2019-2020年高中數(shù)學(xué) 6.2算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)（備課資料） 大綱人教版必修.doc

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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 6.2算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)（備課資料） 大綱人教版必修 一、參考例題 ［例1］若a≥b＞0，試比較a，，，，，b的大小，并利用不等號將它們連接起來. 分析：為了探索上述各式之間的大小關(guān)系，我們先用特殊值來進行分析和猜想，在此基礎(chǔ)上再進行一般性的證明. 觀察與猜想： 令a＝4，b＝3，則：a＝4＝；＝；=；=；b＝3＝ 當(dāng)a＝b時，上述各式都相等，故有猜想： a≥≥≥≥≥b. 解：∵a≥b＞0 ∴（1）a＝＝≥； (2) ＝≥； (3)≥； (4) ＝， 即≥. (5) －b＝≥0 即＞b 綜上所述： a≥≥≥≥. 評述：1.對事物的觀察和猜想是一種探索問題及找到方向的有效方法，本題為了分析各個式子的大小關(guān)系，通過特殊值的代入進行觀察，從而發(fā)現(xiàn)一般性的結(jié)論，這樣為進一步論證提供了方向. 2.對于(4)也可以從基本不等式進行推導(dǎo)： ≥≤. . 這里，經(jīng)歷了一次利用基本不等式進行論證的過程. 3.本題所涉及到的一組不等式是重要不等式，除去我們已知的兩個正數(shù)a、b的算術(shù)平均數(shù)（）和幾何平均數(shù)（）外，這里， 和分別叫正數(shù)a、b的平方平均數(shù)和調(diào)和平均數(shù).對于這四種平均數(shù)有如下定理：兩個正數(shù)的平方平均數(shù)不小于它們的算術(shù)平均數(shù)，它們的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)，它們的幾何平均數(shù)不小于它們的調(diào)和平均數(shù).即若a>0,b>0，則有 ≥≥≥（當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時取“＝”號）. ［例2］已知a>0，b>0，c>0，且a＋b＋c＝1，求證： (1)（－1）（－1）（－1）≥8； (2)a2＋b2＋c2≥； (3)+≥27； (4)（1＋）（1＋）（1＋）≥64. 分析：在不等式證明中，n個正數(shù)的和為1，常常作為條件出現(xiàn)在題設(shè)，這時用好這個“1”常常成為解題的關(guān)鍵. 證明：(1)∵a＋b＋c＝1且a>0，b>0，c>0， ∴－1＝－1＝＞0； －1＝＞0； －1＝＞0. 三式相乘得： （－1）（－1）（－1）≥＝8， 即（－1）（－1）（－1）≥8. (2)∵a>0，b>0，c>0且a＋b＋c＝1， ∴1＝（a＋b＋c）2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ac ≤a2＋b2＋c2＋（a2＋b2）＋（b2＋c2）＋（a2＋c2） ＝3（a2＋b2＋c2） ∴a2＋b2＋c2≥. (3)∵a>0，b>0，c>0且a＋b＋c＝1， ∴＋＝（a＋b＋c）2（＋） ≥（3）23＝27 ∴＋≥27 (4)∵a>0，b>0，c>0且a＋b＋c＝1， ∴（1＋）（1＋）（1＋） ＝（1＋）（1＋）（1＋） ＝（2＋）（2＋）（2＋） ≥（2＋）（2＋）（2＋） ＝8（1＋）（1＋）（1＋) ≥8（2)（2）（2）＝64 即（1＋）（1＋）（1＋）≥64. 