九年級數(shù)學(xué)上冊 專題突破講練 相似三角形的性質(zhì)試題 （新版）青島版.doc

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相似三角形的性質(zhì) 相似三角形的性質(zhì) 1. 相似三角形的對應(yīng)角相等； 2. 相似三角形的對應(yīng)邊成比例； 3. 相似三角形對應(yīng)高、對應(yīng)中線、對應(yīng)角平分線、對應(yīng)周長的比等于相似比。 方法歸納：（或技巧歸納） 當(dāng)你發(fā)現(xiàn)問題中出現(xiàn)以下情況時，很可能是借助相似來解決： ① 比或比例； 示例：平行四邊形ABCD中，E在DC上，若DE：EC=1：2，則BF：EF=_________． 解析：此題主要考查了平行四邊形、相似三角形的性質(zhì)．由題可知△ABF∽△CEF，然后根據(jù)相似比求解． 答案：3：2 解：∵DE：EC=1：2；∴EC：CD=2：3即EC：AB=2：3，∵AB∥CD， ∴△ABF∽△CEF，∴BF：EF=AB：EC=3：2． ② 線段的積； 示例：四邊形中，AC平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90，求證： 解析：由AC平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90，可證得△ADC∽△ACB，然后由相似三角形的對應(yīng)邊成比例，證得AC2=AB?AD； 證明：∵AC平分∠DAB，∴∠DAC=∠CAB，∵∠ADC=∠ACB=90， ∴△ADC∽△ACB，∴AD：AC=AC：AB，∴AC2=AB?AD； ③邊或角所在三角形與已知的邊或角所在三角形不全等。 示例：如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90，AB=5，AC=4，AB的垂直平分線DE交BC的延長線于點E，則CE的長為_________． 解析：本題主要考查直角三角形性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)及相似三角形性質(zhì)的應(yīng)用及方程的數(shù)學(xué)思想．解決此題需要我們利用線段的垂直平分線的性質(zhì)和三角形相似進(jìn)行計算． 答案： 解：∵∠ACB=90，AB=5，AC=4，根據(jù)勾股定理得：BC=3， 而AB的垂直平分線DE交BC的延長線于點E，∴BD=，∠BDE=90，又∵∠B=∠B，∴△ACB∽△EDB，∴BC：BD=AB：BE，又BC=3，AB=5，∴BE=， 從而得到CE=BE—BC=． 總結(jié)： 1. 掌握相似三角形的性質(zhì)； 2. 能利用相似三角形的性質(zhì)求角的度數(shù)或線段的長度、線段之間的關(guān)系等。 例題1 如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90，翻折∠C，使點C落在斜邊AB上某一點D處，折痕為EF（點E、F分別在邊AC、BC上）。若△CEF與△ABC相似。 （1）當(dāng)AC＝BC＝2時，求AD的長； （2）當(dāng)AC＝3，BC＝4時，求AD的長。 解析：若△CEF與△ABC相似。（1）當(dāng)AC＝BC＝2時，△ABC為等腰直角三角形；（2）當(dāng)AC＝3，BC＝4時，分兩種情況：（I）若CE：CF＝3：4，如答圖2所示，此時EF∥AB，CD為AB邊上的高；（II）若CF：CE＝3：4，如答圖3所示。由相似三角形角之間的關(guān)系，可以推出∠A＝∠ECD與∠B＝∠FCD，從而得到CD＝AD＝BD，即D點為AB的中點。 答案：若△CEF與△ABC相似。（1）當(dāng)AC＝BC＝2時，△ABC為等腰直角三角形，如答圖1所示。 此時D為AB邊中點，2AD2＝AC2，∴AD＝AC＝。 （2）當(dāng)AC＝3，BC＝4時，有兩種情況：（I）若CE：CF＝3：4，如答圖2所示。 ∵CE：CF＝AC：BC，∴EF∥BC。由折疊性質(zhì)可知，CD⊥EF，∴CD⊥AB，即此時CD為AB邊上的高。在Rt△ABC中，AC＝3，BC＝4，∴AB＝5?！摺螦DC＝∠ACB＝90且∠A＝∠A，∴△ACD∽△ABC，∴＝，即＝，∴AD＝；（II）若CF：CE＝3：4，如答圖3所示?！摺鰿FE∽△CAB，∴∠CEF＝∠B。由折疊性質(zhì)可知，∠CEF＋∠ECD＝90，又∵∠A＋∠B＝90，∴∠A＝∠ECD，∴AD＝CD。同理可得：∠B＝∠FCD，CD＝BD，∴此時AD＝AB＝。