江蘇省無錫地區(qū)中考數(shù)學(xué)選擇填空壓軸題 專題7 圓的綜合問題.doc

專題07 圓的綜合問題 例1．如圖，點(diǎn)A是半圓上的一個(gè)三等分點(diǎn)，點(diǎn)B為弧AD的中點(diǎn)，P是直徑CD上一動點(diǎn)，⊙O的半徑是2，則PA＋PB的最小值為（　?。? A．2 B． C．＋1 D． 同類題型1.1 如圖，⊙O是△ABC的外接圓，已知AD平分∠BAC交⊙O于點(diǎn)D，連結(jié)CD，延長AC，BD，相交于點(diǎn)F．現(xiàn)給出下列結(jié)論： ①若AD＝5，BD＝2，則； ②∠ACB＝∠DCF； ③△FDA∽△FCB； ④若直徑AG⊥BD交BD于點(diǎn)H，AC＝FC＝4，DF＝3，則； 則正確的結(jié)論是（　?。? A．①③ B．②③④ C．③④ D．①②④ 同類題型1.2 一張圓形紙片，小芳進(jìn)行了如下連續(xù)操作： （1）將圓形紙片左右對折，折痕為AB，如圖（2）所示． （2）將圓形紙片上下折疊，使A、B兩點(diǎn)重合，折痕CD與AB相交于M，如圖（3）所示． （3）將圓形紙片沿EF折疊，使B、M兩點(diǎn)重合，折痕EF與AB相交于N，如圖（4）所示． （4）連結(jié)AE、AF，如圖（5）所示． 經(jīng)過以上操作小芳得到了以下結(jié)論： ①CD∥EF；②四邊形MEBF是菱形；③△AEF為等邊三角形；④：， 以上結(jié)論正確的有（　　） A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè) 例2．如圖，△ABC中，BC＝4，∠BAC＝45，以為半徑，過B、C兩點(diǎn)作⊙O，連OA，則線段OA的最大值為______________． 同類題型2.1 如圖，已知⊙O的半徑為1，銳角△ABC內(nèi)接于⊙O，BD⊥AC于點(diǎn)D，OM⊥AB于點(diǎn)M，，則sin∠CBD的值等于（　　） A． B． C． D． 同類題型2.2 如圖，直線l經(jīng)過⊙O的圓心O，與⊙O交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)C在⊙O上，∠AOC＝30，點(diǎn)P是直線l上的一個(gè)動點(diǎn)（與圓心O不重合），直線CP與⊙O相交于點(diǎn)M，且MP＝OM，則滿足條件的∠OCP的大小為_______________． 同類題型2.3 如圖，△ABC中，∠BAC＝90，AC＝12，AB＝10，D是AC上一個(gè)動點(diǎn)，以AD為直徑的⊙O交BD于E，則線段CE的最小值是（　?。? A．5 B．6 C．7 D．8 例3． 如圖，直線，⊙O與和分別相切于點(diǎn)A和點(diǎn)B．點(diǎn)M和點(diǎn)N分別是和上的動點(diǎn)，MN沿和平移．⊙O的半徑為1，∠1＝60．下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（　?。? A． B．若MN與⊙O相切，則 C．若∠MON＝90，則MN與⊙O相切 D．和的距離為2 同類題型3.1 如圖，已知A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（－2，0）、（0，1），⊙C的圓心坐標(biāo)為（0，－1），半徑為1．若D是⊙C上的一個(gè)動點(diǎn)，射線AD與y軸交于點(diǎn)E，則△ABE面積的最大值是__________． 