評述：（1）這是一類條件不等式的證明，顯然，巧妙地利用已知條件是證明此類題的關(guān)鍵. （2）以上各小題在證題過程中，或是將分子的1看作a＋b＋c，然后拆項，或是將原代數(shù)式乘以一個值為1的因式（a＋b＋c），以利于進一步整理變形，這些常用的“1”的變換技巧很重要. （3）本節(jié)定理：“兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)”，可以進一步引申出定理：“n個(n是大于1的整數(shù))正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)”.(見課本P24“閱讀材料”).即，一般地，對于n個正數(shù)a1，a2，…，an（n≥2且n∈N)，則有，(當(dāng)且僅當(dāng)a1＝a2…＝an時取“＝”號).顯然有：若a，b，c為正數(shù)，則：（當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c時取“＝”號). 二、參考練習(xí)題 1.選擇題 (1)“a＋b≥2”是“a>0，b>0”的( ) A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.即不充分也不必要條件 答案：B (2)設(shè)b＞a＞0，且a＋b＝1，則此四個數(shù)，2ab，a2＋b2，b中最大的是( ) A.b B.a2＋b2 Ｃ.2ab D. 答案：A (3)設(shè)a，b∈R，且a≠b，a＋b＝2，則必有( ) A.1≤ab≤ B.ab＜1＜ C.ab＜＜1 D.＜ab＜1 答案：B (4)已知a>0，b>0且a＋b＝4，則下列各式恒成立的是( ) A. B.≥1 C.≥2 D. 答案：B (5)若a＞b＞0，則下面不等式正確的是( ) A. B. C. D. 答案：C (6)若a，b∈R且a≠b，在下列式子中，恒成立的個數(shù)為（ ） ①a2＋3ab＞2b2 ②a５＋b５＞a3b2＋a2b3 ③a2＋b2≥2（a－b－1） ④＞2 A.4 B.3 Ｃ.2 D.1 答案：D (7)設(shè)a，b，c是區(qū)間(0，1)內(nèi)的三個互不相等的實數(shù)且p＝logc，q＝，r＝，則p，q，r的大小關(guān)系是( ) A.p＞q＞r B.p＜q＜r C.r＜p＜q D.p＜r＜q 答案：C 2.已知x＞y＞0，xy＝1，求證：≥2. 證明：∵x＞y＞0，xy＝1 ∴ ≥2＝2 即≥2 3.已知a＞2，求證：loga（a－1）loga（a＋1）＜1. 證明：∵a＞2 ∴l(xiāng)oga（a－1）＞0，loga（a＋1）＞0，loga（a－1）≠loga（a＋1） ∴l(xiāng)oga（a－1）loga（a＋1） ＜［］2 ＝［loga（a2－1））2 ＜（logaa2）2＝1 即loga（a－1）loga（a＋1）＜1. 4.已知a，b∈R，證明：log2（2a＋2b）≥. 證明：∵a，b∈R ∴l(xiāng)og2（2a＋2b） ≥log2（2） ＝log2（22） ＝1＋ ＝ 即log2（2a＋2b）≥. 5.若a>0，b>0，c>0，且a＋b＋c＝1， 求證：. 證明：∵a>0，b>0，c>0，且a＋b＋c＝1 ∴2＝（a＋b）＋（b＋c）＋（c＋a） ∴［（a＋b）＋（b＋c）＋（c＋a）］（） ≥33＝9 故. 6.已知方程ax2＋bx＋c＝0有一根x1＞0，求證：方程cx2＋bx＋a＝0必有一根x2，使得x1＋x2≥2. 證明：∵方程ax2＋bx＋c＝0有一根x1＞0 ∴ax12＋bx1＋c＝0 ∴a＋＝0 ∴c（）2＋b＋a＝0 (方程cx2＋bx＋a＝0必有一根＞0) ∴x1＋x2＝x1＋≥2 故方程cx2＋bx＋a＝0必有一根x2，使得x1＋x2≥2. ●備課資料 一、參考例題 1.