九年級數(shù)學上冊 專題突破講練 相似三角形的性質試題 （新版）青島版.doc

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相似三角形的性質 相似三角形的性質 1. 相似三角形的對應角相等； 2. 相似三角形的對應邊成比例； 3. 相似三角形對應高、對應中線、對應角平分線、對應周長的比等于相似比。 方法歸納：（或技巧歸納） 當你發(fā)現(xiàn)問題中出現(xiàn)以下情況時，很可能是借助相似來解決： ① 比或比例； 示例：平行四邊形ABCD中，E在DC上，若DE：EC=1：2，則BF：EF=_________． 解析：此題主要考查了平行四邊形、相似三角形的性質．由題可知△ABF∽△CEF，然后根據(jù)相似比求解． 答案：3：2 解：∵DE：EC=1：2；∴EC：CD=2：3即EC：AB=2：3，∵AB∥CD， ∴△ABF∽△CEF，∴BF：EF=AB：EC=3：2． ② 線段的積； 示例：四邊形中，AC平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90，求證： 解析：由AC平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90，可證得△ADC∽△ACB，然后由相似三角形的對應邊成比例，證得AC2=AB?AD； 證明：∵AC平分∠DAB，∴∠DAC=∠CAB，∵∠ADC=∠ACB=90， ∴△ADC∽△ACB，∴AD：AC=AC：AB，∴AC2=AB?AD； ③邊或角所在三角形與已知的邊或角所在三角形不全等。 示例：如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90，AB=5，AC=4，AB的垂直平分線DE交BC的延長線于點E，則CE的長為_________． 解析：本題主要考查直角三角形性質、線段垂直平分線的性質及相似三角形性質的應用及方程的數(shù)學思想．解決此題需要我們利用線段的垂直平分線的性質和三角形相似進行計算． 答案： 解：∵∠ACB=90，AB=5，AC=4，根據(jù)勾股定理得：BC=3， 而AB的垂直平分線DE交BC的延長線于點E，∴BD=，∠BDE=90，又∵∠B=∠B，∴△ACB∽△EDB，∴BC：BD=AB：BE，又BC=3，AB=5，∴BE=， 從而得到CE=BE—BC=． 總結： 1. 掌握相似三角形的性質； 2. 能利用相似三角形的性質求角的度數(shù)或線段的長度、線段之間的關系等。 例題1 如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90，翻折∠C，使點C落在斜邊AB上某一點D處，折痕為EF（點E、F分別在邊AC、BC上）。若△CEF與△ABC相似。 （1）當AC＝BC＝2時，求AD的長； （2）當AC＝3，BC＝4時，求AD的長。 解析：若△CEF與△ABC相似。（1）當AC＝BC＝2時，△ABC為等腰直角三角形；（2）當AC＝3，BC＝4時，分兩種情況：（I）若CE：CF＝3：4，如答圖2所示，此時EF∥AB，CD為AB邊上的高；（II）若CF：CE＝3：4，如答圖3所示。由相似三角形角之間的關系，可以推出∠A＝∠ECD與∠B＝∠FCD，從而得到CD＝AD＝BD，即D點為AB的中點。 答案：若△CEF與△ABC相似。（1）當AC＝BC＝2時，△ABC為等腰直角三角形，如答圖1所示。 此時D為AB邊中點，2AD2＝AC2，∴AD＝AC＝。 （2）當AC＝3，BC＝4時，有兩種情況：（I）若CE：CF＝3：4，如答圖2所示。 ∵CE：CF＝AC：BC，∴EF∥BC。由折疊性質可知，CD⊥EF，∴CD⊥AB，即此時CD為AB邊上的高。在Rt△ABC中，AC＝3，BC＝4，∴AB＝5?！摺螦DC＝∠ACB＝90且∠A＝∠A，∴△ACD∽△ABC，∴＝，即＝，∴AD＝；（II）若CF：CE＝3：4，如答圖3所示?！摺鰿FE∽△CAB，∴∠CEF＝∠B。由折疊性質可知，∠CEF＋∠ECD＝90，又∵∠A＋∠B＝90，∴∠A＝∠ECD，∴AD＝CD。同理可得：∠B＝∠FCD，CD＝BD，∴此時AD＝AB＝。綜上所述，當AC＝3，BC＝4時，AD的長為或。 點撥：本題是幾何綜合題，考查了幾何圖形折疊問題和相似三角形的判定與性質。第（2）問需要分兩種情況分別計算，此處容易漏解，需要引起注意。 