《醫(yī)用高等數(shù)學》教案第4章.ppt

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醫(yī)用高等數(shù)學 教案第四章多元函數(shù)微積分 第一節(jié)多元函數(shù)第二節(jié)偏導數(shù)與全微分第三節(jié)多元函數(shù)微分法第四節(jié)多元函數(shù)的極值第五節(jié)二重積分 2020 3 28 醫(yī)用高等數(shù)學 第四章 第2頁 第一節(jié)多元函數(shù) 一 空間解析幾何簡介二 多元函數(shù)的概念三 二元函數(shù)的極限與連續(xù) 2020 3 28 醫(yī)用高等數(shù)學 第四章 第3頁 一 空間解析幾何簡介 1 右手法則 2 點的坐標 P x y z 3 任意兩點之間的距離 P1 x1 y1 z1 P2 x2 y2 z2 則 2020 3 28 醫(yī)用高等數(shù)學 第四章 第4頁 幾類常見的方程 4 Ax By Cz D 0 平面方程 x x0 2 y y0 2 z z0 2 R2 球面方程 x2 y2 R2 柱面方程 z x2 y2 橢圓拋物面 z2 x2 y2 圓錐面 見圖4 3 見圖4 4 見圖4 5 見圖4 6 2020 3 28 醫(yī)用高等數(shù)學 第四章 第5頁 圖形 球面方程 柱面方程 橢圓拋物面 圓錐面 2020 3 28 醫(yī)用高等數(shù)學 第四章 第6頁 二 多元函數(shù)的概念 定義4 1 其中x y 稱為自變量 z稱為因變量 函數(shù)值z0 f x0 y0 在xOy平面上使函數(shù)f x y 有定義的一切點的集合叫做函數(shù)的定義域 2020 3 28 醫(yī)用高等數(shù)學 第四章 第7頁 多元函數(shù) 補充 鄰域 類似地可定義三元及三元以上函數(shù) 2020 3 28 醫(yī)用高等數(shù)學 第四章 第8頁 補充例 求的定義域 解 所求定義域為 2020 3 28 醫(yī)用高等數(shù)學 第四章 第9頁 二元函數(shù)z f x y 的圖形 如下頁圖 2020 3 28 醫(yī)用高等數(shù)學 第四章 第10頁 二元函數(shù)的圖形通常是一張曲面 2020 3 28 醫(yī)用高等數(shù)學 第四章 第11頁 例如 例如 圖形如右圖 右下圖球面 單值分支 2020 3 28 醫(yī)用高等數(shù)學 第四章 第12頁 三 二元函數(shù)的極限與連續(xù) 1 二元函數(shù)的極限定義4 2 設函數(shù)z f x y 在點P0 x0 y0 的某一鄰域內有定義 P x y 是定義域內任一點 當點P x y 以任何路徑無限接近于點P0 x0 y0 時 f x y 無限接近于一個定數(shù)A 則稱A是函數(shù)f x y 當x x0 y y0 或P x y P0 x0 y0 時的極限 也稱為二重極限 doublelimit 記作 2020 3 28 醫(yī)用高等數(shù)學 第四章 第13頁 說明 確定極限不存在的方法 1 定義中P P0的方式是任意的 2 二元函數(shù)的極限運算法則與一元函數(shù)類似 2020 3 28 醫(yī)用高等數(shù)學 第四章 第14頁 補充例 證 又 當x 0 y 0時 2020 3 28 醫(yī)用高等數(shù)學 第四章 第15頁 例4 9 證 1o當 x y 沿x軸趨于 0 0 時 2o當 x y 沿直線y kx趨于 0 0 時 f x y 0 其值隨k值的不同而變化 故f x y 的極限不存在 2020 3 28 醫(yī)用高等數(shù)學 第四章 第16頁 補充例 求證 證 當時 原結論成立 2020 3 28 醫(yī)用高等數(shù)學 第四章 第17頁 補充例 證 證明不存在 取 其值隨k的不同而變化 故極限不存在 2020 3 28 醫(yī)用高等數(shù)學 第四章 第18頁 觀察 不存在 播放 2020 3 28 醫(yī)用高等數(shù)學 第四章 第19頁 2 二元函數(shù)的連續(xù)性 定義4 3 如果二元函數(shù)z f x y 滿足 1 在點P0 x0 y0 的某一鄰域內有定義 2 極限存在 則稱函數(shù)z f x y 