蘇教版高三數(shù)學復習課件5.5數(shù)列的綜合應用.ppt

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1．了解數(shù)列的概念和幾種簡單的表示方法．2．了解數(shù)列是自變量為正整數(shù)的一類函數(shù)．3．能在具體的問題情境中，識別數(shù)列的等差、等比關系，并能用有關知識解決相應的問題．,第5課時數(shù)列的綜合應用,【命題預測】,有關等差、等比數(shù)列的考查在高考中主要是探索題、綜合題和應用題．考生應具有針對性地進行訓練，并從“注重數(shù)學思想方法、強化運算能力、重點知識重點練”的角度做好充分準備．同時，對于數(shù)列與解析幾何的綜合題型要予以充分重視．,【應試對策】,1．在解決有關數(shù)列的具體應用問題時：(1)要讀懂題意，理解實際背景，領悟其數(shù)學實質，舍棄與解題無關的非本質性東西；(2)準確地歸納其中的數(shù)量關系，建立數(shù)學模型；(3)根據(jù)所建立的數(shù)學模型的知識系統(tǒng)，解出數(shù)學模型的結果；(4)最后再回到實際問題中去，從而得到答案．,2．在求數(shù)列的相關和時，要注意以下幾個方面的問題：(1)直接用公式求和時，注意公式的應用范圍和公式的推導過程．(2)注意觀察數(shù)列的特點和規(guī)律，在分析數(shù)列通項的基礎上，或分解為基本數(shù)列求和，或轉化為基本數(shù)列求和．(3)求一般數(shù)列的前n項和時，無一般方法可循，要注意掌握某些特殊數(shù)列的前n項和的求法，觸類旁通．,3．在用觀察法歸納數(shù)列的通項公式(尤其是在處理客觀題目時)時，要注意適當?shù)馗鶕?jù)具體問題多計算相應的數(shù)列的前幾項，否則會因為所計算的數(shù)列的項數(shù)過少，而歸納出錯誤的通項公式，從而得到錯誤的結論．,【知識拓展】,1．求由遞推公式所確定的數(shù)列的通項，通?？赏ㄟ^對遞推關系的一系列變換，構造出一個新數(shù)列，轉化成等差或等比數(shù)列或與之類似的問題來求解．(1)遞推式為an＋1＝pan＋qn(其中p，q是常數(shù))通?？梢詢蛇呁瑫r除以qn＋1(q≠0)，得到數(shù)列，令bn＝，得到數(shù)列bn＋1＝，從而問題可解．,(2)遞推式為an＋2＝pan＋1＋qan(其中p，q是常數(shù))，通常設＝，則可由α＋β＝p，αβ＝－q，求得α，β，從而構造出數(shù)列{}得以求解．(3)遞推式為Sn與an間的關系式時，通常要考慮利用an＝將已知關系轉化為{an}或{Sn}的項間的關系，從而求解．,1．數(shù)列的概念：按照一定順序排列著的一列數(shù)稱為數(shù)列，數(shù)列中的每一個數(shù)叫做這個數(shù)列的項．2．數(shù)列中排在第一位的數(shù)稱為這個數(shù)列的第1項(或首項)，排在第二位的數(shù)稱為這個數(shù)列的第2項……排在第n位的數(shù)稱為這個數(shù)列的第n項．3．數(shù)列的一般形式可以寫成a1，a2，a3，…，an，…，簡記為{an}．4．數(shù)列的分類：有窮數(shù)列與無窮數(shù)列，遞增數(shù)列、遞減數(shù)列、常數(shù)列與擺動數(shù)列．5．數(shù)列的通項公式：如果數(shù)列的第n項與序號n之間的關系可以用一個式子來表示，那么這個公式叫做這個數(shù)列的通項公式．,6．數(shù)列的遞推公式：如果已知數(shù)列{an}的第1項(或前幾項)，且任一項an與它的前一項an－1(或前幾項)間的關系可以用一個公式來表示，那么這個公式就叫做這個數(shù)列的遞推公式．,8．數(shù)列作為特殊的函數(shù)，在解決實際問題過程中有著廣泛的應用，如人口增長問題、存款利率問題、分期付款問題．利用等差數(shù)列和等比數(shù)列還可以解決一些簡單的已知數(shù)列的遞推關系求其通項公式等問題．