǒng)誤差前后兩組的符號相反，則兩組的符號相反，則 值將隨值將隨n n的增大而增大。因此，若的增大而增大。因此，若 值顯著不為零，則說值顯著不為零，則說明測量列中含有線性系統(tǒng)誤差。明測量列中含有線性系統(tǒng)誤差。8.3 系統(tǒng)誤差系統(tǒng)誤差Page 28系統(tǒng)誤差的識別與修正系統(tǒng)誤差的識別與修正（3 3）阿貝）阿貝 赫梅特判據(jù)赫梅特判據(jù)阿貝阿貝 赫梅特判據(jù)為：只要測量列滿足下式，就認為該測量列有周期性赫梅特判據(jù)為：只要測量列滿足下式，就認為該測量列有周期性系統(tǒng)誤差存在。系統(tǒng)誤差存在。8.3 系統(tǒng)誤差系統(tǒng)誤差Page 29系統(tǒng)誤差的識別與修正系統(tǒng)誤差的識別與修正系統(tǒng)誤差的修正系統(tǒng)誤差的修正（1 1）恒值系統(tǒng)誤差的修正方法）恒值系統(tǒng)誤差的修正方法a)a)代替法；代替法；b)b)相消法；相消法；c)c)對換法。對換法。8.3 系統(tǒng)誤差系統(tǒng)誤差Page 30系統(tǒng)誤差的識別與修正系統(tǒng)誤差的識別與修正（2 2）線性變化系統(tǒng)誤差的修正方法）線性變化系統(tǒng)誤差的修正方法例如測量電阻，例如測量電阻，為被測電阻，為被測電阻，為已知電阻。設回路電流為已知電阻。設回路電流 隨時間線隨時間線性降低，可用對稱測量法修正該線性誤差，方法如下：性降低，可用對稱測量法修正該線性誤差，方法如下：第一次測第一次測 兩端電壓為：兩端電壓為：第二次測第二次測 兩端電壓為：兩端電壓為：第三次測第三次測 兩端電壓為：兩端電壓為：8.3 系統(tǒng)誤差系統(tǒng)誤差Page 31系統(tǒng)誤差的識別與修正系統(tǒng)誤差的識別與修正因電流下降是線性變化的，所以因電流下降是線性變化的，所以從上式可看出，因電流變化而引起的系統(tǒng)誤差已被修正。從上式可看出，因電流變化而引起的系統(tǒng)誤差已被修正。8.3 系統(tǒng)誤差系統(tǒng)誤差Page 32系統(tǒng)誤差的識別與修正系統(tǒng)誤差的識別與修正（3 3）周期性變化系統(tǒng)誤差的修正）周期性變化系統(tǒng)誤差的修正只要讀取相隔半周期的兩次測量值，然后取平均值為測量結果，即可修只要讀取相隔半周期的兩次測量值，然后取平均值為測量結果，即可修正周期性變化的系統(tǒng)誤差。這是因為根據(jù)周期性變化系統(tǒng)誤差的變化規(guī)律，正周期性變化的系統(tǒng)誤差。這是因為根據(jù)周期性變化系統(tǒng)誤差的變化規(guī)律，有：有：變化半周期即變化半周期即 時，有時，有取取 和和 的算術平均值，有的算術平均值，有 8.3 系統(tǒng)誤差系統(tǒng)誤差Page 33系統(tǒng)誤差的識別與修正系統(tǒng)誤差的識別與修正系統(tǒng)誤差修正準則系統(tǒng)誤差修正準則如如果果系系統(tǒng)統(tǒng)誤誤差差或或偏偏差差代代數(shù)數(shù)和和的的絕絕對對值值不不超超過過測測量量結結果果總總誤誤差差絕絕對對值值最最后后一一位位有有效效數(shù)數(shù)字字的的一一半半，就就認認為為系系統(tǒng)統(tǒng)誤誤差差已已被被修修正正。測測量量結結果果的的總總誤誤差差，一一般般只只用用一位或兩位有效數(shù)字表示，可用公式來表達上述準則。一位或兩位有效數(shù)字表示，可用公式來表達上述準則。設測量結果的總誤差絕對值為設測量結果的總誤差絕對值為 ，殘余系統(tǒng)誤差的代數(shù)和為，殘余系統(tǒng)誤差的代數(shù)和為 。