2015年中考試卷：數學(廣西南寧卷)及答案.doc

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2015年南寧市中考數學試卷 本試卷分第I卷和第II卷，滿分120分，考試時間120分鐘 第I卷（選擇題，共36分） 一、選擇題（本大題共12小題，每小題3分，共36分）每小題都給出代號為（A）、（B）、（C）、（D）四個結論，其中只有一個是正確的．請考生用2B鉛筆在答題卷上將選定的答案標號涂黑． 1．3的絕對值是（ ）． （A）3 （B）-3 （C） （D） 考點：絕對值．． 專題：計算題． 分析：直接根據絕對值的意義求解． 解答：解：|3|=3． 故選A． 點評：本題考查了絕對值：若a＞0，則|a|=a；若a=0，則|a|=0；若a＜0，則|a|=?a． 2．如圖1是由四個大小相同的正方體組成的幾何體，那么它的主視圖是（ ）． 正面 圖1 （A） （B） （C） （D） 考點：簡單組合體的三視圖．． 專題：計算題． 分析：從正面看幾何體得到主視圖即可． 解答：解：根據題意的主視圖為：， 故選B 點評：此題考查了簡單組合體的三視圖，主視圖是從物體的正面看得到的視圖． 3．南寧快速公交（簡稱：BRT）將在今年底開始動工，預計2016年下半年建成并投入試運營，首條BRT西起南寧火車站，東至南寧東站，全長約為11300米，其中數據11300用科學記數法表示為（ ）． A．0．113105 B．1．13104 C．11．3103 D．113102 考點：科學記數法—表示較大的數．． 分析：科學記數法的表示形式為a10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數．確定n的值時，要看把原數變成a時，小數點移動了多少位，n的絕對值與小數點移動的位數相同．當原數絕對值＞1時，n是正數；當原數的絕對值＜1時，n是負數． 解答：解：將11300用科學記數法表示為：1．13104． 故選B． 點評：此題考查科學記數法的表示方法．科學記數法的表示形式為a10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數，表示時關鍵要正確確定a的值以及n的值． 圖2 4．某校男子足球隊的年齡分布如圖2條形圖所示，則這些隊員年齡的眾 數是（ ）． （A）12 （B）13 　 （C）14 （D）15 考點：眾數；條形統(tǒng)計圖．． 分析：根據條形統(tǒng)計圖找到最高的條形圖所表示的年齡數即為眾數． 解答：解：觀察條形統(tǒng)計圖知：為14歲的最多，有8人， 故眾數為14歲， 故選C． 點評：考查了眾數的定義及條形統(tǒng)計圖的知識，解題的關鍵是能夠讀懂條形統(tǒng)計圖及了解眾數的定義，難度較?。? 5．如圖3，一塊含30角的直角三角板ABC的直角頂點A在直線DE上，且BC//DE，則∠CAE等于（ ）． 圖3 （A）30 （B）45 　 （C）60 （D）90 考點：平行線的性質．． 分析：由直角三角板的特點可得：∠C=30，然后根據兩直線平行內錯角相等，即可求∠CAE的度數． 解答：解：∵∠C=30，BC∥DE， ∴∠CAE=∠C=30． 故選A． 點評：此題考查了平行線的性質，解題的關鍵是：熟記兩直線平行同位角相等；兩直線平行內錯角相等；兩直線平行同旁內角互補． 6．不等式的解集在數軸上表示為（ ）． （A） （B） （C） （D） 考點：在數軸上表示不等式的解集；解一元一次不等式．． 專題：數形結合． 分析：先解不等式得到x＜2，用數軸表示時，不等式的解集在2的左邊且不含2，于是可判斷D選項正確． 解答：解：2x＜4， 解得x＜2， 用數軸表示為： ． 故選D． 點評：本題考查了在數軸上表示不等式的解集：用數軸表示不等式的解集時，要注意“兩定”：一是定界點，一般在數軸上只標出原點和界點即可．