《醫(yī)用高等數(shù)學(xué)》教案第4章.ppt

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醫(yī)用高等數(shù)學(xué) 教案第四章多元函數(shù)微積分 第一節(jié)多元函數(shù)第二節(jié)偏導(dǎo)數(shù)與全微分第三節(jié)多元函數(shù)微分法第四節(jié)多元函數(shù)的極值第五節(jié)二重積分 2020 3 28 醫(yī)用高等數(shù)學(xué) 第四章 第2頁(yè) 第一節(jié)多元函數(shù) 一 空間解析幾何簡(jiǎn)介二 多元函數(shù)的概念三 二元函數(shù)的極限與連續(xù) 2020 3 28 醫(yī)用高等數(shù)學(xué) 第四章 第3頁(yè) 一 空間解析幾何簡(jiǎn)介 1 右手法則 2 點(diǎn)的坐標(biāo) P x y z 3 任意兩點(diǎn)之間的距離 P1 x1 y1 z1 P2 x2 y2 z2 則 2020 3 28 醫(yī)用高等數(shù)學(xué) 第四章 第4頁(yè) 幾類常見的方程 4 Ax By Cz D 0 平面方程 x x0 2 y y0 2 z z0 2 R2 球面方程 x2 y2 R2 柱面方程 z x2 y2 橢圓拋物面 z2 x2 y2 圓錐面 見圖4 3 見圖4 4 見圖4 5 見圖4 6 2020 3 28 醫(yī)用高等數(shù)學(xué) 第四章 第5頁(yè) 圖形 球面方程 柱面方程 橢圓拋物面 圓錐面 2020 3 28 醫(yī)用高等數(shù)學(xué) 第四章 第6頁(yè) 二 多元函數(shù)的概念 定義4 1 其中x y 稱為自變量 z稱為因變量 函數(shù)值z(mì)0 f x0 y0 在xOy平面上使函數(shù)f x y 有定義的一切點(diǎn)的集合叫做函數(shù)的定義域 2020 3 28 醫(yī)用高等數(shù)學(xué) 第四章 第7頁(yè) 多元函數(shù) 補(bǔ)充 鄰域 類似地可定義三元及三元以上函數(shù) 2020 3 28 醫(yī)用高等數(shù)學(xué) 第四章 第8頁(yè) 補(bǔ)充例 求的定義域 解 所求定義域?yàn)?2020 3 28 醫(yī)用高等數(shù)學(xué) 第四章 第9頁(yè) 二元函數(shù)z f x y 的圖形 如下頁(yè)圖 2020 3 28 醫(yī)用高等數(shù)學(xué) 第四章 第10頁(yè) 二元函數(shù)的圖形通常是一張曲面 2020 3 28 醫(yī)用高等數(shù)學(xué) 第四章 第11頁(yè) 例如 例如 圖形如右圖 右下圖球面 單值分支 2020 3 28 醫(yī)用高等數(shù)學(xué) 第四章 第12頁(yè) 三 二元函數(shù)的極限與連續(xù) 1 二元函數(shù)的極限定義4 2 設(shè)函數(shù)z f x y 在點(diǎn)P0 x0 y0 的某一鄰域內(nèi)有定義 P x y 是定義域內(nèi)任一點(diǎn) 當(dāng)點(diǎn)P x y 以任何路徑無(wú)限接近于點(diǎn)P0 x0 y0 時(shí) f x y 無(wú)限接近于一個(gè)定數(shù)A 則稱A是函數(shù)f x y 當(dāng)x x0 y y0 或P x y P0 x0 y0 時(shí)的極限 也稱為二重極限 doublelimit 記作 2020 3 28 醫(yī)用高等數(shù)學(xué) 第四章 第13頁(yè) 說(shuō)明 確定極限不存在的方法 1 定義中P P0的方式是任意的 2 二元函數(shù)的極限運(yùn)算法則與一元函數(shù)類似 2020 3 28 醫(yī)用高等數(shù)學(xué) 第四章 第14頁(yè) 補(bǔ)充例 證 又 當(dāng)x 0 y 0時(shí) 