2019-2020年高三數(shù)學(xué)上學(xué)期第一次月考試卷 文(含解析).doc
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2019-2020年高三數(shù)學(xué)上學(xué)期第一次月考試卷 文(含解析) 一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,滿分50分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的. 1.(5分)已知集合A={0,1,2,3},集合B={x∈N||x|≤2},則A∩B=() A. {3} B. {0,1,2} C. {1,2} D. {0,1,2,3} 2.(5分)設(shè)復(fù)數(shù)z1=1+i,z2=2+xi(x∈R),若z1?z2∈R,則x=() A. ﹣2- B. ﹣1- C. 1 D. 2 3.(5分)已知m,n是兩條不同直線,α,β,γ是三個不同平面,下列命題中正確的為() A. 若α⊥γ,β⊥γ,則α∥β B. 若m∥α,m∥β,則α∥β C. 若m∥α,n∥α,則m∥n D. 若m⊥α,n⊥α,則m∥n 4.(5分)已知向量=(2,﹣3),=(x,6),且,則|+|的值為() A. B. C. 5 D. 13 5.(5分)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,已知a5=8,S3=6,則a9=() A. 8 B. 12 C. 16 D. 24 6.(5分)執(zhí)行如圖所示的程序框圖,則輸出的y=() A. B. 1 C. ﹣1 D. 2 7.(5分)將函數(shù)y=cos(﹣2x)的圖象向右平移個單位后所得的圖象的一個對稱軸是() A. x= B. x= C. x= D. x= 8.(5分)函數(shù)f(x)=(x﹣1)cosx2在區(qū)間[0,4]上的零點個數(shù)是() A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 9.(5分)已知直線l:x+my+4=0,若曲線x2+y2+2x﹣6y+1=0上存在兩點P、Q關(guān)于直線l對稱,則m的值為() A. 2 B. ﹣2 C. 1 D. ﹣1 10.(5分)已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),f(1)=0,當(dāng)x>0時,有>0成立,則不等式f(x)>0的解集是() A. (﹣1,0)∪(1,+∞) B. (﹣1,0) C. (1,+∞) D. (﹣∞,﹣1)∪(1,+∞) 二、填空題:本大題共5題,考生作答4小題,每小題5分,滿分15分.(一)必做題(11~13題) 11.(5分)函數(shù)y=的定義域為. 12.(5分)一個幾何體的三視圖如圖1,則該幾何體的體積為. 13.(5分)設(shè)雙曲線的離心率為2,且一個焦點與拋物線x2=8y的焦點相同,則此雙曲線的方程為. 三、解答題:本大題共6小題,滿分80分.解答需寫出文字說明、證明過程和演算步驟. 16.(12分)已知函數(shù). (Ⅰ)求函數(shù)f(x)的最小正周期和值域; (Ⅱ)若,求sin2α的值. 17.(13分)某中學(xué)xx高三年級從甲、乙兩個班級各選出7名學(xué)生參加數(shù)學(xué)競賽,他們?nèi)〉玫某煽儯M分100分)的莖葉圖如圖,其中甲班學(xué)生的平均分是85,乙班學(xué)生成績的中位數(shù)是83. (1)求x和y的值; (2)計算甲班7位學(xué)生成績的方差s2; (3)從成績在90分以上的學(xué)生中隨機抽取兩名學(xué)生,求甲班至少有一名學(xué)生的概率. 18.(13分)如圖甲,在平面四邊形ABCD中,已知∠A=45,∠C=90,∠ADC=105,AB=BD,現(xiàn)將四邊形ABCD沿BD折起,使平面ABD⊥平面BDC(如圖乙),設(shè)點E、F分別為棱AC、AD的中點. (1)求證:DC⊥平面ABC; (2)設(shè)CD=a,求三棱錐A﹣BFE的體積. 19.