2019-2020年高中數學 第一章 集合與函數概念 第3節(jié) 函數的基本性質（3）教案 新人教A版必修1.doc

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2019-2020年高中數學 第一章 集合與函數概念 第3節(jié) 函數的基本性質（3）教案 新人教A版必修1 教學分析　　　　　 本節(jié)討論函數的奇偶性是描述函數整體性質的．教材沿用了處理函數單調性的方法，即先給出幾個特殊函數的圖象，讓學生通過圖象直觀獲得函數奇偶性的認識，然后利用表格探究數量變化特征，通過代數運算，驗證發(fā)現的數量特征對定義域中的“任意”值都成立，最后在這個基礎上建立了奇(偶)函數的概念．因此教學時，充分利用信息技術創(chuàng)設教學情境，會使數與形的結合更加自然． 值得注意的問題：對于奇函數，教材在給出的表格中留出大部分空格，旨在讓學生自己動手計算填寫數據，仿照偶函數概念建立的過程，獨立地去經歷發(fā)現、猜想與證明的全過程，從而建立奇函數的概念．教學時，可以通過具體例子引導學生認識，并不是所有的函數都具有奇偶性，如函數y＝與y＝2x－1既不是奇函數也不是偶函數，可以通過圖象看出也可以用定義去說明． 三維目標　　　　　 1．理解函數的奇偶性及其幾何意義，培養(yǎng)學生觀察、抽象的能力，以及從特殊到一般的概括、歸納問題的能力． 2．學會運用函數圖象理解和研究函數的性質，掌握判斷函數的奇偶性的方法，滲透數形結合的數學思想． 重點難點　　　　　 教學重點：函數的奇偶性及其幾何意義． 教學難點：判斷函數的奇偶性的方法與格式． 課時安排　　　　　 1課時 導入新課　　　　　 思路1.同學們，我們生活在美的世界中，有過許多對美的感受，請大家想一下有哪些美呢？(學生回答可能有和諧美、自然美、對稱美……)今天，我們就來討論對稱美，請大家想一下哪些事物給過你對稱美的感覺呢？(學生舉例，再在屏幕上給出一組圖片：喜字、蝴蝶、建筑物、麥當勞的標志)生活中的美引入我們的數學領域中，它又是怎樣的情況呢？下面，我們以麥當勞的標志為例，給它適當地建立平面直角坐標系，那么大家發(fā)現了什么特點呢？(學生發(fā)現：圖象關于y軸對稱)數學中對稱的形式也很多，這節(jié)課我們就同學們談到的與y軸對稱的函數展開研究． 思路2.結合軸對稱與中心對稱圖形的定義，請同學們觀察圖形，說出函數y＝x2和y＝x3的圖象各有怎樣的對稱性？引出課題：函數的奇偶性． 推進新課　　　　　 (1)如圖1所示，觀察下列函數的圖象，總結各函數之間的共性． 圖1 (2)那么如何利用函數的解析式描述函數的圖象關于y軸對稱呢？填寫表1和表2，你發(fā)現這兩個函數的解析式具有什么共同特征？ 表1 x －3 －2 －1 0 1 2 3 f(x)＝x2 表2 x －3 －2 －1 0 1 2 3 f(x)＝|x| (3)請給出偶函數的定義？ (4)偶函數的圖象有什么特征？ (5)函數f(x)＝x2，x∈[－1,2]是偶函數嗎？ (6)偶函數的定義域有什么特征？ (7)觀察函數f(x)＝x和f(x)＝的圖象，類比偶函數的推導過程，給出奇函數的定義和性質？ 活動：教師從以下幾點引導學生： (1)觀察圖象的對稱性． (2)學生給出這兩個函數的解析式具有什么共同特征后，教師指出：這樣的函數稱為偶函數． (3)利用函數的解析式來描述． (4)偶函數的性質：圖象關于y軸對稱． (5)函數f(x)＝x2，x∈[－1,2]的圖象關于y軸不對稱；對定義域[－1,2]內x＝2，f(－2)不存在，即其函數的定義域中任意一個x的相反數－x不一定也在定義域內，即f(－x)＝f(x)不恒成立． (6)偶函數的定義域中任意一個x的相反數－x一定也在定義域內，此時稱函數的定義域關于原點對稱． (7)先判斷它們的圖象的共同特征是關于原點對稱，再列表格觀察自變量互為相反數時，函數值的變化情況，進而抽象出奇函數的概念，再討論奇函數的性質． 給出偶函數和奇函數的定義后，要指明：①函數是奇函數或是偶函數稱為函數的奇偶性，函數的奇偶性是函數的整體性質；②由函數的奇偶性定義，可知函數具有奇偶性的一個必要條件是，對于定義域內的任意一個x，則－x也一定是定義域內的一個自變量(即定義域關于原點對稱)；③具有奇偶性的函數的圖象的特征：偶函數的圖象關于y軸對稱，奇函數的圖象關于原點對稱；④可以利用圖象判斷函數的奇偶性，這種方法稱為圖象法，也可以利用奇偶函數的定義判斷函數的奇偶性，這種方法稱為定義法；⑤函數的奇偶性是函數在定義域上的性質，是“整體”性質，而函數的單調性是函數在定義域的子集上的性質，是“局部”性質． 