蘇教版高三數(shù)學復習課件11.4直線與平面的位置關系.ppt

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通過直觀感知、操作確認，歸納出直線與平面平行、垂直的判定定理和性質(zhì)定理，并能用它們證明線面的平行與垂直問題．,第4課時直線與平面的位置關系,【命題預測】1．空間中平行關系的概念性比較強，與前后知識的聯(lián)系比較緊密，是每年高考考查線面位置關系及綜合運用知識解答問題經(jīng)常涉及的內(nèi)容，試題在考查“四種能力”的同時，非常重視對數(shù)學思想方法的考查，試題主要體現(xiàn)立體幾何的通性通法，突出了化歸、轉(zhuǎn)化等思想方法的考查．因此，對這些內(nèi)容要認真復習，真正學明白．2．垂直是直線與直線、直線與平面、平面與平面位置關系中的紐帶，常常起到承上啟下的作用，不少問題常常是以垂直為解題的突破口，然后深入進行下去．在高考中，空間三種垂直關系的轉(zhuǎn)化始終是立體幾何考查的重點．,【應試對策】1．對線面平行、面面平行的認識一般按“定義——判定定理——性質(zhì)定理——應用”的順序進行，其中定義的條件和結(jié)論是相互等價的，它既可以作為判定線面平行和面面平行的方法，又可以作為線面平行和面面平行的性質(zhì)來應用．2．應用線面平行的判定定理證明線面平行，關鍵是找到平面內(nèi)與平面外直線平行的直線．應用線面平行的性質(zhì)定理解題的關鍵是利用已知條件作輔助平面，然后把已知中的線面平行轉(zhuǎn)化為直線和交線平行．,3．要判定一條直線是否和一個平面垂直，取決于在這個平面內(nèi)能否找出兩條相交直線和已知直線垂直，至于這兩條相交直線是否和已知直線有公共點則無關緊要．4．求直線與平面所成的角，一般是作出直線與平面所成的角，并通過解三角形求出．,【知識拓展】三垂線定理和逆定理(1)三垂線定理在平面內(nèi)的一條直線，如果它和這個平面的一條斜線的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直．其符號表述為：直線l與平面α斜交，l′是l在α內(nèi)的射影，直線m?α，m⊥l′?m⊥l.,(2)三垂線定理的基本圖形右圖是三垂線定理的基本圖形，PA⊥α，PO是平面α的斜線，AO為PO在α內(nèi)的射影，直線a在α內(nèi)，若a⊥AO，則a⊥PO.(3)三垂線定理的逆定理在平面內(nèi)的一條直線，如果它和這個平面的一條斜線垂直，那么它也和這條斜線在平面內(nèi)的射影垂直．,(4)三垂線定理及其逆定理的作用三垂線定理及其逆定理，是立體幾何中的重要定理，是共面兩直線的垂直關系與空間兩直線的垂直關系之間相互轉(zhuǎn)化的判定定理，它的實質(zhì)是通過線線垂直得到的線面垂直，又轉(zhuǎn)化為線線垂直，它是證明線線垂直的重要方法．它的用途：在作圖中，作二面角的平面角；在證明中，證明線線垂直；在計算中，用歸納法歸攏已知條件，便于計算．,1．直線a和平面α的位置關系有、、，其中與統(tǒng)稱直線在平面外．2．直線和平面平行的判定(1)定義：如果一條直線a和一個平面α沒有公共點，我們就說直線a與平面α．(2)判定定理：a?α，b?α，a∥b?；(3)其他判定方法：α∥β，a?α?.,平行,相交,在平面內(nèi),平行,相交,平行,a∥α,a∥β,思考：直線與平面平行的判定定理是判斷平行關系的核心，運用此定理應注意什么？提示：應注意平面外的一條直線和平面內(nèi)的一直線平行才能得到線面平行．3．直線和平面平行的性質(zhì)定理：a∥α，a?β，α∩β＝l?.4．直線與平面垂直(1)直線與平面垂直的定義如果一條直線a與一個平面α內(nèi)的任意一條直線都垂直，我們就說直線a與平面α，記作a⊥α，直線a叫做平面α的，平面α叫做直線a的，垂線和平面的交點稱為．,a∥l,互相垂直,垂線,垂面,垂足,(2)直線與平面垂直的判定定理如果一條直線和一個平面內(nèi)的兩條都垂直，那么這條直線垂直于這個平面．