光學(xué)信息技術(shù)原理及應(yīng)用課后答案.doc

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第一章 習(xí)題解答 1.1 已知不變線性系統(tǒng)的輸入為 系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。若b?。?）（2），求系統(tǒng)的輸出。并畫出輸出函數(shù)及其頻譜的圖形。 答：（1） 圖形從略， （2） 圖形從略。 1.2若限帶函數(shù)的傅里葉變換在長度為寬度的矩形之外恒為零， （1） 如果，，試證明 證明： （2） 如果， ，還能得出以上結(jié)論嗎？ 答：不能。因為這時。 1.3 對一個空間不變線性系統(tǒng)，脈沖響應(yīng)為 試用頻域方法對下面每一個輸入，求其輸出。（必要時，可取合理近似） （1） 答： （2） 答： （3） 答： （4） 答： 1.4 給定一個不變線性系統(tǒng)，輸入函數(shù)為有限延伸的三角波 對下述傳遞函數(shù)利用圖解方法確定系統(tǒng)的輸出。 （1） （2） 答：圖解方法是在頻域里進行的，首先要計算輸入函數(shù)的頻譜，并繪成圖形 方括號內(nèi)函數(shù)頻譜圖形為： 圖1.4（1） 圖形為： 圖 1.4（2） 因為的分辨力太低，上面兩個圖縱坐標(biāo)的單位相差50倍。兩者相乘時忽略中心五個分量以外的其他分量，因為此時的最大值小于0.04%。故圖解頻譜結(jié)果為： 圖 1.4（3） 傳遞函數(shù)（1）形為： 圖 1.4（4） 因為近似后的輸入函數(shù)頻譜與該傳遞函數(shù)相乘后，保持不變，得到輸出函數(shù)頻譜表達(dá)式為： 其反變換，即輸出函數(shù)為： 該函數(shù)為限制在區(qū)間內(nèi)，平均值為1，周期為3，振幅為1.37的一個余弦函數(shù)與周期為1.5，振幅為0.342的另一個余弦函數(shù)的疊加。 傳遞函數(shù)（2）形為： 圖 1.4（5） 此時，輸出函數(shù)僅剩下在及兩個區(qū)間內(nèi)分量，盡管在這兩個區(qū)間內(nèi)輸入函數(shù)的頻譜很小，相對于傳遞函數(shù)（2）在的零值也是不能忽略的，由于 可以解得，通過傳遞函數(shù)（2）得到的輸出函數(shù)為： 該函數(shù)依然限制在區(qū)間內(nèi)，但其平均值為零，是振幅為0.043，周期為0.75，的一個余弦函數(shù)與振幅為0.027，周期為0.6的另一個余弦函數(shù)的疊加。 1.5 若對二維函數(shù) 抽樣，求允許的最大抽樣間隔并對具體抽樣方法進行說明。 答： 也就是說，在X方向允許的最大抽樣間隔小于1/2a，在y方向抽樣間隔無限制。 1.6 若只能用表示的有限區(qū)域上的脈沖點陣對函數(shù)進行抽樣，即 試說明，即使采用奈魁斯特間隔抽樣，也不能用一個理想低通濾波器精確恢復(fù)。 答：因為表示的有限區(qū)域以外的函數(shù)抽樣對精確恢復(fù)也有貢獻(xiàn)，不可省略。 1.7 若二維不變線性系統(tǒng)的輸入是“線脈沖”，系統(tǒng)對線脈沖的輸出響應(yīng)稱為線響應(yīng)。如果系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為，證明：線響應(yīng)的一維傅里葉變換等于系統(tǒng)傳遞函數(shù)沿軸的截面分布。 證明： 1.8 如果一個空間不變線性系統(tǒng)的傳遞函數(shù)在頻率域的區(qū)間，之外恒為零，系統(tǒng)輸入為非限帶函數(shù)，輸出為。證明，存在一個由脈沖的方形陣列構(gòu)成的抽樣函數(shù)，它作為等效輸入，可產(chǎn)生相同的輸出，并請確定。 答：為了便于從頻率域分析，分別設(shè)： 物的空間頻譜 ； 像的空間頻譜 ； 等效物體的空間頻譜 ； 等效物體的像的空間頻譜 由于成像系統(tǒng)是一個線性的空間不變低通濾波器，傳遞函數(shù)在之外恒為零，故可將其記為： 、 利用系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，表示物像之間在頻域中的關(guān)系為 在頻域中我們構(gòu)造一個連續(xù)的、二維周期性分布的頻域函數(shù)，預(yù)期作為等效物的譜，辦法是把安置在平面上成矩形格點分布的每一個點周圍，選擇矩形格點在、方向上的間隔分別為和,以免頻譜混疊，于是 （1） 對于同一個成像系統(tǒng)，由于傳遞函數(shù)的通頻帶有限，只能允許的中央一個周期成份（）通過，所以成像的譜并不發(fā)生變化，即 圖1.8用一維形式表示出系統(tǒng)在頻域分別對和的作用，為簡單計，系統(tǒng)傳遞函數(shù)在圖中表示為。 圖 題1.8 既然，成像的頻譜相同，從空間域來看，所成的像場分布也是相同的，即 因此，只要求出的逆傅立葉變換式，就可得到所需的等效物場，即 帶入（1）式，并利用卷積定理得到 （2） 上式也可以從抽樣定理來解釋。 