解答下列各題： (1)求函數(shù)y＝2x2＋（x＞0）的最小值. (2)求函數(shù)y＝x2＋（x＞0）的最小值. (3)求函數(shù)y＝3x2－2x3（0＜x＜）的最大值. (4)求函數(shù)y＝x（1－x2）（0＜x＜1)的最大值. (5)設(shè)a＞0，b＞0，且a2＋＝1，求a的最大值. 分析：我們來考慮運用正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)之間的關(guān)系來解答這些問題.根據(jù)函數(shù)最值的含義，我們不難發(fā)現(xiàn)若平均值不等式的某一端為常數(shù)，則當(dāng)?shù)忍柲軌蛉〉綍r，這個常數(shù)即為另一端的一個最值.如，若ab為常數(shù)k，則當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時，a＋b就有最小值2；若a＋b為常數(shù)s，則當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時，就有最大值s（或xy有最大值s2）.因此，解決這些問題的關(guān)鍵就是如何構(gòu)造這些“定和”或“定積”. 解：(1)∵x＞0 ∴2x2＞0，＞0 ∴y＝2x2＋＝2x2＋＋≥3 當(dāng)且僅當(dāng)2x2＝，即x＝時等號成立. 故當(dāng)x＝時，y有最小值3. (2)， 當(dāng)且僅當(dāng)即x＝時，等號成立. 故當(dāng)x＝時，y有最小值3. (3)∵0＜x＜ ∴3－2x＞0 ∴y＝x2（3－2x）＝xx（3－2x）≤（）3＝1 當(dāng)且僅當(dāng)x＝3－2x即x＝1時，等號成立. (4)∵0＜x＜1 ∴1－x2＞0 ∵y2＝x2（1－x2）2＝2x2（1－x2）（1－x2）≤（）3＝ 當(dāng)且僅當(dāng)2x2＝1－x2即x＝時，等號成立， ∴當(dāng)x＝時，y2有最大值. 由題意可知：y＞0 故當(dāng)x＝時，y有最大值. (5)∵a＞0，b＞0，且a2＋＝1 ∴a ≤， 當(dāng)且僅當(dāng)a＝，即a＝，b＝時取“＝”號. 故當(dāng)a＝，b＝時，a有最大值. 評述：用均值不等式求函數(shù)的最值，是值得重視的一種方法，但在具體求解時，應(yīng)注意考查下列三個條件：(1)函數(shù)的解析式中，各項均為正數(shù)；(2)函數(shù)的解析式中，含變數(shù)的各項的和或積必須有一個為定值；(3)函數(shù)的解析式中，含變數(shù)的各項均相等，取得最值.即用均值不等式求某些函數(shù)的最值時，應(yīng)具備三個條件：一正二定三取等.若不滿足這些條件，則不能直接運用這種方法.如下面的幾例均為錯誤的解法： (1)∵y＝x＋≥2 ∴y的最小值為2.錯誤的原因是，當(dāng)x＜0時，就不能運用公式.事實上，當(dāng)x＜0時，y＜0，故最小值不可能為2. (2)∵y＝3x2＋＝2x2＋x2＋≥3， ∴y的最小值為3.其錯誤的原因是忽視等號成立條件的研究，事實上等號成立的條件為2x2＝x2＝，顯然這樣的x不存在，故y沒有最小值. (3)∵y＝x（1－x＋x2）≤［］2＝（）2 當(dāng)且僅當(dāng)x＝1－x＋x2即x＝1時等號成立. ∴當(dāng)x＝1時，y有最大值為1. 此種解法的錯誤在于不是定值.顯然當(dāng)x越大時，也越大，故y無最大值. 2.如圖，為處理含有某種雜質(zhì)的污水，要制造一個底寬2米的無蓋長方體的沉淀箱，污水從A孔流入，經(jīng)沉淀后從B孔流出，設(shè)箱體的長度為a米，高度為b米，已知流出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量份數(shù)與a、b的乘積ab成反比.