同類題型3.2 我們將在直角坐標(biāo)系中圓心坐標(biāo)和半徑均為整數(shù)的圓稱為“整圓”．如圖，直線l：與x軸、y軸分別交于A、B，∠OAB＝30，點(diǎn)P在x軸上，⊙P與l相切，當(dāng)P在線段OA上運(yùn)動時(shí)，使得⊙P成為整圓的點(diǎn)P個(gè)數(shù)是（　?。? A．6 B．8 C．10 D．12 同類題型3.3 已知AC⊥BC于C，BC＝a，CA＝b，AB＝c，下列圖形中⊙O與△ABC的某兩條邊或三邊所在的直線相切，則⊙O的半徑為的是（　?。? A． B． C． D． 例4．如圖，正方形ABCD和正三角形AEF都內(nèi)接于⊙O，EF與BC，CD分別相交于點(diǎn)G，H，則的值為______________． 同類題型4.1如圖，在菱形ABCD中，對角線AC，BD交于點(diǎn)O，以O(shè)B為直徑畫圓M，過D作⊙M的切線，切點(diǎn)為N，分別交AC，BC于點(diǎn)E，F(xiàn)，已知AE＝5，CE＝3，則DF的長是_______________． 同類題型4.2 如圖，已知△ABC的外接圓⊙O的半徑為1，D、E分別是AB、AC上的點(diǎn)，BD＝2AD，EC＝2AE，則sin∠BAC的值等于線段（　?。? A．DE的長 B．BC的長 C．DE的長 D．DE的長 例5．如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C是⊙O上一點(diǎn)，AD與過點(diǎn)C的切線垂直，垂足為D，直線DC與AB的延長線交于點(diǎn)P，弦CE平分∠ACB，交AB于點(diǎn)F，連結(jié)BE，．下列四個(gè)結(jié)論：①AC平分∠DAB；②＝PB﹒PA；③若OP，則陰影部分的面積為；④若PC＝24，則．其中正確的是（　?。? A．①② B．③④ C．①②④ D．①②③ 同類題型5.1 如圖，在半徑為2cm，圓心角為90的扇形OAB中，分別以O(shè)A、OB為直徑作半圓，則圖中陰影部分的面積為_____________． 同類題型5.2 某景區(qū)修建一棟復(fù)古建筑，其窗戶設(shè)計(jì)如圖所示．圓O的圓心與矩形ABCD對角線的交點(diǎn)重合，且圓與矩形上下兩邊相切（E為上切點(diǎn)），與左右兩邊相交（F，G為其中兩個(gè)交點(diǎn)），圖中陰影部分為不透光區(qū)域，其余部分為透光區(qū)域．已知圓的半徑為1m，根據(jù)設(shè)計(jì)要求，若∠EOF＝45，則此窗戶的透光率（透光區(qū)域與矩形窗面的面積的比值）為_____________． 同類題型5.3 如圖，將半徑為2，圓心角為120的扇形OAB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60，點(diǎn)O，B的對應(yīng)點(diǎn)分別為O′，B′，連接BB′，則圖中陰影部分的面積是（　?。? A． B． C． D． 同類題型5.4 如圖，已知矩形ABCD中，AB＝3，AD＝2，分別以邊AD，BC為直徑在矩形ABCD的內(nèi)部作半圓和半圓，一平行于AB的直線EF與這兩個(gè)半圓分別交于點(diǎn)E、點(diǎn)F，且EF＝2（EF與AB在圓心和的同側(cè)），則由，EF，，AB所圍成圖形（圖中陰影部分）的面積等于_______． 參考答案 例1．如圖，點(diǎn)A是半圓上的一個(gè)三等分點(diǎn)，點(diǎn)B為弧AD的中點(diǎn)，P是直徑CD上一動點(diǎn)，⊙O的半徑是2，則PA＋PB的最小值為（　?。? A．