2019-2020年高考數(shù)學大一輪復習 第1章 集合與常用邏輯用語學案 文 新人教版.doc
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2019-2020年高考數(shù)學大一輪復習 第1章 集合與常用邏輯用語學案 文 新人教版 [基礎知識深耕] 一、集合的基本概念 1.集合中元素的三個特性:確定性、互異性、無序性. 2.元素與集合的關系:屬于或不屬于,表示符號分別為∈和?. 3.常見數(shù)集的符號表示: 集合 自然數(shù)集 正整數(shù)集 整數(shù)集 有理數(shù)集 實數(shù)集 表示 N N+(N*) Z Q R 解集合問題時的“四看”: 一看代表元素:代表元素反映了集合中元素的特征,解題時需分清是點集、數(shù)集還是其他集合; 二看元素組成:集合是由元素組成的,從研究集合的元素入手是解集合題的常用方法; 三看能否化簡:有些集合是可以化簡的,如果先化簡再研究其關系,可使問題變得簡捷; 四看能否數(shù)形結合:常運用的數(shù)形結合形式有數(shù)軸、坐標軸和Venn圖. 二、集合間的基本關系 1.子集:若對?x∈A,都有x∈B,則A?B(或B?A). 2.真子集:若A?B,但?x∈B,且x?A,則AB(或BA). 3.相等:若A?B,且B?A,則A=B. 4.空集的性質:?是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集. 【拓展延伸】 集合間基本關系中的“四結論”: (1)空集是任意一個集合的子集,是任意一個非空集合的真子集; (2)任何一個集合是它本身的子集,即A?A.空集只有一個子集,即它本身; (3)集合的子集和真子集具有傳遞性,即若A?B,B?C,則A?C;若AB,BC,則AC; (4)含有n個元素的集合有2n個子集,有2n-1個非空子集,有2n-1個真子集,有2n-2個非空真子集. 三、集合的基本運算 并集 交集 補集 符號 表示 A∪B A∩B 若全集為U,則集合A的補集為?UA 圖形 表示 意義 {x|x∈A,或x∈B} {x|x∈A,且x∈B} ?UA={x|x∈U,且x?A} 【拓展延伸】 1.集合間的兩個等價轉換關系 (1)A∩B=A?A?B; (2)A∪B=A?B?A. 2.集合間運算的兩個常用結論: (1)?U(A∩B)=(?UA)∪(?UB); (2)?U(A∪B)=(?UA)∩(?UB). [基礎能力提升] 1.下列說法正確的是( ) A.很小的實數(shù)可以構成集合 B.∈Q C.集合{y|y=x2-1}與{(x,y)|y=x2-1}是同一集合 D.1,,,,0.5這些數(shù)構成的集合有3個元素 【解析】 A選項不滿足集合中元素的確定性,錯誤;是無理數(shù),故?Q,B錯;C中兩集合不同,一個是數(shù)集,另一個是點集,不是同一集合,錯誤;D選項正確. 【答案】 D 2.已知集合A={0,1},則下列式子錯誤的是( ) A.0∈A B.{1}∈A C.??A D.{0,1}?A 【解析】 ∵{1}?A,∴{1}∈A錯誤,其余均正確. 【答案】 B 3.已知集合M={1,2,3},N={x∈Z|1<x<4},則( ) A.M?N B.N=M C.M∩N={2,3} D.M∪N=(1,4) 【解析】 ∵N={x∈Z|1<x<4}={2,3}, ∴M∩N={2,3}. 【答案】 C 4.設全集U={2,3,4,5,6},?UA={3,5},則A=________. 【解析】 ∵?UA∪A=U,?UA∩A=?. ∴A={2,4,6}. 【答案】 {2,4,6} 1.兩個工具:數(shù)軸、Venn圖 2.兩種思想:數(shù)形結合思想、分類討論思想 3.