,7．數(shù)列的表示方法：列表法、圖象法、通項公式法、遞推公式法．,1．某種細胞開始有2個，1小時后分裂成4個并死去1個，2小時后分裂成6個并死去1個，3小時后分裂成10個并死去一個，按此規(guī)律進行下去，6小時后細胞存活的個數(shù)是________．解析：設開始的細胞數(shù)和n小時后的細胞數(shù)構成的數(shù)列為{an}．則即＝2.則{an－1}構成等比數(shù)列∴an－1＝12n－1，an＝2n－1＋1，a7＝65.答案：65,2．已知等差數(shù)列{an}的公差為－2，且a1＋a4＋a7＋…＋a97＝50，則a3＋a6＋a9＋…＋a99＝________.解析：∵a3＋a6＋a9＋…＋a99＝(a1＋a4＋a7＋…＋a97)＋33(－4)＝50＋(－132)＝－82.答案：－82,3．數(shù)列{an}中，若a1＝，an＝(n≥2，n∈N)，則a2007的值為________．解析：a1＝，a2＝2，a3＝－1，a4＝，…，可推測數(shù)列{an}以3為周期，∵2007＝3669，∴a2007＝a3＝－1.也可直接推出an＋3＝an.答案：－1,4．在數(shù)列{an}中，已知a1＝1，a2＝5，an＋2＝an＋1－an(n∈N*)，則a2007等于________．解析：∵∴an＋3＝－an，∴an＋6＝－an＋3＝an.即an是周期為6的數(shù)列．∴a2007＝a6334＋3＝a3＝a2－a1＝4.答案：4,5．北京市為成功舉辦2008年奧運會，決定從2003年到2007年5年間更新市內現(xiàn)有全部出租車，若每年更新的車輛數(shù)比前一年遞增10%，則2003年底更新的車輛數(shù)約為現(xiàn)有總車輛數(shù)的________(參考數(shù)據(jù)1.14＝1.46,1.15＝1.61)．解析：設市內全部出租車輛為b,2003年底更新的車輛為a，則2004年更新的車輛為a(1＋10%)，2005年更新的車輛為a(1＋10%)2,2006年更新的車輛為a(1＋10%)3,2007年更新的車輛為a(1＋10%)4，由題意可知：a＋a(1＋10%)＋a(1＋10%)2＋a(1＋10%)3＋a(1＋10%)4＝b，∴a(1＋1.1＋1.12＋1.13＋1.14)＝b?a＝b，∴≈16.4%.故2003年底更新的車輛數(shù)約為現(xiàn)有總車輛數(shù)的16.4%.答案：16.4%,1．等差數(shù)列與等比數(shù)列相結合的綜合問題是高考考查的重點，特別是等差、等比數(shù)列的通項公式，前n項和公式以及等差中項，等比中項問題是歷年命題的熱點．2．利用等比數(shù)列前n項和公式時注意公比q的取值．同時對兩種數(shù)列的性質，要熟悉它們的推導過程，利用好性質，可降低題目的難度，解題時有時還需利用條件聯(lián)立方程求解．,,【例1】設{an}是公比大于1的等比數(shù)列，Sn為數(shù)列{an}的前n項和，已知S3＝7，且a1＋3,3a2，a3＋4構成等差數(shù)列．(1)求數(shù)列{an}的通項；(2)令bn＝lna3n＋1，n＝1,2，…，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn.思路點撥：(1)由已知列出方程組求出公比q與首項a1；(2)結合對數(shù)的運算，判斷數(shù)列{bn}是等差數(shù)列，再求和．,解：(1)由已知得：解得a2＝2.設數(shù)列{an}的公比為q，由a2＝2，可得a1＝，a3＝2q，又S3＝7，可知＋2＋2q＝7，即2q2－5q＋2＝0.解得q1＝2，q2＝.由題意得q>1，∴q＝2.∴a1＝1.故數(shù)列{an}的通項為an＝2n－1.(2)由于bn＝lna3n＋1，n＝1,2，…，由(1)得a3n＋1＝23n.∴bn＝ln23n＝3nln2，又bn＋1－bn＝3ln2，∴{bn}是等差數(shù)列．