2019版高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第三章 三角函數(shù)、解三角形 23 解三角形應(yīng)用舉例課時(shí)作業(yè) 文.doc

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課時(shí)作業(yè)23　解三角形應(yīng)用舉例 一、選擇題 1．(2018武漢三中月考) 如圖，兩座燈塔A和B與海岸觀察站C的距離相等，燈塔A在觀察站南偏西40方向上，燈塔B在觀察站南偏東60方向上，則燈塔A在燈塔B的(　　) A．北偏東10方向上 B．北偏西10方向上 C．南偏東80方向上 D．南偏西80方向上 解析：由條件及題圖可知，∠A＝∠ABC＝40，因?yàn)椤螧CD＝60，所以∠CBD＝30，所以∠DBA＝10，因此燈塔A在燈塔B南偏西80方向上． 答案：D 2．如圖，飛機(jī)的航線(xiàn)和山頂在同一個(gè)鉛垂面內(nèi)，若飛機(jī)的高度為海拔18 km，速度為1 000 km/h，飛行員先看到山頂?shù)母┙菫?0，經(jīng)過(guò)1 min后又看到山頂?shù)母┙菫?5，則山頂?shù)暮０胃叨葹?精確到0.1 km)(　　) A．11.4 km　B．6.6 km C．6.5 km D．5.6 km 解析：∵AB＝1 0001 000＝m， ∴BC＝sin30＝m. ∴航線(xiàn)離山頂h＝sin75≈11.4 km. ∴山高為18－11.4＝6.6 km. 答案：B 3．某船開(kāi)始看見(jiàn)燈塔在南偏東30方向，后來(lái)船沿南偏東60的方向航行15 km后，看見(jiàn)燈塔在正西方向，則這時(shí)船與燈塔的距離是(　　) A．5 km B．10 km C．5 km D．5 km 解析： 作出示意圖(如圖)，點(diǎn)A為該船開(kāi)始的位置，點(diǎn)B為燈塔的位置，點(diǎn)C為該船后來(lái)的位置，所以在△ABC中，有∠BAC＝60－30＝30，B＝120，AC＝15， 由正弦定理，得＝， 即BC＝＝5，即這時(shí)船與燈塔的距離是5 km. 答案：C 4．在四邊形ABCD中，∠B＝∠C＝120，AB＝4，BC＝CD＝2，則該四邊形的面積等于(　　) A．7 B．6 C．5 D. 解析： 如圖，取AB中點(diǎn)G，連接DG，則DG∥BC，∠AGD＝120. 分別過(guò)B，C作DG的垂線(xiàn)，可求得BE＝CF＝，DG＝4， 所以四邊形面積S＝S△AGD＋S四邊形GBCD＝AGDGsin120＋(DG＋BC)BE＝5. 答案：C 5．如圖，在離地面高400 m的熱氣球上，觀測(cè)到山頂C處的仰角為15，山腳A處的俯角為45，已知∠BAC＝60，則山的高度BC為(　　) A．700 m B．640 m C．600 m D．560 m 解析：根據(jù)題意，可得在Rt△AMD中， ∠MAD＝45，MD＝400， 所以AM＝＝400. 因?yàn)椤鱉AC中，∠AMC＝45＋15＝60， ∠MAC＝180－45－60＝75， 所以∠MCA＝180－∠AMC－∠MAC＝45， 由正弦定理，得AC＝＝＝400， 在Rt△ABC中，BC＝ACsin∠BAC＝400＝600(m)． 答案：C 二、填空題 6．(2018福州畢業(yè)班檢測(cè))在距離塔底分別為80 m,160 m,240 m的同一水平面上的A，B，C處，依次測(cè)得塔頂?shù)难鼋欠謩e為α，β，γ.若α＋β＋γ＝90，則塔高為_(kāi)_______ m. 解析：本題考查三角恒等變換．設(shè)塔高為h m，則tanα＝，tanβ＝，tanγ＝.又由α＋β＋γ＝90，得tan(α＋β)＝tan(90－γ)＝，則＝，解得h＝80. 本題的突破點(diǎn)是利用兩角和的正切公式建立方程． 答案：80 7．如圖，一棟建筑物的高為(30－10) m，在該建筑物的正東方向有一個(gè)通信塔CD.在它們之間的地面點(diǎn)M(B，M，D三點(diǎn)共線(xiàn))處測(cè)得樓頂A，塔頂C的仰角分別為15和60，在樓頂A處測(cè)得塔頂C的仰角為30，則通信塔CD的高為_(kāi)_______ m. 解析：在Rt△ABM中，AM＝＝＝＝＝20. 易知∠MAC＝30＋15＝45，又∠AMC＝180－15－60＝105，從而∠ACM＝30. 