四個防范:(1)集合問題解題中要認清集合中元素的屬性(是數(shù)集、點集還是其他類型集合),要對集合進行化簡. (2)空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集,時刻關注對空集的討論,防止漏解. (3)解題時注意區(qū)分兩大關系:一是元素與集合的從屬關系;二是集合與集合的包含關系. (4)Venn圖圖示法和數(shù)軸圖示法是進行集合交、并、補運算的常用方法,其中運用數(shù)軸圖示法要特別注意端點是實心還是空心. 第二節(jié) 命題及其關系、充分條件與必要條件 [基礎知識深耕] 一、命題的概念 在數(shù)學中把用語言、符號或式子表達的,可以判斷真假的陳述句叫做命題.其中判斷為真的語句叫真命題,判斷為假的語句叫假命題. 二、四種命題及其關系 1.四種命題間的相互關系 【方法技巧】 寫一個命題的其他三個命題時需要注意的問題: (1)對于不是“若p,則q”形式的命題,需先改寫; (2)當命題有大前提時,寫其他三種命題時需保留大前提; (3)對于有多個并列條件的命題,應把其中一個作為大前提. 2.四種命題的真假關系 (1)兩個命題互為逆否命題,它們有相同的真假性. (2)兩個命題互為逆命題或互為否命題,它們的真假性沒有關系. 【拓展延伸】 同一個命題的四種命題中真命題的個數(shù): 在同一個命題的四種命題中,真命題的個數(shù)可能是0,或2,或4. 三、充分條件與必要條件 1.如果p?q,則p是q的充分條件,q是p的必要條件. 2.如果p?q,那么p與q互為充要條件. 3.如果pq,且qp,則p是q的既不充分又不必要條件. 【拓展延伸】 充分不必要條件與必要不充分條件: (1)如果p?q,但qp,則p是q的充分不必要條件. (2)如果q?p,但pq,則p是q的必要不充分條件. [基礎能力提升] 1.下列語句是命題的為( ) A.作△ABC≌△A′B′C′ B.等邊三角形是等腰三角形嗎? C.一個數(shù)不是正數(shù)就是負數(shù) D.平行四邊形 【解析】 根據(jù)命題的概念可知A,B,D不是命題.C是命題,是假命題. 【答案】 C 2.命題“若a?A,則b∈B”的否命題是( ) A.若a?A,則b?B B.若a∈A,則b?B C.若b∈B,則a?A D.若b?B,則a∈A 【解析】 “若p,則q”的否命題為“若綈p,則綈q”,B正確. 【答案】 B 3.已知p:|x|≤2,q:0≤x≤2,則p是q的( ) A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分又不必要條件 【解析】 ∵|x|≤2?-2≤x≤2,但由-2≤x≤2不能得到0≤x≤2;而由0≤x≤2能得出-2≤x≤2,故p是q的必要不充分條件. 【答案】 B 4.有三個命題: (1)“若x+y=0,則x,y互為相反數(shù)”的逆命題; (2)“若a>b,則a2>b2”的逆否命題; (3)“若x≤-3,則x2+x-6>0”的否命題. 其中真命題的個數(shù)為________. 【解析】 (1)真;(2)原命題假,其逆否命題也假;(3)原命題的逆命題假,則原命題的否命題假. 【答案】 1 1.一個區(qū)別:否命題與命題的否定是兩個不同的概念.否命題同時否定原命題的條件和結論,命題的否定僅僅否定原命題的結論(條件不變). 2.兩條規(guī)律:四種命題間關系的兩條規(guī)律 (1)逆命題與否命題互為逆否命題;互為逆否命題的兩個命題同真假. (2)當判斷一個命題的真假比較困難時,可轉化為判斷它的逆否命題的真假.同時要關注“特例法”的應用. 3.三個防范:判斷充分、必要條件時的三個防范 (1)分清四種條件的定義間的區(qū)別與聯(lián)系. (2)弄清“A是B的充分不必要條件”與“A的充分不必要條件是B”的不同. (3)注意題目中的大前提. 第三節(jié) 簡單的邏輯聯(lián)結詞、全稱量詞與存在量詞 [基礎知識深耕] 一、邏輯聯(lián)結詞 1.概念 用聯(lián)結詞“且”把命題p和命題q聯(lián)結起來,得到新命題p且q,記作p∧q; 用聯(lián)結詞“或”把命題p和命題q聯(lián)結起來,得到新命題p或q,記作p∨q; 對命題p的結論進行否定,得到新命題非p,記作綈p. 2.