初二期末復(fù)習(xí)串講.doc

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八年級(jí)期末復(fù)習(xí)精講（二）——勾股定理、四邊形及幾何綜合 【基礎(chǔ)知識(shí)要點(diǎn)】 一、 勾股定理 1、 熟悉勾股定理的內(nèi)容并能進(jìn)行簡(jiǎn)單證明 2、 掌握勾股定理的逆定理及證明 3、 能靈活應(yīng)用勾股定理及其逆定理進(jìn)行相關(guān)的計(jì)算、證明，去解決一些綜合問題。 二、四邊形 （一）平行四邊形 1、 掌握平行四邊形的定義，平行四邊形對(duì)角、對(duì)邊相等、對(duì)角線互相平分的性質(zhì)，能熟練地運(yùn)用平行四邊形的性質(zhì)進(jìn)行有關(guān)的論證和計(jì)算． 2、 平行四邊形各種判定方法及其應(yīng)用，尤其是根據(jù)不同條件能正確地選擇判定方法． 3、 掌握和運(yùn)用三角形中位線的性質(zhì)，會(huì)進(jìn)行三角形中位線性質(zhì)的證明（輔助線的添加方法）． （2） 特殊四邊形 1、 掌握矩形的判定及性質(zhì)的綜合應(yīng)用． 2、 理解并掌握菱形的定義及性質(zhì)，并會(huì)應(yīng)用進(jìn)行有關(guān)的論證和計(jì)算，會(huì)計(jì)算菱形的面積．能夠靈活應(yīng)用菱形的判定定理進(jìn)行菱形的判定。 3、 掌握正方形的概念、性質(zhì)和判定，并會(huì)用它們進(jìn)行有關(guān)的論證和計(jì)算；熟悉正方形與平行四邊形、矩形、菱形的區(qū)別與聯(lián)系，能靈活應(yīng)用解決綜合問題。 4、 理解梯形、等腰梯形的概念，掌握解決梯形問題的基本方法（將梯形轉(zhuǎn)化為平行四邊形和三角形及正確運(yùn)用輔助線），及梯形有關(guān)知識(shí)的應(yīng)用． 5、 掌握等腰梯形的判定方法并能綜合運(yùn)用． 6、 理解梯形中位線，會(huì)證明并應(yīng)用； 7、 掌握幾何計(jì)算、證明問題中的基本輔助線做法，熟練解題。 【典例講解】 一、 勾股定理 B C D A C＇ B＇ a b 1、一個(gè)直立的火柴盒在桌面上倒下，啟迪人們發(fā)現(xiàn)了勾股定理的一種新的驗(yàn)證方法.如圖，火柴盒的一個(gè)側(cè)面ABCD倒下到AB′C′D′的位置，連接CC′，設(shè)AB=a,BC=b,AC=c，請(qǐng)利用四邊形BCC′D′的面積驗(yàn)證勾股定理：a2+b2=c2. c D＇ F E A C B D 2. 如圖，E、F分別是正方形ABCD中BC和CD邊上的點(diǎn)，且AB=4，CE=BC，F(xiàn)為CD的中點(diǎn)，連接AF、AE，問△AEF是什么三角形？請(qǐng)說明理由. 3、如圖，折疊矩形ABCD，先折出折痕（對(duì)角線）BD，再折疊使AD邊與對(duì)角線BD重合得折痕DG，若AB=2，BC=1。求AG。 4、一張矩形紙片ABCD的邊長(zhǎng)分別為9cm和3cm，把頂點(diǎn)A和C疊合在一起，得到折痕EF。（1）證明四邊形AECF是菱形。（2）計(jì)算折痕EF的長(zhǎng)。（3）求的面積。 5、P是等邊三角形ABC內(nèi)的一點(diǎn)，連接PA、PB、PC，以BP為邊作,且BQ=BP，連接CQ。（1）觀察并猜想AP與CQ之間的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論。 （2）若，連接PQ，試判斷的形狀，說明理由。 6、如圖，在正方形ABCD中，E、F分別是BC、CD上兩點(diǎn)，若，試推斷BE、CF、EF之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由。 變式1：已知AD//BC，AB=BC=3，BE=1，求AD。 變式2：已知△ABC中，求AD。 7、等腰中，，E、F是BC上的點(diǎn)，; 求證： 8、 如圖，在△ABC中，∠ACB=90，AC=BC，P是△ABC內(nèi)的一點(diǎn)，且PB=1，PC=2，PA=3，求∠BPC的度數(shù)． A C P B 9、細(xì)心觀察圖，認(rèn)真分析，然后回答問題。 (1) 請(qǐng)你用含有（是正整數(shù)）的等式表示上述變化規(guī)律； (2) 推算出的長(zhǎng)度； (3) 求出的值。 