(14分)各項均不相等的等差數(shù)列{an}的前四項的和為S4=14,且a1,a3,a7成等比數(shù)列. (1)求數(shù)列{an}的通項公式an與前n項和Sn; (2)記Tn為數(shù)列{}的前n項和,若Tn≤λan+1對任意的正整數(shù)n都成立,求實數(shù)λ的最小值. 20.(14分)已知橢圓E:+=1(a>b>0)的上頂點為P(0,1),過E的焦點且垂直長軸的弦長為1.若有一菱形ABCD的頂點A、C在橢圓E上,該菱形對角線BD所在直線的斜率為﹣1. (1)求橢圓E的方程; (2)當(dāng)直線BD過點(1,0)時,求直線AC的方程; (3)當(dāng)∠ABC=時,求菱形ABCD面積的最大值. 21.(14分)已知函數(shù)f(x)=a(x﹣)﹣2lnx,a∈R. (1)若a=1,判斷函數(shù)f(x)是否存在極值,若存在,求出極值;若不存在,說明理由; (2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間; (3)設(shè)函數(shù)g(x)=﹣.若至少存在一個x0∈[1,e],使得f(x0)>g(x0)成立,求實數(shù)a的取值范圍. (二)、選做題:14、15題,考生只能從中選做一題 14.(5分)如圖,CD是圓O的切線,切點為C,點B在圓O上,BC=2,∠BCD=60,則圓O的面積為. 選做題(正四棱錐與球體積選做題) 15.棱長為1的正方體的外接球的體積為. 廣東省深圳市五校聯(lián)考xx高三上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)試卷(文科) 參考答案與試題解析 一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,滿分50分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的. 1.(5分)已知集合A={0,1,2,3},集合B={x∈N||x|≤2},則A∩B=() A. {3} B. {0,1,2} C. {1,2} D. {0,1,2,3} 考點: 交集及其運算. 專題: 集合. 分析: 求出B中不等式的解集,找出解集中的自然數(shù)解確定出B,求出A與B的交集即可. 解答: 解:由B中的不等式解得:﹣2≤x≤2,即B={x|﹣2≤x≤2,x∈N}={0,1,2}, ∵A={0,1,2,3}, ∴A∩B={0,1,2}, 故選:B. 點評: 此題考查了交集及其運算,熟練掌握交集的定義解本題的關(guān)鍵. 2.(5分)設(shè)復(fù)數(shù)z1=1+i,z2=2+xi(x∈R),若z1?z2∈R,則x=() A. ﹣2- B. ﹣1- C. 1 D. 2 考點: 復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算. 專題: 數(shù)系的擴充和復(fù)數(shù). 分析: 直接由復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運算化簡復(fù)數(shù)z1?z2,然后由虛部為0即可求出x的值. 解答: 解:z1?z2=(1+i)(2+xi)=2﹣x+(2+x)i, ∵z1.z2∈R, ∴2+x=0.即x=﹣2. 故選:A. 點評: 本題考查了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運算,考查了復(fù)數(shù)的基本概念,是基礎(chǔ)題. 3.(5分)已知m,n是兩條不同直線,α,β,γ是三個不同平面,下列命題中正確的為() A. 若α⊥γ,β⊥γ,則α∥β B. 若m∥α,m∥β,則α∥β C. 若m∥α,n∥α,則m∥n D. 若m⊥α,n⊥α,則m∥n 考點: 空間中直線與直線之間的位置關(guān)系;平面與平面之間的位置關(guān)系. 專題: 閱讀型. 分析: 用身邊的事物舉例,或用長方體找反例,對答案項進(jìn)行驗證和排除. 解答: 解:反例把書打開直立在桌面上,α與β相交或垂直; 答案B:α與β相交時候,m與交線平行; 答案C:直線m與n相交,異面,平行都有可能,以長方體為載體; 答案D:,正確 故選D. 