2020 3 28 醫(yī)用高等數(shù)學(xué) 第四章 第15頁(yè) 例4 9 證 1o當(dāng) x y 沿x軸趨于 0 0 時(shí) 2o當(dāng) x y 沿直線y kx趨于 0 0 時(shí) f x y 0 其值隨k值的不同而變化 故f x y 的極限不存在 2020 3 28 醫(yī)用高等數(shù)學(xué) 第四章 第16頁(yè) 補(bǔ)充例 求證 證 當(dāng)時(shí) 原結(jié)論成立 2020 3 28 醫(yī)用高等數(shù)學(xué) 第四章 第17頁(yè) 補(bǔ)充例 證 證明不存在 取 其值隨k的不同而變化 故極限不存在 2020 3 28 醫(yī)用高等數(shù)學(xué) 第四章 第18頁(yè) 觀察 不存在 播放 2020 3 28 醫(yī)用高等數(shù)學(xué) 第四章 第19頁(yè) 2 二元函數(shù)的連續(xù)性 定義4 3 如果二元函數(shù)z f x y 滿足 1 在點(diǎn)P0 x0 y0 的某一鄰域內(nèi)有定義 2 極限存在 則稱函數(shù)z f x y 在點(diǎn)P0 x0 y0 處連續(xù) 如果函數(shù)z f x y 在區(qū)域D內(nèi)的每一點(diǎn)上都連續(xù) 則稱函數(shù)z f x y 在區(qū)域D內(nèi)連續(xù) 函數(shù)的不連續(xù)點(diǎn)叫做間斷點(diǎn) 2020 3 28 醫(yī)用高等數(shù)學(xué) 第四章 第20頁(yè) 補(bǔ)充例 討論函數(shù) 在 0 0 的連續(xù)性 解 取 其值隨k的不同而變化 極限不存在 故函數(shù)在 0 0 處不連續(xù) 2020 3 28 醫(yī)用高等數(shù)學(xué) 第四章 第21頁(yè) 多元初等函數(shù) 由多元多項(xiàng)式及基本初等函數(shù)經(jīng)過(guò)有限次的四則運(yùn)算和復(fù)合步驟所構(gòu)成的可用一個(gè)式子所表示的多元函數(shù)叫多元初等函數(shù) 一切多元初等函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)是連續(xù)的 定義區(qū)域是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)域或閉區(qū)域 2020 3 28 醫(yī)用高等數(shù)學(xué) 第四章 第22頁(yè) 一般地 補(bǔ)充例 解 2020 3 28 醫(yī)用高等數(shù)學(xué) 第四章 第23頁(yè) 第二節(jié)偏導(dǎo)數(shù)與全微分 一 偏導(dǎo)數(shù)的概念二 偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義三 高階偏導(dǎo)數(shù)四 全微分 2020 3 28 醫(yī)用高等數(shù)學(xué) 第四章 第24頁(yè) 一 偏導(dǎo)數(shù)的概念 定義4 4 2020 3 28 醫(yī)用高等數(shù)學(xué) 第四章 第25頁(yè) 記為 2020 3 28 醫(yī)用高等數(shù)學(xué) 第四章 第26頁(yè) 偏導(dǎo)函數(shù) 常簡(jiǎn)稱為偏導(dǎo)數(shù) 2020 3 28 醫(yī)用高等數(shù)學(xué) 第四章 第27頁(yè) 偏導(dǎo)數(shù)的概念可以推廣到二元以上函數(shù) 如在處 2020 3 28 醫(yī)用高等數(shù)學(xué) 第四章 第28頁(yè) 例4 16 證 原結(jié)論成立 2020 3 28 醫(yī)用高等數(shù)學(xué) 第四章 第29頁(yè) 例4 18 證 2020 3 28 醫(yī)用高等數(shù)學(xué) 第四章 第30頁(yè) 