現(xiàn)有制箱材料60平方米，問a、b各為多少米時，經(jīng)沉淀后流出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量份數(shù)最小(A、B孔面積忽略不計). 分析：應(yīng)用題的最值問題，主要是選取適當(dāng)?shù)淖兞?，再依?jù)題設(shè)，建立數(shù)學(xué)模型(即函數(shù)關(guān)系式)，由變量和常量之間的關(guān)系，選取基本不等式求最值. 解法一：設(shè)y為流出的水中雜質(zhì)的質(zhì)量份數(shù)，根據(jù)題意可知：y＝，其中k＞0且k是比例系數(shù).依題意要使y最小，只需求ab的最大值. 由題設(shè)得：4b＋2ab＋2a＝60 （a＞0，b＞0） 即a＋2b＋ab＝30 （a＞0，b＞0) ∵a＋2b≥2 ∴2＋ab≤30 當(dāng)且僅當(dāng)a＝2b時取“＝”號，ab有最大值. ∴當(dāng)a＝2b時有2＋ab＝30 即b2＋2b－15＝0 解之得：b1＝3，b2＝－5（舍去) ∴a＝2b＝6 故當(dāng)a＝6米，b＝3米時經(jīng)沉淀后流出的水中雜質(zhì)最少. 解法二：設(shè)y為流出的水中雜質(zhì)的質(zhì)量份數(shù)，由題意可知：4b＋2ab＋2a＝60（a＞0，b＞0） ∴a＋2b＋ab＝30 （a＞0，b＞0） ∴b＝ （0＜a＜30） 由題設(shè)：y＝，其中k＞0且k是比例系數(shù)，依題只需ab取最大值. ∴y＝ ＝ ≥, ∴當(dāng)且僅當(dāng)a＋2＝時取“＝”號，即a＝６，b＝3時ab有最大值18. 故當(dāng)a＝6米，b＝3米時經(jīng)沉淀后流出的水中雜質(zhì)最少. 評述：均值不等式在實際問題中的應(yīng)用相當(dāng)廣泛，解題過程為：(1)先構(gòu)造定值；(2)出現(xiàn)關(guān)系式；(3)驗證“＝”號成立. 3.如圖，在△ABC中，∠Ｃ＝90，AC＝3，BＣ＝4，一條直線分 △ABＣ的面積為相等的兩部分，且夾在AB與BC之間的線段最短，求此線段長. 分析：本題的關(guān)鍵在于恰當(dāng)?shù)剡x取變量表示夾在AB與BC之間的線段EF，同時考慮到題設(shè)中的等量關(guān)系，即S△BＥＦ＝S△ABＣ，因此，所選變量還應(yīng)便于求兩個三角形的面積，于是考慮設(shè)BE＝x，BＦ＝y(tǒng). 解：設(shè)BＥ＝x，BＦ＝y(tǒng)(0＜x＜4，0＜y＜5），則S△BＥＦ＝BＥBＦsinB＝xysinB 又S△ABＣ＝BＣAＣ＝34＝6 依題意可知：S△BＥＦ＝S△ABＣ ∴xysinB＝6＝3 ∵sinB＝，xy＝10 又cosB＝ ∴在△BＥＦ中，由余弦定理得： ＥＦ2＝BＥ2＋BＦ2－2BＥBＦcosB ＝x2＋y2－2xy ＝x2＋y2－16≥2xy－16＝4， 當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)＝時，等號成立. 故此時線段EF的長為2. 評述：本題從求線段的長度問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題.而求函數(shù)最值是不等式的重要應(yīng)用，當(dāng)解析式比較復(fù)雜時，利用三角函數(shù)的有關(guān)知識，巧妙地尋求等量關(guān)系，合理變形，是我們常用的一慣手法.從而使我們注意到：數(shù)形結(jié)合思想是中學(xué)數(shù)學(xué)中的一種重要的數(shù)學(xué)思想方法. 二、參考練習(xí)題 1.選擇題 (1)若x>0，y>0，且x＋y＝S，xy＝P，則下列命題中正確的是( ) A.