定邊界點時要注意，點是實心還是空心；二是定方向，定方向的原則是：“小于向左，大于向右”． 圖4 7．如圖4，在△ABC中，AB=AD=DC，B=70，則C的度數為（ ）． （A）35 （B）40 　 （C）45 （D）50 考點：等腰三角形的性質．． 分析：先根據等腰三角形的性質求出∠ADB的度數，再由平角的定義得出∠ADC的度數，根據等腰三角形的性質即可得出結論． 解答：解：∵△ABD中，AB=AD，∠B=70， ∴∠B=∠ADB=70， ∴∠ADC=180?∠ADB=110， ∵AD=CD， ∴∠C=（180?∠ADC）2=（180?110）2=35， 故選：A． 點評：本題考查的是等腰三角形的性質，熟知等腰三角形的兩底角相等是解答此題的關鍵． 8．下列運算正確的是（ ）． （A） （B） （C） （D） 考點：整式的除法；同底數冪的乘法；冪的乘方與積的乘方；二次根式的乘除法．． 專題：計算題． 分析：A、原式利用單項式除以單項式法則計算得到結果，即可做出判斷； B、原式利用冪的乘方與積的乘方運算法則計算得到結果，即可做出判斷； C、原式利用單項式乘以單項式法則計算得到結果，即可做出判斷； D、原式利用二次根式的除法法則計算得到結果，即可做出判斷． 解答：解：A、原式=2b，錯誤； B、原式=27x6，錯誤； C、原式=a7，正確； D、原式=，錯誤， 故選C 點評：此題考查了整式的除法，同底數冪的乘法，冪的乘方與積的乘方，以及二次根式的乘除法，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵． 9．一個正多邊形的內角和為540，則這個正多邊形的每一個外角等于（ ）． （A）60 （B）72 （C）90 （D）108 考點：多邊形內角與外角．． 分析：首先設此多邊形為n邊形，根據題意得：180（n?2）=540，即可求得n=5，再再由多邊形的外角和等于360，即可求得答案． 解答：解：設此多邊形為n邊形， 根據題意得：180（n?2）=540， 解得：n=5， ∴這個正多邊形的每一個外角等于：=72． 故選B． 點評：此題考查了多邊形的內角和與外角和的知識．注意掌握多邊形內角和定理：（n?2）?180，外角和等于360． 10．如圖5，已知經過原點的拋物線的對稱軸是直線下列 圖5 結論中：?，?，?當，正確的個數是（ ）． （A）0個 （B）1個 　 （C）2個 （D）3個 考點：二次函數圖象與系數的關系．． 分析：①由拋物線的開口向上，對稱軸在y軸左側，判斷a，b與0的關系，得到?ab＞0；故①錯誤； ②由x=1時，得到y(tǒng)=a+b+c＞0；故②正確； ③根據對稱軸和拋物線與x軸的一個交點，得到另一個交點，然后根據圖象確定答案即可． 解答：解：①∵拋物線的開口向上， ∴a＞0， ∵對稱軸在y軸的左側， ∴b＞0 ∴?ab＞0；故①正確； ②∵觀察圖象知；當x=1時y=a+b+c＞0， ∴②正確； ③∵拋物線的對稱軸為x=?1，與x軸交于（0，0）， ∴另一個交點為（?2，0）， ∴當?2＜x＜0時，y＜0；故③正確； 故選D． 點評：本題主要考查圖象與二次函數系數之間的關系，會利用對稱軸的范圍求2a與b的關系，以及二次函數與方程之間的轉換，根的判別式的熟練運用． 圖6 11．如圖6，AB是⊙O的直徑，AB=8，點M在⊙O上，∠MAB=20，N是弧MB的中點，P是 直徑AB上的一動點，若MN=1，則△PMN周長的最小值為（ ）． （A）4 （B）5 　 （C）6 （D）7 考點：軸對稱-最短路線問題；圓周角定理．． 分析：作N關于AB的對稱點N′，連接MN′，NN′，ON′，ON，由兩點之間線段最短可知MN′與AB的交點P′即為△PMN周長的最小時的點，根據N是弧MB的中點可知∠A=∠NOB=∠MON=20，故可得出∠MON′=60，故△MON′為等邊三角形，由此可得出結論． 