2018-2019版高中數(shù)學(xué) 第二講 講明不等式的基本方法 一 比較法學(xué)案 新人教A版選修4-5.docx

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一　比較法 學(xué)習(xí)目標(biāo)　1.理解比較法證明不等式的理論依據(jù).2.掌握利用比較法證明不等式的一般步驟.3.體會(huì)比較法所體現(xiàn)的轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想方法． 知識(shí)點(diǎn)一　作差比較法 思考　比差法的理論依據(jù)是什么？ 答案　a＞b?a－b＞0；a＝b?a－b＝0；a＜b?a－b＜0. 梳理　作差比較法 (1)作差比較法的理論依據(jù)：a－b＞0?a＞b；a－b＜0?a＜b；a－b＝0?a＝b. (2)作差比較法解題的一般步驟：①作差；②變形整理；③判定符號(hào)；④得出結(jié)論． 其中變形整理是解題的關(guān)鍵，變形整理的目的是為了能夠直接判定與0的大小關(guān)系，常用的方法：因式分解，配方，通分，分子或分母有理化等． 知識(shí)點(diǎn)二　作商比較法 思考1　對(duì)于兩個(gè)正數(shù)a，b，若＞1，能夠判斷a，b的大小嗎？ 答案　能，根據(jù)不等式的性質(zhì)知，對(duì)于正數(shù)a，b，＞1?a＞b. 思考2　類比作差比較法，請(qǐng)談?wù)勛魃瘫容^法． 答案　對(duì)于正數(shù)a，b，＞1?a＞b；＝1?a＝b；＜1 ?a＜b. 梳理　(1)作商比較法：若a＞0，b＞0，要證明a＞b，只要證明＞1；要證明b＞a，只要證明＜1.這種證明不等式的方法，叫做作商比較法． (2)作商比較法的理論依據(jù)是不等式的基本性質(zhì)： ①b＞0，若＞1，則a＞b；若＜1，則a＜b； ②b＜0，若＞1，則a＜b；若＜1，則a＞b. (3)作商比較法解題的一般步驟：①判定a，b符號(hào)；②作商；③變形整理；④判定與1的大小關(guān)系；⑤得出結(jié)論. 類型一　作差比較法證明不等式 例1　已知正數(shù)a，b，c成等比數(shù)列，求證：a2－b2＋c2≥(a－b＋c)2. 證明　因?yàn)檎龜?shù)a，b，c成等比數(shù)列， 所以b2＝ac，b＝， 又(a2－b2＋c2)－(a－b＋c)2 ＝a2－b2＋c2－a2－b2－c2＋2ab－2ac＋2bc ＝2ab－4b2＋2bc＝2b(a－2b＋c) ＝2b(－)2≥0， 所以a2－b2＋c2≥(a－b＋c)2. 反思與感悟　作差比較法的關(guān)鍵是作差后的變形，一般通過分解因式或?qū)⒉钍睫D(zhuǎn)化為積商式，以便與0比較大小． 跟蹤訓(xùn)練1　已知a≥1，求證：－＜－. 證明　∵(－)－(－) ＝－ ＝＜0， ∴－＜－. 類型二　作商比較法證明不等式 例2　已知a＞0，b＞0，求證：aabb≥. 證明　因?yàn)閍abb＞0，＞0， 所以＝＝. 當(dāng)a＝b時(shí)，顯然有＝1； 當(dāng)a＞b＞0時(shí)，＞1，＞0， 所以由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可知，＞1； 當(dāng)b＞a＞0時(shí)，0＜＜1，＜0， 所以由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可知，＞1. 綜上可知，對(duì)任意實(shí)數(shù)a，b，都有aabb≥. 引申探究 1．若a＞0，b＞0，求證：≥abba. 