山東省齊河縣高考數學三輪沖刺 專題 拋物線練習（含解析）.doc

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拋物線 一、選擇題（本大題共12小題，共60分） 1. 以拋物線C的頂點為圓心的圓交C于A、B兩點，交C的準線于D、E兩點.已知|AB|=42，|DE|=25，則C的焦點到準線的距離為( ) A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 （正確答案）B 【分析】 畫出圖形，設出拋物線方程，利用勾股定理以及圓的半徑列出方程求解即可． 本題考查拋物線的簡單性質的應用，拋物線與圓的方程的應用，考查計算能力.轉化思想的應用． 【解答】 解：設拋物線為y2=2px，如圖：|AB|=42，|AM|=22， |DE|=25，|DN|=5，|ON|=p2， xA=(22)22p=4p， |OD|=|OA|， 16p2+8=p24+5， 解得：p=4． C的焦點到準線的距離為：4． 故選B． ? 2. 設F為拋物線C：y2=4x的焦點，曲線y=kx(k>0)與C交于點P，PF⊥x軸，則k=( ) A. 12 B. 1 C. 32 D. 2 （正確答案）D 解：拋物線C：y2=4x的焦點F為(1,0)， 曲線y=kx(k>0)與C交于點P在第一象限， 由PF⊥x軸得：P點橫坐標為1， 代入C得：P點縱坐標為2， 故k=2， 故選：D 根據已知，結合拋物線的性質，求出P點坐標，再由反比例函數的性質，可得k值． 本題考查的知識點是拋物線的簡單性質，反比例函數的性質，難度中檔． 3. 設拋物線y2=2px的焦點在直線2x+3y-8=0上，則該拋物線的準線方程為( ) A. x=-4 B. x=-3 C. x=-2 D. x=-1 （正確答案）A 解：把y=0代入2x+3y-8=0得：2x-8=0，解得x=4， ∴拋物線的焦點坐標為(4,0)， ∴拋物線的準線方程為x=-4． 故選：A． 求出直線與x軸的交點坐標，即拋物線的焦點坐標，從而得出準線方程． 本題考查了拋物線的性質，屬于基礎題． 4. 點A(2,1)到拋物線y2=ax準線的距離為1，則a的值為( ) A. -14或-112 B. 14或112 C. -4或-12 D. 4或12 （正確答案）C 解：拋物線的準線方程為x=-a4， ∴點A(2,1)到拋物線y?2=ax準線的距離為|2+ a 4 |=1 解得a=-4或a=-12． 故選C． 求出拋物線的準線方程，根據距離列出方程解出a的值． 本題考查了拋物線的簡單性質，準線方程，屬于基礎題． 5. 設拋物線C：y2=4x的焦點為F，過點(-2,0)且斜率為23的直線與C交于M，N兩點，則FM?FN=( ) A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 （正確答案）D 解：拋物線C：y2=4x的焦點為F(1,0)，過點(-2,0)且斜率為23的直線為：3y=2x+4， 聯立直線與拋物線C：y2=4x，消去x可得：y2-6y+8=0， 解得y1=2，y2=4，不妨M(1,2)，N(4,4)，FM=(0,2)，FN=(3,4)． 則FM?FN=(0,2)?(3,4)=8． 故選：D． 求出拋物線的焦點坐標，直線方程，求出M、N的坐標，然后求解向量的數量積即可． 本題考查拋物線的簡單性質的應用，向量的數量積的應用，考查計算能力． 6. 已知雙曲線的一個焦點與拋物線x2=20y的焦點重合，且其漸近線方程為3x4y=0，則該雙曲線的標準方程為( ) A. x29-y216=1 B. y29-x216=1 C. x216-y29=1 D. y216-x29=1 （正確答案）B 解：∵拋物線x2=20y中，2p=20，p2=5， ∴拋物線的焦點為F(0,5)， 設雙曲線的方程為y2a2-x2b2=1， ∵雙曲線的一個焦點為F(0,5)，且漸近線的方程為3x4y=0即y=34x， ∴a2+b2=c=5ab=34， 解得a=3，b=4(舍負)， 可得該雙曲線的標準方程為：y29-x216=1.. 故選：B． 根據拋物線方程，算出其焦點為F(0,5).由此設雙曲線的方程為y2a2-x2b2=1，根據基本量的平方關系與漸近線方程的公式，建立關于a、b的方程組解出a、b的值，即可得到該雙曲線的標準方程． 