當。當 用用兩位有效數(shù)字表示時兩位有效數(shù)字表示時當當 用一位有效數(shù)字表示時用一位有效數(shù)字表示時只要滿足上述條件，就可認為已修正系統(tǒng)誤差對測量結果的影響。只要滿足上述條件，就可認為已修正系統(tǒng)誤差對測量結果的影響。8.3 系統(tǒng)誤差系統(tǒng)誤差Page 34消除系統(tǒng)誤差的措施消除系統(tǒng)誤差的措施從產(chǎn)生誤差根源上消除系統(tǒng)誤差從產(chǎn)生誤差根源上消除系統(tǒng)誤差從產(chǎn)生誤差根源上消除誤差是最根本的方法，它要求測量人員對測量從產(chǎn)生誤差根源上消除誤差是最根本的方法，它要求測量人員對測量過程中可能產(chǎn)生系統(tǒng)誤差的環(huán)節(jié)作仔細分析，并在測量前就將誤差從產(chǎn)生過程中可能產(chǎn)生系統(tǒng)誤差的環(huán)節(jié)作仔細分析，并在測量前就將誤差從產(chǎn)生根源上加以消除。根源上加以消除。用修正方法消除系統(tǒng)誤差用修正方法消除系統(tǒng)誤差預先將測量器具的系統(tǒng)誤差檢定出來或計算出來，做出誤差表或誤差預先將測量器具的系統(tǒng)誤差檢定出來或計算出來，做出誤差表或誤差曲線，然后取與誤差數(shù)值大小相同、符號相反的值作為修正值。曲線，然后取與誤差數(shù)值大小相同、符號相反的值作為修正值。8.3 系統(tǒng)誤差系統(tǒng)誤差Page 358.4 8.4 間接測量中的誤差計算間接測量中的誤差計算間接測試參量的估計值間接測試參量的估計值間接測量量間接測量量 一般可以表示為相互獨立的直接測量量一般可以表示為相互獨立的直接測量量 的函的函數(shù)：數(shù)：由于各直接測得的參量由于各直接測得的參量 都是隨機變量，間接測量量都是隨機變量，間接測量量 是隨是隨機變量的函數(shù)，其分布參數(shù)（均值和標準差等）通常需要根據(jù)其自變量的機變量的函數(shù)，其分布參數(shù)（均值和標準差等）通常需要根據(jù)其自變量的分布參數(shù)計算。計算隨機變量函數(shù)分布參數(shù)的常用方法是矩法。分布參數(shù)計算。計算隨機變量函數(shù)分布參數(shù)的常用方法是矩法。在各隨機變量在各隨機變量 的均值處做泰勒級數(shù)展開，有：的均值處做泰勒級數(shù)展開，有：上式即為間接測量量均值的近似估計。上式即為間接測量量均值的近似估計。Page 36間接測量誤差計算間接測量誤差計算間接測量參數(shù)為間接測量參數(shù)為 與各直接測量參數(shù)為與各直接測量參數(shù)為 ，二者之間的函數(shù)關，二者之間的函數(shù)關系為系為 ，進行微分運算有，進行微分運算有令令 ，并用增量代替微分，有：，并用增量代替微分，有：的可能最大誤差的可能最大誤差為：為：的的最佳估計為：最佳估計為：的的相對誤差為：相對誤差為：8.4 間接測量中的誤差計算間接測量中的誤差計算Page 378.5 8.5 誤差分析與測試數(shù)據(jù)處理誤差分析與測試數(shù)據(jù)處理系統(tǒng)誤差和隨機誤差成分分析系統(tǒng)誤差和隨機誤差成分分析隨機誤差一般通過重復測量某一變量來測定，可用測得的數(shù)據(jù)計算測量隨機誤差一般通過重復測量某一變量來測定，可用測得的數(shù)據(jù)計算測量樣本標準差。在誤差分析中，隨機誤差反映為精密度指數(shù)樣本標準差。在誤差分析中，隨機誤差反映為精密度指數(shù) ?？梢岳每梢岳?