有關(guān)偏導(dǎo)數(shù)的幾點(diǎn)說(shuō)明 1 2 例如 求分界點(diǎn) 不連續(xù)點(diǎn)處的偏導(dǎo)數(shù)要用定義求 解 2020 3 28 醫(yī)用高等數(shù)學(xué) 第四章 第31頁(yè) 3 偏導(dǎo)數(shù)存在與連續(xù)的關(guān)系 例如 但函數(shù)在該點(diǎn)處并不連續(xù) 偏導(dǎo)數(shù)存在連續(xù) 一元函數(shù)中在某點(diǎn)可導(dǎo)連續(xù) 多元函數(shù)中在某點(diǎn)偏導(dǎo)數(shù)存在連續(xù) 2020 3 28 醫(yī)用高等數(shù)學(xué) 第四章 第32頁(yè) 二 偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義 如圖 2020 3 28 醫(yī)用高等數(shù)學(xué) 第四章 第33頁(yè) 幾何意義 2020 3 28 醫(yī)用高等數(shù)學(xué) 第四章 第34頁(yè) 三 高階偏導(dǎo)數(shù) 定義 純偏導(dǎo) 混合偏導(dǎo) 二階及二階以上的偏導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階偏導(dǎo)數(shù) 2020 3 28 醫(yī)用高等數(shù)學(xué) 第四章 第35頁(yè) 補(bǔ)充例 解 2020 3 28 醫(yī)用高等數(shù)學(xué) 第四章 第36頁(yè) 定理4 1 問(wèn)題 混合偏導(dǎo)數(shù)都相等嗎 具備怎樣的條件才相等 2020 3 28 醫(yī)用高等數(shù)學(xué) 第四章 第37頁(yè) 四 全微分 由一元函數(shù)微分學(xué)中增量與微分的關(guān)系得 2020 3 28 醫(yī)用高等數(shù)學(xué) 第四章 第38頁(yè) 全增量的概念 2020 3 28 醫(yī)用高等數(shù)學(xué) 第四章 第39頁(yè) 全微分的定義 2020 3 28 醫(yī)用高等數(shù)學(xué) 第四章 第40頁(yè) 習(xí)慣上 記全微分為 全微分的定義可推廣到三元及三元以上函數(shù) 通常我們把二元函數(shù)的全微分等于它的兩個(gè)偏微分之和這件事稱為二元函數(shù)的微分符合疊加原理 疊加原理也適用于二元以上函數(shù)的情況 2020 3 28 醫(yī)用高等數(shù)學(xué) 第四章 第41頁(yè) 例 解 所以 2020 3 28 醫(yī)用高等數(shù)學(xué) 第四章 第42頁(yè) 補(bǔ)充例 解 所求全微分 2020 3 28 醫(yī)用高等數(shù)學(xué) 第四章 第43頁(yè) 可微的條件 定理 1 必要條件 2020 3 28 醫(yī)用高等數(shù)學(xué) 第四章 第44頁(yè) 說(shuō)明 定理 2 充分條件 多元函數(shù)的各偏導(dǎo)數(shù)存在并不能保證全微分存在 2020 3 28 醫(yī)用高等數(shù)學(xué) 第四章 第45頁(yè) 多元函數(shù)連續(xù) 可導(dǎo) 可微的關(guān)系 2020 3 28 醫(yī)用高等數(shù)學(xué) 第四章 第46頁(yè) 第三節(jié)多元函數(shù)微分法 一 復(fù)合函數(shù)微分法二 隱函數(shù)微分法 2020 3 28 醫(yī)用高等數(shù)學(xué) 第四章 第47頁(yè) 一 復(fù)合函數(shù)微分法 定理4 2 設(shè)函數(shù)z f u v 是變量u v的函數(shù) 而u和v又是變量x y的函數(shù) u u x y v v x y 則 z f u x y v x y 是自變量x y的二元復(fù)合函數(shù) 2020 