本題給出雙曲線與已知拋物線有一個焦點重合，在已知漸近線的情況下求雙曲線的方程.著重考查了拋物線、雙曲線的標準方程與簡單幾何性質等知識，屬于中檔題． 7. 若拋物線y2=2px(p>0)上的點A(x0,2)到其焦點的距離是A到y(tǒng)軸距離的3倍，則p等于( ) A. 12 B. 1 C. 32 D. 2 （正確答案）D 解：由題意，3x0=x0+p2，∴x0=p4， ∴p22=2， ∵p>0， ∴p=2， 故選D． 根據拋物線的定義及題意可知3x0=x0+p2，得出x0求得p，可得答案． 本題主要考查了拋物線的定義和性質.考查了考生對拋物線定義的掌握和靈活應用，屬于基礎題． 8. 若拋物線y2=ax的焦點到其準線的距離是2，則a=( ) A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 （正確答案）C 【分析】 本題考查拋物線標準方程及簡單性質，利用拋物線的方程，求出p，即可求出結果.是基礎題． 【解答】 解：拋物線y2=ax的焦點到其準線的距離是2，可得p=2，則a=2p=4． 故選C． 9. 已知點A(-2,3)在拋物線C：y2=2px的準線上，記C的焦點為F，則直線AF的斜率為( ) A. -2 B. -43 C. -34 D. -12 （正確答案）C 解：由點A(-2,3)在拋物線C：y2=2px的準線上， 即-2=-p2，則p=4， 故拋物線的焦點坐標為：(2,0)， 則直線AF的斜率k=3-0-2-2=-34， 故選C． 由題意求得拋物線方程，求得焦點坐標，利用直線的斜率公式即可求得直線AF的斜率． 本題考查拋物線的簡單幾何性質，拋物線的焦點坐標及準線方程，考查計算能力，屬于基礎題． 10. 已知拋物線C：y2=x的焦點為F，A(x0,y0)是C上一點，AF=|54x0|，則x0=( ) A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 （正確答案）A 解：拋物線C：y2=x的焦點為F(14,0)， ∵A(x0,y0)是C上一點，AF=|54x0|，x0>0． ∴54x0=x0+14， 解得x0=1． 故選：A． 利用拋物線的定義、焦點弦長公式即可得出． 本題考查了拋物線的定義、焦點弦長公式，屬于基礎題． 11. 若直線y=kx-2與拋物線y2=8x交于A，B兩個不同的點，且AB的中點的橫坐標為2，則k=( ) A. 2 B. -1 C. 2或-1 D. 15 （正確答案）A 解：聯立直線y=kx-2與拋物線y2=8x， 消去y，可得k2x2-(4k+8)x+4=0，(k≠0)， 判別式(4k+8)2-16k2>0，解得k>-1． 設A(x1,y1)，B(x2,y2)， 則x1+x2=4k+8k2， 由AB中點的橫坐標為2， 即有4k+8k2=4， 解得k=2或-1(舍去)， 故選：A． 聯立直線y=kx-2與拋物線y2=8x，消去y，可得x的方程，由判別式大于0，運用韋達定理和中點坐標公式，計算即可求得k=2． 本題考查拋物線的方程的運用，聯立直線和拋物線方程，消去未知數，運用韋達定理和中點坐標公式，注意判別式大于0，屬于中檔題． 12. 已知拋物線方程為y=14x2，則該拋物線的焦點坐標為( ) A. (0,-1) B. (-116,0) C. (116,0) D. (0,1) （正確答案）D 解：把拋物線方程化為標準方程為：x2=4y， ∴拋物線的焦點在y軸的正半軸，p=2，p2=1． ∴拋物線的焦點坐標為(0,1)． 故選：D． 把拋物線方程化成標準方程，根據拋物線的焦點坐標公式得出焦點坐標． 本題考查了拋物線的簡單性質，屬于基礎題． 二、填空題（本大題共4小題，共20分） 13. 已知F是拋物線C：y2=8x的焦點，M是C上一點，FM的延長線交y軸于點N.若M為FN的中點，則|FN|=______． （正確答案）6 【分析】 本題考查拋物線的簡單性質的應用，考查計算能力.求出拋物線的焦點坐標，推出M坐標，然后求解即可． 【解答】 解：拋物線C：y2=8x的焦點F(2,0)，M是C上一點，FM的延長線交y軸于點N.若M為FN的中點， 可知M的橫坐標為：1， 則M的縱坐標為：22， |FN|=2|FM|=2(1-2)2+(22-0)2=6． 