(3)直線與平面垂直的性質(zhì)定理如果兩條直線垂直于同一個平面，那么這兩條直線．,相交直線,平行,5．點面、線面距離及線面角(1)點到平面的距離從平面外一點引平面的垂線，這個點和間的距離，叫做這個點到這個平面的距離．(2)直線和平面的距離一條直線和一個平面，這條直線上到這個平面的距離，叫做這條直線和這個平面的距離．,垂足,任意一點,平行,(3)直線與平面所成的角①平面的一條斜線與它在這個平面內(nèi)的所成的，叫做這條直線與這個平面所成的角．②一條直線平面，則稱它們所成的角是直角；一條直線與平面或，則稱它們所成的角是0的角.,射影,銳角,垂直于,平行,在平面內(nèi),6．平行六面體底面是平行四邊形的四棱柱叫做，側(cè)棱與底面垂直的平行六面體叫做直，底面是矩形的直平行六面體叫做，棱長相等的長方體叫做．,平行六面體,平行六面體,長方體,正方體,1．(2010東臺中學高三診斷性試卷)已知球面上有四點A、B、C、D，DA⊥平面ABC，AB⊥BC，DA＝AB＝BC＝，則該球的體積等于________．答案：2．a(chǎn)、b為平面M外的兩條直線，在a∥M的前提下，a∥b是b∥M的________條件．解析：∵?a∥b，∴a∥b是b∥M的充分不必要條件．答案：充分不必要條件,3．(2010揚州中學高三考試)若一個長方體的長、寬、高分別為5米、4米、3米，則其外接球的表面積為________米2.解析：設球的半徑為R，則(2R)2＝52＋42＋32＝50.∴S＝4πR2＝50π.答案：50π,4．如圖，BC是Rt△ABC的斜邊，AP⊥平面ABC，連結(jié)PB、PC，作PD⊥BC于D，連結(jié)AD，則圖中共有直角三角形______個．解析：Rt△PAB、Rt△PAC、Rt△ABC、Rt△ADP.可證BC⊥平面APD，由BC⊥AD，BC⊥PD.可證Rt△PBD、Rt△PDC、Rt△ADB、Rt△ADC共8個．答案：8,5．在棱長為a的正方體ABCD—A1B1C1D1中，A到平面B1C的距離為________，A到平面BB1D1D的距離為________，AA1到平面BB1D1D的距離為________．解析：由正方體性質(zhì)知AB⊥BB1，AB⊥BC，∴AB⊥平面B1C.又∵AB＝a，∴點A到平面B1C的距離為a.過點A作AO⊥BD，垂足為O，由正方體性質(zhì)知，BB1⊥面AC，AO?面AC，∴AO⊥BB1.∴AO⊥平面BB1D1.而AO＝a，∴A到平面BB1D1的距離為a.∵AA1∥平面BB1D1，∴AA1到面BB1D1的距離等于A到平面BB1D1的距離為a.答案：aaa,判定直線與平面平行，主要有三種方法：(1)利用定義(常用反證法)．(2)利用判定定理：關鍵是找平面內(nèi)與已知直線平行的直線．可先直觀判斷平面內(nèi)是否已有，若沒有，則需作出該直線，?？紤]三角形的中位線、平行四邊形的對邊或過已知直線作一平面找其交線．(3)利用面面平行的性質(zhì)定理：當兩平面平行時，其中一個平面內(nèi)的任一直線平行于另一平面．,【例1】如圖，矩形ABCD和梯形BEFC有公共邊BC，BE∥CF，∠BCF＝90，求證：AE∥平面DCF.思路點撥:,證明：過點E作EG⊥CF交CF于G，連接DG，可得四邊形BCGE為矩形．又ABCD為矩形，所以ADEG，從而四邊形ADGE為平行四邊形，故AE∥DG.因為AE?平面DCF，DG?平面DCF，所以AE∥平面DCF.,變式1：如圖，已知P是?ABCD所在平面外一點，M為PB的中點．求證：PD∥平面MAC.證明：連結(jié)BD交AC于點O，連結(jié)MO，∵O為BD的中點，又M為PB的中點，∴MO∥PD.又∵MO?平面MAC，PD?平面MAC，∴PD∥平面MAC.,如果已知直線和平面平行，在利用直線與平面平行的性質(zhì)定理時，常過此直線作和已知平面相交的輔助平面，完成線面平行向線線平行的轉(zhuǎn)化．轉(zhuǎn)化思想是本章知識最常用的思想．【例2】求證：如果一條直線和兩個相交平面都平行，那么這條直線和它們的交線平行．已知：如圖，α∩β=l，a∥α，a∥β.