利用相似三角形的性質求線段的長度是一類常見問題，常常綜合考查勾股定理、等腰三角形、四邊形等知識，特別是在中考試題中經(jīng)常以壓軸題的形式出現(xiàn)，有時難度較大。解答這類問題時通常利用相似三角形對應邊成比例或勾股定理等列方程，用代數(shù)方法求線段的長度。 滿分訓練 如圖，直角三角形ABC中，∠ACB＝90，AB＝10，BC＝6，在線段AB上取一點D，作DF⊥AB交AC于點F?，F(xiàn)將△ADF沿DF折疊，使點A落在線段DB上，對應點記為A1；AD的中點E的對應點記為E1。若△E1FA1∽△E1BF，則AD＝__________。 解析：∵∠ACB＝90，AB＝10，BC＝6，∴AC＝＝＝8，設AD＝2x，∵點E為AD的中點，將△ADF沿DF折疊，點A對應點記為A1，點E的對應點為E1，∴AE＝DE＝DE1＝A1E1＝x，∵DF⊥AB，∠ACB＝90，∠A＝∠A，∴△ABC∽△AFD，∴AD：AC＝DF：BC，即2x：8＝DF：6，解得DF＝1.5x，在Rt△DE1F中，E1F2＝DF2＋DE12＝3.25x2，又∵BE1＝AB－AE1＝10－3x，△E1FA1∽△E1BF，∴E1F∶A1E1＝BE1∶E1F，∴E1F2＝A1E1?BE1，即3.25x2＝x（10－3x），解得x＝1.6，∴AD的長為21.6＝3.2。 答案：3.2 點撥：本題是一道綜合性難題，主要考查軸對稱變換、折疊、勾股定理、相似三角形的對應邊成比例。利用勾股定理列式求出AC，設AD＝2x，得到AE＝DE＝DE1＝A1E1＝x，然后求出BE1，再利用相似三角形對應邊成比例列式求出DF，然后利用勾股定理列式求出E1F，然后根據(jù)相似三角形對應邊成比例列式求解得到x的值，從而得出AD的值。 （答題時間：30分鐘） 一、選擇題 1. 如圖，△ABC中，DE∥BC，DE＝1，AD＝2，DB＝3，則BC的長是（ ） A. B. C. D. *2. 如圖所示，在平行四邊形ABCD中，AC與BD相交于點O，E為OD的中點，連接AE并延長交DC于點F，則DF：FC＝（ ） A. 1：4 B. 1：3 C. 2：3 D. 1：2 **3. 如圖所示，AD∥BC，∠D＝90，DC＝7，AD＝2，BC＝3。若在邊DC上有點P使△PAD與△PBC相似，則這樣的點P有（ ） A. 1個 B. 2個 C. 3個 D. 4個 **4. 如圖，在△ABC中，AB＝AC＝a，BC＝b（a＞b）。在△ABC內依次作∠CBD＝∠A，∠DCE＝∠CBD，∠EDF＝∠DCE。則EF等于（ ） A. B. C. D. 二、填空題 5. 在平行四邊形ABCD中，E在DC上，若DE：EC＝1：2，則BF：BE＝__________。 6. 如圖，在平行四邊形ABCD中，E在AB上，CE、BD交于F，若AE：BE＝4：3，且BF＝2，則DF＝__________。 *7. 如圖，在邊長為9的正三角形ABC中，BD＝3，∠ADE＝60，則AE的長為__________。 *8. 如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90，BC＝3，AC＝4，AB的垂直平分線DE交BC的延長線于點E，則CE的長為__________。 三、解答題 *9. 如圖，在平行四邊形ABCD中，∠ABC的平分線BF分別與AC、AD交于點E、F。 （1）求證：AB＝AF； （2）當AB＝3、BC＝5時，求的值。 **10. 如圖，在平行四邊形ABCD中，過點A作AE⊥BC，垂足為E，連接DE，F(xiàn)為線段DE上一點，且∠AFE＝∠B。 （1）求證：△ADF∽△DEC； （2）若AB＝8，AD＝6，AF＝4，求AE的長。 **11. 如圖，四邊形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC＝∠ACB＝90，E為AB的中點， （1）求證：AC2＝AB?AD； （2）求證：CE∥AD； （3）若AD＝4，AB＝6，求的值。 **12. 【提出問題】 （1）如圖1，在等邊△ABC中，點M是BC上的任意一點（不含端點B、C），連結AM，以AM為邊作等邊△AMN，連結CN。求證：∠ABC＝∠ACN。 【類比探究】 （2）如圖2，在等邊△ABC中，點M是BC延長線上的任意一點（不含端點C），其它條件不變，（1）中結論∠ABC＝∠ACN還成立嗎？請說明理由。 