是一個限帶的頻譜函數(shù)，它所對應(yīng)的空間域的函數(shù)可以通過抽樣，用一個點源的方形陣列來表示，若抽樣的矩形格點的間隔，在方向是，在方向是，就得到等效物場 ； （3） （4） 把（3）、（4）式代入（2）式，得到 利用函數(shù)性質(zhì)（1.8）式，上式可寫為 這一點源的方形陣列構(gòu)成的等效物場可以和真實物體產(chǎn)生完全一樣的像. 本題利用系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，從頻率域分析物象關(guān)系，先找出等效物的頻譜，再通過傅立葉逆變換，求出等效物場的空間分布，這種頻域分析方法是傅立葉光學(xué)問題的基本分析方法。 第二章 習(xí)題解答 2.1 一列波長為的單位振幅平面光波，波矢量與軸的夾角為，與軸夾角為，試寫出其空間頻率及平面上的復(fù)振幅表達(dá)式。 答： , , 2.2 尺寸為ab的不透明矩形屏被單位振幅的單色平面波垂直照明，求出緊靠屏后的平面上的透射光場的角譜。 答： ， ， 2.3 波長為的單位振幅平面波垂直入射到一孔徑平面上，在孔徑平面上有一個足夠大的模板，其振幅透過率為，求緊靠孔徑透射場的角譜。 答:： 2.4 參看圖2.13，邊長為的正方形孔徑內(nèi)再放置一個邊長為的正方形掩模，其中心落在點。采用單位振幅的單色平面波垂直照明，求出與它相距為的觀察平面上夫瑯和費衍射圖樣的光場分布。畫出時，孔徑頻譜在方向上的截面圖。 圖2.4題 答： 2.5 圖2-14所示的孔徑由兩個相同的矩形組成，它們的寬度為，長度為，中心相距為。采用單位振幅的單色平面波垂直照明，求與它相距為的觀察平面上夫瑯和費衍射圖樣的強度分布。假定及，畫出沿和方向上強度分布的截面圖。如果對其中一個矩形引入位相差，上述結(jié)果有何變化？ 圖 題2.5 （1） 答：如圖所示，雙縫的振幅透射率是兩個中心在及的矩形孔徑振幅透射率之和： （1） 由于是單位振幅平面波垂直照明，孔徑平面上入射光場 ， 透射光場 （2） 由夫瑯和費衍射方程，在夫瑯和費區(qū)中離孔徑距離z的觀察平面上得到夫瑯和費衍射圖樣，它正比于孔徑上場分布的傅立葉變換式（頻率坐標(biāo)），即 （3） 利用傅立葉變換的相移定理，得到 把它帶入（3）式，則有 強度分布 不難看出，這一強度分布是矩孔徑衍射圖樣和雙光束干涉圖樣相互調(diào)制的結(jié)果。 雙縫的振幅透射率也可以寫成下述形式： （4） 它和（1）式本質(zhì)上是相同的。由（4）式可以利用卷積定理直接求出其傅立葉變換式，導(dǎo)出與上述同樣的結(jié)果。代入所給條件b=4a,d=1.5a 沿x軸，此時 中心光強：I(0,0)=8a2 極小值位置為： 方向上強度分布的截面圖示意如下： 圖 題2.5 （2） 沿y軸： 此時，故 中心光強：I(0,0)=8a2 極小值位置： 方向上強度分布的截面圖示意如下： 圖 題2.5 （3） 由于是單位振幅平面波垂直照明，孔徑平面上入射光場 ， 透射光場,b=4a,d=1.5a時 （2） 由夫瑯和費衍射方程，在夫瑯和費區(qū)中離孔徑距離z的觀察平面上得到夫瑯和費衍射圖樣，它正比于孔徑上場分布的傅立葉變換式（頻率坐標(biāo)），即 （3） 利用傅立葉變換的相移定理，得到 把它帶入（3）式，則有 強度分布 2.6 圖2-14所示半無窮不透明屏的復(fù)振幅透過率可用階躍函數(shù)表示為。采用單位振幅的單色平面波垂直照明，求相距為的觀察平面上夫瑯和費衍射圖樣的復(fù)振幅分布。畫出在方向上的振幅分布曲線。 圖 題2.6 答： 振幅分布曲線圖從略。 2.7 在夫瑯和費衍射中，只要孔徑上的場沒有相位變化，試證明：（1）不論孔徑的形狀如何，夫瑯和費衍射圖樣都有一個對稱中心。（2）若孔徑對于某一條直線是對稱的，則衍射圖樣將對于通過原點與該直線平行和垂直的兩條直線對稱。 證明：（1）在孔徑上的場沒有相位變化時，衍射孔徑上的光分布是一個實函數(shù)，其傅里葉變換是厄米型函數(shù)，即： 因此，所以夫瑯和費衍射圖樣有一個對稱中心。 （2）孔徑對于某一條直線是對稱時，以該直線為軸建立坐標(biāo)系。有： 因此 同時 所以 可見衍射圖樣將對于通過原點與該直線平行和垂直的兩條直線對稱。 2.8 試證明如下列陣定理：假設(shè)在衍射屏上有個形狀和方位都相同的全等形開孔，在每一個開孔內(nèi)取一個相對開孔來講方位一樣的點代表孔的位置，那末該衍射屏生成的夫瑯和費衍射場是下列兩個因子的乘積：（1）置于原點的一個孔徑的夫瑯和費衍射（該衍射屏的原點處不一定有開孔）；（2）個處于代表孔位置的點上的點光源在觀察面上的干涉。 證明：假設(shè)置于原點的一個孔徑表示為，個處于代表孔位置的點上的點光源表示為，則衍射屏的透過率可表示為 ， 其傅里葉變換可表示為 ， 該式右邊第一項對應(yīng)于置于原點的一個孔徑的夫瑯和費衍射，第二項對應(yīng)于個處于代表孔位置的點上的點光源在觀察面上的干涉，因此該衍射屏生成的夫瑯和費衍射場是這兩個因子的乘積。 