解答：解：作N關于AB的對稱點N′，連接MN′，NN′，ON′，ON． ∵N關于AB的對稱點N′， ∴MN′與AB的交點P′即為△PMN周長的最小時的點， ∵N是弧MB的中點， ∴∠A=∠NOB=∠MON=20， ∴∠MON′=60， ∴△MON′為等邊三角形， ∴MN′=OM=4， ∴△PMN周長的最小值為4+1=5． 故選B． 點評：本題考查的是軸對稱?最短路徑問題，凡是涉及最短距離的問題，一般要考慮線段的性質定理，結合本節(jié)所學軸對稱變換來解決，多數情況要作點關于某直線的對稱點． 12．對于兩個不相等的實數a、b，我們規(guī)定符號Max{a，b}表示a、b中的較大值，如：Max{2，4}=4，按照這個規(guī)定，方程的解為（ ）． （A） （B）　 （C） （D） 考點：解分式方程．． 專題：新定義． 分析：根據x與?x的大小關系，取x與?x中的最大值化簡所求方程，求出解即可． 解答：解：當x＜?x，即x＜0時，所求方程變形得：?x=， 去分母得：x2+2x+1=0，即x=?1； 當x＞?x，即x＞0時，所求方程變形得：x=，即x2?2x=1， 解得：x=1+或x=1?（舍去）， 經檢驗x=?1與x=1+都為分式方程的解． 故選D． 點評：此題考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“轉化思想”，把分式方程轉化為整式方程求解．解分式方程一定注意要驗根． 第II卷（非選擇題，共84分） 二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分） 13．因式分解：　　　　　?。? 考點：因式分解-提公因式法．． 專題：因式分解． 分析：觀察等式的右邊，提取公因式a即可求得答案． 解答：解：ax+ay=a（x+y）． 故答案為：a（x+y）． 點評：此題考查了提取公因式法分解因式．解題的關鍵是注意找準公因式． 14．要使分式有意義，則字母x的取值范圍是 ． 考點：分式有意義的條件．． 分析：分式有意義，分母不等于零． 解答：解：依題意得 x?1≠0，即x≠1時，分式有意義． 故答案是：x≠1． 點評：本題考查了分式有意義的條件．從以下三個方面透徹理解分式的概念： （1）分式無意義?分母為零； （2）分式有意義?分母不為零； （3）分式值為零?分子為零且分母不為零． 15．一個不透明的口袋中有5個完全相同的小球，把它們分別標號為1，2，3，4，5，隨機提取一個小球，則取出的小球標號是奇數的概率是 ． 考點：概率公式．． 分析：首先判斷出1，2，3，4，5中的奇數有哪些；然后根據概率公式，用奇數的數量除以5，求出取出的小球標號是奇數的概率是多少即可． 解答：解：∵1，2，3，4，5中的奇數有3個：1、3、5， ∴取出的小球標號是奇數的概率是：35=． 故答案為：． 點評：此題主要考查了概率公式的應用，要熟練掌握，解答此題的關鍵是要明確：隨機事件A的概率P（A）=事件A可能出現(xiàn)的結果數所有可能出現(xiàn)的結果數． 16．如圖7，在正方形ABCD的外側，作等邊△ADE，則BED的度數是 ． 圖7 考點：正方形的性質；等邊三角形的性質．． 分析：根據正方形的性質，可得AB與AD的關系，∠BAD的度數，根據等邊三角形的性質，可得AE與AD的關系，∠AED的度數，根據等腰三角形的性質，可得∠AEB與∠ABE的關系，根據三角形的內角和，可得∠AEB的度數，根據角的和差，可得答案． 解答：解：∵四邊形ABCD是正方形， ∴AB=AD，∠BAD=90． ∵等邊三角形ADE， ∴AD=AE，∠DAE=∠AED=60． ∠BAE=∠BAD+∠DAE=90+60=150， AB=AE， ∠AEB=∠ABE=（180?∠BAE）2=15， ∠BED=∠DAE?∠AEB=60?15=45， 故答案為：45． 