2 B． C．＋1 D． 解：作A關(guān)于MN的對稱點(diǎn)Q，連接CQ，BQ，BQ交CD于P，此時(shí)AP＋PB＝QP＋PB＝QB， 根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，PA＋PB的最小值為QB的長度， 連接OQ，OB， ∵點(diǎn)A是半圓上的一個(gè)三等分點(diǎn)， ∴∠ACD＝30． ∵B弧AD中點(diǎn)， ∴∠BOD＝∠ACD＝30， ∴∠QOD＝2∠QCD＝230＝60， ∴∠BOQ＝30＋60＝90． ∵⊙O的半徑是2， ∴OB＝OQ＝2， ∴，即PA＋PB的最小值為2． 選D． 同類題型1.1 如圖，⊙O是△ABC的外接圓，已知AD平分∠BAC交⊙O于點(diǎn)D，連結(jié)CD，延長AC，BD，相交于點(diǎn)F．現(xiàn)給出下列結(jié)論： ①若AD＝5，BD＝2，則； ②∠ACB＝∠DCF； ③△FDA∽△FCB； ④若直徑AG⊥BD交BD于點(diǎn)H，AC＝FC＝4，DF＝3，則； 則正確的結(jié)論是（　?。? A．①③ B．②③④ C．③④ D．①②④ 解：①如圖1， ∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD＝∠CAD， ∵∠CAD＝∠CBD， ∴∠BAD＝∠CBD， ∵∠BDE＝∠BDE， ∴△BDE∽△ADB， ∴， 由AD＝5，BD＝2，可求， ①不正確； ②如圖2， 連接CD， ∠FCD＋∠ACD＝180，∠ACD＋∠ABD＝180， ∴∠FCD＝∠ABD， 若∠ACB＝∠DCF，因?yàn)椤螦CB＝∠ADB， 則有：∠ABD＝∠ADB，與已知不符， 故②不正確； ③如圖3， ∵∠F＝∠F，∠FAD＝∠FBC， ∴△FDA∽△FCB； 故③正確； ④如圖4， 連接CD，由②知：∠FCD＝∠ABD， 又∵∠F＝∠F， ∴△FCD∽△FBA， ∴， 由AC＝FC＝4，DF＝3，可求：AF＝8，， ∴， ∵直徑AG⊥BD， ∴， ∴， ∴， 故④正確； 故選：C． 同類題型1.2 一張圓形紙片，小芳進(jìn)行了如下連續(xù)操作： （1）將圓形紙片左右對折，折痕為AB，如圖（2）所示． （2）將圓形紙片上下折疊，使A、B兩點(diǎn)重合，折痕CD與AB相交于M，如圖（3）所示． （3）將圓形紙片沿EF折疊，使B、M兩點(diǎn)重合，折痕EF與AB相交于N，如圖（4）所示． （4）連結(jié)AE、AF，如圖（5）所示． 經(jīng)過以上操作小芳得到了以下結(jié)論： ①CD∥EF；②四邊形MEBF是菱形；③△AEF為等邊三角形；④：， 以上結(jié)論正確的有（　　） A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè) 解：∵紙片上下折疊A、B兩點(diǎn)重合， ∴∠BMD＝90， ∵紙片沿EF折疊，B、M兩點(diǎn)重合， ∴∠BNF＝90， ∴∠BMD＝∠BNF＝90， ∴CD∥EF，故①正確； 根據(jù)垂徑定理，BM垂直平分EF， 又∵紙片沿EF折疊，B、M兩點(diǎn)重合， ∴BN＝MN， ∴BM、EF互相垂直平分， ∴四邊形MEBF是菱形，故②正確； 如圖，連接ME，則ME＝MB＝2MN， ∴∠MEN＝30， ∴∠EMN＝90－30＝60， 又∵AM＝ME（都是半徑）， ∴∠AEM＝∠EAM， ∴60＝30， ∴∠AEF＝∠AEM＋∠MEN＝30＋30＝60， 同理可求∠AFE＝60， ∴∠EAF＝60， ∴△AEF是等邊三角形，故③正確； 設(shè)圓的半徑為r，則r，r， ∴r，r， ∴：：：4π，故④正確； 綜上所述，結(jié)論正確的是①②③④共4個(gè)． 