3 28 醫(yī)用高等數(shù)學(xué) 第四章 第48頁(yè) 函數(shù)變量之間的復(fù)合關(guān)系圖 2020 3 28 醫(yī)用高等數(shù)學(xué) 第四章 第49頁(yè) 類似地再推廣 2020 3 28 醫(yī)用高等數(shù)學(xué) 第四章 第50頁(yè) 特例 2020 3 28 醫(yī)用高等數(shù)學(xué) 第四章 第51頁(yè) 上定理的結(jié)論可推廣到中間變量多于兩個(gè)的情況 全導(dǎo)數(shù) 如 以上公式中的導(dǎo)數(shù)稱為 2020 3 28 醫(yī)用高等數(shù)學(xué) 第四章 第52頁(yè) 例4 25 解 2020 3 28 醫(yī)用高等數(shù)學(xué) 第四章 第53頁(yè) 補(bǔ)充例 分析 z是以x y為自變量 以u(píng) v為中間變量的復(fù)合函數(shù) 其復(fù)合關(guān)系圖示意如下 2020 3 28 醫(yī)用高等數(shù)學(xué) 第四章 第54頁(yè) 解 而 因此 同理 2020 3 28 醫(yī)用高等數(shù)學(xué) 第四章 第55頁(yè) 例4 26 分析 證明 z是以x y為自變量的抽象函數(shù) 則z f u 是以u(píng)為中間變量 x y為自變量的復(fù)合函數(shù) 其復(fù)合關(guān)系圖示意如下 2020 3 28 醫(yī)用高等數(shù)學(xué) 第四章 第56頁(yè) 證 已知f u 為可微函數(shù) 于是 故 2020 3 28 醫(yī)用高等數(shù)學(xué) 第四章 第57頁(yè) 例4 28 設(shè)z arctan xy 而y ex 解 2020 3 28 醫(yī)用高等數(shù)學(xué) 第四章 第58頁(yè) 特殊地 即 令 其中 兩者的區(qū)別 區(qū)別類似 2020 3 28 醫(yī)用高等數(shù)學(xué) 第四章 第59頁(yè) 補(bǔ)充 例4 25 1 解 2020 3 28 醫(yī)用高等數(shù)學(xué) 第四章 第60頁(yè) 多元函數(shù) 一階 微分形式不變性 全微分形式不變性的實(shí)質(zhì) 無(wú)論z是自變量x y的函數(shù)或中間變量u v的函數(shù) 它的全微分形式是一樣的 2020 3 28 醫(yī)用高等數(shù)學(xué) 第四章 第61頁(yè) 二 隱函數(shù)微分法 1 若F x y 0 其中y f x 由全導(dǎo)數(shù)公式 即 則有 2020 3 28 醫(yī)用高等數(shù)學(xué) 第四章 第62頁(yè) 2 F x y z 0 其中z f x y 則 2020 3 28 醫(yī)用高等數(shù)學(xué) 第四章 第63頁(yè) 例4 30 求由方程y xey x 0所確定的y作為x的函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 解 令 得 2020 3 28 醫(yī)用高等數(shù)學(xué) 第四章 第64頁(yè) 例4 31 求由方程ez xyz 0所確定的函數(shù)z的偏導(dǎo)數(shù) 解 令F x y z ez xyz 則 于是 2020 3 28 醫(yī)用高等數(shù)學(xué) 第四章 第65頁(yè) 第四節(jié)多元函數(shù)的極值 一 二元函數(shù)的極值二 條件極值 2020 3 28 醫(yī)用高等數(shù)學(xué) 第四章 第66頁(yè) 一 二元函數(shù)的極值 播放 2020 3 28 醫(yī)用高等數(shù)學(xué) 第四章 第67頁(yè) 定義4 6 極大值 極小值統(tǒng)稱為極值 使函數(shù)取得極值的點(diǎn)稱為極值點(diǎn) 二元函數(shù)極值的定義 2020 3 28 