求證：a∥l.,思路點撥：利用直線與平面平行的性質(zhì)，分別在平面α、β找與a平行的直線．證明：過α作平面γ交平面α于b，∵a∥α，∴a∥b.同樣，過a作平面δ交平面β于c.∵a∥β，∴a∥c.∴b∥c.又∵b?β，c?β，∴b∥β.又平面α經(jīng)過b交β于l，∴b∥l.又a∥b，∴a∥l.,變式2：如圖，設AB、CD分別是位于平面α兩側(cè)的異面線段，且AB∥α，CD∥α，直線AC、AD、BC、BD分別交α于點E、F、H、G，求證：EG與FH互相平分．證明：∵AC∩AD＝A，∴AC和AD可確定一個平面．∵CD∥α，平面ACD∩α＝EF，∴CD∥EF.同理，CD∥HG，∴EF∥HG.同理，EH∥FG.∴四邊形EFGH為平行四邊形．∴EG與FH互相平分．,證明直線和平面垂直的常用方法有：(1)利用判定定理．(2)利用平行線垂直于平面的傳遞性(a∥b，a⊥α?b⊥α)．(3)利用面面平行的性質(zhì)(a⊥α，α∥β?a⊥β)．(4)利用面面垂直的性質(zhì)．當直線和平面垂直時，該直線垂直于平面內(nèi)的任一直線，常用來證明線線垂直．,【例3】如圖所示，已知PA⊥矩形ABCD所在平面，M、N分別是AB，PC的中點．(1)求證：MN⊥CD；(2)若∠PDA＝45，求證：MN⊥平面PCD.思路點撥：(1)因M為AB中點，只要證△ANB為等腰三角形，則利用等腰三角形的性質(zhì)可得MN⊥AB.(2)已知MN⊥CD，只需再證MN⊥PC，易看出△PMC為等腰三角形，利用N為PC的中點，可得MN⊥PC.,(1)連結(jié)AC，AN，BN，∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AC，在Rt△PAC中，N為PC中點，∴AN=PC.∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BC，又BC⊥AB，PA∩AB=A，∴BC⊥平面PAB，∴BC⊥PB，從而在Rt△PBC中，BN為斜邊PC上的中線，∴BN=PC.∴AN=BN，∴△ABN為等腰三角形，又M為底邊的中點，∴MN⊥AB，又∵AB∥CD，∴MN⊥CD.,(2)連結(jié)PM、MC，∵∠PDA=45，PA⊥AD，∴AP=AD.∵四邊形ABCD為矩形．∴AD=BC，∴PA=BC.又∵M為AB的中點，∴AM=BM.而∠PAM=∠CBM=90，∴PM=CM.又N為PC的中點，∴MN⊥PC.由(1)知，MN⊥CD，PC∩CD=C，∴MN⊥平面PCD.,變式3：(2010江蘇省東臺中學高三數(shù)學診斷性試卷)如圖，在四棱錐P—ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60，PA=AB=BC，E是PC的中點．(1)證明CD⊥AE；(2)證明PD⊥平面ABE.證明：(1)在四棱錐P—ABCD中，因PA⊥底面ABCD，CD?平面ABCD，故PA⊥CD，∵AC⊥CD，PA∩AC=A，∴CD⊥平面PAC.而AE?面PAC，∴CD⊥AE.,(2)由PA=AB=BC，∠ABC=60，可得AC=PA，∵E是PC的中點，∴AE⊥PC.由(1)知，AE⊥CD，且PC∩CD=C，所以AE⊥平面PCD.而PD?平面PCD，∴AE⊥PD.∵PA⊥底面ABCD，PD在底面ABCD內(nèi)的射影是AD，AB⊥AD，∴AB⊥PD.又∵AB∩AE=A，綜上得PD⊥平面ABE.,【規(guī)律方法總結(jié)】1．空間直線和平面的位置關系：直線在平面內(nèi)，直線和平面平行，直線和平面相交．了解空間直線和平面位置關系的畫法，掌握它們的特征，即直線在平面內(nèi)——有無數(shù)個公共點，直線和平面平行——無公共點，直線和平面相交——有且只有一個公共點．2．直線和平面平行時，直線和平面沒有公共點，直線與平面內(nèi)的直線只有兩種位置關系：平行或異面．直線和平面平行的性質(zhì)定理可簡述為“若線面平行，則線線平行”，它實際上是兩直線平行的判定定理．,3．直線與平面垂直的判定方法：①定義；②判定定理．