【拓展延伸】 （3）如圖3，在等腰△ABC中，BA＝BC，點M是BC上的任意一點（不含端點B、C），連結AM，以AM為邊作等腰△AMN，使頂角∠AMN＝∠ABC。連結CN。試探究∠ABC與∠ACN的數(shù)量關系，并說明理由。  1. C 解析：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，則＝，∵DE＝1，AD＝2，DB＝3，∴AB＝AD＋DB＝5，∴BC＝＝。故選C。 2. D 解析：在平行四邊形ABCD中，AB∥DC，則△DFE∽△BAE，∴＝，∵O為對角線的交點，∴DO＝BO，又∵E為OD的中點，∴DE＝DB，則DE：EB＝1：3，∴DF：AB＝1：3，∵DC＝AB，∴DF：DC＝1：3，∴DF：FC＝1：2。故選D。 3. C 解析：設PD＝x，則（1）若△APD∽△PBC，則＝，即＝，解之得x＝；（2）若△PAD∽△BPC，則＝，即＝，解之得x1＝1，x2＝6。綜上所述，存在三個點P，使△PAD與△PBC相似。 4. C 解析：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，又∵∠CBD＝∠A，∴△ABC∽△BDC，同理可得：△ABC∽△BDC∽△CDE∽△DFE，∴＝，＝，＝，且BD＝BC，CE＝CD，解得：CD＝，DE＝，EF＝。故選C。 5. 3：5 解析：∵DE：EC＝1：2，∴EC：CD＝2：3即EC：AB＝2：3，∵AB∥CD，∴△ABF∽△CEF，∴BF：EF＝AB：EC＝3：2?！郆F：BE＝3：5。 6. 解析：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，AB＝CD，∵AE：BE＝4：3，∴BE：AB＝3：7，∴BE：CD＝3：7?！逜B∥CD，∴△BEF∽△DCF，∴BF：DF＝BE：CD＝3：7，即2：DF＝3：7，∴DF＝。 7. 7 解析：∵△ABC是等邊三角形，∴∠B＝∠C＝60，AB＝BC；∴CD＝BC－BD＝9－3＝6；∴∠BAD＋∠ADB＝120，∵∠ADE＝60，∴∠ADB＋∠EDC＝120，∴∠DAB＝∠EDC，又∵∠B＝∠C＝60，∴△ABD∽△DCE，則＝，即＝，解得：CE＝2，故AE＝AC－CE＝9－2＝7。 8. 解析：在Rt△ABC中，∵BC＝3，AC＝4，∴AB＝5，BD＝。易知△ABC∽△EBD，∴＝，即＝，∴BE＝，∴CE＝BE－BC＝－3＝。 9. 解：（1）證明：如圖，在平行四邊形ABCD中，AD∥BC，∴∠2＝∠3?！連F是∠ABC的平分線，∴∠1＝∠2?！唷?＝∠3?！郃B＝AF。（2）∵∠AEF＝∠CEB，∠2＝∠3，∴△AEF∽△CEB，∴＝＝，∴＝。 10. 解：（1）證明：在平行四邊形ABCD中AB∥CD，AD∥BC，∴∠C＋∠B＝180，∠ADF＝∠DEC?！摺螦FD＋∠AFE＝180，∠AFE＝∠B，∴∠AFD＝∠C。在△ADF與△DEC中，，∴△ADF∽△DEC。（2）解：∵平行四邊形ABCD，∴CD＝AB＝8。由（1）知△ADF∽△DEC，∴＝，∴DE＝＝＝12。在Rt△ADE中，由勾股定理得：AE＝＝＝6。 11. 解：（1）證明：∵AC平分∠DAB，∴∠DAC＝∠CAB，∵∠ADC＝∠ACB＝90，∴△ADC∽△ACB，∴AD：AC＝AC：AB，∴AC2＝AB?AD；（2）證明：∵E為AB的中點，∴CE＝AB＝AE，∴∠EAC＝∠ECA，∵∠DAC＝∠CAB，∴∠DAC＝∠ECA，∴CE∥AD；（3）解：∵CE∥AD，∴△AFD∽△CFE，∴AD：CE＝AF：CF，∵CE＝AB，∴CE＝6＝3，∵AD＝4，∴＝，∴＝。 12. 解：（1）證明：∵△ABC、△AMN是等邊三角形，∴AB＝AC，AM＝AN，∠BAC＝∠MAN＝60，∴∠BAM＝∠CAN，∵在△BAM和△CAN中，，∴△BAM≌△CAN（SAS），∴∠ABC＝∠ACN。（2）解：結論∠ABC＝∠ACN仍成立。理由如下：∵△ABC、△AMN是等邊三角形，∴AB＝AC，AM＝AN，∠BAC＝∠MAN＝60，∴∠BAM＝∠CAN，∵在△BAM和△CAN中，，∴△BAM≌△CAN（SAS），∴∠ABC＝∠ACN。（3）解：∠ABC＝∠ACN。理由如下：∵BA＝BC，MA＝MN，頂角∠ABC＝∠AMN，∴底角∠BAC＝∠MAN，∴△ABC∽△AMN，∴＝，又∵∠BAM＝∠BAC－∠MAC，∠CAN＝∠MAN－∠MAC，∴∠BAM＝∠CAN，∴△BAM∽△CAN，∴∠ABC＝∠ACN。