醫(yī)用高等數(shù)學(xué) 第四章 第68頁(yè) 補(bǔ)充例 例 3 1 2 3 例 1 例 2 2020 3 28 醫(yī)用高等數(shù)學(xué) 第四章 第69頁(yè) 定理4 3 極值存在的必要條件 證 2020 3 28 醫(yī)用高等數(shù)學(xué) 第四章 第70頁(yè) 類似地可證 推廣 2020 3 28 醫(yī)用高等數(shù)學(xué) 第四章 第71頁(yè) 駐點(diǎn) 定理4 4 極值存在的充分條件 仿照一元函數(shù) 凡能使一階偏導(dǎo)數(shù)同時(shí)為零的點(diǎn) 均稱為函數(shù)的 駐點(diǎn) 極值點(diǎn) 問(wèn)題 如何判定一個(gè)駐點(diǎn)是否為極值點(diǎn) 注意 2020 3 28 醫(yī)用高等數(shù)學(xué) 第四章 第72頁(yè) 又 則 2020 3 28 醫(yī)用高等數(shù)學(xué) 第四章 第73頁(yè) 求函數(shù)z f x y 極值的一般步驟 2020 3 28 醫(yī)用高等數(shù)學(xué) 第四章 第74頁(yè) 多元函數(shù)的最值 求最值的一般方法 將函數(shù)在D內(nèi)的所有駐點(diǎn)處的函數(shù)值及在D的邊界上的最大值和最小值相互比較 其中最大者即為最大值 最小者即為最小值 與一元函數(shù)相類似 我們可以利用函數(shù)的極值來(lái)求函數(shù)的最大值和最小值 2020 3 28 醫(yī)用高等數(shù)學(xué) 第四章 第75頁(yè) 例4 32 求函數(shù)f x y x3 y3 3x2 3y2 9x的極值 解 解方程組 得駐點(diǎn) 1 0 1 2 3 0 3 2 2020 3 28 醫(yī)用高等數(shù)學(xué) 第四章 第76頁(yè) 列表討論如下 2020 3 28 醫(yī)用高等數(shù)學(xué) 第四章 第77頁(yè) 例4 33 解 顯然 函數(shù)在圓周x2 y2 1上的值到處是 為求駐點(diǎn) 令 解得x 0 y 0 這是函數(shù)在圓內(nèi)的唯一駐點(diǎn) 對(duì)應(yīng)的函數(shù)值是f 0 0 2 所以函數(shù)在點(diǎn) 0 0 處取得最大值2 2020 3 28 醫(yī)用高等數(shù)學(xué) 第四章 第78頁(yè) 二 條件極值 注 此小節(jié)內(nèi)容不講 略 2020 3 28 醫(yī)用高等數(shù)學(xué) 第四章 第79頁(yè) 第五節(jié)二重積分 一 二重積分的概念與性質(zhì)二 二重積分的計(jì)算 2020 3 28 醫(yī)用高等數(shù)學(xué) 第四章 第80頁(yè) 一 二重積分的概念與性質(zhì) 曲頂柱體的體積 特點(diǎn) 平頂 柱體體積 特點(diǎn) 曲頂 曲頂柱體 2020 3 28 醫(yī)用高等數(shù)學(xué) 第四章 第81頁(yè) 播放 播放 求曲頂柱體的體積采用 分割 求和 取極限 的方法 如下動(dòng)畫演示 2020 3 28 醫(yī)用高等數(shù)學(xué) 第四章 第82頁(yè) 步驟如下 2 用若干個(gè)小平頂柱體體積之和近似表示曲頂柱體的體積 1 先分割曲頂柱體的底 并取典型小區(qū)域 曲頂柱體的體積 2020 3 28 醫(yī)用高等數(shù)學(xué) 第四章 第83頁(yè) 求平面薄片的質(zhì)量 將薄片分割成若干小塊 取典型小塊 將其近似看作均勻薄片 所有小塊質(zhì)量之和近似等于薄片總質(zhì)量 2020 3 28 醫(yī)用高等數(shù)學(xué) 第四章 第84頁(yè) 2 二重積分的概念 定義4 7 2020 3 28 醫(yī)用高等數(shù)學(xué) 第四章 第85頁(yè) 續(xù)上頁(yè)定義 積分區(qū)域 積分和 