統(tǒng)計量估計單個測量統(tǒng)計量估計單個測量 的精密度極限的精密度極限:式中，式中，為置信水平（例如為置信水平（例如95%）和自由度）和自由度 （）的函數(shù)。）的函數(shù)。變量變量 的隨機誤差區(qū)間（置信區(qū)間）是的隨機誤差區(qū)間（置信區(qū)間）是 。因為用于估計。因為用于估計 的樣本的樣本容量一般較?。ㄈ萘恳话爿^小（），所以經(jīng)常采用），所以經(jīng)常采用 分布而不是正態(tài)分布。當樣本容量分布而不是正態(tài)分布。當樣本容量大于大于30，正態(tài)分布與，正態(tài)分布與 分布基本上是相同的。分布基本上是相同的。平均值的標準差平均值的標準差 與測量值的標準差與測量值的標準差 之間的關系為：之間的關系為：Page 38系統(tǒng)誤差和隨機誤差成分分析系統(tǒng)誤差和隨機誤差成分分析平均值的誤差為平均值的誤差為:平均值的隨機誤差帶（置信區(qū)間）表示為平均值的隨機誤差帶（置信區(qū)間）表示為 。如果測量條件不變，則系統(tǒng)誤差不變。因此，需要用置信區(qū)間而不是置如果測量條件不變，則系統(tǒng)誤差不變。因此，需要用置信區(qū)間而不是置信水平來定義準確度誤差極限的可信度。通常要求系統(tǒng)誤差的置信區(qū)間與隨信水平來定義準確度誤差極限的可信度。通常要求系統(tǒng)誤差的置信區(qū)間與隨機誤差的置信水平相對應，例如機誤差的置信水平相對應，例如95%的置信水平用于隨機誤差，同時的置信水平用于隨機誤差，同時95%的的置信區(qū)間用于系統(tǒng)誤差。置信區(qū)間用于系統(tǒng)誤差。a)單次測量測量值誤差圖單次測量測量值誤差圖 b)多次測量均值誤差圖多次測量均值誤差圖 8.5 誤差分析與測試數(shù)據(jù)處理誤差分析與測試數(shù)據(jù)處理Page 39系統(tǒng)誤差和隨機誤差成分分析系統(tǒng)誤差和隨機誤差成分分析在在圖圖a中中，如如果果進進行行了了大大量量的的測測量量，可可以以預預測測出出正正態(tài)態(tài)的的頻頻率率分分布布。曲曲線線的的頂頂點點在在總總體體均均值值處處，由由于于系系統(tǒng)統(tǒng)誤誤差差B，該該均均值值不不同同于于x x的的真真值值。一一個個測測量量讀讀數(shù)數(shù) 偏偏離離總總體體均均值值并并且且存存在在關關于于讀讀數(shù)數(shù) 的的隨隨機機誤誤差差帶帶。圖圖b顯顯示示多多次次測測量量的的情情形形。樣樣本本均均值值不不同同于于總總體體均均值值，存存在在隨隨機機誤誤差差帶帶 。多多次次測測量量均均值值的的隨隨機機誤差帶誤差帶 比單次測量測量值的隨機誤差帶比單次測量測量值的隨機誤差帶 窄。窄。為了合成隨機誤差和系統(tǒng)誤差，要使用均方根公式為了合成隨機誤差和系統(tǒng)誤差，要使用均方根公式:誤差誤差 的置信水平與的置信水平與 的置信水平相同。的置信水平相同。系系統(tǒng)統(tǒng)誤誤差差帶帶不不必必是是對對稱稱的的。在在不不對對稱稱情情況況下下，上上式式必必須須應應用用2 2次次，一一次次獲得正方向的綜合誤差，另一次獲得負方向的綜合誤差。獲得正方向的綜合誤差，另一次獲得負方向的綜合誤差。