∴Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝＝ln2.故Tn＝ln2.,【例2】已知f(x)＝logax(a＞0且a≠1)，設f(a1)，f(a2)，…，f(an)(n∈N*)是首項為4，公差為2的等差數(shù)列．(1)設a為常數(shù)，求證：{an}成等比數(shù)列；(2)若bn＝anf(an)，{bn}的前n項和是Sn，當a＝時，求Sn.思路點撥：利用函數(shù)的有關知識得出an的表達式，再利用表達式解決其他問題．,解：(1)證明：f(an)＝4＋(n－1)2＝2n＋2，即logaan＝2n＋2，可得an＝a2n＋2.∴＝a2(n≥2)，為定值．∴{an}為等比數(shù)列．(2)bn＝anf(an)＝a2n＋2logaa2n＋2＝(2n＋2)a2n＋2.當a＝時，bn＝(2n＋2)()2n＋2＝(n＋1)2n＋2.Sn＝223＋324＋425＋…＋(n＋1)2n＋2①2Sn＝224＋325＋426＋…＋n2n＋2＋(n＋1)2n＋3②①－②得－Sn＝223＋24＋25＋…＋2n＋2－(n＋1)2n＋3＝16＋－(n＋1)2n＋3＝16＋2n＋3－24－n2n＋3－2n＋3＝－n2n＋3.∴Sn＝n2n＋3.,變式1：已知實數(shù)列{an}是等比數(shù)列，其中a7＝1，且a4，a5＋1，a6成等差數(shù)列．(1)求數(shù)列{an}的通項公式；(2)數(shù)列{an}的前n項和記為Sn，證明Sn＜128(n＝1,2,3，…)．,解：(1)設等比數(shù)列{an}的公比為q(q∈R)，由a7＝a1q6＝1，得a1＝q－6，從而a4＝a1q3＝q－3，a5＝a1q4＝q－2，a6＝a1q5＝q－1.因為a4，a5＋1，a6成等差數(shù)列，所以a4＋a6＝2(a5＋1)，即q－3＋q－1＝2(q－2＋1)，q－1(q－2＋1)＝2(q－2＋1)．所以q＝.故an＝a1qn－1＝q－6qn－1＝64n－1.(2)證明：Sn＝＝＜128.,2．已知數(shù)列{an}滿足a1＝2，且點(an，an＋1)在函數(shù)f(x)＝x2＋2x的圖象上，其中n＝1,2,3，….(1)證明：數(shù)列{lg(1＋an)}是等比數(shù)列；(2)設Tn＝(1＋a1)(1＋a2)…(1＋an)，求Tn及數(shù)列{an}的通項．,解：(1)證明：由已知an＋1＝＋2an，∴an＋1＋1＝(an＋1)2.∵a1＝2，∴an＋1＞1，∴l(xiāng)g(an＋1＋1)＝2lg(an＋1)．∴數(shù)列{lg(an＋1)}是公比為2的等比數(shù)列．(2)由(1)知∴Tn＝，an＝,解決數(shù)列的應用問題必須準確探索問題所涉及的數(shù)列類型：(1)如果問題所涉及的數(shù)列是特殊數(shù)列(如等差數(shù)列、等比數(shù)列，或與等差、等比有關的數(shù)列等)，應首先找出數(shù)列的通項公式．(2)如果問題所涉及的數(shù)列不是某種特殊數(shù)列，一般應考慮先建立數(shù)列的遞推關系(即an與an－1的關系)．(3)解決數(shù)列的應用問題必須準確計算項數(shù)，例如與“年數(shù)”有關的問題，必須確定起算的年份，而且應準確定義an是表示“第n年”還是“n年后”．,【例3】從社會效益和經(jīng)濟效益出發(fā)，某地投入資金進行生態(tài)環(huán)境建設，并以此發(fā)展旅游產(chǎn)業(yè)．根據(jù)規(guī)劃，本年度投入800萬元，以后每年投入將會比上年減少.本年度當?shù)芈糜螛I(yè)收入估計為400萬元，由于該項建設對旅游業(yè)的促進作用，預計今后的旅游業(yè)收入每年會比上年增加.,(1)設n年內(本年度為第一年)總投入為an萬元，旅游業(yè)總收入為bn萬元，寫出an，bn的表達式；(2)至少經(jīng)過幾年旅游業(yè)的總收入才能超過總投入？