考點(diǎn)測(cè)試28 平面向量的數(shù)量積及應(yīng)用
高考概覽
考綱研讀
1．理解平面向量數(shù)量積的含義及其幾何意義
2．了解平面向量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系
3．掌握數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式，會(huì)進(jìn)行平面向量數(shù)量積的運(yùn)算
4．能運(yùn)用數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角，會(huì)用數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系
一、基礎(chǔ)小題
1．已知向量a＝(－2，－1)，b＝(m，1)，m∈R，若a⊥b，則m的值為( )
A．－ B． C．2 D．－2
答案 A
解析 由a⊥b，得ab＝0，即－2m－1＝0，則m＝－．故選A．
2．在邊長(zhǎng)為1的等邊三角形ABC中，設(shè)＝a，＝b，＝c，則ab＋bc＋ca＝( )
A．－ B．0 C． D．3
答案 A
解析 依題意有ab＋bc＋ca＝11－＋11－＋11－＝－．故選A．
3．在Rt△ABC中，∠C＝90，AC＝4，則等于( )
A．－16 B．－8 C．8 D．16
答案 D
解析 因?yàn)閏osA＝，故＝||||cosA＝||2＝16．故選D．
4．已知|a|＝6，|b|＝3，向量a在b方向上的投影是4，則ab為( )
A．12 B．8 C．－8 D．2
答案 A
解析 ∵|a|cos〈a，b〉＝4，|b|＝3，
∴ab＝|a||b|cos〈a，b〉＝34＝12．故選A．
5．平面四邊形ABCD中，＋＝0，(－)＝0，則四邊形ABCD是( )
A．矩形 B．正方形 C．菱形 D．梯形
答案 C
解析 因?yàn)椋?，所以＝－＝，所以四邊形ABCD是平行四邊形．又(－)＝＝0，所以四邊形對(duì)角線互相垂直，所以四邊形ABCD是菱形．故選C．
6．已知向量a＝(2，7)，b＝(x，－3)，且a與b的夾角為鈍角，則實(shí)數(shù)x的取值范圍為( )
A．x< B．－
0，∴|a＋b|＝2cosx．
(2)f(x)＝cos2x－2cosx＝2cos2x－2cosx－1
＝22－．
∵x∈，∴≤cosx≤1，
∴當(dāng)cosx＝時(shí)，f(x)取得最小值－；
當(dāng)cosx＝1時(shí)，f(x)取得最大值－1．
單元質(zhì)量測(cè)試(三)
時(shí)間：120分鐘 滿(mǎn)分：150分
第Ⅰ卷 (選擇題，共60分)
一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分)
1．函數(shù)f(x)＝1－2sin2的最小正周期為( )
A．2π B．π C． D．4π
答案 A
解析 f(x)＝1－2sin2＝cosx，最小正周期T＝2π，故選A．
2．已知sinθ<0，tanθ>0，則化簡(jiǎn)的結(jié)果為( )
A．cosθ B．－cosθ
C．cosθ D．以上都不對(duì)
答案 B
解析 由已知可判斷出θ是第三象限角，所以＝|cosθ|＝－cosθ．故選B．
3．(2018福建4月質(zhì)檢)已知向量＝(1，1)，＝(2，3)，則下列向量與垂直的是( )
A．a(chǎn)＝(3，6) B．b＝(8，－6)
C．c＝(6，8) D．d＝(－6，3)
答案 D
解析 ＝－＝(1，2)，因?yàn)?1，2)(－6，3)＝1(－6)＋23＝0．故選D．
4．(2018長(zhǎng)沙統(tǒng)考)已知a，b為單位向量，且a⊥(a＋2b)，則向量a與b的夾角為( )
A．30 B．60 C．120 D．150
答案 C
解析 由題意，a(a＋2b)＝a2＋2ab＝|a|2＋2|a||b|cos〈a，b〉＝1＋2cos〈a，b〉＝0，所以cos〈a，b〉＝－，又0≤〈a，b〉≤180，所以〈a，b〉＝120．故選C．
5．(2018長(zhǎng)春調(diào)研)在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若2bcosC－2ccosB＝a，且B＝2C，則△ABC的形狀是( )