2.9 一個衍射屏具有下述圓對稱振幅透過率函數(shù) （1） 這個屏的作用在什么方面像一個透鏡？ （2） 給出此屏的焦距表達(dá)式。 （3） 什么特性會嚴(yán)重的限制這種屏用做成像裝置（特別是對于彩色物體）？ 答：（1）解 衍射屏的復(fù)振幅投射率如圖所示，也可以把它表示為直角坐標(biāo)的形式： （1） （1）式大括號中第一項僅僅是使直接透射光振幅衰減，其他兩項指數(shù)項與透鏡位相變換因子比較，可見形式相同。當(dāng)平面波垂直照射時，這兩項的作用是分別產(chǎn)生會聚球面波和發(fā)散球面波。因此在成像性質(zhì)和傅立葉變換性質(zhì)上該衍射屏都有些類似與透鏡，因子表明該屏具有半徑為的圓形孔徑。 （2）解 把衍射屏復(fù)振幅透射率中的復(fù)指數(shù)項與透鏡位相變換因子相比較，得到相應(yīng)的焦距，對于項，令，則有 焦距為正，其作用相當(dāng)于會聚透鏡，對于項，令，則有 焦距為負(fù)，其作用相當(dāng)于發(fā)散透鏡，對于“”這一項來說，平行光波直接透過，僅振幅衰減，可看作是 （3）解 由于該衍射屏有三重焦距，用作成像裝置時，對同一物體它可以形成三個像，例如對于無窮遠(yuǎn)的點光源，分別在屏兩側(cè)對稱位置形成實像和虛像，另一個像在無窮遠(yuǎn)（直接透射光）（參看圖4.12）。當(dāng)觀察者觀察其中一個像時，同時會看到另外的離焦像，無法分離開。如用接收屏接收，在任何一個像面上都會有其它的離焦像形成的背景干擾。除此以外，對于多色物體來說，嚴(yán)重的色差也是一個重要的限制。因為焦距都與波長成反比。例如取，，則有 這樣大的色差是無法用作成像裝置的，若采用白光作光源，在像面上可以看到嚴(yán)重的色散現(xiàn)象。 這種衍射屏實際就是同軸形式的點源全息圖，即伽柏全息圖。 2.10 用波長為的平面光波垂直照明半徑為的衍射孔，若觀察范圍是與衍射孔共軸，半徑為的圓域，試求菲涅耳衍射和夫瑯和費衍射的范圍。 答：由式(2.55)及式(2-57)有菲涅耳衍射和夫瑯和費衍射分別要求 即 2.11 單位振幅的單色平面波垂直入射到一半徑為的圓形孔徑上，試求菲涅耳衍射圖樣在軸上的強度分布。 答：圓形孔徑的透過率可表示為 根據(jù)式(2.53)有 軸上的振幅分布為 軸上的強度分布為 2.12 余弦型振幅光柵的復(fù)振幅透過率為 式中，為光柵周期，，。觀察平面與光柵相距。當(dāng)分別取下列各數(shù)值：（1）；（2）；（3）（式中稱作泰伯距離）時，確定單色平面波垂直照明光柵，在觀察平面上產(chǎn)生的強度分布。 答：根據(jù)式(2.31)單色平面波垂直照明下余弦型振幅光柵的復(fù)振幅分布為 強度分布為 角譜為 傳播距離后，根據(jù)式(2.40)得到角譜 利用二項式近似有 故 （1）時 與僅相差一個常數(shù)位相因子，因而觀察平面上產(chǎn)生的強度分布與單色平面波垂直照明下剛剛透過余弦型振幅光柵產(chǎn)生的強度分布完全相同。 （2）時 對應(yīng)復(fù)振幅分布為 因而觀察平面上產(chǎn)生的強度分布為平移半個周期的單色平面波垂直照明下剛剛透過余弦型振幅光柵產(chǎn)生的強度分布。 （3） 對應(yīng)復(fù)振幅分布為 強度分布為 2.13 圖2.16所示為透射式鋸齒型位相光柵。其折射率為，齒寬為，齒形角為，光柵整體孔徑為邊長的正方形。采用單位振幅的單色平面波垂直照明，求距離光柵為的觀察平面上夫瑯和費衍射圖樣的強度分布。若讓衍射圖樣中的某個一級譜幅值最大，應(yīng)如何選擇？ 圖2.16（ 題2.13） 答：在如圖的透射式鋸齒型位相光柵中，單位振幅的單色平面波由光柵的背后平面入射垂直照明，則在齒頂平面形成的光波復(fù)振幅分布可表示為 其角譜為 若讓衍射圖樣中的m級譜幅值最大，應(yīng)選擇使得 因而有 2.14 設(shè)為矩形函數(shù)，試編寫程序求，，時，其分?jǐn)?shù)階傅里葉變換，并繪制出相應(yīng)的曲線。 答：根據(jù)分?jǐn)?shù)階傅里葉變換定義式(2.62) 以及式 (2.79) 即可編程計算，，時的分?jǐn)?shù)階傅里葉變換（此處略）。 第三章 習(xí)題解答 3.1 參看圖3.5，在推導(dǎo)相干成像系統(tǒng)點擴散函數(shù)（3.35）式時，對于積分號前的相位因子 試問 （1） 物平面上半徑多大時，相位因子 相對于它在原點之值正好改變π弧度？ （2） 設(shè)光瞳函數(shù)是一個半徑為a的圓，那么在物平面上相應(yīng)h的第一個零點的半徑是多少？ （3） 由這些結(jié)果，設(shè)觀察是在透鏡光軸附近進行，那么a，λ和do之間存在什么關(guān)系時可以棄去相位因子 解：（1）由于原點的相位為零，于是與原點位相位差為的條件是， （2）根據(jù)（3.1.5）式，相干成像系統(tǒng)的點擴散函數(shù)是透鏡光瞳函數(shù)的夫瑯禾費衍射圖樣，其中心位于理想像點 式中，而 （1） 在點擴散函數(shù)的第一個零點處，，此時應(yīng)有，即 （2） 將（2）式代入（1）式，并注意觀察點在原點，于是得 （3） （3）根據(jù)線性系統(tǒng)理論，像面上原點處的場分布，必須是物面上所有點在像面上的點擴散函數(shù)對于原點的貢獻(xiàn)。按照上面的分析，如果略去h第一個零點以外的影響，即只考慮h的中央亮斑對原點的貢獻(xiàn)，那么這個貢獻(xiàn)僅僅來自于物平面原點附近范圍內(nèi)的小區(qū)域。當(dāng)這個小區(qū)域內(nèi)各點的相位因子變化不大，就可認(rèn)為（3.1.3）式的近似成立，而將它棄去，假設(shè)小區(qū)域內(nèi)相位變化不大于幾分之一弧度（例如）就滿足以上要求，則，，也即 （4） 例如，，則光瞳半徑，顯然這一條件是極易滿足的。 3.2 一個余弦型振幅光柵，復(fù)振幅透過率為 放在圖3.5所示的成像系統(tǒng)的物面上，用單色平面波傾斜照明，平面波的傳播方向在x0z平面內(nèi)，與z軸夾角為θ。透鏡焦距為f，孔徑為D。 （1） 求物體透射光場的頻譜； （2） 使像平面出現(xiàn)條紋的最大θ角等于多少？求此時像面強度分布； (3) 若θ采用上述極大值，使像面上出現(xiàn)條紋的最大光柵頻率是多少？與θ=0時的截止頻率比較，結(jié)論如何？ 解：（1）斜入射的單色平面波在物平面上產(chǎn)生的場為，為確定起見設(shè)，則物平面上的透射光場為 其頻譜為 由此可見，相對于垂直入射照明，物頻譜沿軸整體平移了距離。 （2）欲使像面有強度變化，至少要有兩個頻譜分量通過系統(tǒng)，系統(tǒng)的截止頻率，于是要求 ， 由此得 （1） 角的最大值為 （2） 此時像面上的復(fù)振幅分布和強度分布為 （3）照明光束的傾角取最大值時，由（1）式和（2）式可得 即 或 （3） 時，系統(tǒng)的截止頻率為，因此光柵的最大頻率 （4） 比較（3）和（4）式可知，當(dāng)采用傾角的平面波照明時系統(tǒng)的截止頻率提高了一倍，也就提高了系統(tǒng)的極限分辨率，但系統(tǒng)的通帶寬度不變。 3.3光學(xué)傳遞函數(shù)在fx= fy =0處都等于1，這是為什么？光學(xué)傳遞函數(shù)的值可能大于1嗎？如果光學(xué)系統(tǒng)真的實現(xiàn)了點物成點像，這時的光學(xué)傳遞函數(shù)怎樣？ （1）在（3.4.5）式中，令 為歸一化強度點擴散函數(shù)，因此（3.4.5）式可寫成 而 即不考慮系統(tǒng)光能損失時，認(rèn)定物面上單位強度點源的總光通量將全部彌漫在像面上，這便是歸一化點擴散函數(shù)的意義 （2）不能大于1 （3）對于理想成像，歸一化點擴散函數(shù)是函數(shù)，其頻譜為常數(shù)1，即系統(tǒng)對任何頻率的傳遞都是無損的。 3.4當(dāng)非相干成像系統(tǒng)的點擴散函數(shù)hI（xi，yi）成點對稱時，則其光學(xué)傳遞函數(shù)是實函數(shù)。 解：由于是實函數(shù)并且是中心對稱的，即有，，應(yīng)用光學(xué)傳遞函數(shù)的定義式（3.4.5）易于證明，即為實函數(shù)。 3.5 非相干成像系統(tǒng)的出瞳是由大量隨機分布的小圓孔組成。小圓孔的直徑都為2a，出瞳到像面的距離為di，光波長為λ，這種系統(tǒng)可用來實現(xiàn)非相干低通濾波。系統(tǒng)的截止頻率近似為多大？ 解：用公式（3.4.15）來分析。首先，由于出瞳上的小圓孔是隨機排列的，因此無論沿哪個方向移動出瞳計算重疊面積，其結(jié)果都一樣，即系統(tǒng)的截止頻率在任何方向上均相同。其次，作為近似估計，只考慮每個小孔自身的重疊情況，而不計及和其它小孔的重疊，這時N個小孔的重疊面積除以N個小孔的總面積，其結(jié)果與單個小孔的重疊情況是一樣的，即截止頻率約為，由于很小，所以系統(tǒng)實現(xiàn)了低通濾波。 3.6 試用場的觀點證明在物的共軛面上得到物體的像 解：如圖 圖 3.6題 設(shè)是透過率函數(shù)為的物平面，是與共軛的像平面，即有 式中f 為透鏡的焦距，設(shè)透鏡無像差，成像過程分兩步進行： （1） 射到物面上的平面波在物體上發(fā)生衍射，結(jié)果形成入射到透鏡上的光場； （2） 這個入射到透鏡上的光場經(jīng)透鏡作位相變換后，在透鏡的后表面上形成衍射場，這個場傳到像面上形成物體的像。 為了計算光場，我們用菲涅耳近似，透鏡前表面的場為 這里假定只在物體孔徑之內(nèi)不為零，所以積分限變?yōu)?，此積分可以看成是函數(shù)的傅立葉變換，記為，其中 在緊靠透鏡后表面處 這個被透鏡孔徑所限制的場，在孔徑上發(fā)生衍射，在用菲涅耳近似，便可得到像面上的光場 由題設(shè)知， 并且假定透鏡孔徑外的場等于零，且忽略透鏡孔徑的限制，所以將上式中的積分限寫成無窮，于是上述積分為 注意 于是得 再考慮到和之間的關(guān)系得到 即得到像平面上倒立的，放大倍的像。 