綜上所述，當(dāng)AC＝3，BC＝4時，AD的長為或。 點撥：本題是幾何綜合題，考查了幾何圖形折疊問題和相似三角形的判定與性質(zhì)。第（2）問需要分兩種情況分別計算，此處容易漏解，需要引起注意。 利用相似三角形的性質(zhì)求線段的長度是一類常見問題，常常綜合考查勾股定理、等腰三角形、四邊形等知識，特別是在中考試題中經(jīng)常以壓軸題的形式出現(xiàn)，有時難度較大。解答這類問題時通常利用相似三角形對應(yīng)邊成比例或勾股定理等列方程，用代數(shù)方法求線段的長度。 滿分訓(xùn)練 如圖，直角三角形ABC中，∠ACB＝90，AB＝10，BC＝6，在線段AB上取一點D，作DF⊥AB交AC于點F?，F(xiàn)將△ADF沿DF折疊，使點A落在線段DB上，對應(yīng)點記為A1；AD的中點E的對應(yīng)點記為E1。若△E1FA1∽△E1BF，則AD＝__________。 解析：∵∠ACB＝90，AB＝10，BC＝6，∴AC＝＝＝8，設(shè)AD＝2x，∵點E為AD的中點，將△ADF沿DF折疊，點A對應(yīng)點記為A1，點E的對應(yīng)點為E1，∴AE＝DE＝DE1＝A1E1＝x，∵DF⊥AB，∠ACB＝90，∠A＝∠A，∴△ABC∽△AFD，∴AD：AC＝DF：BC，即2x：8＝DF：6，解得DF＝1.5x，在Rt△DE1F中，E1F2＝DF2＋DE12＝3.25x2，又∵BE1＝AB－AE1＝10－3x，△E1FA1∽△E1BF，∴E1F∶A1E1＝BE1∶E1F，∴E1F2＝A1E1?BE1，即3.25x2＝x（10－3x），解得x＝1.6，∴AD的長為21.6＝3.2。 答案：3.2 點撥：本題是一道綜合性難題，主要考查軸對稱變換、折疊、勾股定理、相似三角形的對應(yīng)邊成比例。利用勾股定理列式求出AC，設(shè)AD＝2x，得到AE＝DE＝DE1＝A1E1＝x，然后求出BE1，再利用相似三角形對應(yīng)邊成比例列式求出DF，然后利用勾股定理列式求出E1F，然后根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例列式求解得到x的值，從而得出AD的值。 （答題時間：30分鐘） 一、選擇題 1. 如圖，△ABC中，DE∥BC，DE＝1，AD＝2，DB＝3，則BC的長是（ ） A. B. C. D. *2. 如圖所示，在平行四邊形ABCD中，AC與BD相交于點O，E為OD的中點，連接AE并延長交DC于點F，則DF：FC＝（ ） A. 1：4 B. 1：3 C. 2：3 D. 1：2 **3. 如圖所示，AD∥BC，∠D＝90，DC＝7，AD＝2，BC＝3。若在邊DC上有點P使△PAD與△PBC相似，則這樣的點P有（ ） A. 1個 B. 2個 C. 3個 D. 4個 **4. 如圖，在△ABC中，AB＝AC＝a，BC＝b（a＞b）。在△ABC內(nèi)依次作∠CBD＝∠A，∠DCE＝∠CBD，∠EDF＝∠DCE。則EF等于（ ） A. B. C. D. 二、填空題 5. 在平行四邊形ABCD中，E在DC上，若DE：EC＝1：2，則BF：BE＝__________。 6. 如圖，在平行四邊形ABCD中，E在AB上，CE、BD交于F，若AE：BE＝4：3，且BF＝2，則DF＝__________。 *7. 如圖，在邊長為9的正三角形ABC中，BD＝3，∠ADE＝60，則AE的長為__________。 *8. 如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90，BC＝3，AC＝4，AB的垂直平分線DE交BC的延長線于點E，則CE的長為__________。 三、解答題 *9. 如圖，在平行四邊形ABCD中，∠ABC的平分線BF分別與AC、AD交于點E、F。 （1）求證：AB＝AF； （2）當(dāng)AB＝3、BC＝5時，求的值。 **10. 如圖，在平行四邊形ABCD中，過點A作AE⊥BC，垂足為E，連接DE，F(xiàn)為線段DE上一點，且∠AFE＝∠B。 （1）求證：△ADF∽△DEC； （2）若AB＝8，AD＝6，AF＝4，求AE的長。 **11. 如圖，四邊形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC＝∠ACB＝90，E為AB的中點， （1）求證：AC2＝AB?AD； （2）求證：CE∥AD； （3）若AD＝4，AB＝6，求的值。 **12. 【提出問題】 （1）如圖1，在等邊△ABC中，點M是BC上的任意一點（不含端點B、C），連結(jié)AM，以AM為邊作等邊△AMN，連結(jié)CN。求證：∠ABC＝∠ACN。 