A．等腰直角三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．等邊三角形
答案 B
解析 ∵2bcosC－2ccosB＝a，∴2sinBcosC－2sinCcosB＝sinA＝sin(B＋C)，即sinBcosC＝3cosBsinC，∴tanB＝3tanC，又B＝2C，∴＝3tanC，得tanC＝，C＝，B＝2C＝，A＝，故△ABC為直角三角形．故選B．
6．(2018廣東廣州調(diào)研)如圖所示，在△ABC中，＝，P是BN上的一點(diǎn)，若＝m＋，則實(shí)數(shù)m的值為( )
A． B．
C． D．
答案 B
解析 因?yàn)镹，P，B三點(diǎn)共線，所以＝m＋＝m＋，從而m＋＝1?m＝．故選B．
7．(2018湖南長(zhǎng)郡中學(xué)調(diào)研)若△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知2bsin2A＝asinB，且c＝2b，則等于( )
A．2 B．3 C． D．
答案 A
解析 由2bsin2A＝asinB，得4bsinAcosA＝asinB，由正弦定理得4sinBsinAcosA＝sinAsinB，∵sinA≠0，且sinB≠0，∴cosA＝，由余弦定理，得a2＝b2＋4b2－b2，
∴a2＝4b2，∴＝2．故選A．
8．(2018江西九校聯(lián)考)已知5sin2α＝6cosα，α∈，則tan＝( )
A．－ B． C． D．
答案 B
解析 由題意知10sinαcosα＝6cosα，又α∈，
∴sinα＝，cosα＝，tan＝＝＝＝＝．
9．(2018東北三省四市二聯(lián))將函數(shù)f(x)＝sin(2x＋φ)|φ|＜的圖象向右平移個(gè)單位，所得到的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，則函數(shù)f(x)在0，上的最小值為( )
A． B． C．－ D．－
答案 D
解析 f(x)＝sin(2x＋φ)向右平移個(gè)單位得到函數(shù)g(x)＝sin2x－＋φ＝sin2x－＋φ，此函數(shù)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，即函數(shù)g(x)為偶函數(shù)，則－＋φ＝＋kπ，k∈Z，由|φ|＜，可得φ＝－，所以f(x)＝sin2x－，因?yàn)?≤x≤，所以－≤2x－≤，所以f(x)的最小值為sin－＝－．故選D．
10．(2018湖北宜昌二模)已知△ABC中，∠A＝120，且AB＝3，AC＝4，若＝λ＋，且⊥，則實(shí)數(shù)λ的值為( )
A． B． C．6 D．
答案 A
解析 因?yàn)椋溅耍?，且⊥，所以有?λ＋)(－)＝λ－λ2＋2－＝(λ－1)－λ2＋2＝0，整理可得(λ－1)34cos120－9λ＋16＝0，解得λ＝，故選A．
11．(2018湖南長(zhǎng)沙長(zhǎng)郡中學(xué)摸底)已知函數(shù)f(x)＝sin(ωx＋φ)ω>0，|φ|<的最小正周期為π，且其圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)g(x)＝cosωx的圖象，則函數(shù)f(x)的圖象( )
A．關(guān)于直線x＝對(duì)稱(chēng) B．關(guān)于直線x＝對(duì)稱(chēng)
C．關(guān)于點(diǎn)，0對(duì)稱(chēng) D．關(guān)于點(diǎn)，0對(duì)稱(chēng)
答案 C
解析 由題意T＝＝π，得ω＝2，把g(x)＝cos2x的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得f(x)＝cos2x－＝cos2x－＝sin－2x＋＝sin－2x＋＝sin2x－的圖象，f＝0，f＝，因此函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)，0對(duì)稱(chēng)．故選C．
12．(2017全國(guó)卷Ⅲ)在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，動(dòng)點(diǎn)P在以點(diǎn)C為圓心且與BD相切的圓上．若＝λ＋μ，則λ＋μ的最大值為( )