點評: 本題考查了線面的垂直和平行關(guān)系,多用身邊具體的例子進(jìn)行說明,或用長方體舉反例. 4.(5分)已知向量=(2,﹣3),=(x,6),且,則|+|的值為() A. B. C. 5 D. 13 考點: 平行向量與共線向量;向量的模;平面向量的坐標(biāo)運算. 專題: 平面向量及應(yīng)用. 分析: 根據(jù)兩個向量平行的坐標(biāo)表示求出x的值,然后運用向量的坐標(biāo)加法運算求出兩個和向量的坐標(biāo),最后利用求模公式求模. 解答: 解:由向量=(2,﹣3),=(x,6),且, 則26﹣(﹣3)x=0,解得:x=﹣4. 所以, 則=(﹣2,3). 所以=. 故選B. 點評: 本題考查了兩個平行的坐標(biāo)表示,考查了平面向量的坐標(biāo)運算,考查了向量模的求法,是基礎(chǔ)題. 5.(5分)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,已知a5=8,S3=6,則a9=() A. 8 B. 12 C. 16 D. 24 考點: 等差數(shù)列的通項公式;等差數(shù)列的前n項和. 專題: 等差數(shù)列與等比數(shù)列. 分析: 由給出的等差數(shù)列的第5項和前3項和代入通項公式及前n項和公式求等差數(shù)列的首項和公差,然后直接運用通項公式求a9. 解答: 解:設(shè)等差數(shù)列{an}的首項為a1,公差為d, 則,解得:a1=0,d=2, 所以a9=a1+8d=0+82=16. 故選C. 點評: 本題考查了等差數(shù)列的通項公式和前n項和公式,考查了計算能力,此題屬基礎(chǔ)題. 6.(5分)執(zhí)行如圖所示的程序框圖,則輸出的y=() A. B. 1 C. ﹣1 D. 2 考點: 程序框圖. 專題: 算法和程序框圖. 分析: 模擬程序框圖的運行過程,得出該程序是計算y的值,并且以3為周期,從而得出程序運行的結(jié)果是什么. 解答: 解:模擬程序框圖的運行過程,如下: y=2,i=1,1≥xx?,否,y=1﹣=; i=1+1=2,2≥xx?,否,y=1﹣=﹣1; i=2+1=3,3≥xx?,否,y=1﹣=2; i=3+1=4,4≥xx?,否,y=1﹣=; ,…, i=xx+1=xx,xx≥xx?,否,y=1﹣=2; i=xx+1=xx,xx≥xx?,是,輸出y:2. 故選:D. 點評: 本題考查了程序框圖的應(yīng)用問題,解題時應(yīng)模擬程序框圖的運行過程,尋找解答問題的途徑,是基礎(chǔ)題. 7.(5分)將函數(shù)y=cos(﹣2x)的圖象向右平移個單位后所得的圖象的一個對稱軸是() A. x= B. x= C. x= D. x= 考點: 函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象變換. 專題: 三角函數(shù)的圖像與性質(zhì). 分析: 利用誘導(dǎo)公式可得f(x)=cos(﹣2x)=cos(2x﹣),于是有f(x﹣)=cos(2x﹣),利用余弦函數(shù)的對稱性即可得到答案. 解答: 解:令f(x)=cos(﹣2x)=cos(2x﹣), 則f(x﹣)=cos[2(x﹣)﹣]=cos(2x﹣), 由2x﹣=kπ(k∈Z),得其對稱軸方程為: x=+(k∈Z), 當(dāng)k=0時,x=,即為將函數(shù)y=cos(﹣2x)的圖象向右平移個單位后所得的圖象的一個對稱軸, 故選:A. 點評: 本題考查函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象變換,考查余弦函數(shù)的對稱性,屬于中檔題. 8.(5分)函數(shù)f(x)=(x﹣1)cosx2在區(qū)間[0,4]上的零點個數(shù)是() A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 考點: 根的存在性及根的個數(shù)判斷. 專題: 函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用. 