8.5 誤差分析與測試數(shù)據(jù)處理誤差分析與測試數(shù)據(jù)處理Page 40系統(tǒng)誤差和隨機誤差成分分析系統(tǒng)誤差和隨機誤差成分分析為了獲得測量的系統(tǒng)誤差和隨機誤差，必須合成基本系統(tǒng)誤差和隨機誤為了獲得測量的系統(tǒng)誤差和隨機誤差，必須合成基本系統(tǒng)誤差和隨機誤差，這個過程如圖：差，這個過程如圖：各項誤差用均方根合成：各項誤差用均方根合成：，8.5 誤差分析與測試數(shù)據(jù)處理誤差分析與測試數(shù)據(jù)處理Page 41系統(tǒng)誤差和隨機誤差成分分析系統(tǒng)誤差和隨機誤差成分分析例例8.4 8.4 在在估估計計一一個個氣氣田田的的天天然然氣氣燃燃燒燒值值過過程程中中，取取了了1010個個樣樣本本并并且且用用熱熱量量計計測測量量每每個個樣樣本本的的燃燃燒燒值值，以以kJ/kg為為單單位位測測得得的的值值為為4853048530，5021050210，4986049860，4856048560，4954049540，4927049270，4885048850，4932049320，4868048680，4898048980。假假設設熱熱量量計計在在測測量量中中沒沒有有產(chǎn)產(chǎn)生生任任何何的的系系統(tǒng)統(tǒng)誤誤差差，試試用用95%95%的的置置信信水水平平計計算算每每次次測測量量的的隨隨機機誤差和測量均值的隨機誤差。誤差和測量均值的隨機誤差。解：若解：若 表示燃燒值，則平均值為表示燃燒值，則平均值為 樣品的標準差（精密度指數(shù)）為樣品的標準差（精密度指數(shù)）為 8.5 誤差分析與測試數(shù)據(jù)處理誤差分析與測試數(shù)據(jù)處理Page 42系統(tǒng)誤差和隨機誤差成分分析系統(tǒng)誤差和隨機誤差成分分析使用置信水平使用置信水平95%的的 分布（表分布（表8-2）和）和10-1=9的自由度，可以查得的自由度，可以查得 值為：值為：于是，每個樣本的隨機誤差為：于是，每個樣本的隨機誤差為：kJ/kg由于由于 ，均值的隨機誤差為：，均值的隨機誤差為：kJ/kg 8.5 誤差分析與測試數(shù)據(jù)處理誤差分析與測試數(shù)據(jù)處理Page 43有效數(shù)字及其運算規(guī)則有效數(shù)字及其運算規(guī)則有效數(shù)字有效數(shù)字含有誤差的任何近似數(shù)，如果其絕對誤差的絕對值不超過近似數(shù)的半個含有誤差的任何近似數(shù)，如果其絕對誤差的絕對值不超過近似數(shù)的半個單位，那么這個近似數(shù)左方起的第一個非零的數(shù)字，稱為第一位有效數(shù)字。單位，那么這個近似數(shù)左方起的第一個非零的數(shù)字，稱為第一位有效數(shù)字。從第一位有效數(shù)字起到最末一位數(shù)字止的所有數(shù)字（包括零）都叫有效數(shù)字。從第一位有效數(shù)字起到最末一位數(shù)字止的所有數(shù)字（包括零）都叫有效數(shù)字。例如取例如取n=3.14159n=3.14159，第一位有效數(shù)字為，第一位有效數(shù)字為3 3，共有六位有效位數(shù)；又如，共有六位有效位數(shù)；又如0.002700.00270，第一位有效數(shù)字為第一位有效數(shù)字為2 2，共有三位有效位數(shù)。若近似數(shù)的右邊帶有若干個零，通，共有三位有效位數(shù)。若近似數(shù)的右邊帶有若干個零，通常把這個近似數(shù)寫成常把這個近似數(shù)寫成a 10n形式形式（1a10）。如。如2.400 103，表示四位有效，表示四位有效位數(shù)。最末一位有效數(shù)字取到哪，是由測量精度來決定的最末一位有效數(shù)位數(shù)。最末一位有效數(shù)字取到哪，是由測量精度來決定的最末一位有效數(shù)字應與測量精度同量級。測量結果應保留的位數(shù)原則是，其最末一位數(shù)字是字應與測量精度同量級。測量結果應保留的位數(shù)原則是，其最末一位數(shù)字是不可靠的，而倒數(shù)第二位數(shù)字應是可靠的。