3.7 試寫出平移模糊系統(tǒng)，大氣擾動系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。 解：在照相系統(tǒng)的曝光期間，因線性平移使點變成小線段而造成圖像模糊，這種系統(tǒng)稱為平移模糊系統(tǒng)，它的線擴散函數(shù)為一矩形函數(shù) 其傳遞函數(shù)為 對于大氣擾動系統(tǒng)，設(shè)目標(biāo)物為一細(xì)線，若沒有大氣擾動，則理想成像為一條細(xì)線。由于大氣擾動，使在爆光期間內(nèi)細(xì)線的像作隨機晃動，按照概率理論，可以把晃動的線像用高斯函數(shù)描述。設(shè)晃動擺幅的均方根值為a，細(xì)線的線擴散函數(shù)為 對上式作傅立葉變換，就得到大氣擾動系統(tǒng)的傳遞函數(shù) 3.8 有一光楔（即薄楔形棱鏡），其折射率為n，頂角α很小，當(dāng)一束傍軸平行光入射其上時，出射光仍為平行光，只是光束方向向底邊偏轉(zhuǎn)了一角度（n-1）α，試根據(jù)這一事實，導(dǎo)出光束的位相變換函數(shù)t。 (x,y) θ δ=-(n-1)α 解：如圖所示， 設(shè)入射平行光與Z軸成θ角入射，按傍軸條件，θ角很小，入射到光楔上的光場為 通過光楔后的出射光場為 其中 –(n-1)α表示偏轉(zhuǎn)是順時針方向，即向底邊偏轉(zhuǎn)，又根據(jù)出射光場，入射光場和光楔變換函數(shù)三者的關(guān)系 有 于是有 。 第五章 習(xí)題解答 5．1兩束夾角為 q = 450的平面波在記錄平面上產(chǎn)生干涉，已知光波波長為632.8nm，求對稱情況下（兩平面波的入射角相等）該平面上記錄的全息光柵的空間頻率。 答：已知：q = 450，λ= 632.8nm，根據(jù)平面波相干原理，干涉條紋的空間分布滿足關(guān)系式 2 d sin（q/2）= λ 其中d 是干涉條紋間隔。由于兩平面波相對于全息干板是對稱入射的，故記錄 在干板上的全息光柵空間頻率為 fx = （1/d）= （1/λ）2 sin（q/2）= 1209.5 l/mm 故全息光柵的空間頻率為1209.5 l/mm。 5．2 如圖5.33所示，點光源A（0，-40，-150）和B（0，30，-100）發(fā)出的球面波在記錄平面上產(chǎn)生干涉： x A O z y B 圖5.33 （5.2題圖） （1） 寫出兩個球面波在記錄平面上復(fù)振幅分布的表達(dá)式； 答：設(shè)：點源A、B發(fā)出的球面波在記錄平面上的復(fù)振幅分布分別為UA和UB， 則有 其中: xA = xB = 0, yA = -40, zA = -150, yB = 30, zB = -100; aA、aB分別是球面波的振幅；k為波數(shù)。 （2） 寫出干涉條紋強度分布的表達(dá)式； I = |UA+UB|2 = UA UA* + UB UB* +UA*UB+ UAUB* （3）設(shè)全息干板的尺寸為100 100 mm2，l = 632.8nm，求全息圖上最高和最低空間頻率；說明這對記錄介質(zhì)的分辨率有何要求？ 解答：設(shè)全息干板對于坐標(biāo)軸是對稱的，設(shè)點源A與點源B到達(dá)干板的光線的最大和最小夾角分別為θmax和θmin，A、B發(fā)出的到達(dá)干板兩個邊緣的光線與干板的夾角分別為θA、θB、θA’和θB’，如圖所示，它們的關(guān)系為 θA A θmax θB 0 z B θA’ θB’ θmin y θA = tg-1[zA/（-yA - 50）] ，θB = tg-1[zB/（-yB - 50）] θA’= tg-1[zA/（yA - 50）] ，θB ’= tg-1[zB/（yB - 50）] θmax=θA -θB ， θmin=θB ’-θA’ 根據(jù)全息光柵記錄原理，全息圖上所記錄的 最高空間頻率 fmax= （2/l）sin（θmax/2）cos α1 最低空間頻率 fmin= （2/l）sin（θmin/2）cos α2 其中α角表示全息干板相對于對稱記錄情況的偏離角，由幾何關(guān)系可知 cos α1 = sin（θA +θB）/2 ， cos α2 = sin（θA’+θB’）/2 將數(shù)據(jù)代入公式得 fmax= 882 l/mm ，fmin= 503 l/mm 故全息圖的空間頻率最高為882 l/mm，最低為503 l/mm，要求記錄介質(zhì)的分辨率不得低于900 l/mm。 5.3 請依據(jù)全息照相原理說明一個漫反射物體的菲涅耳全息圖。 （1）為什么不能用白光再現(xiàn)？試證明如圖5.7所記錄和再現(xiàn)的菲涅耳全息圖的線模糊和色模糊的表達(dá)式（5.26）和（5.28）； （2）為什么全息圖的碎片仍能再現(xiàn)出物體完整的像？