選D． 同類題型1.3 同類題型1.4 例2．如圖，△ABC中，BC＝4，∠BAC＝45，以為半徑，過B、C兩點(diǎn)作⊙O，連OA，則線段OA的最大值為______________． 解：作OF⊥BC于F，則BC＝2，如圖，連結(jié)OB， 在Rt△OBF中，， ∵∠BAC＝45，BC＝4， ∴點(diǎn)A在BC所對應(yīng)的一段弧上一點(diǎn)， ∴當(dāng)點(diǎn)A在BC的垂直平分線上時(shí)OA最大， 此時(shí)AF⊥BC，AB＝AC， 作BD⊥AC于D，如圖，設(shè)BD＝x， ∵△ABD為等腰直角三角形， ∴x， ∴x， 在Rt△BDC中，∵， ∴，即）， ∵BD﹒AC， ∴＋2， ∴， 即線段OA的最大值為＋2＋2． 同類題型2.1 如圖，已知⊙O的半徑為1，銳角△ABC內(nèi)接于⊙O，BD⊥AC于點(diǎn)D，OM⊥AB于點(diǎn)M，，則sin∠CBD的值等于（　?。? A． B． C． D． 解：連接AO， ∵OM⊥AB于點(diǎn)M，AO＝BO， ∴∠AOM＝∠BOM， ∵∠AOB＝2∠C ∴∠MOB＝∠C， ∵⊙O的半徑為1，銳角△ABC內(nèi)接于⊙O，BD⊥AC于點(diǎn)D，， ∴ 則sin∠CBD的值等于． 選B． 同類題型2.2 如圖，直線l經(jīng)過⊙O的圓心O，與⊙O交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)C在⊙O上，∠AOC＝30，點(diǎn)P是直線l上的一個(gè)動點(diǎn)（與圓心O不重合），直線CP與⊙O相交于點(diǎn)M，且MP＝OM，則滿足條件的∠OCP的大小為_______________． 解：①根據(jù)題意，畫出圖（1）， 在△QOC中，OC＝OM， ∴∠OMC＝∠OCP， 在△OPM中，MP＝MO， ∴∠MOP＝∠MPO， 又∵∠AOC＝30， ∴∠MPO＝∠OCP＋∠AOC＝∠OCP＋30， 在△OPM中，∠MOP＋∠MPO＋∠OMC＝180， 即（∠OCP＋30）＋（∠OCP＋30）＋∠OCP＝180， 整理得，3∠OCP＝120， ∴∠OCP＝40． ②當(dāng)P在線段OA的延長線上（如圖2） ∵OC＝OM， ∴①， ∵OM＝PM， ∴②， 在△OMP中，30＋∠MOC＋∠OMP＋∠OPM＝180③， 把①②代入③得∠MOC＝20，則∠OMP＝80 ∴∠OCP＝100； ③當(dāng)P在線段OA的反向延長線上（如圖3）， ∵OC＝OM， ∴①， ∵OM＝PM， ∴②， ∵∠AOC＝30， ∴∠＋∠POM＝150③， ∵∠P＝∠POM，2∠P＝∠OCP＝∠OMC④， ①②③④聯(lián)立得 ∠P＝10， ∴∠OCP＝180－150－10＝20． 故答案為：40、20、100． 同類題型2.3 如圖，△ABC中，∠BAC＝90，AC＝12，AB＝10，D是AC上一個(gè)動點(diǎn)，以AD為直徑的⊙O交BD于E，則線段CE的最小值是（　?。? A．5 B．6 C．7 D．