點評：本題考查了正方形的性質，先求出∠BAE的度數，再求出∠AEB，最后求出答案． yy A B O C x 17．如圖8，點A在雙曲線上，點B在雙曲線上（點B在點A的右側），且AB//軸，若四邊形OABC是菱形，且AOC=60，則　 　?。? 圖8 考點：菱形的性質；反比例函數圖象上點的坐標特征．． 分析：首先根據點A在雙曲線y=（x＞0）上，設A點坐標為（a，），再利用含30直角三角形的性質算出OA=2a，再利用菱形的性質進而得到B點坐標，即可求出k的值． 解答：解：因為點A在雙曲線y=（x＞0）上，設A點坐標為（a，）， 因為四邊形OABC是菱形，且∠AOC=60， 所以OA=2a， 可得B點坐標為（3a，）， 可得：k=， 故答案為： 點評：此題主要考查了待定系數法求反比例函數，關鍵是根據菱形的性質求出B點坐標，即可算出反比例函數解析式． 18．如圖9，在數軸上，點A表示1，現(xiàn)將點A沿軸做如下移動，第一次點A向左移動3 個單位長度到達點A1，第二次將點A1向右移動6個單位長度到達點A2，第三次將點A2向左移動9個單位長度到達點A3，按照這種移動規(guī)律移動下去，第次移動到點AN，如果點AN與原點的距離不小于20，那么的最小值是 ． 圖9 考點：規(guī)律型：圖形的變化類；數軸．． 分析：序號為奇數的點在點A的左邊，各點所表示的數依次減少3，序號為偶數的點在點A的右側，各點所表示的數依次增加3，于是可得到A13表示的數為?17?3=?20，A12表示的數為16+3=19，則可判斷點An與原點的距離不小于20時，n的最小值是13． 解答：解：第一次點A向左移動3個單位長度至點A1，則A1表示的數，1?3=?2?2； 第2次從點A1向右移動6個單位長度至點A2，則A2表示的數為?2+6=4； 第3次從點A2向左移動9個單位長度至點A3，則A3表示的數為4?9=?5； 第4次從點A3向右移動12個單位長度至點A4，則A4表示的數為?5+12=7； 第5次從點A4向左移動15個單位長度至點A5，則A5表示的數為7?15=?8； …； 則A7表示的數為?8?3=?11，A9表示的數為?11?3=?14，A11表示的數為?14?3=?17，A13表示的數為?17?3=?20， A6表示的數為7+3=10，A8表示的數為10+3=13，A10表示的數為13+3=16，A12表示的數為16+3=19， 所以點An與原點的距離不小于20，那么n的最小值是13． 故答案為：13． 點評：本題考查了規(guī)律型，認真觀察、仔細思考，找出點表示的數的變化規(guī)律是解決本題的關鍵． 考生注意：第三至第八大題為解答題，要求在答題卡上寫出解答過程，如果運算結果含有根號，請保留根號． 三、（本大題共2小題，每小題滿分6分，共12分） 19．計算：． 考點：實數的運算；零指數冪；特殊角的三角函數值．． 專題：計算題． 分析：原式第一項利用零指數冪法則計算，第二項利用乘方的意義化簡，第三項利用特殊角的三角函數值計算，最后一項利用算術平方根定義計算即可得到結果． 解答：解：原式=1+1?21+2 =2． 點評：此題考查了實數的運算，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵． 20．先化簡，再求值：（1+）（1-）+（+2）-1，其中=． 考點：整式的混合運算—化簡求值．． 專題：計算題． 分析：先利用乘法公式展開，再合并得到原式=2x，然后把x=代入計算即可． 解答：解：原式=1?x2+x2+2x?1 =2x， 當x=時，原式=2=1． 點評：本題考查了整式的混合運算?化簡求值：先按運算順序把整式化簡，再把對應字母的值代入求整式的值．有乘方、乘除的混合運算中，要按照先乘方后乘除的順序運算，其運算順序和有理數的混合運算順序相似． 四、（本大題共2小題，每小題滿分8分，共16分） 21．