命題p∧q,p∨q,綈p的真假判斷 p q p∧q p∨q 綈p 真 真 真 真 假 真 假 假 真 假 假 真 假 真 真 假 假 假 假 真 【拓展延伸】 常見詞語的否定形式 正面詞語 = > < 是 都是 至多有一個 至少有一個 任意 所有的 否定 ≠ ≤ ≥ 不是 不都是 至少兩個 一個也沒有 某個 某些 二、全稱量詞與存在量詞 1.全稱量詞與全稱命題 (1)短語“所有的”“任意一個”在邏輯中通常叫做全稱量詞,并用符號“?”表示. (2)含有全稱量詞的命題,叫做全稱命題. (3)全稱命題“對M中任意一個x,有p(x)成立”可用符號簡記為?x∈M,p(x). 2.存在量詞與特稱命題 (1)短語“存在一個”“至少有一個”在邏輯中通常叫做存在量詞,并用符號“?”表示. (2)含有存在量詞的命題,叫做特稱命題. (3)特稱命題“存在M中的一個x0,使p(x0)成立”可用符號簡記為?x0∈M,p(x0). 3.含有一個量詞的命題的否定 命題 命題的否定 ?x∈M,p(x) ?x0∈M,綈p(x0) ?x0∈M,p(x0) ?x∈M,綈p(x) 【方法技巧】 對含有一個量詞的命題否定時要注意的問題: (1)含有一個量詞的命題的否定,是在否定結論的同時,改變量詞的屬性,不要只否定結論,不改量詞. (2)由于全稱量詞經(jīng)常省略,因此寫這類命題的否定時,應先找出其中的全稱量詞,再否定量詞和結論. [基礎能力提升] 1.已知命題p:若x+y>0,則x,y中至少有一個大于0,則綈p為( ) A.若x+y>0,則x,y中至多有一個大于0 B.若x+y>0,則x,y都不大于0 C.若x+y≤0,則x,y中至多有一個大于0 D.若x+y≤0,則x,y都不大于0 【解析】 注意與否命題的區(qū)別,否命題中條件、結論全否定;命題的否定“綈p”只需否定命題“p”的結論,故選B. 【答案】 B 2.如果命題“綈(p∨q)”是假命題,則下列命題正確的是( ) A.p,q均為真命題 B.p,q中至少有一個為真命題 C.p,q均為假命題 D.p,q中至少有一個為假命題 【解析】 ∵綈(p∨q)為假命題,∴p∨q為真命題,∴p,q中至少有一個為真命題. 【答案】 B 3.下列說法正確的是( ) A.命題“三角形的內角和是180”不是全稱命題 B.“?x∈R,x3>0”是假命題 C.“?x0∈R,tan x0=1”是假命題 D.命題“?n∈N,2n<1 000”的否定是“?n∈N,2n>1 000” 【解析】 A選項中命題是省略了量詞的全稱命題;∵當x<0時,x3<0,∴B正確;C中命題是真命題;D中命題的否定應為“?n∈N,2n≥1 000”. 【答案】 B 4.已知四個命題為: ①?x∈R,2x-1>0;②?x∈N*,(x-1)2>0; ③?x0∈R,lg x0<1;④?x0∈R,tan x0=2. 其中假命題是________. 【解析】 由函數(shù)的性質,顯然①、③、④是真命題,對于②,當x=1時,(x-1)2=0,∴②是假命題. 【答案】?、? 1.一個關系:邏輯聯(lián)結詞與集合的關系 邏輯聯(lián)結詞“且”“或”“非”對應著集合中的“交”“并”“補”. 2.兩個易錯點:(1)對于省略量詞的命題,應先挖掘命題中隱含的量詞,改寫成含量詞的完整形式,再寫出命題的否定. (2)p或q的否定易誤寫成“綈p或綈q”;p且q的否定易誤寫成“綈p且綈q”. 3.三種方法:(1)含有邏輯聯(lián)結詞命題真假判斷的方法:p∧q中一假則假,p∨q中一真必真,p與綈p中一假一真. (2)含量詞的命題的否定方法是“改量詞,否結論”,即把全稱量詞與存在量詞互換,然后否定原命題的結論. (3)判斷命題的真假要注意:全稱命題為真需證明,為假舉反例即可;特稱命題為真需舉一個例子,為假則要證明全稱命題為真.- 配套講稿:
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