分析: 令函數(shù)值為0,構(gòu)建方程,即可求出在區(qū)間[0,4]上的解,從而可得函數(shù)f(x)=(x﹣1)cosx2在區(qū)間[0,4]上的零點個數(shù) 解答: 解:令f(x)=0,可得x=1或cosx2=0 ∴x=1或x2=kπ+,k∈Z, ∵x∈[0,4],則x2∈[0,16], ∴k可取的值有0,1,2,3,4, ∴方程共有6個解, ∴函數(shù)f(x)=(x﹣1)cosx2在區(qū)間[0,4]上的零點個數(shù)為6個, 故選C 點評: 本題考查三角函數(shù)的周期性以及零點的概念,屬于基礎(chǔ)題. 9.(5分)已知直線l:x+my+4=0,若曲線x2+y2+2x﹣6y+1=0上存在兩點P、Q關(guān)于直線l對稱,則m的值為() A. 2 B. ﹣2 C. 1 D. ﹣1 考點: 直線與圓的位置關(guān)系. 專題: 直線與圓. 分析: 曲線x2+y2+2x﹣6y+1=0上有兩點P、Q,滿足關(guān)于直線x+my+4=0對稱,說明曲線是圓,直線過圓心,易求m的值; 解答: 解:曲線方程為(x+1)2+(y﹣3)2=9表示圓心為(﹣1,3),半徑為3的圓. ∵點P、Q在圓上且關(guān)于直線x+my+4=0對稱, ∴圓心(﹣1,3)在直線上.代入得m=﹣1. 故選:D. 點評: 本題考查直線與圓的方程的應(yīng)用,圓的一般式方程,考查函數(shù)與方程的思想,是中檔題. 10.(5分)已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),f(1)=0,當(dāng)x>0時,有>0成立,則不等式f(x)>0的解集是() A. (﹣1,0)∪(1,+∞) B. (﹣1,0) C. (1,+∞) D. (﹣∞,﹣1)∪(1,+∞) 考點: 函數(shù)奇偶性的性質(zhì). 專題: 函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用;導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用. 分析: 根據(jù)當(dāng)x>0時,有>0成立,可得為增函數(shù),結(jié)合函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),f(1)=0,可分析出在各個區(qū)間上,和f(x)的符號,進(jìn)而可得不等式f(x)>0的解集. 解答: 解:∵當(dāng)x>0時,有>0成立, ∴當(dāng)x>0時,為增函數(shù), 又∵f(1)=0, ∴當(dāng)x>1時,>0,f(x)>0,當(dāng)0<x<1時,<0,f(x)<0, 又∵函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù), ∴是定義在(﹣∞,0)∪(0,+∞)上的偶函數(shù), 故當(dāng)x<﹣1時,>0,f(x)<0,當(dāng)﹣1<x<0時,<0,f(x)>0, 故f(x)>0的解集是(﹣1,0)∪(1,+∞), 故選:A 點評: 本題考查的知識點是函數(shù)奇偶性的性質(zhì),函數(shù)的單調(diào)性,是函數(shù)圖象和性質(zhì)與導(dǎo)函數(shù)的綜合應(yīng)用,難度中檔. 二、填空題:本大題共5題,考生作答4小題,每小題5分,滿分15分.(一)必做題(11~13題) 11.(5分)函數(shù)y=的定義域為{x|x>o且x≠1}. 考點: 函數(shù)的定義域及其求法. 分析: 函數(shù)式是分式,分子含有根式,分母含有對數(shù)式,函數(shù)的定義域是使根式內(nèi)的代數(shù)式大于等于0,且分母不等于0,還要使對數(shù)函數(shù)有意義. 解答: 解:要使原函數(shù)有意義,則需解得:x>0且x≠1, 所以原函數(shù)的定義域為{x|x>0,且x≠1}. 故答案為{x|x>0,且x≠1}. 點評: 本題考查了函數(shù)的定義域及其求法,屬于以函數(shù)的定義為平臺,求集合的交集的基礎(chǔ)題,也是xx高考常會考的題型. 