如圖10，在平面直角坐標系中，已知ABC的三個頂點的坐標分別為A（－1，1），B（-3，1），C（-1，4）． （1）畫出△ABC關于y軸對稱的； （2）將△ABC繞著點B順時針旋轉90后得到△A2BC2，請在圖中畫出△A2BC2，并求出線段BC旋轉過程中所掃過的面積（結果保留）． 圖10 考點：作圖-旋轉變換；作圖-軸對稱變換．． 專題：作圖題． 分析：（1）根據題意畫出△ABC關于y軸對稱的△A1B1C1即可； （2）根據題意畫出△ABC繞著點B順時針旋轉90后得到△A2BC2，線段BC旋轉過程中掃過的面積為扇形BCC2的面積，求出即可． 解答：解：（1）如圖所示，畫出△ABC關于y軸對稱的△A1B1C1； （2）如圖所示，畫出△ABC繞著點B順時針旋轉90后得到△A2BC2， 線段BC旋轉過程中所掃過得面積S==． 點評：此題考查了作圖?旋轉變換，對稱軸變換，以及扇形面積，作出正確的圖形是解本題的關鍵． 22．今年5月份，某校九年級學生參加了南寧市中考體育考試，為了了解該校九年級（1）班同學的中考體育情況，對全班學生的中考體育成績進行了統(tǒng)計，并繪制以下不完整的頻數分布表（圖11-1）和扇形統(tǒng)計圖（圖11-2），根據圖表中的信息解答下列問題: （1）求全班學生人數和的值； （2）直接寫出該班學生的中考體育成績的中位數落在哪個分數段； （3）該班中考體育成績滿分（60分）共有3人，其中男生2人，女生1人，現(xiàn)需從這3人中隨機選取2人到八年級進行經驗交流，請用“列表法”或“畫樹狀圖法”求出恰好選到一男一女的概率． 分組 分數段（分） 頻數 A 36≤x＜41 2 B 41≤x＜46 5 C 46≤x＜51 15 D 51≤x＜56 m E 56≤x＜61 10 圖 11-2 圖11-1 考點：列表法與樹狀圖法；頻數（率）分布表；扇形統(tǒng)計圖；中位數．． 分析：（1）利用C分數段所占比例以及其頻數求出總數即可，進而得出m的值； （2）利用中位數的定義得出中位數的位置； （3）利用列表或畫樹狀圖列舉出所有的可能，再根據概率公式計算即可得解． 解答：解：（1）由題意可得：全班學生人數：1530%=50（人）； m=50?2?5?15?10=18（人）； （2）∵全班學生人數：50人， ∴第25和第26個數據的平均數是中位數， ∴中位數落在51?56分數段； （3）如圖所示： 將男生分別標記為A1，A2，女生標記為B1 A1 A2 B1 A1 （A1，A2） （A1，B1） A2 （A2，A1） （A2，B1） B1 （B1，A1） （B1，A2） P（一男一女）==． 點評：此題主要考查了列表法求概率以及扇形統(tǒng)計圖的應用，根據題意利用列表法得出所有情況是解題關鍵 圖12 五、（本大題滿分8分） 23．如圖12，在□ABCD中，E、F分別是AB、DC邊上的點，且AE=CF， （1）求證：△ADE≌△CBF； （2）若DEB=90，求證四邊形DEBF是矩形． 考點：平行四邊形的性質；全等三角形的判定與性質；矩形的判定．． 專題：證明題． 分析：（1）由在?ABCD中，AE=CF，可利用SAS判定△ADE≌△CBF． （2）由在?ABCD中，且AE=CF，利用一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，可證得四邊形DEBF是平行四邊形，又由∠DEB=90，可證得四邊形DEBF是矩形． 解答：證明：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形， ∴AD=CB，∠A=∠C， 在△ADE和△CBF中， ， ∴△ADE≌△CBF（SAS）． （2）∵四邊形ABCD是平行四邊形， ∴AB=CD，AB∥CD， ∵AE=CF， ∴BE=DF， ∴四邊形ABCD是平行四邊形， ∵∠DEB=90， ∴四邊形DEBF是矩形． 