10、觀察下列各式，你有什么發(fā)現(xiàn)？ 32=4+5， 52=12+13， 72=24+25， 92=40+41…… 這到底是巧合，還是有什么規(guī)律蘊(yùn)涵其中呢？ （1）填空：132= + （2）請(qǐng)寫出你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律。 （3）結(jié)合勾股定理有關(guān)知識(shí)，說明你的結(jié)論的正確性。 11、長(zhǎng)為5m的梯子搭在墻上與地面成45角，作業(yè)時(shí)調(diào)整為60角（如圖所示）， 則梯子的頂端沿墻面升高了 m． 變形1：一架25分米長(zhǎng)的梯子，斜立在一豎直的墻上，這時(shí)梯足距離墻底端7分米.如果梯子的頂端沿墻下滑4分米，那么梯足將滑動(dòng)(　 ) 　 A. 9分米　　　　B. 15分米　　　　C. 5分米　　　　 D. 8分米 變形2：如上圖，梯子AB斜靠在墻面上，,當(dāng)梯子的頂端A沿AC方向向下滑米時(shí)，梯足B沿CB方向滑動(dòng)米，則與的大小關(guān)系為（ ） A．x=y B．x>y C．x0）秒時(shí)，求y關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式． 海淀一模12. 如圖，+1個(gè)邊長(zhǎng)為2的等邊三角形有一條邊在同一直線上，設(shè)△的面積為，△的面積為，…，△的面積為，則= ；=____ （用含的式子表示）． 朝陽一模22．（本小題滿分5分） 如圖，矩形ABCD中，AB=4，BC=8，將矩形ABCD繞點(diǎn)C 順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90得到矩形CGEF． （1）求點(diǎn)A在旋轉(zhuǎn)過程中所走過的路徑的長(zhǎng)（結(jié)果保留和根號(hào)）； （2）點(diǎn)P為線段BC上一點(diǎn)（不包括端點(diǎn)），且AP⊥EP，求△APE的面積． 朝陽一模23．（本小題滿分7分） 請(qǐng)閱讀下列材料 問題：如圖1，在等邊三角形ABC內(nèi)有一點(diǎn)P，且PA=2， PB=， PC=1．求∠BPC度數(shù)的大小和等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)． 李明同學(xué)的思路是：將△BPC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60，畫出旋轉(zhuǎn)后的圖形（如圖2）．連接PP′，可得△P′PC是等邊三角形，而△PP′A又是直角三角形（由勾股定理的逆定理可證）．所以∠AP′C=150，而∠BPC=∠AP′C=150．進(jìn)而求出等邊△ABC的邊長(zhǎng)為．問題得到解決． 請(qǐng)你參考李明同學(xué)的思路，探究并解決下列問題：如圖3，在正方形ABCD內(nèi)有一點(diǎn)P，且PA=，BP=，PC=1．求∠BPC度數(shù)的大小和正方形ABCD的邊長(zhǎng)． 圖2 圖3 圖1  豐臺(tái)一摸22．在圖1中，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為a，等腰直角三角形FAE的斜邊AE＝2b，且邊AD和AE在同一直線上． 操作示例 當(dāng)2b＜a時(shí)，如圖1，在BA上選取點(diǎn)G，使BG＝b，連結(jié)FG和CG，裁掉△FAG和△CGB并分別拼接到△FEH和△CHD的位置構(gòu)成四邊形FGCH． 思考發(fā)現(xiàn) 小明在操作后發(fā)現(xiàn)：該剪拼方法就是先將△FAG繞點(diǎn)F逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90到△FEH的位置，易知EH與AD在同一直線上．連結(jié)CH，由剪拼方法可得DH=BG，故△CHD≌△CGB，從而又可將△CGB繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90到△CHD的位置．這樣，對(duì)于剪拼得到的四邊形FGCH（如圖1），過點(diǎn)F作FM⊥AE于點(diǎn)M（圖略），利用SAS公理可判斷△HFM≌△CHD，易得FH=HC=GC=FG，∠FHC=90．進(jìn)而根據(jù)正方形的判定方法，可以判斷出四邊形FGCH是正方形． 