12.(5分)一個幾何體的三視圖如圖1,則該幾何體的體積為6π. 考點: 由三視圖求面積、體積. 專題: 空間位置關(guān)系與距離. 分析: 由三視圖知幾何體是一個半圓柱,半圓柱的底面是一個半徑為2的半圓,高是3,根據(jù)所給的數(shù)據(jù)作出底面積,乘以高,得到體積. 解答: 解:由三視圖知幾何體是一個半圓柱, 半圓柱的底面是一個半徑為2的半圓,高是3, 故半圓柱的體積V=π223=6π, 故答案為:6π 點評: 本題考查由三視圖還原幾何體,并且求幾何體的體積,本題解題的關(guān)鍵是理解三個視圖高長寬之間的關(guān)系,進(jìn)而判斷出幾何體的形狀,本題是一個基礎(chǔ)題. 13.(5分)設(shè)雙曲線的離心率為2,且一個焦點與拋物線x2=8y的焦點相同,則此雙曲線的方程為. 考點: 拋物線的簡單性質(zhì);雙曲線的簡單性質(zhì). 專題: 圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程. 分析: 利用拋物線的方程先求出拋物線的焦點即雙曲線的焦點,利用雙曲線的方程與系數(shù)的關(guān)系求出a2,b2,利用雙曲線的三個系數(shù)的關(guān)系列出m,n的一個關(guān)系,再利用雙曲線的離心率的公式列出關(guān)于m,n的另一個等式,解方程組求出m,n的值,代入方程求出雙曲線的方程. 解答: 解:拋物線的焦點坐標(biāo)為(0,2), 所以雙曲線的焦點在y軸上且c=2, 所以雙曲線的方程為, 即a2=n>0,b2=﹣m>0, 所以,又, 解得n=1, 所以b2=c2﹣a2=4﹣1=3,即﹣m=3,m=﹣3, 所以雙曲線的方程為. 故答案為:. 點評: 解決雙曲線、橢圓的三參數(shù)有關(guān)的問題,有定注意三參數(shù)的關(guān)系:c2=a2+b2而橢圓中三參數(shù)的關(guān)系為a2=c2+b2 三、解答題:本大題共6小題,滿分80分.解答需寫出文字說明、證明過程和演算步驟. 16.(12分)已知函數(shù). (Ⅰ)求函數(shù)f(x)的最小正周期和值域; (Ⅱ)若,求sin2α的值. 考點: 三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用;二倍角的正弦;三角函數(shù)的周期性及其求法. 專題: 三角函數(shù)的圖像與性質(zhì). 分析: (Ⅰ)將化為f(x)=cos(x+)即可求得f(x)的最小正周期和值域; (Ⅱ)由可求得cos(α+)=,由余弦函數(shù)的二倍角公式與誘導(dǎo)公式可求得sin2α的值. 解答: 解:(Ⅰ)由已知,f(x)=﹣sincos﹣ =(1+cosx)﹣sinx﹣ =cos(x+). ∴函數(shù)f(x)的最小正周期為2π,值域為[﹣,]. (Ⅱ)由(Ⅰ)知,f(α)=cos(α+)=, ∴cos(α+)=, ∴sin2α=﹣cos(+2α)=﹣cos2(α+) =1﹣2 =1﹣ =. 點評: 本題考查三角函數(shù)的性質(zhì)、兩角和的正(余)弦公式等基礎(chǔ)知識,考查運算能力,考查化歸與轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想,屬于中檔題. 17.(13分)某中學(xué)xx高三年級從甲、乙兩個班級各選出7名學(xué)生參加數(shù)學(xué)競賽,他們?nèi)〉玫某煽儯M分100分)的莖葉圖如圖,其中甲班學(xué)生的平均分是85,乙班學(xué)生成績的中位數(shù)是83. (1)求x和y的值; (2)計算甲班7位學(xué)生成績的方差s2; (3)從成績在90分以上的學(xué)生中隨機抽取兩名學(xué)生,求甲班至少有一名學(xué)生的概率. 考點: 古典概型及其概率計算公式;莖葉圖;極差、方差與標(biāo)準(zhǔn)差. 專題: 概率與統(tǒng)計. 