高中數(shù)學(xué) 第3章 導(dǎo)數(shù)應(yīng)用 1.2 函數(shù)的極值課件 北師大版選修2-2.ppt

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1函數(shù)的單調(diào)性與極值1 2函數(shù)的極值 課前預(yù)習(xí)學(xué)案 橫看成嶺側(cè)成峰 遠(yuǎn)近高低各不同 說(shuō)的是廬山的高低起伏 錯(cuò)落有致 在群山之中 各個(gè)山峰的頂端 雖然不一定是群山的最高處 但它卻是其附近的最高點(diǎn) 同樣 各個(gè)谷底雖然不一定是群山之中的最低處 但它卻是附近的最低點(diǎn) 那么 在數(shù)學(xué)上 如何來(lái)刻畫(huà)這種現(xiàn)象呢 1 在包含x0的一個(gè)區(qū)間 a b 內(nèi) 函數(shù)y f x 在 的函數(shù)值都 的函數(shù)值 稱(chēng)點(diǎn)x0為函數(shù)y f x 的極大值點(diǎn) 其函數(shù)值f x0 為函數(shù)的極大值 2 在包含x0的一個(gè)區(qū)間 a b 內(nèi) 函數(shù)y f x 在 的函數(shù)值都 的函數(shù)值 稱(chēng)點(diǎn)x0為函數(shù)y f x 的極小值點(diǎn) 其函數(shù)值f x0 為函數(shù)的極小值 3 與 統(tǒng)稱(chēng)為極值 與 統(tǒng)稱(chēng)為極值點(diǎn) 1 函數(shù)極值的有關(guān)概念 任何一點(diǎn) 不大于x0點(diǎn) 任何一點(diǎn) 不小于x0點(diǎn) 極大值 極小值 極大值點(diǎn) 極小值點(diǎn) 1 函數(shù)的極值是一個(gè)局部性的概念 是僅對(duì)某一點(diǎn)的左右兩側(cè)的領(lǐng)域而言的 2 極值點(diǎn)是函數(shù)定義域內(nèi)的點(diǎn) 而函數(shù)定義域的端點(diǎn)絕不是函數(shù)的極值點(diǎn) 3 若f x 在 a b 內(nèi)有極值 那么f x 在 a b 內(nèi)絕不是單調(diào)函數(shù) 即在區(qū)間上的單調(diào)函數(shù)沒(méi)有極值 4 極大值與極小值沒(méi)有必然的大小關(guān)系 一個(gè)函數(shù)在其定義域內(nèi)可以有許多個(gè)極小值和極大值 也可能沒(méi)有 在某一點(diǎn)的極小值可能大于另一點(diǎn)的極大值 即極小值不一定比極大值小 極大值也不一定比極小值大 如圖所示 1 如果函數(shù)y f x 在區(qū)間 a x0 上是 在區(qū)間 x0 b 上是 則x0是極大值點(diǎn) f x0 是極大值 2 如果函數(shù)y f x 在區(qū)間 a x0 上是 在區(qū)間 x0 b 上是 則x0是極小值點(diǎn) f x0 是極小值 2 函數(shù)極值的判斷 增加的 減少的 減少的 增加的 函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與極值的關(guān)系 1 對(duì)于可導(dǎo)函數(shù) 極值點(diǎn)必為導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn) 但反之 導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)不一定是極值點(diǎn) 如f x x3在x 0處導(dǎo)數(shù)為零 但不是極值點(diǎn) 2 導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)也有可能是極值點(diǎn) 如f x x 在x 0處不可導(dǎo) 但該點(diǎn)為極值點(diǎn) 綜合 1 2 可得 函數(shù)的極值點(diǎn)只能是不可導(dǎo)點(diǎn)或?qū)?shù)為零的點(diǎn) 1 關(guān)于函數(shù)的極值 有下列說(shuō)法 導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)一定是極值點(diǎn) 極值點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)一定為零 極大值一定大于極小值 f x 在 a b 內(nèi)有極值 那么f x 在 a b 內(nèi)不是單調(diào)函數(shù) f x 在 x0 x x0 x 上可導(dǎo)且f x0 0 x0左側(cè)f x 0 右側(cè)f x 0那么x0是極大值點(diǎn) f x 在區(qū)間 x0 x x0 x 上可導(dǎo) f x0 0 x0左側(cè)f x 0 右側(cè)f x 0 那么f x0 是函數(shù)的極小值 其中正確說(shuō)法是 A B C D 解析 根據(jù)極值的概念逐一判斷可知 錯(cuò)誤 正確 故選D 答案 D 2 函數(shù)y 1 3x x3有 A 極小值 1 極大值1B 