A．3 B．2 C． D．2
答案 A
解析 分別以CB，CD所在的直線為x軸、y軸建立直角坐標(biāo)系，則A(2，1)，B(2，0)，D(0，1)．
∵點(diǎn)P在以C為圓心且與BD相切的圓上，
∴可設(shè)Pcosθ，sinθ．
則＝(0，－1)，＝(－2，0)，
＝cosθ－2，sinθ－1．
又＝λ＋μ，
∴λ＝－sinθ＋1，μ＝－cosθ＋1，
∴λ＋μ＝2－sinθ－cosθ＝2－sin(θ＋φ)，
其中tanφ＝，∴(λ＋μ)max＝3．故選A．
第Ⅱ卷 (非選擇題，共90分)
二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分)
13．(2018合肥質(zhì)檢一)已知平面向量a，b滿(mǎn)足|a|＝1，|b|＝2，|a＋b|＝，則a在b方向上的投影等于________．
答案 －
解析 依題意，有|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2＝1＋212cos〈a，b〉＋4＝3，解得cos〈a，b〉＝－，則a在b方向上的投影等于|a|cos〈a，b〉＝－．
14．(2018全國(guó)卷Ⅲ)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c．已知C＝60，b＝，c＝3，則A＝________．
答案 75
解析 由正弦定理得＝，∴sinB＝．
又∵c＞b，∴B＝45，∴A＝75．
15．(2018河北石家莊質(zhì)檢)已知與的夾角為90，||＝2，||＝1，＝λ＋μ(λ，μ∈R)，且＝0，則的值為_(kāi)_______．
答案
解析
根據(jù)題意，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則A(0，0)，B(0，2)，C(1，0)，所以＝(0，2)，＝(1，0)，＝(1，－2)．設(shè)M(x，y)，則＝(x，y)，所以＝(x，y)(1，－2)＝x－2y＝0，即x＝2y，又＝λ＋μ，即(x，y)＝λ(0，2)＋μ(1，0)＝(μ，2λ)，所以x＝μ，y＝2λ，所以＝＝．
16．(2018廣州調(diào)研)如圖所示，某炮兵陣地位于地面A處，兩觀察所分別位于地面C處和D處，已知CD＝6000 m，∠ACD＝45，∠ADC＝75，目標(biāo)出現(xiàn)于地面B處時(shí)測(cè)得∠BCD＝30，∠BDC＝15，則炮兵陣地到目標(biāo)的距離是________ m．(結(jié)果保留根號(hào))
答案 1000
解析 在△ACD中，∵∠ACD＝45，∠ADC＝75，
∴∠CAD＝60，
由正弦定理可得＝，
∴AD＝6000＝2000(m)．
在△BCD中，由正弦定理得＝，
∴BD＝＝3000(m)，
在Rt△ABD中，由勾股定理可得AB2＝BD2＋AD2，
∴AB＝＝1000(m)．
三、解答題(本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟)
17．(本小題滿(mǎn)分10分)已知α∈，sinα＝．
(1)求sin的值；
(2)求cos的值．
解 (1)因?yàn)棣痢剩瑂inα＝，
所以cosα＝－＝－．
故sin＝sincosα＋cossinα
＝＋＝－．
(2)由(1)知sin2α＝2sinαcosα
＝2＝－，
cos2α＝1－2sin2α＝1－22＝，
所以cos＝coscos2α＋sinsin2α
＝＋＝－．
18．(2018浙江溫州統(tǒng)考)(本小題滿(mǎn)分12分)已知函數(shù)f(x)＝sinωx＋cosωx(ω>0)的最小正周期為π．
(1)求ω的值，并在下面提供的直角坐標(biāo)系中畫(huà)出函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[0，π]上的圖象；
(2)函數(shù)y＝f(x)的圖象可由函數(shù)y＝sinx的圖象經(jīng)過(guò)怎樣的變換得到？
解 (1)函數(shù)可化為f(x)＝sin，
因?yàn)門(mén)＝π，所以＝π，即ω＝2，
所以f(x)＝sin．
列表如下：
x
0
π
y
1
0
－1
0
畫(huà)出圖象如圖所示：