在△AMC中，由正弦定理得＝，解得MC＝40. 在Rt△CMD中，CD＝MCsin60＝60，故通信塔CD的高為60 m. 答案：60 8．(2018惠州市第三次調(diào)研考試) 如圖所示，在一個(gè)坡度一定的山坡AC的頂上有一高度為25 m的建筑物CD，為了測(cè)量該山坡相對(duì)于水平地面的坡角θ，在山坡的A處測(cè)得∠DAC＝15，沿山坡前進(jìn)50 m到達(dá)B處，又測(cè)得∠DBC＝45，根據(jù)以上數(shù)據(jù)可得cosθ＝________. 解析：由∠DAC＝15，∠DBC＝45可得∠BDA＝30，∠DBA＝135，∠BDC＝90－(15＋θ)－30＝45－θ，由內(nèi)角和定理可得∠DCB＝180－(45－θ)－45＝90＋θ，根據(jù)正弦定理可得＝，即DB＝100sin15＝100sin(45－30)＝25(－1)，又＝，即＝，得到cosθ＝－1. 答案：－1 三、解答題 9．(2018河南六市聯(lián)考，17)如圖，在一條海防警戒線(xiàn)上的點(diǎn)A，B，C處各有一個(gè)水聲檢測(cè)點(diǎn)，B，C到A的距離分別為20千米和50千米，某時(shí)刻B收到來(lái)自靜止目標(biāo)P的一個(gè)聲波信號(hào)，8秒后A，C同時(shí)接收到該聲波信號(hào)，已知聲波在水中的傳播速度是1.5千米/秒． (1)設(shè)A到P的距離為x千米，用x表示B，C到P的距離，并求出x的值； (2)求P到海防警戒線(xiàn)AC的距離． 解析：(1)依題意，有PA＝PC＝x，PB＝x－1.58＝x－12. 在△PAB中，AB＝20， cos∠PAB＝ ＝＝， 同理，在△PAC中，AC＝50，cos∠PAC＝＝＝. ∵cos∠PAB＝cos∠PAC，∴＝， 解得x＝31. (2)作PD⊥AC于D，在△ADP中， 由cos∠PAD＝， 得sin∠PAD＝＝， ∴PD＝PAsin∠PAD＝31＝4. 故靜止目標(biāo)P到海防警戒線(xiàn)AC的距離為4千米． 10. 在一次海上聯(lián)合作戰(zhàn)演習(xí)中，紅方一艘偵察艇發(fā)現(xiàn)在北偏東45方向，相距12 n mile的水面上，有藍(lán)方一艘小艇正以每小時(shí)10 n mile的速度沿南偏東75方向前進(jìn)，若紅方偵察艇以每小時(shí)14 n mile的速度，沿北偏東45＋α方向攔截藍(lán)方的小艇．若要在最短的時(shí)間內(nèi)攔截住，求紅方偵察艇所需的時(shí)間和角α的正弦值． 解析：如圖，設(shè)紅方偵察艇經(jīng)過(guò)x小時(shí)后在C處追上藍(lán)方的小艇， 則AC＝14x，BC＝10x，∠ABC＝120. 根據(jù)余弦定理得(14x)2＝122＋(10x)2－240xcos120， 解得x＝2. 故AC＝28，BC＝20. 根據(jù)正弦定理得＝， 解得sinα＝＝. 所以紅方偵察艇所需要的時(shí)間為2小時(shí)，角α的正弦值為. [能力挑戰(zhàn)] 11．(2018黑龍江哈爾濱六中開(kāi)學(xué)考試)“德是”號(hào)飛船返回艙順利到達(dá)地球后，為了及時(shí)將航天員救出，地面指揮中心在返回艙預(yù)計(jì)到達(dá)的區(qū)域安排了同一條直線(xiàn)上的三個(gè)救援中心(記為B，C，D)．當(dāng)返回艙在距地面1萬(wàn)米的P點(diǎn)時(shí)(假定以后垂直下落，并在A點(diǎn)著陸)，C救援中心測(cè)得飛船位于其南偏東60方向，仰角為60，B救援中心測(cè)得飛船位于其南偏西30方向，仰角為30，D救援中心測(cè)得著陸點(diǎn)A位于其正東方向． (1)求B、C兩救援中心間的距離； (2)求D救援中心與著陸點(diǎn)A間的距離． 解析：(1)由題意知PA⊥AC，PA⊥AB，則△PAC，△PAB均為直角三角形 在Rt△PAC中，PA＝1，∠PCA＝60，解得AC＝， 在Rt△PAB中，PA＝1，∠PBA＝30，解得AB＝， 又∠CAB＝90，BC＝＝萬(wàn)米． (2)sin∠ACD＝sin∠ACB＝，cos∠ACD＝－， 又∠CAD＝30，所以sin∠ADC＝sin(30＋∠ACD)＝， 在△ADC中，由正弦定理，＝， AD＝＝萬(wàn)米．