8 解：如圖，連接AE，則∠AED＝∠BEA＝90， ∴點(diǎn)E在以AB為直徑的⊙Q上， ∵AB＝10， ∴QA＝QB＝5， 當(dāng)點(diǎn)Q、E、C三點(diǎn)共線時(shí)，QE＋CE＝CQ（最短）， 而QE長度不變，故此時(shí)CE最小， ∵AC＝12， ∴＝13， ∴CE＝QC－QE＝13－5＝8， 選D． 例3． 如圖，直線，⊙O與和分別相切于點(diǎn)A和點(diǎn)B．點(diǎn)M和點(diǎn)N分別是和上的動點(diǎn)，MN沿和平移．⊙O的半徑為1，∠1＝60．下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（　?。? A． B．若MN與⊙O相切，則 C．若∠MON＝90，則MN與⊙O相切 D．和的距離為2 解：A、平移MN使點(diǎn)B與N重合，∠1＝60，AB＝2，解直角三角形得，正確； B、當(dāng)MN與圓相切時(shí)，M，N在AB左側(cè)以及M，N在A，B右側(cè)時(shí)，或，錯(cuò)誤； C、若∠MON＝90，連接NO并延長交MA于點(diǎn)C，則△AOC≌△BON， 故CO＝NO，△MON≌△MOC，故MN上的高為1，即O到MN的距離等于半徑．正確； D、，兩平行線之間的距離為線段AB的長，即直徑AB＝2，正確． 選B． 同類題型3.1 如圖，已知A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（－2，0）、（0，1），⊙C的圓心坐標(biāo)為（0，－1），半徑為1．若D是⊙C上的一個(gè)動點(diǎn)，射線AD與y軸交于點(diǎn)E，則△ABE面積的最大值是__________． 解：當(dāng)射線AD與⊙C相切時(shí)，△ABE面積的最大． 連接AC， ∵∠AOC＝∠ADC＝90，AC＝AC，OC＝CD， ∴Rt△AOC≌Rt△ADC（HL）， ∴AD＝AO＝2， 連接CD，設(shè)EF＝x， ∴＝EF﹒OE， ∵CF＝1， ∴， ∵△CDE∽△AOE， ∴， 即， 解得， ． 同類題型3.2 我們將在直角坐標(biāo)系中圓心坐標(biāo)和半徑均為整數(shù)的圓稱為“整圓”．如圖，直線l：與x軸、y軸分別交于A、B，∠OAB＝30，點(diǎn)P在x軸上，⊙P與l相切，當(dāng)P在線段OA上運(yùn)動時(shí)，使得⊙P成為整圓的點(diǎn)P個(gè)數(shù)是（　?。? A．6 B．8 C．10 D．12 解：∵直線l：與x軸、y軸分別交于A、B， ∴B（0，）， ∴， 在RT△AOB中，∠OAB＝30， ∴＝12， ∵⊙P與l相切，設(shè)切點(diǎn)為M，連接PM，則PM⊥AB， ∴PA， 設(shè)P（x，0）， ∴PA＝12－x， ∴⊙P的半徑x， ∵x為整數(shù)，PM為整數(shù)， ∴x可以取0，2，4，6，8，10，6個(gè)數(shù)， ∴使得⊙P成為整圓的點(diǎn)P個(gè)數(shù)是6． 故選：A． 同類題型3.3 已知AC⊥BC于C，BC＝a，CA＝b，AB＝c，下列圖形中⊙O與△ABC的某兩條邊或三邊所在的直線相切，則⊙O的半徑為的是（　　） A． B． C． D． 