測量誤差一般取不可靠的，而倒數(shù)第二位數(shù)字應是可靠的。測量誤差一般取1-2位有效數(shù)字。位有效數(shù)字。8.5 誤差分析與測試數(shù)據(jù)處理誤差分析與測試數(shù)據(jù)處理Page 44有效數(shù)字及其運算規(guī)則有效數(shù)字及其運算規(guī)則數(shù)字舍入規(guī)則數(shù)字舍入規(guī)則對于位數(shù)很多的近似數(shù)，當有效位數(shù)確定后，其后面多余的數(shù)字應予舍對于位數(shù)很多的近似數(shù)，當有效位數(shù)確定后，其后面多余的數(shù)字應予舍去，而保留的有效數(shù)字最末一位數(shù)字應按下面的舍入規(guī)則進行湊整：去，而保留的有效數(shù)字最末一位數(shù)字應按下面的舍入規(guī)則進行湊整：:1)1)若舍去部分的數(shù)值，大于保留部分的末位的半個單位，則末位加若舍去部分的數(shù)值，大于保留部分的末位的半個單位，則末位加1,1,2)2)若舍去部分的數(shù)值，小于保留部分的末位的半個單位，則末位不變。若舍去部分的數(shù)值，小于保留部分的末位的半個單位，則末位不變。3)3)若若舍舍去去部部分分的的數(shù)數(shù)值值，等等于于保保留留部部分分的的末末位位的的半半個個單單位位，則則末末位位湊湊成成偶數(shù)當末位為偶數(shù)時末位不變，當末位為奇數(shù)時則末加。偶數(shù)當末位為偶數(shù)時末位不變，當末位為奇數(shù)時則末加。8.5 誤差分析與測試數(shù)據(jù)處理誤差分析與測試數(shù)據(jù)處理Page 45有效數(shù)字及其運算規(guī)則有效數(shù)字及其運算規(guī)則數(shù)據(jù)運算規(guī)則數(shù)據(jù)運算規(guī)則1)1)在近似數(shù)加減運算時，各運算數(shù)據(jù)以小數(shù)位數(shù)最少的數(shù)據(jù)位數(shù)為準，其在近似數(shù)加減運算時，各運算數(shù)據(jù)以小數(shù)位數(shù)最少的數(shù)據(jù)位數(shù)為準，其余各數(shù)據(jù)可多取一位小數(shù)，但最后結果應與小數(shù)位數(shù)最少的數(shù)據(jù)小數(shù)位相同。余各數(shù)據(jù)可多取一位小數(shù)，但最后結果應與小數(shù)位數(shù)最少的數(shù)據(jù)小數(shù)位相同。2)2)在近似數(shù)乘除運算時，各運算數(shù)據(jù)以有效位數(shù)最少的數(shù)據(jù)位數(shù)為準，在近似數(shù)乘除運算時，各運算數(shù)據(jù)以有效位數(shù)最少的數(shù)據(jù)位數(shù)為準，其余各數(shù)據(jù)要比有效位數(shù)最少的數(shù)據(jù)位數(shù)多取一位數(shù)字，而最后結果應與有效其余各數(shù)據(jù)要比有效位數(shù)最少的數(shù)據(jù)位數(shù)多取一位數(shù)字，而最后結果應與有效位數(shù)最少的數(shù)據(jù)位數(shù)相同。位數(shù)最少的數(shù)據(jù)位數(shù)相同。3)3)在近似數(shù)平方或開方運算時，平方相當于乘法運算，開方是平方的逆在近似數(shù)平方或開方運算時，平方相當于乘法運算，開方是平方的逆運算，故可按乘除運算處理。運算，故可按乘除運算處理。