證明　因?yàn)閍bba＞0，＞0， 所以 所以當(dāng)a＝b時(shí)，顯然有 當(dāng)a＞b＞0時(shí)，＞1，＜0， 由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性， 可得＜0＝1； 當(dāng)b＞a＞0時(shí)，0＜＜1，＞0， 由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性， 可得＜0＝1， 綜上可知，對(duì)任意a＞0，b＞0，都有abba≤. 2．當(dāng)a＞0，b＞0時(shí)，比較aabb與abba的大?。? 解　由例2和探究1知，aabb≥≥abba. 反思與感悟　作商比較法證明不等式的一般步驟 (1)作商：將不等式左右兩邊的式子進(jìn)行作商． (2)變形：化簡(jiǎn)商式到最簡(jiǎn)形式． (3)判斷：判斷商與1的大小關(guān)系，也就是判斷商大于1或小于1或等于1. (4)得出結(jié)論． 跟蹤訓(xùn)練2　已知a＞0，b＞0，求證：＋≥＋. 證明　∵＝＋＝＋＝ ＝. 又∵a2＋b2≥2ab， ∴≥＝1， 當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＞0時(shí)取等號(hào)， ∴＋≥＋. 類型三　比較法的應(yīng)用 例3　證明：若a，b，m都是正數(shù)，并且a＜b，則＞(糖水不等式)． 證明　－＝. ∵a，b，m都是正數(shù)，且a＜b， ∴b－a＞0，b(b＋m)＞0， ∴＞0，即－＞0， ∴＞. 反思與感悟　比較法理論上便于理解，實(shí)用時(shí)便于操作，故應(yīng)用比較廣泛． 跟蹤訓(xùn)練3　甲、乙二人同時(shí)同地沿同一路線走到同一地點(diǎn)，甲有一半時(shí)間以速度m行走，另一半以速度n行走；乙有一半路程以速度m行走，另一半路程以速度n行走．如果m≠n，問甲、乙二人誰先到達(dá)指定地點(diǎn)？ 解　設(shè)從出發(fā)地點(diǎn)至指定地點(diǎn)的路程為s，甲、乙二人走完這段路程所用的時(shí)間分別為t1，t2，依題意有 m＋n＝s，＋＝t2. ∴t1＝，t2＝， ∴t1－t2＝－ ＝＝－. 其中s，m，n都是正數(shù)，且m≠n， ∴t1－t2＜0，即t1＜t2.從而知甲比乙先到達(dá)指定地點(diǎn)． 1．已知不等式：①x2＋3＞2x(x∈R＋)；②a5＋b5＞a3b2＋a2b3(a，b∈R＋)；③a2＋b2≥2(a－b－1)．其中正確的個(gè)數(shù)為(　　) A．0B．1C．2D．3 答案　C 解析?、賦2＋3－2x＝(x－1)2＋2＞0，故①正確； ②取a＝b＝1，則a5＋b5＝2，a3b2＋a2b3＝2，故②不正確；③a2＋b2－2(a－b－1)＝(a－1)2＋(b＋1)2≥0，故③正確． 2.＜1成立的充要條件是(　　) A．a(chǎn)＞1 B．a(chǎn)＜0 C．a(chǎn)≠0 D．a(chǎn)＞1或a＜0 答案　D 解析?。??－1＜0?＜0?a＜0或a＞1. 3．若x，y∈R，記w＝x2＋3xy，u＝4xy－y2，則(　　) A．w＞u B．w＜u C．w≥u D．無法確定 答案　C 解析　∵w－u＝x2－xy＋y2＝2＋≥0， ∴w≥u. 4．a(chǎn)，b都是正數(shù)，P＝，Q＝，則P，Q的大小關(guān)系是(　　) A．P＞Q B．P＜Q C．P≥Q D．P≤Q 答案　D 解析　∵a，b都是正數(shù)， ∴P＞0，Q＞0， ∴P2－Q2＝2－()2 ＝≤0.(當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取等號(hào)) ∴P2－Q2≤0，∴P≤Q. 5．設(shè)a＞b＞0，求證：＞. 證明　方法一?。? ＝ ＝＞0(∵a＞b＞0)， ∴原不等式成立． 