被積函數(shù) 積分變量 被積表達(dá)式 面積元素 2020 3 28 醫(yī)用高等數(shù)學(xué) 第四章 第86頁(yè) 對(duì)二重積分定義的說(shuō)明 二重積分的幾何意義 當(dāng)被積函數(shù)大于零時(shí) 二重積分是柱體的體積 當(dāng)被積函數(shù)小于零時(shí) 二重積分是柱體的體積的負(fù)值 2020 3 28 醫(yī)用高等數(shù)學(xué) 第四章 第87頁(yè) 直角坐標(biāo)系中的面積元素 在直角坐標(biāo)系下用平行于坐標(biāo)軸的直線網(wǎng)來(lái)劃分區(qū)域D 故二重積分可寫為 則面積元素為 2020 3 28 醫(yī)用高等數(shù)學(xué) 第四章 第88頁(yè) 3 二重積分的性質(zhì) 性質(zhì)4 1 性質(zhì)4 2 當(dāng)為常數(shù)時(shí) 二重積分與定積分有類似的性質(zhì) 2020 3 28 醫(yī)用高等數(shù)學(xué) 第四章 第89頁(yè) 性質(zhì)4 3 性質(zhì)4 5 對(duì)區(qū)域具有可加性 性質(zhì)4 4 若為D的面積 若在D上 特殊地 則有 2020 3 28 醫(yī)用高等數(shù)學(xué) 第四章 第90頁(yè) 性質(zhì)4 6 性質(zhì)4 7 二重積分中值定理 二重積分估值不等式 2020 3 28 醫(yī)用高等數(shù)學(xué) 第四章 第91頁(yè) 二 二重積分的計(jì)算 1 直角坐標(biāo)系下二重積分的計(jì)算 如果積分區(qū)域?yàn)?其中函數(shù) 在區(qū)間上連續(xù) X 型 2020 3 28 醫(yī)用高等數(shù)學(xué) 第四章 第92頁(yè) Y 型 如果積分區(qū)域?yàn)?Y 型 2020 3 28 醫(yī)用高等數(shù)學(xué) 第四章 第93頁(yè) 討論 應(yīng)用計(jì)算 平行截面面積為已知的立體求體積 的方法 得 2020 3 28 醫(yī)用高等數(shù)學(xué) 第四章 第94頁(yè) 區(qū)域的特點(diǎn) X型區(qū)域的特點(diǎn) 穿過(guò)區(qū)域且平行于y軸的直線與區(qū)域邊界相交不多于兩個(gè)交點(diǎn) Y型區(qū)域的特點(diǎn) 穿過(guò)區(qū)域且平行于x軸的直線與區(qū)域邊界相交不多于兩個(gè)交點(diǎn) 若區(qū)域如圖 在分割后的三個(gè)區(qū)域上分別使用積分公式 則必須分割 2020 3 28 醫(yī)用高等數(shù)學(xué) 第四章 第95頁(yè) 例4 36 解 由圖知 2020 3 28 醫(yī)用高等數(shù)學(xué) 第四章 第96頁(yè) 例 積分區(qū)域D由y x 2 y x y 0 y 2所圍成的區(qū)域 解 由D的圖可知 2020 3 28 醫(yī)用高等數(shù)學(xué) 第四章 第97頁(yè) 例4 38 解法1 其中D是由雙曲線xy 1 直線y x和y 2所圍成的區(qū)域 先積y后積x 由圖可知上曲線為y 2 下曲線是由y 和y x共同構(gòu)成的 將D分割成兩個(gè)區(qū)域 D1 x y y 2 x 1 D2 x y x y 2 1 x 2 2020 3 28 醫(yī)用高等數(shù)學(xué) 第四章 第98頁(yè) 續(xù)上頁(yè)解法1 2020 3 28 醫(yī)用高等數(shù)學(xué) 第四章 第99頁(yè) 解法2 先積x后積y 由圖可知右曲線x右 y 左曲線x左 1 y 2 2020 3 28 醫(yī)用高等數(shù)學(xué) 第四章 第100頁(yè) 例4 39 如先對(duì)y后對(duì)x積分 其中D是由y x y 1與y軸所圍成的區(qū)域 解 由圖可知 上曲線為y上 1 下曲線為y下 x 于是 