實(shí)踐探究 （1）正方形FGCH的面積是 ；（用含a，b的式子表示） 圖3 F A B C D E 圖 4 F A B C D E 圖2 F A B C (E) D 2b＝a a＜2b＜2a b＝a （2）類比圖1的剪拼方法，請(qǐng)你就圖2—圖4的三種情形分別畫出剪拼成一個(gè)新正方形的示意圖． F 圖1 A B C E D H G 2b＜a 聯(lián)想拓展F 圖5 A B C E D b＞a 小明通過探究后發(fā)現(xiàn)：當(dāng)b≤a時(shí)，此類圖形都能剪拼成正方形，且所選取的點(diǎn)G的位置在BA方向上隨著b的增大不斷上移．當(dāng)b＞a時(shí)（如圖5），能否剪拼成一個(gè)正方形？若能，請(qǐng)你在圖5中畫出剪拼成的正方形的示意圖；若不能，簡(jiǎn)要說明理由． 西城二模18． 如圖，在矩形ABCD中， AB＝6，∠BAC=30，點(diǎn)E在CD邊上． （1）若AE=4，求梯形ABCE的面積； （2）若點(diǎn)F在AC上，且，求的值． 西城二模24．在△ABC中，點(diǎn)P為BC的中點(diǎn)． （1）如圖1，求證：AP＜（AB+BC）； （2）延長(zhǎng)AB到D，使得BD=AC，延長(zhǎng)AC到E，使得CE=AB，連結(jié)DE． ①如圖2，連結(jié)BE，若∠BAC=60，請(qǐng)你探究線段BE與線段AP之間的數(shù)量關(guān)系．寫出你的結(jié)論，并加以證明； ②請(qǐng)?jiān)趫D3中證明：BC≥DE． 【鞏固練習(xí)】 第8題圖 1、宣武一模8. 如圖，正方形的邊長(zhǎng)為2, 將長(zhǎng)為2的線段的兩端放在正 方形相鄰的兩邊上同時(shí)滑動(dòng)．如果點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿圖中所示方向按 滑動(dòng)到點(diǎn)為止，同時(shí)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿 圖中所示方向按滑動(dòng)到點(diǎn)為止，那么在這個(gè) 過程中，線段的中點(diǎn)所經(jīng)過的路線圍成的圖形的面積為 A. 2 　　　　　B. 4－ C. 　 　　　　D. 2.（2009年杭州市）如圖，在菱形ABCD中，∠A=110，E，F(xiàn)分別是邊AB和BC的中點(diǎn)，EP⊥CD于點(diǎn)P，則∠FPC=（ ） A．35 B．45 C．50 D．55 A D E P C B F 3、.（2009仙桃）將矩形紙片ABCD按如圖所示的方式折疊，AE、EF為折痕，∠BAE＝30，AB＝，折疊后，點(diǎn)C落在AD邊上的C1處，并且點(diǎn)B落在EC1邊上的B1處．則BC的長(zhǎng)為（ ）． A、 B、2 C、3 D、 x y O C B A 4、.（2009年長(zhǎng)春）．菱形在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示，，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（ ） A． B． B． C． D． 5．（2009年甘肅慶陽）如圖4，在平行四邊形ABCD中，E是AB的中點(diǎn)，CE和BD交于點(diǎn)O，設(shè)△OCD的面積為m，△OEB的面積為，則下列結(jié)論中正確的是（　?。? A． B． C． D． 6.（2009泰安）如圖，雙曲線經(jīng)過矩形QABC的邊BC的中點(diǎn)E，交AB于點(diǎn)D。若梯形ODBC的面積為3，則雙曲線的解析式為 （A） （B） （C） （D） 7.（2009年莆田）如圖1，在矩形中，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿→→→方向運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)處停止．設(shè)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路程為，的面積為，如果關(guān)于的函數(shù)圖象如圖2所示，則當(dāng)時(shí)，點(diǎn)應(yīng)運(yùn)動(dòng)到（ ） Q P R M N （圖1） （圖2） 4 9 y x O A．處 B．處 C．處 D．處 8、.