4)4)在對數(shù)運算時，在對數(shù)運算時，n n位有效數(shù)字的數(shù)據(jù)應該用位有效數(shù)字的數(shù)據(jù)應該用n n位對數(shù)表，或用（位對數(shù)表，或用（n+1n+1）位）位對數(shù)表，以免損失精度。對數(shù)表，以免損失精度。5)5)三角函數(shù)運算中，所取函數(shù)值的位數(shù)應隨角度誤差的減小而增多，其三角函數(shù)運算中，所取函數(shù)值的位數(shù)應隨角度誤差的減小而增多，其對應關系如表對應關系如表8-88-8所示。所示。8.5 誤差分析與測試數(shù)據(jù)處理誤差分析與測試數(shù)據(jù)處理Page 46測量最終結果的誤差測量最終結果的誤差單樣本測量最終結果的誤差單樣本測量最終結果的誤差結果結果 是由是由n n個測量變量個測量變量 所組成的函數(shù)，即所組成的函數(shù)，即 ,那那么結果的系統(tǒng)誤差么結果的系統(tǒng)誤差 和精密度指數(shù)和精密度指數(shù) 可以由下式計算：可以由下式計算：偏導數(shù)偏導數(shù) 被稱為靈敏度系數(shù)，被稱為靈敏度系數(shù)，式中，式中，為為 分布值。分布值。8.5 誤差分析與測試數(shù)據(jù)處理誤差分析與測試數(shù)據(jù)處理Page 47測量最終結果的誤差測量最終結果的誤差多樣本測量最終結果的誤差多樣本測量最終結果的誤差在一些試驗中可能進行多樣本試驗來確定在一些試驗中可能進行多樣本試驗來確定 。在這些情況下，每次試驗可。在這些情況下，每次試驗可獲得結果的值獲得結果的值 。然后可以得到。然后可以得到 的平均值，并且可以通過測量結果的分散性的平均值，并且可以通過測量結果的分散性估計精密度指數(shù)和隨機誤差。結果均值為：估計精密度指數(shù)和隨機誤差。結果均值為：式中有式中有 的的M M組測量值。組測量值。精密度指數(shù)（標準差）可由下式獲得：精密度指數(shù)（標準差）可由下式獲得：8.5 誤差分析與測試數(shù)據(jù)處理誤差分析與測試數(shù)據(jù)處理Page 48測量最終結果的誤差測量最終結果的誤差于是結果的隨機誤差為：于是結果的隨機誤差為：系統(tǒng)誤差的確定方法與單樣本測量相同。最終誤差的估計由下式得出：系統(tǒng)誤差的確定方法與單樣本測量相同。最終誤差的估計由下式得出：8.5 誤差分析與測試數(shù)據(jù)處理誤差分析與測試數(shù)據(jù)處理Page 49誤差分析的步驟誤差分析的步驟1)1)確定測量過程。這一步包括審查試驗任務，識別所有獨立參數(shù)和它們的正常值，確定測量過程。這一步包括審查試驗任務，識別所有獨立參數(shù)和它們的正常值，確定獨立參數(shù)和試驗結果之間的函數(shù)關系。確定獨立參數(shù)和試驗結果之間的函數(shù)關系。2)2)將所有基本誤差源列表。這一步包括對每個被測量參數(shù)制做一個全面和詳細的將所有基本誤差源列表。這一步包括對每個被測量參數(shù)制做一個全面和詳細的全部可能誤差源的列表。全部可能誤差源的列表。3)3)估算基本誤差。這一步必須估計系統(tǒng)誤差和精密度指數(shù)。估算基本誤差。這一步必須估計系統(tǒng)誤差和精密度指數(shù)。4)4)計算每個被測變量的系統(tǒng)誤差和隨機誤差。在這步中要計算在第一步中所識別計算每個被測變量的系統(tǒng)誤差和隨機誤差。在這步中要計算在第一步中所識別變量的系統(tǒng)誤差和精密度指數(shù)。變量的系統(tǒng)誤差和精密度指數(shù)。5)5)利用系統(tǒng)誤差和精密度指數(shù)計算單樣本最終結果誤差。這一步應用均方根關系利用系統(tǒng)誤差和精密度指數(shù)計算單樣本最終結果誤差。