在點P0 x0 y0 處連續(xù) 如果函數(shù)z f x y 在區(qū)域D內的每一點上都連續(xù) 則稱函數(shù)z f x y 在區(qū)域D內連續(xù) 函數(shù)的不連續(xù)點叫做間斷點 2020 3 28 醫(yī)用高等數(shù)學 第四章 第20頁 補充例 討論函數(shù) 在 0 0 的連續(xù)性 解 取 其值隨k的不同而變化 極限不存在 故函數(shù)在 0 0 處不連續(xù) 2020 3 28 醫(yī)用高等數(shù)學 第四章 第21頁 多元初等函數(shù) 由多元多項式及基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次的四則運算和復合步驟所構成的可用一個式子所表示的多元函數(shù)叫多元初等函數(shù) 一切多元初等函數(shù)在其定義區(qū)域內是連續(xù)的 定義區(qū)域是指包含在定義域內的區(qū)域或閉區(qū)域 2020 3 28 醫(yī)用高等數(shù)學 第四章 第22頁 一般地 補充例 解 2020 3 28 醫(yī)用高等數(shù)學 第四章 第23頁 第二節(jié)偏導數(shù)與全微分 一 偏導數(shù)的概念二 偏導數(shù)的幾何意義三 高階偏導數(shù)四 全微分 2020 3 28 醫(yī)用高等數(shù)學 第四章 第24頁 一 偏導數(shù)的概念 定義4 4 2020 3 28 醫(yī)用高等數(shù)學 第四章 第25頁 記為 2020 3 28 醫(yī)用高等數(shù)學 第四章 第26頁 偏導函數(shù) 常簡稱為偏導數(shù) 2020 3 28 醫(yī)用高等數(shù)學 第四章 第27頁 偏導數(shù)的概念可以推廣到二元以上函數(shù) 如在處 2020 3 28 醫(yī)用高等數(shù)學 第四章 第28頁 例4 16 證 原結論成立 2020 3 28 醫(yī)用高等數(shù)學 第四章 第29頁 例4 18 證 2020 3 28 醫(yī)用高等數(shù)學 第四章 第30頁 有關偏導數(shù)的幾點說明 1 2 例如 求分界點 不連續(xù)點處的偏導數(shù)要用定義求 解 2020 3 28 醫(yī)用高等數(shù)學 第四章 第31頁 3 偏導數(shù)存在與連續(xù)的關系 例如 但函數(shù)在該點處并不連續(xù) 偏導數(shù)存在連續(xù) 一元函數(shù)中在某點可導連續(xù) 多元函數(shù)中在某點偏導數(shù)存在連續(xù) 2020 3 28 醫(yī)用高等數(shù)學 第四章 第32頁 二 偏導數(shù)的幾何意義 如圖 2020 3 28 醫(yī)用高等數(shù)學 第四章 第33頁 幾何意義 2020 3 28 醫(yī)用高等數(shù)學 第四章 第34頁 三 高階偏導數(shù) 定義 純偏導 混合偏導 二階及二階以上的偏導數(shù)統(tǒng)稱為高階偏導數(shù) 2020 3 28 醫(yī)用高等數(shù)學 第四章 第35頁 補充例 解 2020 3 28 醫(yī)用高等數(shù)學 第四章 第36頁 定理4 1 問題 混合偏導數(shù)都相等嗎 具備怎樣的條件才相等 2020 3 28 醫(yī)用高等數(shù)學 第四章 第37頁 四 全微分 由一元函數(shù)微分學中增量與微分的關系得 2020 3 28 醫(yī)用高等數(shù)學 第四章 第38頁 全增量的概念 2020 3 28 醫(yī)用高等數(shù)學 第四章 第39頁 全微分的定義 2020 3 28 醫(yī)用高等數(shù)學 第四章 第40頁 習慣上 記全微分為 全微分的定義可推廣到三元及三元以上函數(shù) 通常我們把二元函數(shù)的全微分等于它的兩個偏微分之和這件事稱為二元函數(shù)的微分符合疊加原理 疊加原理也適用于二元以上函數(shù)的情況 2020 3 28 醫(yī)用高等數(shù)學 第四章 第41頁 例 解 所以 2020 3 28 醫(yī)用高等數(shù)學 第四章 第42頁 補充例 解 所求全微分 2020 3 28 醫(yī)用高等數(shù)學 第四章 第43頁 可微的條件 定理 1 必要條件 