碎片尺寸的大小對再現(xiàn)像質(zhì)量有哪些影響？ （3）由全息圖再現(xiàn)的三維立體像與普通立體電影看到的立體像有何本質(zhì)區(qū)別？ 答：（1）首先證明（5.26）式，當(dāng)。即記錄光與再現(xiàn)光波長相同時，（5.21）式變?yōu)椋? 當(dāng)再現(xiàn)光源沒有展寬，即，一個點光源的像的展寬，與參考光源的展寬，成正比，即： 同樣，當(dāng)參考光源沒有展寬，再現(xiàn)光源的展寬也與像的展寬成正比 參考光源與再現(xiàn)光源同時存在微小展寬其最后結(jié)果展寬是兩者之和為： 此即式（5.26）。對于色模糊，由圖5.8可以看出： 色散角與波長成一定函數(shù)關(guān)系，由于波長范圍產(chǎn)生的色散角為： 因而有 該式即為書上（5.27）式，根據(jù)書上P132以后分析即可證明（5.28）式。 （2）由于全息圖上每一點都記錄了物體上所有點發(fā)出的波的全部信息，故每一點都可以在再現(xiàn)光照射下再現(xiàn)出像的整體，因而全息圖的碎片仍能再現(xiàn)出物體完整的像。不過對再現(xiàn)像有貢獻(xiàn)的點越多，像的亮度越高。每個點都在不同角度再現(xiàn)像，因而點越多，再現(xiàn)像的孔徑角也越大，像的分辨率越高，這就是碎片大小對再現(xiàn)像質(zhì)量的兩個方面影響。 5．4 用波長 l0= 632.8nm 記錄的全息圖，然后用 l= 488.0nm的光波再現(xiàn)，試問： （1）若lo = 10cm，lc = lr = ∞，像距l(xiāng)i =？ 解：根據(jù)菲涅耳全息圖物像距關(guān)系式（5．21C），像距l(xiāng)i由下式確定 原始像： 共軛像： 其中 = l / l0 ， 將lc = lr = ∞代入得 原始像距為 共軛像距為 （2）若lo = 10cm，lr = 20cm，lC = ∞，li =？； 解：同理,原始像距為 ≈ 26 cm 共軛像距為 lI ≈ - 26 cm （3） 第二種情況中，若lC改為lC = -50cm，li =？； 解：同理,原始像距為 lI ≈54 cm 共軛像距為 lI ≈ - 17 cm （4）若再現(xiàn)波長與記錄波長相同，求以上三種情況像的放大率M = ？ 解：當(dāng)l = l0 時 = 1 ，由成像放大率公式（5．25）可知 上述三種情況的放大率分別為 （1）M = 1 ； （2）M = 2 ； （3）M = 3．3 5．5 如圖5.34所示，用一束平面波R和會聚球面波A相干，記錄的全息圖稱為同軸全息透鏡（HL），通常將其焦距f定義為會聚球面波點源A的距離zA。 R A z HL 圖5.34 （5.5題圖） （1）試依據(jù)菲涅耳全息圖的物像關(guān)系公式（5.21）—（5.22），證明該全息透鏡的成像公式為 式中di為像距，d0為物距，f為焦距，m = l / l0（l0為記錄波長，l為再現(xiàn)波長），等號右邊的正號表示正透鏡，負(fù)號表示它同時又具有負(fù)透鏡的功能。 證明：根據(jù)菲涅耳全息圖的物像關(guān)系公式（5.21c）和（5.22c）有 根據(jù)題意，已知 di = li ，d0 = lc ，lr = ∞ ；焦距f是指當(dāng) l = l0時平行光入射得到的會聚點的距離，即當(dāng)lc=∞，m =1時的像距l(xiāng)i ，此時li = f （= zA）。 根據(jù)公式可得 于是有 f = + lo （=zA） 故：左邊==右邊 證明完畢。 （2）若已知zA= 20cm，l0 = 632.8nm，物距為d0 = -10cm，物高為hO= 2mm，物波長為 l = 488.0nm，問：能得到幾個像？求出它們的位置和大小，并說明其虛、實和正、倒。 解：由已經(jīng)證明了的全息透鏡成像公式可得 根據(jù)題意有f = zA= 20cm，m = l / l0 = 488.0nm / 632.8nm，d0 = -10cm，代入上式 -16．3 cm 原始像 得 di = -7．2 cm 共軛像 根據(jù)放大率公式（5．25） 由本題關(guān)系可知，上式中z0 = lo = f = 20cm，zr = lr = ∞，zc = lc = d0 = -10cm，代入上式得 0．6 原始像高h(yuǎn) = Mh0 = 1．20cm = 0．28 共軛像高h(yuǎn) = Mh0 = 0．56cm 故能得到兩個像，原始像位于 -16．3cm處，正立虛像，像高1．20cm；共軛像位于 -7．2cm處，正立虛像，像高0．56cm。 5．6 用圖5.33光路制作一個全息透鏡，記錄波長為l0 = 488.0nm，zA= 20cm，然后用白光平面波再現(xiàn)，顯然由于色散效應(yīng)，不同波長的焦點將不再重合。