【類比探究】 （2）如圖2，在等邊△ABC中，點M是BC延長線上的任意一點（不含端點C），其它條件不變，（1）中結(jié)論∠ABC＝∠ACN還成立嗎？請說明理由。 【拓展延伸】 （3）如圖3，在等腰△ABC中，BA＝BC，點M是BC上的任意一點（不含端點B、C），連結(jié)AM，以AM為邊作等腰△AMN，使頂角∠AMN＝∠ABC。連結(jié)CN。試探究∠ABC與∠ACN的數(shù)量關(guān)系，并說明理由。  1. C 解析：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，則＝，∵DE＝1，AD＝2，DB＝3，∴AB＝AD＋DB＝5，∴BC＝＝。故選C。 2. D 解析：在平行四邊形ABCD中，AB∥DC，則△DFE∽△BAE，∴＝，∵O為對角線的交點，∴DO＝BO，又∵E為OD的中點，∴DE＝DB，則DE：EB＝1：3，∴DF：AB＝1：3，∵DC＝AB，∴DF：DC＝1：3，∴DF：FC＝1：2。故選D。 3. C 解析：設(shè)PD＝x，則（1）若△APD∽△PBC，則＝，即＝，解之得x＝；（2）若△PAD∽△BPC，則＝，即＝，解之得x1＝1，x2＝6。綜上所述，存在三個點P，使△PAD與△PBC相似。 4. C 解析：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，又∵∠CBD＝∠A，∴△ABC∽△BDC，同理可得：△ABC∽△BDC∽△CDE∽△DFE，∴＝，＝，＝，且BD＝BC，CE＝CD，解得：CD＝，DE＝，EF＝。故選C。 5. 3：5 解析：∵DE：EC＝1：2，∴EC：CD＝2：3即EC：AB＝2：3，∵AB∥CD，∴△ABF∽△CEF，∴BF：EF＝AB：EC＝3：2。∴BF：BE＝3：5。 6. 解析：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，AB＝CD，∵AE：BE＝4：3，∴BE：AB＝3：7，∴BE：CD＝3：7?！逜B∥CD，∴△BEF∽△DCF，∴BF：DF＝BE：CD＝3：7，即2：DF＝3：7，∴DF＝。 7. 7 解析：∵△ABC是等邊三角形，∴∠B＝∠C＝60，AB＝BC；∴CD＝BC－BD＝9－3＝6；∴∠BAD＋∠ADB＝120，∵∠ADE＝60，∴∠ADB＋∠EDC＝120，∴∠DAB＝∠EDC，又∵∠B＝∠C＝60，∴△ABD∽△DCE，則＝，即＝，解得：CE＝2，故AE＝AC－CE＝9－2＝7。 8. 解析：在Rt△ABC中，∵BC＝3，AC＝4，∴AB＝5，BD＝。易知△ABC∽△EBD，∴＝，即＝，∴BE＝，∴CE＝BE－BC＝－3＝。 9. 解：（1）證明：如圖，在平行四邊形ABCD中，AD∥BC，∴∠2＝∠3?！連F是∠ABC的平分線，∴∠1＝∠2。∴∠1＝∠3。∴AB＝AF。（2）∵∠AEF＝∠CEB，∠2＝∠3，∴△AEF∽△CEB，∴＝＝，∴＝。 10. 解：（1）證明：在平行四邊形ABCD中AB∥CD，AD∥BC，∴∠C＋∠B＝180，∠ADF＝∠DEC。∵∠AFD＋∠AFE＝180，∠AFE＝∠B，∴∠AFD＝∠C。在△ADF與△DEC中，，∴△ADF∽△DEC。（2）解：∵平行四邊形ABCD，∴CD＝AB＝8。由（1）知△ADF∽△DEC，∴＝，∴DE＝＝＝12。在Rt△ADE中，由勾股定理得：AE＝＝＝6。 11. 解：（1）證明：∵AC平分∠DAB，∴∠DAC＝∠CAB，∵∠ADC＝∠ACB＝90，∴△ADC∽△ACB，∴AD：AC＝AC：AB，∴AC2＝AB?AD；（2）證明：∵E為AB的中點，∴CE＝AB＝AE，∴∠EAC＝∠ECA，∵∠DAC＝∠CAB，∴∠DAC＝∠ECA，∴CE∥AD；（3）解：∵CE∥AD，∴△AFD∽△CFE，∴AD：CE＝AF：CF，∵CE＝AB，∴CE＝6＝3，∵AD＝4，∴＝，∴＝。 12. 解：（1）證明：∵△ABC、△AMN是等邊三角形，∴AB＝AC，AM＝AN，∠BAC＝∠MAN＝60，∴∠BAM＝∠CAN，∵在△BAM和△CAN中，，∴△BAM≌△CAN（SAS），∴∠ABC＝∠ACN。（2）解：結(jié)論∠ABC＝∠ACN仍成立。理由如下：∵△ABC、△AMN是等邊三角形，∴AB＝AC，AM＝AN，∠BAC＝∠MAN＝60，∴∠BAM＝∠CAN，∵在△BAM和△CAN中，，∴△BAM≌△CAN（SAS），∴∠ABC＝∠ACN。（3）解：∠ABC＝∠ACN。理由如下：∵BA＝BC，MA＝MN，頂角∠ABC＝∠AMN，∴底角∠BAC＝∠MAN，∴△ABC∽△AMN，∴＝，又∵∠BAM＝∠BAC－∠MAC，∠CAN＝∠MAN－∠MAC，∴∠BAM＝∠CAN，∴△BAM∽△CAN，∴∠ABC＝∠ACN。