2020 3 28 醫(yī)用高等數(shù)學 第四章 第44頁 說明 定理 2 充分條件 多元函數(shù)的各偏導數(shù)存在并不能保證全微分存在 2020 3 28 醫(yī)用高等數(shù)學 第四章 第45頁 多元函數(shù)連續(xù) 可導 可微的關系 2020 3 28 醫(yī)用高等數(shù)學 第四章 第46頁 第三節(jié)多元函數(shù)微分法 一 復合函數(shù)微分法二 隱函數(shù)微分法 2020 3 28 醫(yī)用高等數(shù)學 第四章 第47頁 一 復合函數(shù)微分法 定理4 2 設函數(shù)z f u v 是變量u v的函數(shù) 而u和v又是變量x y的函數(shù) u u x y v v x y 則 z f u x y v x y 是自變量x y的二元復合函數(shù) 2020 3 28 醫(yī)用高等數(shù)學 第四章 第48頁 函數(shù)變量之間的復合關系圖 2020 3 28 醫(yī)用高等數(shù)學 第四章 第49頁 類似地再推廣 2020 3 28 醫(yī)用高等數(shù)學 第四章 第50頁 特例 2020 3 28 醫(yī)用高等數(shù)學 第四章 第51頁 上定理的結論可推廣到中間變量多于兩個的情況 全導數(shù) 如 以上公式中的導數(shù)稱為 2020 3 28 醫(yī)用高等數(shù)學 第四章 第52頁 例4 25 解 2020 3 28 醫(yī)用高等數(shù)學 第四章 第53頁 補充例 分析 z是以x y為自變量 以u v為中間變量的復合函數(shù) 其復合關系圖示意如下 2020 3 28 醫(yī)用高等數(shù)學 第四章 第54頁 解 而 因此 同理 2020 3 28 醫(yī)用高等數(shù)學 第四章 第55頁 例4 26 分析 證明 z是以x y為自變量的抽象函數(shù) 則z f u 是以u為中間變量 x y為自變量的復合函數(shù) 其復合關系圖示意如下 2020 3 28 醫(yī)用高等數(shù)學 第四章 第56頁 證 已知f u 為可微函數(shù) 于是 故 2020 3 28 醫(yī)用高等數(shù)學 第四章 第57頁 例4 28 設z arctan xy 而y ex 解 2020 3 28 醫(yī)用高等數(shù)學 第四章 第58頁 特殊地 即 令 其中 兩者的區(qū)別 區(qū)別類似 2020 3 28 醫(yī)用高等數(shù)學 第四章 第59頁 補充 例4 25 1 解 2020 3 28 醫(yī)用高等數(shù)學 第四章 第60頁 多元函數(shù) 一階 微分形式不變性 全微分形式不變性的實質 無論z是自變量x y的函數(shù)或中間變量u v的函數(shù) 它的全微分形式是一樣的 2020 3 28 醫(yī)用高等數(shù)學 第四章 第61頁 二 隱函數(shù)微分法 1 若F x y 0 其中y f x 由全導數(shù)公式 即 則有 2020 3 28 醫(yī)用高等數(shù)學 第四章 第62頁 2 F x y z 0 其中z f x y 則 2020 3 28 醫(yī)用高等數(shù)學 第四章 第63頁 例4 30 求由方程y xey x 0所確定的y作為x的函數(shù)的導數(shù) 解 令 得 2020 3 28 醫(yī)用高等數(shù)學 第四章 第64頁 例4 31 求由方程ez xyz 0所確定的函數(shù)z的偏導數(shù) 解 令F x y z ez xyz 則 于是 2020 3 28 醫(yī)用高等數(shù)學 第四章 第65頁 第四節(jié)多元函數(shù)的極值 一 二元函數(shù)的極值二 條件極值 2020 3 28 醫(yī)用高等數(shù)學 第四章 第66頁 一 二元函數(shù)的極值 播放 2020 3 28 醫(yī)用高等數(shù)學 第四章 第67頁 定義4 6 極大值 極小值統(tǒng)稱為極值 使函數(shù)取得極值的點稱為極值點 二元函數(shù)極值的定義 2020 3 28 醫(yī)用高等數(shù)學 第四章 第68頁 補充例 例 3 1 2 3 例 1 例 2 2020 3 28 醫(yī)用高等數(shù)學 