解：設(shè)⊙O的半徑為r， A、∵⊙O是△ABC內(nèi)切圓， ∴ab， ∴； B、如圖，連接OD，則OD＝OC＝r，OA＝b－r， ∵AD是⊙O的切線， ∴OD⊥AB， 即∠AOD＝∠C＝90， ∴△ADO∽△ACB， ∴OA：AB＝OD：BC， 即（b－r）：c＝r：a， 解得：； C、連接OE，OD， ∵AC與BC是⊙O的切線， ∴OE⊥BC，OD⊥AC， ∴∠OEB＝∠ODC＝∠C＝90， ∴四邊形ODCE是矩形， ∵OD＝OE， ∴矩形ODCE是正方形， ∴EC＝OD＝r，OE∥AC， ∴OE：AC＝BE：BC， ∴r：b＝（a－r）：a， ∴； D、解：設(shè)AC、BA、BC與⊙O的切點(diǎn)分別為D、F、E；連接OD、OE； ∵AC、BE是⊙O的切線， ∴∠ODC＝∠OEC＝∠DCE＝90； ∴四邊形ODCE是矩形； ∵OD＝OE， ∴矩形ODCE是正方形； 即OE＝OD＝CD＝r，則AD＝AF＝b－r； 連接OB，OF， 由勾股定理得：，， ∵OB＝OB，OF＝OE， ∴BF＝BE， 則BA＋AF＝BC＋CE，c＋b－r＝a＋r，即． 故選C． 例4．如圖，正方形ABCD和正三角形AEF都內(nèi)接于⊙O，EF與BC，CD分別相交于點(diǎn)G，H，則的值為______________． 解：如圖，連接AC、BD、OF， 設(shè)⊙O的半徑是r， 則OF＝r， ∵AO是∠EAF的平分線， ∴∠OAF＝602＝30， ∵OA＝OF， ∴∠OFA＝∠OAF＝30， ∴∠COF＝30＋30＝60， ∴r， ∴r， ∵AO＝2OI， ∴r，r， ∴， ∴BD＝r， ∴． 同類題型4.1如圖，在菱形ABCD中，對角線AC，BD交于點(diǎn)O，以O(shè)B為直徑畫圓M，過D作⊙M的切線，切點(diǎn)為N，分別交AC，BC于點(diǎn)E，F(xiàn)，已知AE＝5，CE＝3，則DF的長是_______________． 解：延長EF，過B作直線平行AC和EF相交于P， ∵AE＝5，EC＝3， ∴AO＝CE＋OE，即有，OE＝EN＝1， 又∵△DMN∽△DEO，且DM， ∴DE＝3OE＝3， 又∵OE∥BP，O是DB中點(diǎn)，所以E也是中點(diǎn)， ∴EP＝DE＝3， ∴BP＝2， 又∵△EFC∽△PFB，相似比是3：2， ∴＝1.8， 故可得DF＝DE＋EF＝3＋1.8＝4.8． 同類題型4.2 如圖，已知△ABC的外接圓⊙O的半徑為1，D、E分別是AB、AC上的點(diǎn)，BD＝2AD，EC＝2AE，則sin∠BAC的值等于線段（　?。? A．DE的長 B．BC的長 C．DE的長 D．DE的長 解：如圖，作直徑CF，連接BF， 在Rt△CBF中，； ∵BD＝2AD，EC＝2AE， ∴AD：AB＝AE：AC＝1：3， 又∵∠EAD＝∠CAB， ∴△EAD∽△CAB， ∴BC＝3DE， ∴DE． 選D． 例5．如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C是⊙O上一點(diǎn)，AD與過點(diǎn)C的切線垂直，垂足為D，直線DC與AB的延長線交于點(diǎn)P，弦CE平分∠ACB，交AB于點(diǎn)F，連結(jié)BE，．下列四個(gè)結(jié)論：①AC平分∠DAB；②＝PB﹒PA；③若OP，則陰影部分的面積為；④若PC＝24，則．其中正確的是（　?。? A．①② B．③④ C．①②④ D．①②③ 解：①連接OC． ∵OA＝OC， ∴∠OAC＝∠OCA． ∵PC是⊙O的切線，AD⊥CD， ∴∠OCP＝∠D＝90， ∴OC∥AD． ∴∠CAD＝∠OCA＝∠OAC． 即AC平分∠DAB．故正確； ②∵AB是直徑， ∴∠ACB＝90， ∴∠PCB＋∠ACD＝90， 又∵∠CAD＋∠ACD＝90， ∴∠CAB＝∠CAD＝∠PCB． 又∵∠ACE＝∠BCE，∠PFC＝∠CAB＋∠ACE，∠PCF＝∠PCB＋∠BCE． ∴∠PFC＝∠PCF． ∴PC＝PF， ∵∠P是公共角， ∴△PCB∽△PAC， ∴PC：PA＝PB：PC， ∴＝PB﹒PA， 即＝PB﹒PA；故正確； ③連接AE． ∵∠ACE＝∠BCE， ∴， ∴AE＝BE． 