請計算對應(yīng)波長分別為l1= 400.0nm、l2 = 500.0nm、l3 = 600.0nm的透鏡焦距。 答：由（5．23）式可知 于是有 其中l(wèi)O = zA = 20cm，lc = lr = ∞，1 = l1 / l0，2 = l2 / l0，3 = l3 / l0， 代入數(shù)據(jù)得 f1’= 24．4cm； f2’= 19．5cm； f3’= 16．3cm 故對應(yīng)3個波長的焦距分別為24．4cm，19．5cm和16．3cm。 5．7 用圖5.35所示光路記錄和再現(xiàn)傅里葉變換全息圖。透鏡L1和 L2的焦距分別為f1 和f2，參考光角度為q ，求再現(xiàn)像的位置和全息成像的放大倍率。 O L1 q H H L2 P f1 f1 f2 f2 圖5.35 （5.7題圖） 答：根據(jù)傅里葉變換全息圖再現(xiàn)原理，由公式（5．33）可知，再現(xiàn)像對稱分布于零級兩側(cè)，且傾角分別為：+q，由幾何關(guān)系可知： + sin q = xp / f2 所以：xp = + f2 sin q 即原始像和共軛像分別位于xp = f2 sin q 和xp = - f2 sin q 處（注：輸出平面坐標(biāo)已作反轉(zhuǎn)處理）。 全息成像的放大倍率為。 5.8 根據(jù)布拉格條件式（5.61），試解釋為什么當(dāng)體全息圖乳膠收縮時，再現(xiàn)像波長會發(fā)生“藍(lán)移”現(xiàn)象；當(dāng)乳膠膨脹時，又會發(fā)生“紅移”現(xiàn)象。 答：根據(jù)布拉格條件式，當(dāng)體全息圖乳膠收縮時，條紋間隔變小，即減小時，由于記錄或再現(xiàn)時夾角不變，因此減小時也減小，再現(xiàn)像的波長隨之減小，發(fā)生“藍(lán)移”。 相反，當(dāng)乳膠膨脹時增大，再現(xiàn)像的波長增大，發(fā)生“紅移”。 5.9 說明在用迂回相位法制作計算全息圖時，為什么可用長方形孔的中心離軸樣點的距離來表征物函數(shù)的相位值，應(yīng)滿足怎樣的條件才能保證這一表征的實施。 答： 圖 5.9題（1） 圖 5.9題（2） 如圖1所示，迂回相位編碼的基本思想是，在全息圖的每個抽樣單元中，放置一個通光孔徑，通過改變通光孔徑的面積來實現(xiàn)光波場的振幅調(diào)制，而通過改變通光孔徑中心距抽樣單元中心的位置來實現(xiàn)光場相位編碼。而這個思想是從光柵中得到啟發(fā)的。 如圖2所示，當(dāng)用一束平面波垂直照明一柵距d恒定的平面光柵時，產(chǎn)生的各級衍射光仍為平面波，等相位面為垂直于相應(yīng)衍射方向的平面。根據(jù)光柵方程，光柵的任意兩條相鄰狹縫在第K級衍射方向的光程差為 是等相位的。如果某一點的狹縫位置有偏差，如柵距增大，則該處在第K級衍射方向的衍射光的光程差變?yōu)?，從而?dǎo)致一附加相移： 因此，光柵中柵距的變化量和相位成正比。 5.10 試說明為什么光刻膠只能用來記錄透射體全息圖，而不能用來記錄反射體全息圖，重鉻酸明膠和光致聚合物可以記錄反射體全息圖嗎？請分別說明理由。 答：在進行反射體全息記錄時，物光和參考光從介質(zhì)的兩側(cè)相向射入，介質(zhì)內(nèi)干涉面幾乎與介質(zhì)面平行。而光刻膠曝光機理是，曝光部分比未曝光波分溶解速率快，顯影時曝光區(qū)被迅速溶解，產(chǎn)生浮雕型的干涉條紋，只能記錄與干涉面幾乎與介質(zhì)面垂直的干涉條紋。因此光刻膠只能用來記錄透射體全息圖，不能用來記錄反射體全息圖 重鉻酸明膠和光致聚合物的記錄原理是產(chǎn)生折射率的變化，折射率的變化是可以記錄在體積內(nèi)的，因此重鉻酸明膠和光致聚合物可以記錄反射體全息圖。 第八章 習(xí) 題解答 8．1利用4f系統(tǒng)做阿貝—波特實驗，設(shè)物函數(shù)t（x1，y1）為一無限大正交光柵 其中a1、a2分別為x、y方向上縫的寬度，b1、b2則是相應(yīng)的縫間隔。頻譜面上得到如圖8-53（a）所示的頻譜。分別用圖8-53（b）（c）（d）所示的三種濾波器進行濾波，求輸出面上的光強分布（圖中陰影區(qū)表示不透明屏）。 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . （a） （b） （c） （d） 圖8.53（題8.1 圖） 答：根據(jù)傅里葉變換原理和性質(zhì)，頻譜函數(shù)為 T ( fx , fy ) = ? [ t ( x1 , y1 )] = { ? []? [] } *{? [? []} 將函數(shù)展開得 T ( fx , fy ) = * （1） 用濾波器（b）時，其透過率函數(shù)可寫為 濾波后的光振幅函數(shù)為 TF = 輸出平面光振幅函數(shù)為 t’（x3，y3）= ? -1[ TF ] = = 輸出強度分布為 I（x3，y3）= = - C 其中C是一個常數(shù)，輸出平面上得到的是頻率增加一倍的余弦光柵。 （2）用濾波器（c）時，其透過率函數(shù)可寫為 濾波后的光振幅函數(shù)為 TF = * 輸出平面光振幅函數(shù)為 t’（x3，y3）= ? -1[ TF ] = {* - } {* - } 輸出強度分布為 有兩種可能的結(jié)果，見課本中圖8．9和圖8．10。 （3）用濾波器（d）時，輸出平面將得到余弦光柵結(jié)構(gòu)的強度分布，方向與濾波狹縫方向垂直，周期為b’，它與物光柵周期b1、b2的關(guān)系為 8．2 采用圖8-53（b）所示濾波器對光柵頻譜進行濾波，可以改變光柵的空間頻率，若光柵線密度為100線/mm，濾波器僅允許 + 2級頻譜透過，求輸出面上干板記錄到的光柵的線密度。 答：根據(jù)對8．1題的分析，當(dāng)濾波器僅允許+ 2級頻譜通過時，輸出平面上的光振幅應(yīng)表達(dá)為 t’（x3）= ? -1 { } = 其振幅分布為一周期函數(shù)，空間頻率是基頻的2倍。而干板記錄到的是強度分布： I = = - C 其中C是一個常數(shù)。 故干板上記錄到的光柵頻率是基頻的4倍，即400線/mm。 8．3 在4f系統(tǒng)中，輸入物是一個無限大的矩形光柵，設(shè)光柵常數(shù)d = 4，線寬a =1，最大透過率為1，如不考慮透鏡有限尺寸的影響， （a）寫出傅里葉平面P2上的頻譜分布表達(dá)式； （b）寫出輸出平面復(fù)振幅和光強分布表達(dá)式； （c）在頻譜面上作高通濾波，擋住零頻分量，寫出輸出平面復(fù)振幅和光強分布表達(dá) 式； （d）若將一個π位相濾波器 放在P2平面的原點上，寫出輸出平面復(fù)振幅和光強分布表達(dá)式，并用圖形表示。 答：將8．1題結(jié)果代入，其中b1 = d = 4，a1 = a = 1，除去與y分量有關(guān)的項，可得 （a）P2平面上的頻譜分布為： （b）輸出平面： 復(fù)振幅 t（x3）= ? -1 [T（fx）] 若不考慮透鏡尺寸的影響，它應(yīng)該是原物的幾何像，即 t (x3) = * 光強分布 I (x3) = | t (x3)| 2 = * (c)擋住零頻分量，輸出平面情況與8．1題（3）相同，即 t (x3) = *- I = | t (x3) | 2 由于a = d / 4，所以強度將出現(xiàn)對比度反轉(zhuǎn)，像光柵常數(shù)仍為d = 4，線寬為 a’= 3，見下圖 t（x3） I（x3） 0 x3 0 x3 （d）將一個p位相濾波器置于零頻上。濾波器可表達(dá)為 只考慮一維情況，頻譜變?yōu)? T’（f x）= T（f x）H（f x） = = 輸出平面上的復(fù)振幅為 t (x3) = ? -1[T（f x）H（f x）] = -* - 8．4 圖8-54所示的濾波器函數(shù)可表示為： 此濾波器稱為希爾伯特濾波器。 證明希爾伯特濾波能夠?qū)⑷跷幌辔矬w的位相變化轉(zhuǎn)變?yōu)楣鈴姷淖兓? y L1 fy L2 x fx x y 圖 題8.4 答：位相物可表達(dá)為 t0（x1，y1）= Aexp [ j f（x1，y1）] 對于弱位相物有f < 1弧度，上式近似為（忽略A） t0（x1，y1）@ 1+ j f（x1，y1） 濾波平面得到 T（fx，fy）= ? [t0（x1，y1）] =d（fx，fy）+ jF（fx，fy） 其中 F（fx，fy）= ? [f（x1，y1）]。 經(jīng)希爾伯特濾波器，頻譜面后的光 分布為 像平面光場復(fù)振幅為 光強分布為 8．5 如圖8-55所示，在激光束經(jīng)透鏡會聚的焦點上，放置針孔濾波器，可以提供一個比較均勻的照明光場，試說明其原理。 L1 L2 針孔 激光器 題8.5 圖 答：在8.55圖中，激光器通過兩透鏡產(chǎn)生平行光時會出現(xiàn)不均勻照明的主要原因常常是激光器出射窗口及第一個透鏡L1表面上污物，使光束產(chǎn)生衍射造成的。這些衍射光不會會聚到L1焦點處，實際上是光束的高頻分量。在針孔光欄的作用下，除了焦點處的光以外的高頻分量均不能通過L2傳播出去，就會減少造成光束不均勻的衍射光，從而減少照明光場中的不均勻。 8．6 光柵的復(fù)振幅透過率為 t（x）= cos 2πf0 x 把它放在4f 系統(tǒng)輸入平面P1上，在頻譜面P2上的某個一級譜位置放一塊λ/ 2位相板，求像面的強度分布。 答：將復(fù)振幅透過率函數(shù)變換為 t（x）= cos 2πf0 x = [1+cos 2πf0 x ] / 2 其頻譜為 T（fx）= ? [t（x）] d（fx）+ ? [cos 2πf0 x] = d（fx）+ d（fx- f0）+ d（fx+ f0） 其中第一項為零級譜，后兩項以次為+1級和-1級譜。設(shè)將λ/ 2位相板放在+1級譜上，其透過率表達(dá)為 H（fx）= exp（jπ） 則頻譜面P2后的光振幅變?yōu)? T’= TH = d（fx）+ d（fx- f0）exp（j