分析: (1)利用平均數(shù)求出x的值,中位數(shù)求出y的值,解答即可. (2)根據(jù)所給的莖葉圖,得出甲班7位學(xué)生成績,做出這7次成績的平均數(shù),把7次成績和平均數(shù)代入方差的計算公式,求出這組數(shù)據(jù)的方差. (3)設(shè)甲班至少有一名學(xué)生為事件A,其對立事件為從成績在90分以上的學(xué)生中隨機抽取兩名學(xué)生,甲班沒有一名學(xué)生;先計算出從成績在90分以上的學(xué)生中隨機抽取兩名學(xué)生的所有抽取方法總數(shù),和沒有甲班一名學(xué)生的方法數(shù)目,先求出從成績在90分以上的學(xué)生中隨機抽取兩名學(xué)生,甲班沒有一名學(xué)生的概率,進(jìn)而結(jié)合對立事件的概率性質(zhì)求得答案. 解答: 解:(1)∵甲班學(xué)生的平均分是85, ∴, ∴x=5, ∵乙班學(xué)生成績的中位數(shù)是83,∴y=3; (2)甲班7位學(xué)生成績的方差為s2==40; (3)甲班成績在90分以上的學(xué)生有兩名,分別記為A,B, 乙班成績在90分以上的學(xué)生有三名,分別記為C,D,E, 從這五名學(xué)生任意抽取兩名學(xué)生共有10種情況: (A,B),(A,C),(A,D),(A,E), (B,C),(B,D),(B,E), (C,D),(C,E), (D,E) 其中甲班至少有一名學(xué)生共有7種情況:(A,B),(A,C),(A,D),(A,E),(B,C),(B,D),(B,E). 記“從成績在90分以上的學(xué)生中隨機抽取兩名學(xué)生, 甲班至少有一名學(xué)生”為事件M,則. 答:從成績在90分以上的學(xué)生中隨機抽取兩名學(xué)生,甲校至少有一名學(xué)生的概率為. 點評: 本小題主要考查莖葉圖、樣本均值、樣本方差、概率等知識,考查或然與必然的數(shù)學(xué)思想方法,以及數(shù)據(jù)處理能力、運算求解能力和應(yīng)用意識. 18.(13分)如圖甲,在平面四邊形ABCD中,已知∠A=45,∠C=90,∠ADC=105,AB=BD,現(xiàn)將四邊形ABCD沿BD折起,使平面ABD⊥平面BDC(如圖乙),設(shè)點E、F分別為棱AC、AD的中點. (1)求證:DC⊥平面ABC; (2)設(shè)CD=a,求三棱錐A﹣BFE的體積. 考點: 直線與平面垂直的判定;棱柱、棱錐、棱臺的體積. 專題: 證明題. 分析: (1)先證明AB⊥底面BDC,可得AB⊥CD,又DC⊥BC,從而證明DC⊥平面ABC. (2)由(1)知 EF⊥平面ABC,求得,代入體積公式進(jìn)行運算可得答案. 解答: 解:(1)證明:在圖甲中,∵AB=BD,且∠A=45, ∴∠ADB=45,∠ABC=90 即AB⊥BD. 在圖乙中,∵平面ABD⊥平面BDC,且平面ABD∩平面BDC=BD, ∴AB⊥底面BDC,∴AB⊥CD.又∠DCB=90, ∴DC⊥BC,且AB∩BC=B,∴DC⊥平面ABC. (2)∵E、F分別為AC、AD的中點,∴EF∥CD, 又由(1)知,DC⊥平面ABC,∴EF⊥平面ABC, ∴,在圖甲中,∵∠ADC=105,∴∠BDC=60,∠DBC=30, 由CD=a得,,∴, ∴,∴. 點評: 本題考查證明線線垂直、線面垂直的方法,求棱錐的體積,求出△AEB的面積,確定棱錐的高為EF 是解題的關(guān)鍵. 19.(14分)各項均不相等的等差數(shù)列{an}的前四項的和為S4=14,且a1,a3,a7成等比數(shù)列. (1)求數(shù)列{an}的通項公式an與前n項和Sn; (2)記Tn為數(shù)列{}的前n項和,若Tn≤λan+1對任意的正整數(shù)n都成立,求實數(shù)λ的最小值. 考點: 數(shù)列的求和;數(shù)列與不等式的綜合. 專題: 等差數(shù)列與等比數(shù)列. 分析: (1)設(shè)公差為d,利用S4=14,且a1,a3,a7成等比數(shù)列,建立方程,即可求得首項與公差,從而可得數(shù)列{an}的通項公式; (2)利用裂項法,可求數(shù)列{}的前n項和,則Tn≤λan+1對任意的正整數(shù)n都成立, 等價于λ≥對?n∈N*恒成立,求得的最大值即可. 