又∵AB是直徑， ∴∠AEB＝90． ∴＝14， ∴OB＝OC＝7， ∵PD是切線， ∴∠OCP＝90， ∵OP， ∴BC是Rt△OCP的中線， ∴BC＝OB＝OC， 即△OBC是等邊三角形， ∴∠BOC＝60， ∴，S_(扇形BOC)＝(60)/(360)π7^(2)＝(49)/(6)π， ∴陰影部分的面積為；故錯(cuò)誤； ④∵△PCB∽△PAC， ∴， ∴， 設(shè)PB＝x，則PA＝x＋14， ∵＝PB﹒PA， ∴＝x（x＋14）， 解得：＝18，＝－32， ∴PB＝18， ∴；故正確． 故選C． 同類題型5.1 如圖，在半徑為2cm，圓心角為90的扇形OAB中，分別以O(shè)A、OB為直徑作半圓，則圖中陰影部分的面積為_____________． 解：∵扇形OAB的圓心角為90，扇形半徑為2， ∴扇形面積為：）， 半圓面積為：）， ∴）， ∴， 連接AB，OD， ∵兩半圓的直徑相等， ∴∠AOD＝∠BOD＝45， ∴， ∴陰影部分Q的面積為：． 同類題型5.2 某景區(qū)修建一棟復(fù)古建筑，其窗戶設(shè)計(jì)如圖所示．圓O的圓心與矩形ABCD對角線的交點(diǎn)重合，且圓與矩形上下兩邊相切（E為上切點(diǎn)），與左右兩邊相交（F，G為其中兩個(gè)交點(diǎn)），圖中陰影部分為不透光區(qū)域，其余部分為透光區(qū)域．已知圓的半徑為1m，根據(jù)設(shè)計(jì)要求，若∠EOF＝45，則此窗戶的透光率（透光區(qū)域與矩形窗面的面積的比值）為_____________． 解：設(shè)⊙O與矩形ABCD的另一個(gè)交點(diǎn)為M， 連接OM、OG，則M、O、E共線， 由題意得：∠MOG＝∠EOF＝45， ∴∠FOG＝90，且OF＝OG＝1， ∴＋1， 過O作ON⊥AD于N， ∴， ∴， ∴， ∴． 同類題型5.3 如圖，將半徑為2，圓心角為120的扇形OAB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60，點(diǎn)O，B的對應(yīng)點(diǎn)分別為O′，B′，連接BB′，則圖中陰影部分的面積是（　?。? A． B． C． D． 解：連接OO′，BO′， ∵將半徑為2，圓心角為120的扇形OAB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60， ∴∠OAO′＝60， ∴△OAO′是等邊三角形， ∴∠AOO′＝60， ∵∠AOB＝120， ∴∠O′OB＝60， ∴△OO′B是等邊三角形， ∴∠AO′B＝120， ∵∠AO′B′＝120， ∴∠B′O′B＝120， ∴∠O′B′B＝∠O′BB′＝30， ∴圖中陰影部分的面積－（）＝－（）＝． 選C． 同類題型5.4 如圖，已知矩形ABCD中，AB＝3，AD＝2，分別以邊AD，BC為直徑在矩形ABCD的內(nèi)部作半圓和半圓，一平行于AB的直線EF與這兩個(gè)半圓分別交于點(diǎn)E、點(diǎn)F，且EF＝2（EF與AB在圓心和的同側(cè)），則由，EF，，AB所圍成圖形（圖中陰影部分）的面積等于_______． 解：連接，E，F(xiàn)， 則四邊形FE是等腰梯形， 過E作，過， ∴四邊形EGHF是矩形， ∴GH＝EF＝2， ∴， ∵E＝1， ∴， ∴； ∴EG＝30， ∴E＝30， 同理F＝30， ∴陰影部分的面積＝－2＝．