第四章 第69頁 定理4 3 極值存在的必要條件 證 2020 3 28 醫(yī)用高等數(shù)學 第四章 第70頁 類似地可證 推廣 2020 3 28 醫(yī)用高等數(shù)學 第四章 第71頁 駐點 定理4 4 極值存在的充分條件 仿照一元函數(shù) 凡能使一階偏導數(shù)同時為零的點 均稱為函數(shù)的 駐點 極值點 問題 如何判定一個駐點是否為極值點 注意 2020 3 28 醫(yī)用高等數(shù)學 第四章 第72頁 又 則 2020 3 28 醫(yī)用高等數(shù)學 第四章 第73頁 求函數(shù)z f x y 極值的一般步驟 2020 3 28 醫(yī)用高等數(shù)學 第四章 第74頁 多元函數(shù)的最值 求最值的一般方法 將函數(shù)在D內的所有駐點處的函數(shù)值及在D的邊界上的最大值和最小值相互比較 其中最大者即為最大值 最小者即為最小值 與一元函數(shù)相類似 我們可以利用函數(shù)的極值來求函數(shù)的最大值和最小值 2020 3 28 醫(yī)用高等數(shù)學 第四章 第75頁 例4 32 求函數(shù)f x y x3 y3 3x2 3y2 9x的極值 解 解方程組 得駐點 1 0 1 2 3 0 3 2 2020 3 28 醫(yī)用高等數(shù)學 第四章 第76頁 列表討論如下 2020 3 28 醫(yī)用高等數(shù)學 第四章 第77頁 例4 33 解 顯然 函數(shù)在圓周x2 y2 1上的值到處是 為求駐點 令 解得x 0 y 0 這是函數(shù)在圓內的唯一駐點 對應的函數(shù)值是f 0 0 2 所以函數(shù)在點 0 0 處取得最大值2 2020 3 28 醫(yī)用高等數(shù)學 第四章 第78頁 二 條件極值 注 此小節(jié)內容不講 略 2020 3 28 醫(yī)用高等數(shù)學 第四章 第79頁 第五節(jié)二重積分 一 二重積分的概念與性質二 二重積分的計算 2020 3 28 醫(yī)用高等數(shù)學 第四章 第80頁 一 二重積分的概念與性質 曲頂柱體的體積 特點 平頂 柱體體積 特點 曲頂 曲頂柱體 2020 3 28 醫(yī)用高等數(shù)學 第四章 第81頁 播放 播放 求曲頂柱體的體積采用 分割 求和 取極限 的方法 如下動畫演示 2020 3 28 醫(yī)用高等數(shù)學 第四章 第82頁 步驟如下 2 用若干個小平頂柱體體積之和近似表示曲頂柱體的體積 1 先分割曲頂柱體的底 并取典型小區(qū)域 曲頂柱體的體積 2020 3 28 醫(yī)用高等數(shù)學 第四章 第83頁 求平面薄片的質量 將薄片分割成若干小塊 取典型小塊 將其近似看作均勻薄片 所有小塊質量之和近似等于薄片總質量 2020 3 28 醫(yī)用高等數(shù)學 第四章 第84頁 2 二重積分的概念 定義4 7 2020 3 28 醫(yī)用高等數(shù)學 第四章 第85頁 續(xù)上頁定義 積分區(qū)域 積分和 被積函數(shù) 積分變量 被積表達式 面積元素 2020 3 28 醫(yī)用高等數(shù)學 第四章 第86頁 對二重積分定義的說明 二重積分的幾何意義 當被積函數(shù)大于零時 二重積分是柱體的體積 當被積函數(shù)小于零時 二重積分是柱體的體積的負值 2020 3 28 醫(yī)用高等數(shù)學 第四章 第87頁 直角坐標系中的面積元素 在直角坐標系下用平行于坐標軸的直線網(wǎng)來劃分區(qū)域D 故二重積分可寫為 則面積元素為 2020 3 28 醫(yī)用高等數(shù)學 第四章 第88頁 3 二重積分的性質 性質4 1 性質4 2 當為常數(shù)時 二重積分與定積分有類似的性質 2020 3 28 醫(yī)用高等數(shù)學 第四章 第89頁 性質4 3 性質4 5 對區(qū)域具有可加性 性質4 4 若為D的面積 若在D上 特殊地 則有 2020 3 28 醫(yī)用高等數(shù)學 第四章 第90頁 性質4 6 性質4 7 二重積分中值定理 二重積分估值不等式 2020 3 28 醫(yī)用高等數(shù)學 第四章 第91頁 二 二重積分的計算 1 直角坐標系下二重積分的計算 如果積分區(qū)域為 