點評：此題考查了平行四邊形的判定與性質、矩形的判定以及全等三角形的判定與性質．注意有一個角是直角的平行四邊形是矩形，首先證得四邊形ABCD是平行四邊形是關鍵． 六、（本大題滿分10分） 24．如圖13-1，為美化校園環(huán)境，某校計劃在一塊長為60米，寬為40米的長方形空地上修建一個長方形花圃，并將花圃四周余下的空地修建成同樣寬的通道，設通道寬為米． （1）用含的式子表示花圃的面積； （2）如果通道所占面積是整個長方形空地面積的，求出此時通道的寬； （3）已知某園林公司修建通道、花圃的造價（元）、（元）與修建面積之間的函數關系如圖13-2所示，如果學校決定由該公司承建此項目，并要求修建的通道的寬度不少于2米且不超過10米，那么通道寬為多少時，修建的通道和花圃的總造價最低，最低總造價為多少元？ 圖13-1 圖13-2 考點：一次函數的應用；一元二次方程的應用．． 分析：（1）用含a的式子先表示出花圃的長和寬后利用其矩形面積公式列出式子即可； （2）根據通道所占面積是整個長方形空地面積的，列出方程進行計算即可； （3）根據圖象，設出通道和花圃的解析式，用待定系數法求解，再根據實際問題寫出自變量的取值范圍即可． 解答：解：（1）由圖可知，花圃的面積為（40?2a）（60?2a）； （2）由已知可列式：6040?（40?2a）（60?2a）=6040， 解以上式子可得：a1=5，a2=45（舍去）， 答：所以通道的寬為5米； （3）設修建的道路和花圃的總造價為y， 由已知得y1=40x， y2=， 則y=y1+y2=； x花圃=（40?2a）（60?2a）=4a2?200a+2400； x通道=6040?（40?2a）（60?2a）=?4a2+200a， 當2≤a≤10，800≤x花圃≤2016，384≤x通道≤1600， ∴384≤x≤2016， 所以當x取384時，y有最小值，最小值為2040，即總造價最低為23040元， 當x=383時，即通道的面積為384時，有?4a2+200a=384， 解得a1=2，a2=48（舍去）， 所以當通道寬為2米時，修建的通道和花圃的總造價最低為23040元． 點評：本題考查了一次函數的應用以及一元二次方程的應用，解題的關鍵是表示出花圃的長和寬． 七、（本大題滿分10分） 25．如圖14，AB是⊙O的直徑，C、G是⊙O上兩點，且AC = CG，過點C的直線CDBG于點D，交BA的延長線于點E，連接BC，交OD于點F． （1）求證：CD是⊙O的切線． （2）若，求E的度數． （3）連接AD，在（2）的條件下，若CD=，求AD的長． 圖14 考點：圓的綜合題．． 分析：（1）如圖1，連接OC，AC，CG，由圓周角定理得到∠ABC=∠CBG，根據同圓的半徑相等得到OC=OB，于是得到∠OCB=∠OBC，等量代換得到∠OCB=∠CBG，根據平行線的判定得到OC∥BG，即可得到結論； （2）由OC∥BD，得到△OCF∽△BDF，△EOC∽△EBD，得到，，根據直角三角形的性質即可得到結論； （3）如圖2，過A作AH⊥DE于H，解直角三角形得到BD=3，DE=3，BE=6，在Rt△DAH中，AD===． 解答：（1）證明：如圖1，連接OC，AC，CG， ∵AC=CG， ∴， ∴∠ABC=∠CBG， ∵OC=OB， ∴∠OCB=∠OBC， ∴∠OCB=∠CBG， ∴OC∥BG， ∵CD⊥BG， ∴OC⊥CD， ∴CD是⊙O的切線； （2）解：∵OC∥BD， ∴△OCF∽△BDF，△EOC∽△EBD， ∴， ∴， ∵OA=OB， ∴AE=OA=OB， ∴OC=OE， ∵∠ECO=90， ∴∠E=30； （3）解：如圖2，過A作AH⊥DE于H， ∵∠E=30 ∴∠EBD=60， ∴∠CBD=EBD=30， ∵CD=， ∴BD=3，DE=3，BE=6， ∴AE=BE=2， ∴AH=1， ∴EH=， ∴DH=2， 在Rt△DAH中，AD===． 