由直線和平面垂直的判定定理知，把線線垂直關系轉(zhuǎn)化為線面垂直關系．4．直線和平面垂直的性質(zhì)定理是由線面垂直關系到線線垂直關系的轉(zhuǎn)換，掌握性質(zhì)，關鍵明確平面的垂線．應用時，只要找到這個平面的兩條垂線就可以了.,【高考真題】【例4】(2009遼寧卷)如圖所示，已知兩個正方形ABCD和DCEF不在同一平面內(nèi)，M，N分別為AB，DF的中點．(1)若平面ABCD⊥平面DCEF，求直線MN與平面DCEF所成角的正弦值；(2)用反證法證明：直線ME與BN是兩條異面直線．,分析：對于第(1)問可以根據(jù)線面角的概念作出線面角，在已知條件“平面ABCD⊥平面DCEF”下，這個線面角很容易作出來，然后解一個直角三角形即可；第(2)問明確用反證法證明，反設結(jié)論，根據(jù)線面位置關系進行推理，導出矛盾結(jié)果．,規(guī)范解答：(1)如右圖所示，取CD的中點G，連接MG，NG.設正方形ABCD，DCEF的邊長為2，則MG⊥CD，MG=2，NG=.因為平面ABCD⊥平面DCEF，所以MG⊥平面DCEF.可得∠MNG是MN與平面DCEF所成的角．因為MN=，所以sinMNG=為MN與平面DCEF所成角的正弦值．,(2)證明：假設直線ME與BN共面，則AB?平面MBEN，且平面MBEN與平面DCEF交于EN.由已知，兩正方形不共面，故AB?平面DCEF.又AB∥CD，所以AB∥平面DCEF，而EN為平面MBEN與平面DCEF的交線，所以AB∥EN.又AB∥CD∥EF，所以EN∥EF，這與EN∩EF=E矛盾，故假設不成立．所以ME與BN不共面，它們是異面直線．,【全解密】,【命題探究】本題考查線面角的計算及用反證法證明兩條直線異面，試題的核心部分就是用反證法證明兩直線異面，既考查空間線面位置關系的應用又考查重要的數(shù)學方法——反證法，是高考中立體幾何解答題的一個創(chuàng)新，值得關注．,【課本探源】本題第(1)問給出的關系是非?；镜模瑑蓚€正方形所在的平面互相垂直，這個關系就是將正方體的一個側(cè)面與一個底面單獨“摘出來”，正方體模型是立體幾何中最重要的模型之一，是各個版本的教材都很重視使用的，可以說本題第(1)問是教材上這個特點的反映．,【方法探究】反證法是證明數(shù)學問題的一個有力工具，很多看上去很困難的問題使用反證法往往很奏效，反證法證明問題的基本思想是：反設結(jié)論、導出矛盾，這里的矛盾可以是與具體題目中的已知矛盾，也可以是與已知的數(shù)學公理、定理矛盾，也可以與明顯的事實矛盾(如得出1＝2,3<0等)，用反證法證明數(shù)學問題時，就是要根據(jù)題目中相關的信息，使用已經(jīng)掌握的數(shù)學知識導出這個矛盾，這是反證法證明數(shù)學問題的實質(zhì)所在.,1．如圖，已知長方體ABCD－A1B1C1D1.(1)求證：BC1∥平面AB1D1；(2)若E，F(xiàn)分別是D1C，BD的中點，則EF∥平面ADD1A1.分析：本題要證明線面平行，可以緊緊圍繞著線面平行的判定定理來考慮，尋求相關的線線平行．,證明：(1)∵BC1?平面AB1D1，AD1?平面AB1D1，BC1∥AD1，∴BC1∥平面AB1D1.(2)連接AC，如圖，∵點F為BD的中點，∴AC∩BD=F，又∵點E為D1C的中點，∴EF∥AD1.∵EF?平面ADD1A1，AD1?平面ADD1A1，∴EF∥平面ADD1A1.,2．如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，P是DD1的中點，O是底面ABCD的中心，求證：B1O⊥平面PAC.分析：要證B1O⊥平面PAC，根據(jù)線面垂直的判定定理，只需證B1O垂直于平面PAC內(nèi)的兩條相交直線即可．,證明：在正方體ABCD－A1B1C1D1中，設其棱長為2a，連接OP，B1D1.∵BB1⊥平面AC，且AC?平面AC，∴BB1⊥AC.又O是正方形ABCD的中心，∴AC⊥BD，∴AC⊥平面B1BO，∴B1O⊥AC.又∴B1O⊥PO.又PO∩AC＝O，∴B1O⊥平面PAC.,