由于函數(shù)的原函數(shù)不是初等函數(shù) 通常稱 是積不出的 因此二重積分 化為先對(duì)y 后對(duì)x的二次積分 計(jì)算不出 2020 3 28 醫(yī)用高等數(shù)學(xué) 第四章 第101頁(yè) 考慮先對(duì)x后對(duì)y的積分 左曲線為x左 0 右曲線為x右 y 因此 由圖可知 2020 3 28 醫(yī)用高等數(shù)學(xué) 第四章 第102頁(yè) 補(bǔ)充例1 解 積分區(qū)域如圖 2020 3 28 醫(yī)用高等數(shù)學(xué) 第四章 第103頁(yè) 補(bǔ)充例2 解 積分區(qū)域如圖 2020 3 28 醫(yī)用高等數(shù)學(xué) 第四章 第104頁(yè) 補(bǔ)充例3 解 原式 2020 3 28 醫(yī)用高等數(shù)學(xué) 第四章 第105頁(yè) 補(bǔ)充例4 解 2020 3 28 醫(yī)用高等數(shù)學(xué) 第四章 第106頁(yè) 2 極坐標(biāo)系下的二重積分的計(jì)算 2020 3 28 醫(yī)用高等數(shù)學(xué) 第四章 第107頁(yè) 二重積分化為二次積分的公式 區(qū)域特征如圖 2020 3 28 醫(yī)用高等數(shù)學(xué) 第四章 第108頁(yè) 區(qū)域特征如圖 2020 3 28 醫(yī)用高等數(shù)學(xué) 第四章 第109頁(yè) 二重積分化為二次積分的公式 區(qū)域特征如圖 2020 3 28 醫(yī)用高等數(shù)學(xué) 第四章 第110頁(yè) 二重積分化為二次積分的公式 極坐標(biāo)系下區(qū)域的面積 區(qū)域特征如圖 2020 3 28 醫(yī)用高等數(shù)學(xué) 第四章 第111頁(yè) 補(bǔ)例1 其中區(qū)域D x y 1 x2 y2 4 解 如圖 積分區(qū)域D為 1 2 0 2 2020 3 28 醫(yī)用高等數(shù)學(xué) 第四章 第112頁(yè) 補(bǔ)例2 x y 1 x2 y2 9且y x 解 如圖 積分區(qū)域D為 1 3 其中區(qū)域D 2020 3 28 醫(yī)用高等數(shù)學(xué) 第四章 第113頁(yè) 補(bǔ)例3 其中區(qū)域D x y x2 y2 2x 解 如圖 積分區(qū)域D為 0 1 0 2 區(qū)域邊界可用 x 1 2 y2 1 2020 3 28 醫(yī)用高等數(shù)學(xué) 第四章 第114頁(yè) 補(bǔ)充例1 解 2020 3 28 醫(yī)用高等數(shù)學(xué) 第四章 第115頁(yè) 補(bǔ)充 解 2020 3 28 醫(yī)用高等數(shù)學(xué) 第四章 第116頁(yè) 續(xù)上頁(yè) 2020 3 28 醫(yī)用高等數(shù)學(xué) 第四章 第117頁(yè) 續(xù)上頁(yè) 2020 3 28 醫(yī)用高等數(shù)學(xué) 第四章 第118頁(yè) 補(bǔ)充例4 解 2020 3 28 醫(yī)用高等數(shù)學(xué) 第四章 第119頁(yè) 補(bǔ)充 解 2020 3 28 醫(yī)用高等數(shù)學(xué) 第四章 第120頁(yè) 補(bǔ)充 解 2020 3 28 醫(yī)用高等數(shù)學(xué) 第四章 第121頁(yè) 續(xù)上頁(yè) 2020 3 28 醫(yī)用高等數(shù)學(xué) 第四章 第122頁(yè) 二重積分的幾何意義 為曲頂 有界閉區(qū)域D為底的曲頂柱體的體積 其中D為柱體在xOy平面上的投影 2020 3 28 醫(yī)用高等數(shù)學(xué) 第四章 第123頁(yè) 補(bǔ)充例7 求球體x2 y2 z2 R2的體積 解 第一卦限部分球面在xOy平面上的投影區(qū)域 