其中函數(shù) 在區(qū)間上連續(xù) X 型 2020 3 28 醫(yī)用高等數(shù)學 第四章 第92頁 Y 型 如果積分區(qū)域為 Y 型 2020 3 28 醫(yī)用高等數(shù)學 第四章 第93頁 討論 應用計算 平行截面面積為已知的立體求體積 的方法 得 2020 3 28 醫(yī)用高等數(shù)學 第四章 第94頁 區(qū)域的特點 X型區(qū)域的特點 穿過區(qū)域且平行于y軸的直線與區(qū)域邊界相交不多于兩個交點 Y型區(qū)域的特點 穿過區(qū)域且平行于x軸的直線與區(qū)域邊界相交不多于兩個交點 若區(qū)域如圖 在分割后的三個區(qū)域上分別使用積分公式 則必須分割 2020 3 28 醫(yī)用高等數(shù)學 第四章 第95頁 例4 36 解 由圖知 2020 3 28 醫(yī)用高等數(shù)學 第四章 第96頁 例 積分區(qū)域D由y x 2 y x y 0 y 2所圍成的區(qū)域 解 由D的圖可知 2020 3 28 醫(yī)用高等數(shù)學 第四章 第97頁 例4 38 解法1 其中D是由雙曲線xy 1 直線y x和y 2所圍成的區(qū)域 先積y后積x 由圖可知上曲線為y 2 下曲線是由y 和y x共同構成的 將D分割成兩個區(qū)域 D1 x y y 2 x 1 D2 x y x y 2 1 x 2 2020 3 28 醫(yī)用高等數(shù)學 第四章 第98頁 續(xù)上頁解法1 2020 3 28 醫(yī)用高等數(shù)學 第四章 第99頁 解法2 先積x后積y 由圖可知右曲線x右 y 左曲線x左 1 y 2 2020 3 28 醫(yī)用高等數(shù)學 第四章 第100頁 例4 39 如先對y后對x積分 其中D是由y x y 1與y軸所圍成的區(qū)域 解 由圖可知 上曲線為y上 1 下曲線為y下 x 于是 由于函數(shù)的原函數(shù)不是初等函數(shù) 通常稱 是積不出的 因此二重積分 化為先對y 后對x的二次積分 計算不出 2020 3 28 醫(yī)用高等數(shù)學 第四章 第101頁 考慮先對x后對y的積分 左曲線為x左 0 右曲線為x右 y 因此 由圖可知 2020 3 28 醫(yī)用高等數(shù)學 第四章 第102頁 補充例1 解 積分區(qū)域如圖 2020 3 28 醫(yī)用高等數(shù)學 第四章 第103頁 補充例2 解 積分區(qū)域如圖 2020 3 28 醫(yī)用高等數(shù)學 第四章 第104頁 補充例3 解 原式 2020 3 28 醫(yī)用高等數(shù)學 第四章 第105頁 補充例4 解 2020 3 28 醫(yī)用高等數(shù)學 第四章 第106頁 2 極坐標系下的二重積分的計算 2020 3 28 醫(yī)用高等數(shù)學 第四章 第107頁 二重積分化為二次積分的公式 區(qū)域特征如圖 2020 3 28 醫(yī)用高等數(shù)學 第四章 第108頁 區(qū)域特征如圖 2020 3 28 醫(yī)用高等數(shù)學 第四章 第109頁 二重積分化為二次積分的公式 區(qū)域特征如圖 2020 3 28 醫(yī)用高等數(shù)學 第四章 第110頁 二重積分化為二次積分的公式 極坐標系下區(qū)域的面積 區(qū)域特征如圖 2020 3 28 醫(yī)用高等數(shù)學 第四章 第111頁 補例1 其中區(qū)域D x y 1 x2 y2 4 解 如圖 積分區(qū)域D為 1 2 0 2 2020 3 28 醫(yī)用高等數(shù)學 第四章 第112頁 補例2 x y 1 x2 y2 9且y x 解 如圖 積分區(qū)域D為 1 3 其中區(qū)域D 2020 3 28 醫(yī)用高等數(shù)學 第四章 第113頁 補例3 其中區(qū)域D x y x2 y2 2x 解 如圖 積分區(qū)域D為 0 1 0 2 區(qū)域邊界可用 x 1 2 y2 1 2020 3 28 醫(yī)用高等數(shù)學 第四章 第114頁 補充例1 解 2020 3 28 醫(yī)用高等數(shù)學 第四章 第115頁 補充 解 2020 3 28 醫(yī)用高等數(shù)學 