(2009年撫順市)如圖所示，正方形的面積為12，是等邊三角形，點(diǎn)在正方形內(nèi)，在對(duì)角線上有一點(diǎn)，使的和最小，則這個(gè)最小值為（ ） A D E P B C A． B． C．3 D． 9．（2009臨沂）如圖，在菱形ABCD中，，AD的垂直平分線交對(duì)角線BD于點(diǎn)P，垂足為E，連接CP，則________度． D C B A E P 10、.（2009賀州）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1cm，E、F分別是BC、CD的中點(diǎn)，連接BF、DE，則圖中陰影部分的面積是 cm2． B C E A D F 11.（2008桂林市）如圖，矩形的面積為４，順次連結(jié)各邊中點(diǎn)得到四邊形，再順次連結(jié)四邊形四邊中點(diǎn)得到四邊形，依此類推，求四邊形的面積是　　。 A B D C 12．（2008年陜西?。┤鐖D，梯形中，，，且，分別以為邊向梯形外作正方形，其面積分別為，則之間的關(guān)系是 ． 13．（2009年湖北十堰市）如圖①，四邊形ABCD是正方形, 點(diǎn)G是BC上任意一點(diǎn)，DE⊥AG于點(diǎn)E，BF⊥AG于點(diǎn)F. (1) 求證：DE－BF = EF． (2) 當(dāng)點(diǎn)G為BC邊中點(diǎn)時(shí), 試探究線段EF與GF之間的數(shù)量關(guān)系， 并說明理由． (3) 若點(diǎn)G為CB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，其余條件不變．請(qǐng)你在圖②中畫出圖形，寫出此時(shí)DE、BF、EF之間的數(shù)量關(guān)系（不需要證明）． 14.（崇文一）2５． 在等邊的兩邊AB、AC所在直線上分別有兩點(diǎn)M、N，D為外一點(diǎn)，且,,BD=DC. 探究：當(dāng)M、N分別在直線AB、AC上移動(dòng)時(shí)，BM、NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系及的周長(zhǎng)Q與等邊的周長(zhǎng)L的關(guān)系． 圖1 圖2 圖3 （I）如圖1，當(dāng)點(diǎn)M、N邊AB、AC上，且DM=DN時(shí)，BM、NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系是 ； 此時(shí) ； （II）如圖2，點(diǎn)M、N邊AB、AC上，且當(dāng)DMDN時(shí)，猜想（I）問的兩個(gè)結(jié)論還成立嗎？寫出你的猜想并加以證明； （III） 如圖3，當(dāng)M、N分別在邊AB、CA的延長(zhǎng)線上時(shí)， 若AN=，則Q= （用、L表示）． 15.（豐臺(tái)一）23．如圖1，在中，為銳角，點(diǎn)為射線上一點(diǎn)，聯(lián)結(jié)，以為一邊且在的右側(cè)作正方形． （1）如果，， ①當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)（與點(diǎn)不重合），如圖2，線段所在直線的位置關(guān)系為 __________ ，線段的數(shù)量關(guān)系為 ； ②當(dāng)點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖3，①中的結(jié)論是否仍然成立，并說明理由； FD 圖3 A B D C E 圖2 A B D E C F 圖1 A B D F E C （2）如果，是銳角，點(diǎn)在線段上，當(dāng)滿足什么條件時(shí)，（點(diǎn)不重合），并說明理由． 三、數(shù)據(jù)的分析 1、 理解數(shù)據(jù)的權(quán)和加權(quán)平均數(shù)的概念，會(huì)求加權(quán)平均數(shù)，能根據(jù)頻數(shù)分布表求加權(quán)平均數(shù) 2、 認(rèn)識(shí)中位數(shù)、眾數(shù)這兩種數(shù)據(jù)代表，能利用中位數(shù)、眾數(shù)分析數(shù)據(jù)信息做出決策 3、 了解平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)之間的差異 4、 會(huì)求一組數(shù)據(jù)的極差