解答: 解:(1)設(shè)公差為d,則 ∵S4=14,且a1,a3,a7成等比數(shù)列 ∴4a1+6d=14,(a1+2d)2=a1(a1+6d) ∵d≠0,∴d=1,a1=2, ∴an=n+1, sn==. (2)==﹣ ∴Tn==﹣= ∵Tn≤λan+1對任意的正整數(shù)n都成立, ∴≤λan+1對任意的正整數(shù)n都成立, 等價于λ≥對?n∈N*恒成立. 又=≤=,且在n=2時取等號, 所以實數(shù)λ的最小值為. 點評: 本題考查等差數(shù)列的通項與求和,考查裂項法的運用,考查學(xué)生的計算能力以及恒成立問題的等價轉(zhuǎn)化能力,綜合性強,屬于難題. 20.(14分)已知橢圓E:+=1(a>b>0)的上頂點為P(0,1),過E的焦點且垂直長軸的弦長為1.若有一菱形ABCD的頂點A、C在橢圓E上,該菱形對角線BD所在直線的斜率為﹣1. (1)求橢圓E的方程; (2)當(dāng)直線BD過點(1,0)時,求直線AC的方程; (3)當(dāng)∠ABC=時,求菱形ABCD面積的最大值. 考點: 直線與圓錐曲線的綜合問題;直線的一般式方程;橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程. 專題: 綜合題. 分析: (1)依題意,b=1,解,得|y|=,所以,由此能求出橢圓E的方程. (2)直線BD:y=﹣1(x﹣1)=﹣x+1,設(shè)AC:y=x+b,由方程組得,再由根的判別式、中點坐標(biāo)公式和菱形的性質(zhì)能推導(dǎo)出AC的方程. (3)因為四邊形ABCD為菱形,且,所以AB=AC=BC,所以菱形ABCD的面積,由AC2=(x2﹣x1)2+(y2﹣y1)2=2(x2﹣x1)2=2(x2+x1)2﹣8x1x2=,能推導(dǎo)出當(dāng)且僅當(dāng)b=0時,菱形ABCD的面積取得最大值. 解答: 解:(1)依題意,b=1, 解,得|y|=, 所以,a=2, 橢圓E的方程為. (2)直線BD:y=﹣1(x﹣1)=﹣x+1, 設(shè)AC:y=x+b, 由方程組得, 當(dāng)時, A(x1,y1),C(x2,y2)的中點坐標(biāo)為=﹣,, ABCD是菱形,所以AC的中點在BD上,所以 解得,滿足△=5﹣b2>0,所以AC的方程為y=x﹣. (3)因為四邊形ABCD為菱形,且,所以AB=AC=BC,所以菱形ABCD的面積, 由(2)可得AC2=(x2﹣x1)2+(y2﹣y2)2=2, AC2=(x2﹣x1)2+(y2﹣y1)2=2(x2﹣x1)2=2(x2+x1)2﹣8x1x2=2=, 因為,所以當(dāng)且僅當(dāng)b=0時,菱形ABCD的面積取得最大值,最大值為. 點評: 本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用能力,具體涉及到軌跡方程的求法及直線與橢圓的相關(guān)知識,解題時要靈活運用根的判別式、中點坐標(biāo)公式和菱形的性質(zhì),結(jié)合橢圓的性質(zhì)注意合理地進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化. 21.(14分)已知函數(shù)f(x)=a(x﹣)﹣2lnx,a∈R. (1)若a=1,判斷函數(shù)f(x)是否存在極值,若存在,求出極值;若不存在,說明理由; (2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間; (3)設(shè)函數(shù)g(x)=﹣.若至少存在一個x0∈[1,e],使得f(x0)>g(x0)成立,求實數(shù)a的取值范圍. 考點: 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性;利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值. 專題: 導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用. 