點評：本題考查了切線的判定和性質，銳角三角函數，勾股定理相似三角形的判定和性質，圓周角定理，正確的作出輔助線是解題的關鍵． 八、（本小題滿分10分） 26．在平面直角坐標系中，已知A、B是拋物線y=ax2(a>0)上兩個不同的點，其中A在第二象限，B在第一象限． （1）如圖15-1所示，當直線AB與x軸平行，AOB=90，且AB=2時，求此拋物線的解析式和A、B兩點的橫坐標的乘積． （2）如圖15-2所示，在（1）所求得的拋物線上，當直線AB與x軸不平行，AOB仍為90時，A、B兩點的橫坐標的乘積是否為常數？如果是，請給予證明；如果不是，請說明理由． （3）在（2）的條件下，若直線y=?2x?2分別交直線AB，y軸于點P、C，直線AB交y軸于點D，且BPC=OCP，求點P的坐標． 圖15-2 圖15-1 考點：二次函數綜合題．． 分析：（1）如圖1，由AB與x軸平行，根據拋物線的對稱性有AE=BE=1，由于∠AOB=90，得到OE=AB=1，求出A（?1，1）、B（1，1），把x=1時，y=1代入y=ax2得：a=1得到拋物線的解析式y(tǒng)=x2，A、B兩點的橫坐標的乘積為xA?xB=?1 （2）如圖2，過A作AM⊥x軸于M，BN⊥x軸于N得到∠AMO=∠BNO=90，證出△AMO∽△BON，得到OM?ON=AM?BN，設A（xA，yA），B（xB，yB），由于A（xA，yA），B（xB，yB）在y=x2圖象上，得到y(tǒng)A=，yB=，即可得到結論； （3）設A（m，m2），B（n，n2）．作輔助線，證明△AEO∽△OFB，得到mn=?1．再聯(lián)立直線m：y=kx+b與拋物線y=x2的解析式，由根與系數關系得到：mn=?b，所以b=1；由此得到OD、CD的長度，從而得到PD的長度；作輔助線，構造Rt△PDG，由勾股定理求出點P的坐標． 解答： 解：（1）如圖1，∵AB與x軸平行， 根據拋物線的對稱性有AE=BE=1， ∵∠AOB=90， ∴OE=AB=1， ∴A（?1，1）、B（1，1）， 把x=1時，y=1代入y=ax2得：a=1， ∴拋物線的解析式y(tǒng)=x2， A、B兩點的橫坐標的乘積為xA?xB=?1 （2）xA?xB=?1為常數， 如圖2，過A作AM⊥x軸于M，BN⊥x軸于N， ∴∠AMO=∠BNO=90， ∴∠MAO+∠AOM=∠AOM+∠BON=90， ∴∠MAO=∠BON， ∴△AMO∽△BON， ∴， ∴OM?ON=AM?BN， 設A（xA，yA），B（xB，yB）， ∵A（xA，yA），B（xB，yB）在y=x2圖象上， ∴，yA= xA2，yB= xB2， ∴?xA?xB=yA?yB= xA2? xB2， ∴xA? xB=?1為常數； （3）設A（m，m2），B（n，n2）， 如圖3所示，過點A、B分別作x軸的垂線，垂足為E、F，則易證△AEO∽△OFB． ∴，即，整理得：mn（mn+1）=0， ∵mn≠0，∴mn+1=0，即mn=?1． 設直線AB的解析式為y=kx+b，聯(lián)立，得：x2?kx?b=0． ∵m，n是方程的兩個根，∴mn=?b． ∴b=1． ∵直線AB與y軸交于點D，則OD=1． 易知C（0，?2），OC=2，∴CD=OC+OD=3． ∵∠BPC=∠OCP，∴PD=CD=3． 設P（a，?2a?2），過點P作PG⊥y軸于點G，則PG=?a，GD=OG?OD=?2a?3． 在Rt△PDG中，由勾股定理得：PG2+GD2=PD2， 即：（?a）2+（?2a?3）2=32，整理得：5a2+12a=0， 解得a=0（舍去）或a=?， 當a=?時，?2a?2=， ∴P（?，）． 點評：本題考查了二次函數與一次函數的圖象與性質、等腰直角三角形的性質，勾股定理、相似三角形的判定和性質、一元二次方程等知識點，有一定的難度．第（3）問中，注意根與系數關系的應用．