2019年高中數(shù)學(xué) 第三章 章末總結(jié) 新人教A版選修1-1.doc

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2019年高中數(shù)學(xué) 第三章 章末總結(jié) 新人教A版選修1-1 知識(shí)點(diǎn)一　導(dǎo)數(shù)與曲線的切線 利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程時(shí)關(guān)鍵是搞清所給的點(diǎn)是不是切點(diǎn)，常見(jiàn)的類(lèi)型有兩種，一類(lèi)是求“在某點(diǎn)處的切線方程”，則此點(diǎn)一定為切點(diǎn)，先求導(dǎo)，再求斜率代入直線方程即可得；另一類(lèi)是求“過(guò)某點(diǎn)的切線方程”，這種類(lèi)型中的點(diǎn)不一定是切點(diǎn)，可先設(shè)切點(diǎn)為Q(x1，y1)，則切線方程為y－y1＝f′(x1)(x－x1)，再由切線過(guò)點(diǎn)P(x0，y0)得 y0－y1＝f′(x1)(x0－x1) ① 又y1＝f(x1) ② 由①②求出x1，y1的值． 即求出了過(guò)點(diǎn)P(x0，y0)的切線方程． 例1　已知曲線f(x)＝x3－3x，過(guò)點(diǎn)A(0,16)作曲線f(x)的切線，求曲線的切線方程． 知識(shí)點(diǎn)二　導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是導(dǎo)數(shù)的主要應(yīng)用之一，其步驟為： (1)求導(dǎo)數(shù)f′(x)； (2)解不等式f′(x)>0或f′(x)<0； (3)確定并指出函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間、減區(qū)間． 特別要注意寫(xiě)單調(diào)區(qū)間時(shí)，區(qū)間之間用“和”或“，”隔開(kāi)，絕對(duì)不能用“∪”連接． 例2　求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間： (1)f(x)＝＋sin x； (2)f(x)＝x(x－a)2. 知識(shí)點(diǎn)三　導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值、最值 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值和最值是導(dǎo)數(shù)的另一主要應(yīng)用． 1．應(yīng)用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)極值的一般步驟： (1)確定函數(shù)f(x)的定義域； (2)解方程f′(x)＝0的根； (3)檢驗(yàn)f′(x)＝0的根的兩側(cè)f′(x)的符號(hào)． 若左正右負(fù)，則f(x)在此根處取得極大值； 若左負(fù)右正，則f(x)在此根處取得極小值； 否則，此根不是f(x)的極值點(diǎn)． 2．求函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a，b]上的最大值、最小值的方法與步驟： (1)求f(x)在(a，b)內(nèi)的極值； (2)將(1)求得的極值與f(a)、f(b)相比較，其中最大的一個(gè)值為最大值，最小的一個(gè)值為最小值； 特別地，①當(dāng)f(x)在(a，b)上單調(diào)時(shí)，其最小值、最大值在區(qū)間端點(diǎn)處取得，②當(dāng)f(x)在(a，b)內(nèi)只有一個(gè)極值點(diǎn)時(shí)，若在這一點(diǎn)處f(x)有極大(小)值，則可以斷定f(x)在該點(diǎn)處取得最大(小)值，這里(a，b)也可以是(－∞，＋∞)． 例3　設(shè)0(或f′(x)<0)僅是一個(gè)函數(shù)在某區(qū)間上遞增(或遞減)的充分不必要條件，而其充要條件是：f′(x)≥0(或f′(x)≤0)，且f′(x)不恒為零．利用導(dǎo)數(shù)法解決取值范圍問(wèn)題時(shí)可以有兩個(gè)基本思路：一是將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為不等式在某區(qū)間上的恒成立問(wèn)題，即f′(x)≥0或f′(x)≤0恒成立，用分離參數(shù)或函數(shù)性質(zhì)求解參數(shù)范圍，然后檢驗(yàn)參數(shù)取“＝”時(shí)是否滿(mǎn)足題意；另一思路是先令f′(x)>0(或f′(x)<0)，求出參數(shù)的取值范圍后，再令參數(shù)取“＝”，看此時(shí)f(x)是否滿(mǎn)足題意． 例4　已知函數(shù)f(x)＝x2＋ (x≠0，常數(shù)a∈R)．若函數(shù)f(x)在x∈[2，＋∞)上是單調(diào)遞增的，求a的取值范圍． 例5　已知f(x)＝x3－x2－2x＋5，當(dāng)x∈[－1,2]時(shí)，f(x)0， 解得2kπ－0時(shí)，x1x2， ∴函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(－∞，a)，， 單調(diào)遞減區(qū)間為. ③當(dāng)a＝0時(shí)，f′(x)＝3x2≥0，∴函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間為(－∞，＋∞)，即f(x)在R上是增加的． 例3　解　令f′(x)＝3x2－3ax＝0， 得x1＝0，x2＝a. 當(dāng)x變化時(shí)，f′(x)與f(x)的變化情況如下表： x －1 (－1,0) 0 (0，a) a (a,1) 1 f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x) －1－a＋b  b －＋b 1－a＋b 從上表可知，當(dāng)x＝0時(shí)，f(x)取得極大值b，而f(0)>f(a)，f(1)>f(－1)，故需比較f(0)與f(1)的大?。?yàn)閒(0)－f(1)＝a－1>0，所以f(x)的最大值為f(0)＝b.所以b＝1. 又f(－1)－f(a)＝(a＋1)2(a－2)<0， 所以f(x)的最小值為f(－1)＝－1－a＋b＝－a， 所以－a＝－，所以a＝. 例4　解　f′(x)＝2x－＝. 要使f(x)在[2，＋∞)上是單調(diào)遞增的， 則f′(x)≥0在x∈[2，＋∞)上恒成立， 即≥0在x∈[2，＋∞)上恒成立． ∵x2>0，∴2x3－a≥0， ∴a≤2x3在x∈[2，＋∞)上恒成立． ∴a≤(2x3)min. ∵x∈[2，＋∞)，y＝2x3是單調(diào)遞增的， ∴(2x3)min＝16，∴a≤16. 當(dāng)a＝16時(shí)，f′(x)＝≥0 (x∈[2，＋∞))有且只有f′(2)＝0，∴a的取值范圍是a≤16. 例5　解　∵f(x)＝x3－x2－2x＋5， ∴f′(x)＝3x2－x－2. 令f′(x)＝0，即3x2－x－2＝0， ∴x＝1或x＝－. 當(dāng)x∈時(shí)，f′(x)>0，f(x)為增函數(shù)； 當(dāng)x∈時(shí)，f′(x)<0，f(x)為減函數(shù)； 當(dāng)x∈(1,2)時(shí)，f′(x)>0，f(x)為增函數(shù)． 所以，當(dāng)x＝－時(shí)，f(x)取得極大值f＝； 當(dāng)x＝1時(shí)，f(x)取得極小值f(1)＝. 又f(－1)＝，f(2)＝7， 因此，f(x)在[－1,2]上的最大值為f(2)＝7. 要使f(x)7. 所以，所求實(shí)數(shù)m的取值范圍是(7，＋∞)．