思路點撥：(1)寫出a1，b1，a2，b2，…，由此得出an，bn的表達式．(2)解不等式bn－an>0，求n的最小值．,解：(1)第1年投入800萬元，第2年投入為800萬元，…，第n年投入為800n－1萬元，所以，n年內的總投入an＝800＋800＋…＋800n－1＝4000.第1年旅游業(yè)收入為400萬元，第2年旅游業(yè)收入為400萬元，…第n年旅游業(yè)收入為400n－1萬元．所以，n年內的旅游業(yè)總收入bn＝400＋400＋…＋400n－1＝1600.,(2)設至少經(jīng)過n年旅游業(yè)的總收入才能超過總投入，由此bn－an＞0，即1600－4000＞0，化簡得，5n＋2n－7＞0，設x＝n，代入上式得5x2－7x＋2＞0，解此不等式，得x＜，x＞1(舍去)，即n＜，由此得n≥5.∴至少經(jīng)過5年旅游業(yè)的總收入才能超過總投入．,變式3：如下圖所示，在一直線插有13面小旗，相鄰兩面間距離為10m，在第一面小旗處有某人把小旗全部集中到一面小旗的位置上，每次只能拿一面小旗，要使他走的路最短，應集中到哪一面小旗的位置上？最短路程是多少？,解：設將旗集中到第x面小旗處，則從第一面旗到第x面處，共走路程為10(x－1)，然后回到第二面處再到第x面處是20(x－2)，…，從第x面處到第(x＋1)面處的路程為20，從第x面處到第(x＋2)面取旗再到第x面處，路程為202，…，總的路程為S＝10(x－1)＋20(x－2)＋20(x－3)＋…＋202＋201＋20＋202＋…＋20(13－x),＝10(x－1)＋20＋20＝10[(x－1)＋(x－2)(x－1)＋(13－x)(14－x)]＝10(2x2－29x＋183)＝20∵x∈N*，∴x＝7時，S有最小值S＝780(m)．∴將旗集中到第7面小旗處，所走路程最短.,1．深刻理解等差(比)數(shù)列的性質，熟悉它們的推導過程是解題的關鍵．兩類數(shù)列性質有類似的部分，又有區(qū)別，要在應用中加強記憶．同時，用好性質也會降低解題的運算量，從而減少差錯．2．等比數(shù)列的前n項和公式要分兩種情況，公比等于1和公比不等于1，最容易忽視公比等于1的情況，要注意這方面的練習．3．在等差數(shù)列與等比數(shù)列中，經(jīng)常要根據(jù)條件列方程(組)求解，在解方程組時，仔細體會兩種情形中解方程組的方法的不同之處．,【規(guī)律方法總結】,4．數(shù)列的滲透力很強，它和函數(shù)、方程、三角、不等式等知識相互聯(lián)系，優(yōu)化組合，無形中加大了綜合的力度．解決此類題目，必須對蘊藏在數(shù)列概念和方法中的數(shù)學思想有所了解，深刻領悟它在解題中的重大作用，常用的數(shù)學思想方法有：“函數(shù)與方程”“數(shù)形結合”“分類討論”“等價轉換”等．5．在現(xiàn)實生活中，人口的增長，產(chǎn)量的增加、成本的降低、存貸款利息的算、分期付款問題等，都可以利用數(shù)列解決，因此要會在實際問題中抽象出數(shù)學模型，并用它解決問題.,【高考真題】,【例4】(2009全國卷Ⅱ)設數(shù)列{an}的前n項和為Sn.已知a1＝1，Sn＋1＝4an＋2.(1)設bn＝an＋1－2an，證明數(shù)列{bn}是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列{an}的通項公式．分析：本題第(1)問將an＋2＝Sn＋2－Sn＋1代入可以得到an的遞推式，再用bn＝an＋1－2an代入即證；第(2)問將bn的通項公式代入bn＝an＋1－2an，可得an的遞推式，再依照題型模式求解即可．,規(guī)范解答：(1)由已知得a1＋a2＝4a1＋2，解得a2＝3a1＋2＝5，故b1＝a2－2a1＝3.又an＋2＝Sn＋2－Sn＋1＝4an＋1＋2－(4an＋2)＝4an＋1－4an，于是an＋2－2an＋1＝2(an＋1－2an)，即bn＋1＝2bn.