故答案為6． 14. 若拋物線y2=4x上的點M到焦點的距離為10，則M到y(tǒng)軸的距離是______ ． （正確答案）9 解：拋物線的準線為x=-1， ∵點M到焦點的距離為10， ∴點M到準線x=-1的距離為10， ∴點M到y(tǒng)軸的距離為9． 故答案為：9． 根據拋物線的性質得出M到準線x=-1的距離為10，故到y(tǒng)軸的距離為9． 本題考查了拋物線的性質，屬于基礎題． 15. 設拋物線x=2pt2y=2pt(t為參數，p>0)的焦點為F，準線為l，過拋物線上一點A作l的垂線，垂足為B，設C(72p,0)，AF與BC相交于點E.若|CF|=2|AF|，且△ACE的面積為32，則p的值為______． （正確答案）6 解：拋物線x=2pt2y=2pt(t為參數，p>0)的普通方程為：y2=2px焦點為F(p2,0)，如圖：過拋物線上一點A作l的垂線，垂足為B，設C(72p,0)，AF與BC相交于點E.|CF|=2|AF|， |CF|=3p，|AB|=|AF|=32p，A(p,2p)， △ACE的面積為32，AEEF=ABCF=12， 可得13S△AFC=S△ACE． 即：13123p2p=32， 解得p=6． 故答案為：6． 化簡參數方程為普通方程，求出F與l的方程，然后求解A的坐標，利用三角形的面積列出方程，求解即可． 本題考查拋物線的簡單性質的應用，拋物線的參數方程的應用，考查分析問題解決問題的能力． 16. 拋物線y2=2x的準線方程是______；該拋物線的焦點為F，點M(x0,y0)在此拋物線上，且|MF|=52，則x0=______． （正確答案）x=-12；2 解：∵拋物線方程為y2=2x ∴可得2p=2，得p2=12， 所以拋物線的焦點為F(12,0)，準線方程為x=-12； ∵點M(x0,y0)在此拋物線上， ∴根據拋物線的定義，可得|MF|=x0+p2=52 即x0+12=52，解之得x0=2 故答案為：x=-12，2 根據拋物線的標準方程，可得拋物線開口向右，由2p=2得p2=12，所以拋物線的準線方程為x=-12；由拋物線的定義結合點M坐標可得|MF|=x0+p2=52，解之可得x0的值． 本題給出拋物線的標準方程，求它的準線方程和滿足|MF|=52的點M的坐標.著重考查了拋物線的定義、標準方程和簡單幾何性質等知識，屬于基礎題． 三、解答題（本大題共3小題，共30分） 17. 在直角坐標系xOy中，直線l：y=t(t≠0)交y軸于點M，交拋物線C：y2=2px(p>0)于點P，M關于點P的對稱點為N，連結ON并延長交C于點H． (Ⅰ)求|OH||ON|； (Ⅱ)除H以外，直線MH與C是否有其它公共點？說明理由． （正確答案）解：(Ⅰ)將直線l與拋物線方程聯立，解得P(t22p,t)， ∵M關于點P的對稱點為N， ∴xN+xM2=t22p，yN+yM2=t， ∴N(t2p,t)， ∴ON的方程為y=ptx， 與拋物線方程聯立，解得H(2t2p,2t) ∴|OH||ON|=|yH||yN|=2； (Ⅱ)由(Ⅰ)知kMH=p2t， ∴直線MH的方程為y=p2tx+t，與拋物線方程聯立，消去x可得y2-4ty+4t2=0， ∴△=16t2-44t2=0， ∴直線MH與C除點H外沒有其它公共點． (Ⅰ)求出P，N，H的坐標，利用|OH||ON|=|yH||yN|，求|OH||ON|； (Ⅱ)直線MH的方程為y=p2tx+t，與拋物線方程聯立，消去x可得y2-4ty+4t2=0，利用判別式可得結論． 本題考查直線與拋物線的位置關系，考查學生的計算能力，正確聯立方程是關鍵． 18. 已知拋物線C：y2=2x，過點(2,0)的直線l交C于A，B兩點，圓M是以線段AB為直徑的圓． (1)證明：坐標原點O在圓M上； (2)設圓M過點P(4,-2)，求直線l與圓M的方程． （正確答案）解：方法一：證明：(1)當直線l的斜率不存在時，則A(2,2)，B(2,-2)， 則OA=(2,2)，OB=(2,-2)，則OA?OB=0， ∴OA⊥OB， 則坐標原點O在圓M上； 當直線l的斜率存在，設直線l的方程y=k(x-2)，A(x1,y1)，B(x2,y2)， y=kx-2y2=2x，整理得：k2x2-(4k2+1)x+4k2=0， 