其曲頂柱體的方程 則球體的體積 作極坐標(biāo)變換 于是 2020 3 28 醫(yī)用高等數(shù)學(xué) 第四章 第124頁(yè) 1 不存在 觀察 2020 3 28 醫(yī)用高等數(shù)學(xué) 第四章 第125頁(yè) 2 觀察 不存在 2020 3 28 醫(yī)用高等數(shù)學(xué) 第四章 第126頁(yè) 3 觀察 不存在 2020 3 28 醫(yī)用高等數(shù)學(xué) 第四章 第127頁(yè) 4 觀察 不存在 2020 3 28 醫(yī)用高等數(shù)學(xué) 第四章 第128頁(yè) 5 觀察 不存在 2020 3 28 醫(yī)用高等數(shù)學(xué) 第四章 第129頁(yè) 6 觀察 不存在 2020 3 28 醫(yī)用高等數(shù)學(xué) 第四章 第130頁(yè) 7 觀察 不存在 2020 3 28 醫(yī)用高等數(shù)學(xué) 第四章 第131頁(yè) 8 觀察 不存在 2020 3 28 醫(yī)用高等數(shù)學(xué) 第四章 第132頁(yè) 9 觀察 不存在 2020 3 28 醫(yī)用高等數(shù)學(xué) 第四章 第133頁(yè) 10 觀察 不存在 2020 3 28 醫(yī)用高等數(shù)學(xué) 第四章 第134頁(yè) 11 觀察 不存在 2020 3 28 醫(yī)用高等數(shù)學(xué) 第四章 第135頁(yè) 12 觀察 不存在 2020 3 28 醫(yī)用高等數(shù)學(xué) 第四章 第136頁(yè) 1 一 二元函數(shù)的極值 2020 3 28 醫(yī)用高等數(shù)學(xué) 第四章 第137頁(yè) 2 一 二元函數(shù)的極值 2020 3 28 醫(yī)用高等數(shù)學(xué) 第四章 第138頁(yè) 3 一 二元函數(shù)的極值 2020 3 28 醫(yī)用高等數(shù)學(xué) 第四章 第139頁(yè) 4 一 二元函數(shù)的極值 2020 3 28 醫(yī)用高等數(shù)學(xué) 第四章 第140頁(yè) 5 一 二元函數(shù)的極值 2020 3 28 醫(yī)用高等數(shù)學(xué) 第四章 第141頁(yè) 6 一 二元函數(shù)的極值 2020 3 28 醫(yī)用高等數(shù)學(xué) 第四章 第142頁(yè) 7 一 二元函數(shù)的極值 2020 3 28 醫(yī)用高等數(shù)學(xué) 第四章 第143頁(yè) 8 一 二元函數(shù)的極值 2020 3 28 醫(yī)用高等數(shù)學(xué) 第四章 第144頁(yè) 9 一 二元函數(shù)的極值 2020 3 28 醫(yī)用高等數(shù)學(xué) 第四章 第145頁(yè) 1 求曲頂柱體的體積采用 分割 求和 取極限 的方法 如下動(dòng)畫演示 2020 3 28 醫(yī)用高等數(shù)學(xué) 第四章 第146頁(yè) 2 求曲頂柱體的體積采用 分割 求和 取極限 的方法 如下動(dòng)畫演示 2020 3 28 醫(yī)用高等數(shù)學(xué) 第四章 第147頁(yè) 3 求曲頂柱體的體積采用 分割 求和 取極限 的方法 如下動(dòng)畫演示 2020 3 28 醫(yī)用高等數(shù)學(xué) 第四章 第148頁(yè) 4 求曲頂柱體的體積采用 分割 求和 取極限 的方法 如下動(dòng)畫演示 2020 3 28 醫(yī)用高等數(shù)學(xué) 第四章 第149頁(yè) 5 求曲頂柱體的體積采用 分割 求和 取極限 的方法 如下動(dòng)畫演示 2020 3 28 醫(yī)用高等數(shù)學(xué) 第四章 第150頁(yè) 6 求曲頂柱體的體積采用 分割 求和 取極限 的方法 如下動(dòng)畫演示