這一步應用均方根關系式把被測變量的系統(tǒng)誤差和隨機誤差帶入到單樣本最終試驗結果計算中。式把被測變量的系統(tǒng)誤差和隨機誤差帶入到單樣本最終試驗結果計算中。6)6)計算最終結果的綜合誤差。計算最終結果的綜合誤差。8.5 誤差分析與測試數(shù)據(jù)處理誤差分析與測試數(shù)據(jù)處理Page 50測試數(shù)據(jù)處理測試數(shù)據(jù)處理最小二乘線性擬合最小二乘線性擬合最小二乘法的實質(zhì)是使按回歸方程計算出來的函數(shù)值與實際測量值的差最小二乘法的實質(zhì)是使按回歸方程計算出來的函數(shù)值與實際測量值的差(即即殘差殘差)的平方和最小。假設由實驗數(shù)據(jù)構成的數(shù)據(jù)對的平方和最小。假設由實驗數(shù)據(jù)構成的數(shù)據(jù)對(,)中，對于每個中，對于每個 值值可根據(jù)線性回歸方程可根據(jù)線性回歸方程 預測預測 的值。滿足最小二乘法的的值。滿足最小二乘法的 和和 分別為分別為度量最小二乘直線描述數(shù)據(jù)效果的量是估計的標準誤差，即度量最小二乘直線描述數(shù)據(jù)效果的量是估計的標準誤差，即 8.5 誤差分析與測試數(shù)據(jù)處理誤差分析與測試數(shù)據(jù)處理Page 51測試數(shù)據(jù)處理測試數(shù)據(jù)處理關于最小二乘法，有以下注意事項：關于最小二乘法，有以下注意事項：1)1)測量誤差是在誤差為無偏（即無系統(tǒng)誤差）、正態(tài)分布且相互獨立的條件測量誤差是在誤差為無偏（即無系統(tǒng)誤差）、正態(tài)分布且相互獨立的條件下推導出來的。下推導出來的。2)2)在推導關系式在推導關系式 的過程中，假定的過程中，假定 中存在隨機變量成分，而中存在隨機變量成分，而x x值是值是沒有誤差的。沒有誤差的。3)3)因為誤差在因為誤差在 向被減小，所以，如果在向被減小，所以，如果在 值的基礎上估計值的基礎上估計 值可能得出錯值可能得出錯誤的結論。即誤的結論。即 關于關于 （）的線性回歸不能簡單地由）的線性回歸不能簡單地由 導出。導出。上面的方法容易推廣為多自變量線性函數(shù)，即上面的方法容易推廣為多自變量線性函數(shù)，即 式中，式中，,是自變量；是自變量；是因變量；是因變量；,是多元回歸系數(shù)。這些系是多元回歸系數(shù)。這些系數(shù)的求法與單自變量的情況下的求解相似。數(shù)的求法與單自變量的情況下的求解相似。8.5 誤差分析與測試數(shù)據(jù)處理誤差分析與測試數(shù)據(jù)處理Page 52測試數(shù)據(jù)處理測試數(shù)據(jù)處理曲線回歸轉(zhuǎn)化為直線回歸曲線回歸轉(zhuǎn)化為直線回歸一般可以采用線性化的方法，首先把數(shù)據(jù)關系轉(zhuǎn)換為線性函數(shù)，然后使用線一般可以采用線性化的方法，首先把數(shù)據(jù)關系轉(zhuǎn)換為線性函數(shù)，然后使用線性回歸方法擬合直線。容易轉(zhuǎn)換為線性形式的數(shù)據(jù)關系式包括性回歸方法擬合直線。容易轉(zhuǎn)換為線性形式的數(shù)據(jù)關系式包括 和和 等，以方程等，以方程 為例，對其兩邊取自然對數(shù)，有為例，對其兩邊取自然對數(shù)，有 。由于。由于 是常數(shù)，故是常數(shù)，故 為為 的線性函數(shù)。這樣，就可借助最小二乘法進行回歸分析。的線性函數(shù)。這樣，就可借助最小二乘法進行回歸分析。8.5 誤差分析與測試數(shù)據(jù)處理誤差分析與測試數(shù)據(jù)處理