(2)將函數(shù)y＝sinx(x∈R)圖象上的所有點(diǎn)向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)y＝sin(x∈R)的圖象，再將所得圖象上的所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的(縱坐標(biāo)不變)，可得函數(shù)f(x)＝sin(x∈R)的圖象．
19．(2018河南洛陽(yáng)二模)(本小題滿(mǎn)分12分)如圖，已知扇形的圓心角∠AOB＝，半徑為4，若點(diǎn)C是上的一動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)A，B重合)．
(1)若弦BC＝4(－1)，求的長(zhǎng)；
(2)求四邊形OACB面積的最大值．
解 (1)在△OBC中，BC＝4(－1)，OB＝OC＝4，
所以由余弦定理得cos∠BOC＝＝，
所以∠BOC＝，于是的長(zhǎng)為4＝．
(2)設(shè)∠AOC＝θ，θ∈0，，則∠BOC＝－θ，
S四邊形OACB＝S△AOC＋S△BOC
＝44sinθ＋44sin－θ＝24sinθ＋8cosθ＝16sinθ＋，
由于θ∈0，，所以θ＋∈，，
當(dāng)θ＝時(shí)，四邊形OACB的面積取得最大值16．
20．(2018河南濮陽(yáng)三模)(本小題滿(mǎn)分12分)△ABC內(nèi)接于半徑為R的圓，a，b，c分別是內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，且2R(sin2B－sin2A)＝(b－c)sinC，c＝3．
(1)求角A的大??；
(2)若AD是BC邊上的中線，AD＝，求△ABC的面積．
解 (1)因?yàn)?R(sin2B－sin2A)＝(b－c)sinC，所以2RsinBsinB－2RsinAsinA＝(b－c)sinC，
所以bsinB－asinA＝bsinC－csinC，
即b2－a2＝bc－c2，即b2＋c2－a2＝bc，
所以cosA＝＝，A＝60．
(2)以AB，AC為鄰邊作平行四邊形ABEC，
在△ABE中，∠ABE＝120，AE＝，
由余弦定理得AE2＝AB2＋BE2－2ABBEcos120，
即19＝9＋BE2－23BE－，
解得BE＝2(負(fù)值舍去)，所以AC＝2．
故S△ABC＝ABACsin∠BAC
＝32＝．
21．(2018荊門(mén)調(diào)研)(本小題滿(mǎn)分12分)已知向量m＝(3sinx，cosx)，n＝(－cosx，cosx)，f(x)＝mn－．
(1)求函數(shù)f(x)的最大值及取得最大值時(shí)x的值；
(2)若方程f(x)＝a在區(qū)間上有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
解 (1)f(x)＝mn－＝－3sinxcosx＋cos2x－＝－sin2x＋(1＋cos2x)－
＝－sin2x＋cos2x＝sin．
當(dāng)2x＋＝2kπ＋，k∈Z，即x＝kπ－，k∈Z時(shí)，
函數(shù)f(x)取得最大值．
(2)由于x∈時(shí)，2x＋∈．
而函數(shù)g(x)＝sinx在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增．
又g＝－，g＝－，g＝．
結(jié)合圖象(如圖)，所以方程f(x)＝a在區(qū)間上有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根時(shí)，a∈．
22．(2018廣東茂名二模)(本小題滿(mǎn)分12分)已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，sinA＝2sinC，2b＝3c．
(1)求cosC；
(2)若∠ABC的平分線交AC于點(diǎn)D，且△ABC的面積為，求BD的長(zhǎng)．
解 (1)∵sinA＝2sinC，∴a＝2c．
于是，cosC＝＝＝．
(2)由(1)知cosC＝，∴sinC＝．
∵S△ABC＝2cc＝，
∴c2＝4，c＝2，則a＝4，b＝3．
∵BD為∠ABC的平分線，
∴＝＝2，∴CD＝2AD．
又CD＋AD＝3，∴CD＝2，AD＝1．
在△BCD中，由余弦定理可得BD2＝42＋22－242＝6，
∴BD＝．