當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時，S有最小值2 B.當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時，P有最大值 C.當(dāng)且僅當(dāng)P為定值時，S有最小值2 D.若S為定值，則當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時，P有最大值 答案：D (2)ab沒有最大值的條件是( ) A.a2＋b2為定值 B.a>0，b>0，且a＋b為定值 C.a<0，b<0，且a＋b為定值 D.ab＜0，且a＋b為定值 答案：D (3)設(shè)a>0，b>0，c>0，且a＋b＋c＝1，若M＝（－1）（－1）（－1），則必有( ) A.0≤M＜ B. ≤M＜1 Ｃ.1≤M＜8 D.M≥8 答案：D (4)下列不等式中恒成立的是( ) A.cotα＋tanα≥2 B.x＋－1≥2 Ｃ.≥2 D.xyz≤（已知x＋y＋z＝1) 答案：B (5)當(dāng)x＞0時，y＝3x＋的最小值應(yīng)是( ) A.y＝3x＋＝x＋x＋≥3 B.y＝3x＋＝x＋2x＋≥3 C.y＝3x＋＝ D.y＝3x＋＝x＋x＋＋≥4 答案：A (6)當(dāng)x>0時，可得到不等式x＋≥2，x＋≥3，由此可推廣為x＋≥n＋1，其中P等于( ) A.nn B.（n－1）n Ｃ.nn－1 D.xn 答案：A 2.填空題 (1)若a＞2，b＞3，則a＋b＋的最小值為 . 答案：8 (2)若lgx＋lgy＝2，則的最小值為 . 答案： (3)函數(shù)y＝x的最大值為 . 答案： (4)若直角三角形的斜邊長為1，則其內(nèi)切圓的半徑的最大值為 . 答案： 3.求函數(shù)y＝的值域. 解：顯然，y≥0，且當(dāng)x＝0時，有y＝0. y＝ 且當(dāng)x＝1時，有y最大值＝. 故函數(shù)y＝的值域為［0，］. 4.設(shè)x，y，z＞0，且2x＋3y＋５z＝６，求xyz的最大值. 解：∵x，y，z＞0，且2x＋3y＋５z＝６ ∴2＝ ∴30xyz≤８，即xyz≤ 當(dāng)且僅當(dāng)2x＝3y＝５z＝2，即x＝1，y＝，z＝時，xyz有最大值. 故xyz的最大值為. 5.從邊長為2a的正方形紙片的四角各剪去一小塊邊長為x（0＜x＜a)的正方形后再折成一個無蓋的盒子，則x為何值時，盒子容積最大?求容積的最大值. 解：∵0＜x＜a ∴a－x＞0 依題意，得：Ｖ＝x（2a－2x）2 ＝22x（a－x）（a－x） ≤2［］3＝a3， 當(dāng)且僅當(dāng)2x＝a－x，即x＝時，盒子的容積最大，且容積的最大值為a3. 6.已知直角△ABC中，周長為L，面積為S，求證：4S≤（3－2）L2. 解：設(shè)直角△ABＣ的兩直角邊為x、y，則斜邊為則S＝ ∴Ｌ＝x＋y＋≥2 ∴4S≤ 故4S≤（3－2）L2. 7.對任意實數(shù)x、y，求S＝x2＋2xy＋3y2＋2x＋6y＋4的最小值. 解：∵x，y∈R ∴S＝x2＋2xy＋3y2＋2x＋6y＋4 ＝（x＋y＋1）2＋2（y＋1）2＋1≥1 當(dāng)x＝0，y＝－1時，S取最小值1 故S＝x2＋2xy＋3y2＋2x＋６y＋4的最小值為1. 8.求函數(shù)y＝的最小值，其中a＞0. 解：∵a＞0 ∴（1）當(dāng)0＜a≤1時，y＝≥2， 當(dāng)且僅當(dāng)x＝時，y最小值＝2. (2)當(dāng)a＞1時，令＝t（t≥）， 則有y＝f（t）＝t＋ 設(shè)t2＞t1≥＞1，則 f（t2）－f（t1）＝＞0 ∴f（t）在［，＋∞］上是增函數(shù) ∴y最小值＝f（）＝，此時x＝0. 綜合(1)(2)可知： 當(dāng)0＜a≤1，x＝時，y最小值＝2， 當(dāng)a＞1，x＝0時，y最小值＝.