因此數(shù)列{bn}是首項為3，公比為2的等比數(shù)列．,(2)由(1)知等比數(shù)列{bn}中b1＝3，公比q＝2，所以an＋1－2an＝32n－1，于是因此數(shù)列是首項為，公差為的等差數(shù)列，所以an＝(3n－1)2n－2.,【命題探究】,【全解密】,求解等差、等比數(shù)列的通項公式是高考的?？碱}型．但是，作為以“能力立意”為命題思路的高考試題，往往會在試題的命制上對考生的思維能力提出更高的要求．本題的命題構思非常簡捷，給出數(shù)列{an}的初始值a1＝1和一個遞推關系式Sn＋1＝4an＋2，由此可以探究數(shù)列{an}的通項公式，但思維的跨度較大，且考查形式單一．于是，命題人設計了一個過渡關系式bn＝an＋1－2an，由此可以考查等比數(shù)列．,【誤點警示】,本題的求解過程有兩個常見的思維錯誤：(1)由于在平時的學習中，我們常常接觸到an與Sn的遞推式an＝Sn－Sn－1(n≥2，n∈N*)，于是沒有注意到本題的題目形式特點，將an＝Sn－Sn－1直接代入，從而出現(xiàn)下標的混亂．其實只要將an＋1＝Sn＋1－Sn(n∈N*)代入就不會使下標不一致了．所以注意下標的特點是求解這類問題的關鍵．,(2)得到遞推式an＋1－2an＝32n－1后，不會轉化成等差數(shù)列求解，只是看到等式右邊是一個等比數(shù)列的形式，可以求和，于是結合平時的做題經(jīng)驗，企圖利用疊加法求和，使計算繁瑣且不能成功．所以我們在平時的學習時要注意積累并理解常見題型的特點、求解的基本思路和方法，高考時才不會出現(xiàn)思維混亂，顧此失彼.,1．設等比數(shù)列{an}的公比為q，前n項和Sn＞0(n＝1,2，…)(1)求q的取值范圍；(2)設bn＝an＋2－an＋1，記{bn}的前n項和為Tn，試比較Sn與Tn的大?。治觯簩τ诘谝粋€問題，應依據(jù)等比數(shù)列的前n項和公式將和表示出來，從而問題轉化為解不等式；對于第二個問題，要注意兩個數(shù)列間的關系，表示出bn，從而找到兩個數(shù)列的前n項和間的關系，從而比較其大小．,解：(1)由于數(shù)列{an}是等比數(shù)列，且Sn＞0，∴a1＝S1>0，q≠0，當q＝1時，Sn＝na1＞0；當q≠1時，Sn＝＞0，即＞0(n＝1,2,3，…)，上式等價于，(n＝1,2,3，…)，①或，(n＝1,2,3，…)，②解①，得q＞1；解②，由于n可為偶數(shù)，得－1＜q＜1.綜上所述，q的取值范圍是(－1,0)∪(0，＋∞)．,(2)由bn＝an＋2－an＋1，得bn＝an，Tn＝Sn于是Tn－Sn＝Sn(q－2)Sn，又∵Sn＞0，且－1＜q＜0或q＞0，當－1＜q＜－或q＞2時，Tn－Sn＞0即Tn＞Sn；當－＜q＜2且q≠0時，Tn－Sn＜0，即Tn＜Sn；當q＝－或q＝2時，Tn－Sn＝0，即Tn＝Sn.,2．已知{an}，{bn}為兩個數(shù)列，點M(1,2)，An(2，an)，Bn為平面直角坐標系上的點．(1)對n∈N*，若點M，An，Bn在同一直線上，求數(shù)列{an}的通項an；(2)在(1)的條件下若數(shù)列{an}滿足＝2n－3(n∈N*)，求數(shù)列{bn}的前n項和Sn.分析：三點共線可以利用斜率相等列出等式，求出數(shù)列{an}的通項an.,解：(1)由題設知kMAn＝kMBn，由斜率公式得＝，解得an＝2n(n∈N*)．(2)由題設知a1＋a2＋…＋an＝n(n＋1)，條件中的等式可化為a1b1＋a2b2＋…＋anbn＝n(n＋1)(2n－3)，①有a1b1＋a2b2＋…＋an－1bn－1＝(n－1)n(2n－5)．②①－②得bn＝3n－4(n≥2)．當n＝1時，a1b1＝12(－1)，得b1＝－1.∴bn＝3n－4(n∈N*)．∴bn＋1－bn＝3(n∈N*)則數(shù)列{bn}是公差為3的等差數(shù)列．∴Sn＝,