極小值 2 極大值3C 極小值 2 極大值2D 極小值 1 極大值3解析 y 3 3x2 令y 3 3x2 0 得x 1 當(dāng)x變化時(shí) f x f x 的變化情況如下 3 已知函數(shù)f x x3 ax2 bx在x 1處有極值為 1 則f 2 等于 解析 由題意得f 1 0 f 1 1 f x 3x2 2ax b 即f 1 3 2a b 0 f 1 1 a b 1 得a 1 b 1 f 2 8 4a 2b 2 答案 2 課堂互動(dòng)講義 求下列函數(shù)的極值 1 f x x4 2x2 2 f x x2e x 求函數(shù)的極值 邊聽(tīng)邊記 1 函數(shù)f x 的定義域?yàn)镽 f x 4x3 4x 4x x 1 x 1 令f x 0 得x 0或x 1或x 1 列表 求可導(dǎo)函數(shù)y f x 極值點(diǎn)的步驟 1 確定函數(shù)的定義域 2 求出導(dǎo)數(shù)f x 3 解方程f x 0 4 對(duì)于方程f x 0的每一個(gè)解x0 分析f x 在x0左 右兩側(cè)的符號(hào) 即f x 的單調(diào)性 確定極值點(diǎn) 若f x 在x0兩側(cè)的符號(hào) 左正右負(fù) 則x0為極大值點(diǎn) 若f x 在x0兩側(cè)的符號(hào) 左負(fù)右正 則x0為極小值點(diǎn) 若f x 在x0兩側(cè)的符號(hào)相同 則x0不是極值點(diǎn) 已知f x x3 3ax2 bx a2在x 1時(shí)有極值0 求a b的值 思路導(dǎo)引 解答本題可先求f x 利用x 1時(shí)有極值0這一條件建立關(guān)于a b的方程組 解方程組可得a b的值 最后將a b代入原函數(shù)驗(yàn)證極值情況 已知函數(shù)的極值求參數(shù)值 當(dāng)a 1 b 3時(shí) f x 3x2 6x 3 3 x 1 2 0 所以f x 在R上為增函數(shù) 無(wú)極值 故舍去 7分當(dāng)a 2 b 9時(shí) f x 3x2 12x 9 3 x 1 x 3 9分 對(duì)于可導(dǎo)函數(shù)f x 通過(guò)極值點(diǎn)與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系可知極值點(diǎn)必為f x 0的根 而要明確是極大值點(diǎn) 還是極小值點(diǎn)必須考察極值點(diǎn)附近兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)的符號(hào) 同時(shí)本題從逆向思維出發(fā) 實(shí)現(xiàn)了問(wèn)題由已知向未知的轉(zhuǎn)化 在轉(zhuǎn)化過(guò)程中 利用了列表 直觀易于得到極值 2 已知函數(shù)f x x5 ax3 bx 1 僅當(dāng)x 1 x 1時(shí)取得極值 且極大值比極小值大4 1 求a b的值 2 求f x 的極大值和極小值 解析 1 f x x5 ax3 bx 1的定義域?yàn)镽 f x 5x4 3ax2 b x 1時(shí)有極值 5 3a b 0 b 3a 5 設(shè)a為實(shí)數(shù) 函數(shù)f x x3 x2 x a 1 求f x 的極值 2 當(dāng)a在什么范圍內(nèi)取值時(shí) 曲線y f x 與x軸僅有一個(gè)交點(diǎn) 思路導(dǎo)引 1 中利用求極值的步驟進(jìn)行 2 結(jié)合第 1 問(wèn)的結(jié)論利用數(shù)形結(jié)合加以分析 函數(shù)極值的應(yīng)用 利用極值判斷方程根的問(wèn)題 實(shí)際上是利用連續(xù)函數(shù)的一個(gè)原理 即若連續(xù)函數(shù)f x 在區(qū)間 a b 內(nèi) 有f a f b 0 則f x 與x軸至少有一個(gè)交點(diǎn) 具體解題時(shí)應(yīng)結(jié)合圖形作全面分析 若函數(shù)f x x x c 2在x 2處有極大值 則常數(shù)c 錯(cuò)解 f x x c 2 x 2 x c x c 3x c 由f x 在x 2處有極大值 f 2 0 即 2 c 6 c 0 解得c 2或c 6 答案 2或6 錯(cuò)因 上述解答時(shí)沒(méi)考慮極值點(diǎn)與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系 可導(dǎo)函數(shù)f x0 0是x0為極值點(diǎn)的必要不充分條件 若x0為極大值點(diǎn) 則f x 在x0附近左正右負(fù) 若x0為極小值點(diǎn) 則f x 在x0附近左負(fù)右正 x 2時(shí) f x 有極小值 與已知矛盾 若c 6時(shí) f x x 6 3x 6 3 x 2 x 6 當(dāng)x 2時(shí) f x 0 f x 在 2 上增加 當(dāng)2 x 6時(shí) f x 0 f x 在 2 6 上減少 x 2時(shí) f x 有極大值 符合題意 滿足條件的c的值為6 答案 6