方法二　∵a＞b＞0，∴a2＞b2＞0. ∴左邊＞0，右邊＞0. ∴＝＝1＋＞1.∴原不等式成立． 1．作差比較法證明不等式的技巧 (1)作差比較法中，變形具有承上啟下的作用，變形的目的在于判斷差的符號(hào)，而不用考慮差能否化簡(jiǎn)或值是多少． (2)變形所用的方法要具體情況具體分析，可以配方，可以因式分解，可以運(yùn)用一切有效的恒等變形的方法． (3)因式分解是常用的變形手段，為了便于判斷差式的符號(hào)，常將差式變形為一個(gè)常數(shù)，或幾個(gè)因式積的形式，當(dāng)所得的差式是某字母的二次三項(xiàng)式時(shí)，常用判別式法判斷符號(hào)． 2．適用作商比較法證明的不等式的特點(diǎn) 適合欲證的不等式兩端是乘積形式、冪指數(shù)的不等式或某些不同底數(shù)對(duì)數(shù)值的大小比較． 一、選擇題 1．設(shè)a，b∈R＋，且a≠b，若P＝＋，Q＝a＋b，則(　　) A．P≥Q B．P＞Q C．P≤Q D．P＜Q 答案　B 解析　P－Q＝＋－a－b＝＋＝.因?yàn)閍，b∈R＋，且a≠b，所以P－Q＞0. 2．已知a＞b＞－1，則與的大小關(guān)系為(　　) A.＞ B.＜ C.≥ D.≤ 答案　B 解析　∵－＝＜0， ∴＜. 3．已知a＞b＞0，c＞d＞0，m＝－，n＝，則m與n的大小關(guān)系是(　　) A．m＜n B．m＞n C．m≥n D．m≤n 答案　C 解析　m2－n2＝(ac－2＋bd)－(ac＋bd－ad－bc) ＝ad－2＋bc＝(－)2≥0， ∴m2≥n2.又m＞0，n＞0，∴m≥n. 4．當(dāng)a＜b＜0時(shí)，下列關(guān)系式中成立的是(　　) A.＜ B．lgb2＜lga2 C.＞1 D.＞ 答案　B 解析　方法一　取特殊值a＝－4，b＝－1，則選項(xiàng)A，C，D不正確，選項(xiàng)B正確，故選B. 方法二　∵a＜b＜0，∴a2＞b2. 而函數(shù)y＝lgx(x＞0)為增函數(shù)， ∴l(xiāng)gb2＜lga2，B項(xiàng)正確． 5．已知a＞0，且a≠1，P＝loga(a3＋1)，Q＝loga(a2＋1)，則P，Q的大小關(guān)系是(　　) A．P＞Q B．P＜Q C．P＝Q D．大小不確定 答案　A 解析　P－Q＝loga(a3＋1)－loga(a2＋1)＝loga. 當(dāng)0＜a＜1時(shí)，0＜a3＋1＜a2＋1，則0＜＜1， ∴l(xiāng)oga＞0，即P－Q＞0.∴P＞Q. 當(dāng)a＞1時(shí)，a3＋1＞a2＋1＞0，＞1， ∴l(xiāng)oga＞0，即P－Q＞0.∴P＞Q. 綜上可知，P＞Q. 6．已知a＞b＞0且ab＝1，設(shè)c＝，P＝logca，N＝logcb，M＝logc(ab)，則(　　) A．P＜M＜N B．M＜P＜N C．N＜P＜M D．P＜N＜M 答案　A 解析　令a＝2，b＝，則c＝＝， 則M＝logc(ab)＝0，P＝log2＜0，N＝log＞0， ∴P＜M＜N. 二、填空題 7．設(shè)a＞b＞c＞0，x＝，y＝，z＝，則x，y，z的大小關(guān)系為________． 答案　x＜y＜z 解析　∵a＞b＞c＞0， ∴x＞0，y＞0，z＞0. 而x2－y2＝a2＋b2＋2bc＋c2－(b2＋c2＋2ac＋a2) ＝2bc－2ac＝2c(b－a)＜0， ∴x2＜y2，即x＜y； 又y2－z2＝b2＋(c＋a)2－[c2＋(a＋b)2] ＝2ac－2ab＝2a(c－b)＜0， ∴y＜z.∴x＜y＜z. 8．已知a＞0,0＜b＜1，a－b＞ab，則與的大小關(guān)系是________． 答案?。? 解析　∵a＞0,0＜b＜1，a－b＞ab， ∴(1＋a)(1－b)＝1＋a－b－ab＞1. 從而＝＞1， ∴＞. 9．