高中數學 第3章 導數應用 1.2 函數的極值課件 北師大版選修2-2.ppt

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1函數的單調性與極值1 2函數的極值 課前預習學案 橫看成嶺側成峰 遠近高低各不同 說的是廬山的高低起伏 錯落有致 在群山之中 各個山峰的頂端 雖然不一定是群山的最高處 但它卻是其附近的最高點 同樣 各個谷底雖然不一定是群山之中的最低處 但它卻是附近的最低點 那么 在數學上 如何來刻畫這種現象呢 1 在包含x0的一個區(qū)間 a b 內 函數y f x 在 的函數值都 的函數值 稱點x0為函數y f x 的極大值點 其函數值f x0 為函數的極大值 2 在包含x0的一個區(qū)間 a b 內 函數y f x 在 的函數值都 的函數值 稱點x0為函數y f x 的極小值點 其函數值f x0 為函數的極小值 3 與 統(tǒng)稱為極值 與 統(tǒng)稱為極值點 1 函數極值的有關概念 任何一點 不大于x0點 任何一點 不小于x0點 極大值 極小值 極大值點 極小值點 1 函數的極值是一個局部性的概念 是僅對某一點的左右兩側的領域而言的 2 極值點是函數定義域內的點 而函數定義域的端點絕不是函數的極值點 3 若f x 在 a b 內有極值 那么f x 在 a b 內絕不是單調函數 即在區(qū)間上的單調函數沒有極值 4 極大值與極小值沒有必然的大小關系 一個函數在其定義域內可以有許多個極小值和極大值 也可能沒有 在某一點的極小值可能大于另一點的極大值 即極小值不一定比極大值小 極大值也不一定比極小值大 如圖所示 1 如果函數y f x 在區(qū)間 a x0 上是 在區(qū)間 x0 b 上是 則x0是極大值點 f x0 是極大值 2 如果函數y f x 在區(qū)間 a x0 上是 在區(qū)間 x0 b 上是 則x0是極小值點 f x0 是極小值 2 函數極值的判斷 增加的 減少的 減少的 增加的 函數的導數與極值的關系 1 對于可導函數 極值點必為導數為零的點 但反之 導數為零的點不一定是極值點 如f x x3在x 0處導數為零 但不是極值點 2 導數不存在的點也有可能是極值點 如f x x 在x 0處不可導 但該點為極值點 綜合 1 2 可得 函數的極值點只能是不可導點或導數為零的點 1 關于函數的極值 有下列說法 導數為零的點一定是極值點 極值點的導數一定為零 極大值一定大于極小值 f x 在 a b 內有極值 那么f x 在 a b 內不是單調函數 f x 在 x0 x x0 x 上可導且f x0 0 x0左側f x 0 右側f x 0那么x0是極大值點 f x 在區(qū)間 x0 x x0 x 上可導 f x0 0 x0左側f x 0 右側f x 0 那么f x0 是函數的極小值 其中正確說法是 A B C D 解析 根據極值的概念逐一判斷可知 錯誤 正確 故選D 答案 D 2 函數y 1 3x x3有 A 極小值 1 極大值1B 極小值 2 極大值3C 極小值 2 極大值2D 極小值 1 極大值3解析 y 3 3x2 令y 3 3x2 0 得x 1 當x變化時 f x f x 的變化情況如下 3 已知函數f x x3 ax2 bx在x 1處有極值為 1 則f 2 等于 解析 由題意得f 1 0 f 1 1 f x 3x2 2ax b 即f 1 3 2a b 0 f 1 1 a b 1 得a 1 b 1 f 2 8 4a 2b 2 答案 2 課堂互動講義 求下列函數的極值 1 f x x4 2x2 2 f x x2e x 求函數的極值 邊聽邊記 1 函數f x 的定義域為R f x 4x3 4x 4x x 1 x 1 令f x 0 得x 0或x 1或x 1 列表 求可導函數y f x 極值點的步驟 1 確定函數的定義域 2 求出導數f x 3 解方程f x 0 4 對于方程f x 0的每一個解x0 分析f x 在x0左 右兩側的符號 即f x 的單調性 確定極值點 若f x 在x0兩側的符號 左正右負 則x0為極大值點 若f x 在x0兩側的符號 左負右正 則x0為極小值點 若f x 在x0兩側的符號相同 則x0不是極值點 已知f x x3 3ax2 bx a2在x 1時有極值0 求a b的值 思路導引 解答本題可先求f x 利用x 1時有極值0這一條件建立關于a b的方程組 解方程組可得a b的值 最后將a b代入原函數驗證極值情況 已知函數的極值求參數值 當a 1 b 3時 f x 3x2 6x 3 3 x 1 2 0 所以f x 在R上為增函數 無極值 故舍去 7分當a 2 b 9時 f x 3x2 12x 9 3 x 1 x 3 9分 對于可導函數f x 通過極值點與導數的關系可知極值點必為f x 0的根 而要明確是極大值點 還是極小值點必須考察極值點附近兩側的導數的符號 同時本題從逆向思維出發(fā) 實現了問題由已知向未知的轉化 在轉化過程中 利用了列表 直觀易于得到極值 2 已知函數f x x5 ax3 bx 1 僅當x 1 x 1時取得極值 且極大值比極小值大4 1 求a b的值 2 求f x 的極大值和極小值 解析 1 f x x5 ax3 bx 1的定義域為R f x 5x4 3ax2 b x 1時有極值 5 3a b 0 b 3a 5 設a為實數 函數f x x3 x2 x a 1 求f x 的極值 2 當a在什么范圍內取值時 曲線y f x 與x軸僅有一個交點 思路導引 1 中利用求極值的步驟進行 2 結合第 1 問的結論利用數形結合加以分析 函數極值的應用 利用極值判斷方程根的問題 實際上是利用連續(xù)函數的一個原理 即若連續(xù)函數f x 在區(qū)間 a b 內 有f a f b 0 則f x 與x軸至少有一個交點 具體解題時應結合圖形作全面分析 若函數f x x x c 2在x 2處有極大值 則常數c 錯解 f x x c 2 x 2 x c x c 3x c 由f x 在x 2處有極大值 f 2 0 即 2 c 6 c 0 解得c 2或c 6 答案 2或6 錯因 上述解答時沒考慮極值點與導數的關系 可導函數f x0 0是x0為極值點的必要不充分條件 若x0為極大值點 則f x 在x0附近左正右負 若x0為極小值點 則f x 在x0附近左負右正 x 2時 f x 有極小值 與已知矛盾 若c 6時 f x x 6 3x 6 3 x 2 x 6 當x 2時 f x 0 f x 在 2 上增加 當2 x 6時 f x 0 f x 在 2 6 上減少 x 2時 f x 有極大值 符合題意 滿足條件的c的值為6 答案 6