則x1x2=4，4x1x2=y12y22=(y1y2)2，由y1y2<0， 則y1y2=-4， 由OA?OB=x1x2+y1y2=0， 則OA⊥OB，則坐標原點O在圓M上， 綜上可知：坐標原點O在圓M上； 方法二：設直線l的方程x=my+2， x=my+2y2=2x，整理得：y2-3my-4=0， 令A(x1,y1)，B(x2,y2)， 則y1y2=-4， 則(y1y2)2=4x1x2，則x1x2=4，則OA?OB=x1x2+y1y2=0， 則OA⊥OB，則坐標原點O在圓M上， ∴坐標原點O在圓M上； (2)由(1)可知：x1x2=4，x1+x2=4k2+2k2，y1+y2=2k，y1y2=-4， 圓M過點P(4,-2)，則AP=(4-x1,-2-y1)，BP=(4-x2,-2-y2)， 由AP?BP=0，則(4-x1)(4-x2)+(-2-y1)(-2-y2)=0， 整理得：k2+k-2=0，解得：k=-2，k=1， 當k=-2時，直線l的方程為y=-2x+4， 則x1+x2=92，y1+y2=-1， 則M(94,-12)，半徑為r=丨MP丨=(4-94)2+(-2+12)2=854， ∴圓M的方程(x-94)2+(y+12)2=8516． 當直線斜率k=1時，直線l的方程為y=x-2， 同理求得M(3,1)，則半徑為r=丨MP丨=10， ∴圓M的方程為(x-3)2+(y-1)2=10， 綜上可知：直線l的方程為y=-2x+4，圓M的方程(x-94)2+(y+12)2=8516 或直線l的方程為y=x-2，圓M的方程為(x-3)2+(y-1)2=10． (1)方法一：分類討論，當直線斜率不存在時，求得A和B的坐標，由OA?OB=0，則坐標原點O在圓M上；當直線l斜率存在，代入拋物線方程，利用韋達定理及向量數量積的可得OA?OB=0，則坐標原點O在圓M上； 方法二：設直線l的方程x=my+2，代入橢圓方程，利用韋達定理及向量數量積的坐標運算，即可求得OA?OB=0，則坐標原點O在圓M上； (2)由題意可知：AP?BP=0，根據向量數量積的坐標運算，即可求得k的值，求得M點坐標，則半徑r=丨MP丨，即可求得圓的方程． 本題考查直線與拋物線的位置關系，考查韋達定理，向量數量積的坐標運算，考查計算能力，屬于中檔題． 19. 設拋物線C：y2=4x的焦點為F，過F且斜率為k(k>0)的直線l與C交于A，B兩點，|AB|=8． (1)求l的方程； (2)求過點A，B且與C的準線相切的圓的方程． （正確答案）解：(1)方法一：拋物線C：y2=4x的焦點為F(1,0)，當直線的斜率不存在時，|AB|=4，不滿足； 設直線AB的方程為：y=k(x-1)，設A(x1,y1)，B(x2,y2)， 則y2=4xy=k(x-1)，整理得：k2x2-2(k2+2)x+k2=0，則x1+x2=2(k2+2)k2，x1x2=1， 由|AB|=x1+x2+p=2(k2+2)k2+2=8，解得：k2=1，則k=1， ∴直線l的方程y=x-，； 方法二：拋物線C：y2=4x的焦點為F(1,0)，設直線AB的傾斜角為θ，由拋物線的弦長公式|AB|=2psin2θ=4sin2θ=8，解得：sin2θ=12， ∴θ=π4，則直線的斜率k=1， ∴直線l的方程y=x-1； (2)過A，B分別向準線x=-1作垂線，垂足分別為A1，B1，設AB的中點為D，過D作DD1⊥準線l，垂足為D，則|DD1|=12(|AA1|+|BB1|) 由拋物線的定義可知：|AA1|=|AF|，|BB1|=|BF|，則r=|DD1|=4， 以AB為直徑的圓與x=-1相切，且該圓的圓心為AB的中點D， 由(1)可知：x1+x2=6，y1+y2=x1+x2-2=4， 則D(3,2)， 過點A，B且與C的準線相切的圓的方程(x-3)2+(y-2)2=16.. (1)方法一：設直線AB的方程，代入拋物線方程，根據拋物線的焦點弦公式即可求得k的值，即可求得直線l的方程； 方法二：根據拋物線的焦點弦公式|AB|=2psin2θ，求得直線AB的傾斜角，即可求得直線l的斜率，求得直線l的方程； (2)根據過A，B分別向準線l作垂線，根據拋物線的定義即可求得半徑，根據中點坐標公式，即可求得圓心，求得圓的方程． 本題考查拋物線的性質，直線與拋物線的位置關系，拋物線的焦點弦公式，考查圓的標準方程，考查轉換思想思想，屬于中檔題．