某家電廠家為了打開市場(chǎng)，促進(jìn)銷售，準(zhǔn)備對(duì)其生產(chǎn)的某種型號(hào)的彩電進(jìn)行降價(jià)銷售，現(xiàn)有四種降價(jià)方案： (1)先降價(jià)a%，再降價(jià)b%； (2)先降價(jià)b%，再降價(jià)a%； (3)先降價(jià)%，再降價(jià)%； (4)一次性降價(jià)(a＋b)%. 其中a＞0，b＞0，且a≠b，則上述四種方案中，降價(jià)幅度最小的是________． 答案　方案(3) 解析　設(shè)降價(jià)前彩電的價(jià)格為1，按四種方案降價(jià)后彩電的價(jià)格依次為x1，x2，x3，x4， 則x1＝(1－a%)(1－b%)＝1－(a＋b)%＋a%b%； x2＝(1－b%)(1－a%)＝x1； x3＝＝1－(a＋b)%＋2； x4＝1－(a＋b)%＜1－(a＋b)%＋a%b%＝x1＝x2. 又x3－x1＝2－a%b%＞0， ∴x3＞x1＝x2＞x4.故降價(jià)幅度最小的是方案(3)． 三、解答題 10．設(shè)a，b為非負(fù)實(shí)數(shù)，求證：a3＋b3≥(a2＋b2)． 證明　由a，b是非負(fù)實(shí)數(shù)，作差得 a3＋b3－(a2＋b2)＝a2(－)＋b2(－)＝(－)[()5－()5]． 當(dāng)a≥b時(shí)，≥， 從而()5≥()5， 則(－)[()5－()5]≥0； 當(dāng)a＜b時(shí)，＜，從而()5＜()5， 則(－)[()5－()5]＞0， 所以a3＋b3≥(a2＋b2)． 11．已知b，m1，m2都是正數(shù)，a＜b，m1＜m2， 求證：＜. 證明　－ ＝ ＝ ＝. 因?yàn)閎＞0，m1＞0，m2＞0， 所以(b＋m1)(b＋m2)＞0. 又a＜b，m1＜m2， 所以a－b＜0，m2－m1＞0， 從而(a－b)(m2－m1)＜0. 于是＜0， 所以＜. 12．已知函數(shù)f(x)＝|x－1|＋|x＋1|，P為不等式f(x)＞4的解集． (1)求P； (2)證明：當(dāng)m，n∈P時(shí)，|mn＋4|＞2|m＋n|. (1)解　f(x)＝|x－1|＋|x＋1|＝ 由f(x)＞4，得x＞2或x＜－2. 所以不等式f(x)＞4的解集P＝{x|x＞2或x＜－2}． (2)證明　由(1)可知|m|＞2，|n|＞2，所以m2＞4，n2＞4，(mn＋4)2－4(m＋n)2＝(m2－4)(n2－4)＞0， 所以(mn＋4)2＞4(m＋n)2， 所以|mn＋4|＞2|m＋n|. 13．若實(shí)數(shù)x，y，m滿足|x－m|＜|y－m|，則稱x比y接近m.對(duì)任意兩個(gè)不相等的正數(shù)a，b，證明：a2b＋ab2比a3＋b3接近2ab. 證明　因?yàn)閍＞0，b＞0，且a≠b， 所以a2b＋ab2＞2ab，a3＋b3＞2ab. 所以a2b＋ab2－2ab＞0，a3＋b3－2ab＞0. 所以|a2b＋ab2－2ab|－|a3＋b3－2ab| ＝a2b＋ab2－2ab－a3－b3＋2ab ＝a2b＋ab2－a3－b3＝a2(b－a)＋b2(a－b) ＝(a－b)(b2－a2)＝－(a－b)2(a＋b)＜0， 所以|a2b＋ab2－2ab|＜|a3＋b3－2ab|， 所以a2b＋ab2比a3＋b3接近2ab. 四、探究與拓展 14．已知a＞2，求證：loga(a－1)＜log(a＋1)a. 證明　∵a＞2， ∴a－1＞1，∴l(xiāng)oga(a－1)＞0， log(a＋1)a＞0. 由于＝loga(a－1)loga(a＋1)＜2 ＝2. ∵a＞2， ∴0＜loga(a2－1)＜logaa2＝2. ∴2＜2＝1. 即＜1. ∵log(a＋1)a＞0， ∴l(xiāng)oga(a－1)＜log(a＋1)a.