分析: (1)利用求極值的方法,先求導(dǎo),再判斷函數(shù)f(x)單調(diào)性,然后判斷是否存在極值; (2)求含有參數(shù)的f(x)的單調(diào)區(qū)間,需要分類討論; (3)本命題等價于f(x)﹣g(x)>0在[1,e]上有解,設(shè)F(x)=f(x)﹣g(x),F(xiàn)(x)min=F(1)=0,從而求得a的取值范圍. 解答: 解:(1)當(dāng)a=1時,,其定義域為(0,+∞). ∵, ∴f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增, ∴函數(shù)f(x)不存在極值. (2)函數(shù)的定義域為(0,+∞)., 當(dāng)a≤0時, ∵f(x)<0在(0,+∞)上恒成立,所以f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減. 當(dāng)a>0時, 當(dāng)x∈(0,+∞)時,方程f(x)=0與方程ax2﹣2x+a=0有相同的實根,△=4﹣4a2=4(1﹣a2), ①當(dāng)0<a<1時,△>0,可得,,且0<x1<x2, ∴x∈(0,x1)時,f(x)>0,所以f(x)在(0,x1)上單調(diào)遞增; ∴x∈(x1,x2)時,f(x)<0,所以f(x)在(x1,x2)上單調(diào)遞減; ∴x∈(x2,+∞)時,f(x)>0,所以f(x)在(x2,+∞)上單調(diào)遞增; ②當(dāng)a≥1時,△≤0,∴f(x)>0在(0,+∞)上恒成立,故f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增. 綜上,當(dāng)a≤0時,f(x)的單調(diào)減區(qū)間為(0,+∞); 當(dāng)0<a<1時,f(x)的單調(diào)增區(qū)間為與;單調(diào)減區(qū)間為; 當(dāng)a≥1時,f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(0,+∞). (3)由存在一個x0∈[1,e],使得f(x0)>g(x0)成立, 得ax0>2lnx,即, 令F(x)=,等價于“當(dāng)x∈[1,e]時,a>F(x)min”, ∵,且當(dāng)x∈[1,e]時,F(xiàn)′(x)≥0, ∴F(x)在[1,e]上單調(diào)遞增, 故F(x)min=F(1)=0, 因此a>0. 點評: 本題主要考查了函數(shù)的極值,以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性等基礎(chǔ)知識,考查綜合利用數(shù)學(xué)知識分析問題、解決問題的能力. (二)、選做題:14、15題,考生只能從中選做一題 14.(5分)如圖,CD是圓O的切線,切點為C,點B在圓O上,BC=2,∠BCD=60,則圓O的面積為4π. 考點: 與圓有關(guān)的比例線段. 專題: 計算題;立體幾何. 分析: 通過弦切角,求出圓心角,結(jié)合弦長,得到半徑,然后求出圓的面積. 解答: 解:∵弦切角等于同弧上的圓周角,∠BCD=60, ∴∠BOC=120, ∵BC=2, ∴圓的半徑為:=2, ∴圓的面積為:π?22=4π. 故答案為:4π. 點評: 本題是基礎(chǔ)題,考查弦切角的應(yīng)用,圓周角與圓心角的關(guān)系,確定面積的求法,考查計算能力. 選做題(正四棱錐與球體積選做題) 15.棱長為1的正方體的外接球的體積為. 考點: 球的體積和表面積. 專題: 計算題;空間位置關(guān)系與距離. 分析: 正方體的外接球的直徑是正方體的體對角線,由此能求出正方體的外接球的體積. 解答: 解:∵正方體棱長為1, ∴正方體的外接球的半徑R=, ∴正方體的外接球的體積V=()3=. 故答案為:. 點評: 本題考查正方體的外接球的體積的求法,解題的關(guān)鍵是明確正方體的外接球的直徑是正方體的體對角線.- 1.請仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預(yù)覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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