第四章 第116頁 續(xù)上頁 2020 3 28 醫(yī)用高等數(shù)學 第四章 第117頁 續(xù)上頁 2020 3 28 醫(yī)用高等數(shù)學 第四章 第118頁 補充例4 解 2020 3 28 醫(yī)用高等數(shù)學 第四章 第119頁 補充 解 2020 3 28 醫(yī)用高等數(shù)學 第四章 第120頁 補充 解 2020 3 28 醫(yī)用高等數(shù)學 第四章 第121頁 續(xù)上頁 2020 3 28 醫(yī)用高等數(shù)學 第四章 第122頁 二重積分的幾何意義 為曲頂 有界閉區(qū)域D為底的曲頂柱體的體積 其中D為柱體在xOy平面上的投影 2020 3 28 醫(yī)用高等數(shù)學 第四章 第123頁 補充例7 求球體x2 y2 z2 R2的體積 解 第一卦限部分球面在xOy平面上的投影區(qū)域 其曲頂柱體的方程 則球體的體積 作極坐標變換 于是 2020 3 28 醫(yī)用高等數(shù)學 第四章 第124頁 1 不存在 觀察 2020 3 28 醫(yī)用高等數(shù)學 第四章 第125頁 2 觀察 不存在 2020 3 28 醫(yī)用高等數(shù)學 第四章 第126頁 3 觀察 不存在 2020 3 28 醫(yī)用高等數(shù)學 第四章 第127頁 4 觀察 不存在 2020 3 28 醫(yī)用高等數(shù)學 第四章 第128頁 5 觀察 不存在 2020 3 28 醫(yī)用高等數(shù)學 第四章 第129頁 6 觀察 不存在 2020 3 28 醫(yī)用高等數(shù)學 第四章 第130頁 7 觀察 不存在 2020 3 28 醫(yī)用高等數(shù)學 第四章 第131頁 8 觀察 不存在 2020 3 28 醫(yī)用高等數(shù)學 第四章 第132頁 9 觀察 不存在 2020 3 28 醫(yī)用高等數(shù)學 第四章 第133頁 10 觀察 不存在 2020 3 28 醫(yī)用高等數(shù)學 第四章 第134頁 11 觀察 不存在 2020 3 28 醫(yī)用高等數(shù)學 第四章 第135頁 12 觀察 不存在 2020 3 28 醫(yī)用高等數(shù)學 第四章 第136頁 1 一 二元函數(shù)的極值 2020 3 28 醫(yī)用高等數(shù)學 第四章 第137頁 2 一 二元函數(shù)的極值 2020 3 28 醫(yī)用高等數(shù)學 第四章 第138頁 3 一 二元函數(shù)的極值 2020 3 28 醫(yī)用高等數(shù)學 第四章 第139頁 4 一 二元函數(shù)的極值 2020 3 28 醫(yī)用高等數(shù)學 第四章 第140頁 5 一 二元函數(shù)的極值 2020 3 28 醫(yī)用高等數(shù)學 第四章 第141頁 6 一 二元函數(shù)的極值 2020 3 28 醫(yī)用高等數(shù)學 第四章 第142頁 7 一 二元函數(shù)的極值 2020 3 28 醫(yī)用高等數(shù)學 第四章 第143頁 8 一 二元函數(shù)的極值 2020 3 28 醫(yī)用高等數(shù)學 第四章 第144頁 9 一 二元函數(shù)的極值 2020 3 28 醫(yī)用高等數(shù)學 第四章 第145頁 1 求曲頂柱體的體積采用 分割 求和 取極限 的方法 如下動畫演示 2020 3 28 醫(yī)用高等數(shù)學 第四章 第146頁 2 求曲頂柱體的體積采用 分割 求和 取極限 的方法 如下動畫演示 2020 3 28 醫(yī)用高等數(shù)學 第四章 第147頁 3 求曲頂柱體的體積采用 分割 求和 取極限 的方法 如下動畫演示 2020 3 28 醫(yī)用高等數(shù)學 第四章 第148頁 4 求曲頂柱體的體積采用 分割 求和 取極限 的方法 如下動畫演示 2020 3 28 醫(yī)用高等數(shù)學 第四章 第149頁 5 求曲頂柱體的體積采用 分割 求和 取極限 的方法 如下動畫演示 2020 3 28 醫(yī)用高等數(shù)學 第四章 第150頁 6 求曲頂柱體的體積采用 分割 求和 取極限 的方法 如下動畫演示