討論結果：(1)這兩個函數之間的圖象都關于y軸對稱． (2) 表1 X －3 －2 －1 0 1 2 3 f(x)＝x2 9 4 1 0 1 4 9 表2 x －3 －2 －1 0 1 2 3 f(x)＝|x| 3 2 1 0 1 2 3 這兩個函數的解析式都滿足： f(－3)＝f(3)； f(－2)＝f(2)； f(－1)＝f(1)． 可以發(fā)現對于函數定義域內任意的兩個相反數，它們對應的函數值相等，也就是說對于函數定義域內任一個x，都有f(－x)＝f(x)． (3)一般地，對于函數f(x)的定義域內的任意一個x，都有f(－x)＝f(x)，那么f(x)就叫做偶函數． (4)偶函數的圖象關于y軸對稱． (5)不是偶函數． (6)偶函數的定義域關于原點對稱． (7)一般地，對于函數f(x)的定義域內的任意一個x，都有f(－x)＝－f(x)，那么f(x)就叫做奇函數．奇函數的圖象關于原點中心對稱，其定義域關于原點對稱． 思路1 例1判斷下列函數的奇偶性： (1)f(x)＝x4； (2)f(x)＝x5； (3)f(x)＝x＋； (4)f(x)＝. 活動：學生思考奇偶函數的定義，利用定義來判斷其奇偶性．先求函數的定義域，并判斷定義域是否關于原點對稱，如果定義域關于原點對稱，那么再判斷f(－x)＝f(x)或f(－x)＝－f(x)． 解：(1)函數的定義域是R，對定義域內任意一個x，都有f(－x)＝(－x)4＝x4＝f(x)， 所以函數f(x)＝x4是偶函數． (2)函數的定義域是R，對定義域內任意一個x，都有f(－x)＝(－x)5＝－x5＝－f(x)， 所以函數f(x)＝x5是奇函數． (3)函數的定義域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，對定義域內任意一個x，都有f(－x)＝－x＋＝－(x＋)＝－f(x)， 所以函數f(x)＝x＋是奇函數． (4)函數的定義域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，對定義域內任意一個x，都有f(－x)＝＝＝f(x)，所以函數f(x)＝是偶函數． 點評：本題主要考查函數的奇偶性．函數的定義域是使函數有意義的自變量的取值范圍，對定義域內任意x，其相反數－x也在函數的定義域內，此時稱為定義域關于原點對稱． 利用定義判斷函數奇偶性的格式步驟： ①首先確定函數的定義域，并判斷其定義域是否關于原點對稱； ②確定f(－x)與f(x)的關系； ③作出相應結論： 若f(－x)＝f(x)或f(－x)－f(x)＝0，則f(x)是偶函數； 若f(－x)＝－f(x)或f(－x)＋f(x)＝0，則f(x)是奇函數． 變式訓練 設f(x)是R上的任意函數，則下列敘述正確的是(　　) A．f(x)f(－x)是奇函數 B．f(x)|f(－x)|是奇函數 C．f(x)－f(－x)是偶函數 D．f(x)＋f(－x)是偶函數 解析：A中設F(x)＝f(x)f(－x)，則F(－x)＝f(－x)f(x)＝F(x)，即函數F(x)＝f(x)f(－x)為偶函數； B中設F(x)＝f(x)|f(－x)|，F(－x)＝f(－x)|f(x)|，此時F(x)與F(－x)的關系不能確定，即函數F(x)＝f(x)|f(－x)|的奇偶性不確定； C中設F(x)＝f(x)－f(－x)，F(－x)＝f(－x)－f(x)＝－F(x)，即函數F(x)＝f(x)－f(－x)為奇函數； D中設F(x)＝f(x)＋f(－x)，F(－x)＝f(－x)＋f(x)＝F(x)，即函數F(x)＝f(x)＋f(－x)為偶函數． 答案：D 例2已知函數f(x)是定義在(－∞，＋∞)上的偶函數．當x∈(－∞，0)時，f(x)＝x－x4，則當x∈(0，＋∞)時，f(x)＝__________. 活動：學生思考偶函數的解析式的性質，考慮如何將在區(qū)間(0，＋∞)上的自變量對應的函數值，轉化為區(qū)間(－∞，0)上的自變量對應的函數值．利用偶函數的性質f(x)＝f(－x)，將在區(qū)間(0，＋∞)上的自變量對應的函數值，轉化為區(qū)間(－∞，0)上的自變量對應的函數值． 解析：當x∈(0，＋∞)時，則－x<0. 又∵當x∈(－∞，0)時，f(x)＝x－x4， ∴f(x)＝f(－x)＝(－x)－(－x)4＝－x－x4. 答案：－x－x4 點評：本題主要考查函數的解析式和奇偶性．已知函數的奇偶性，求函數的解析式時，要充分利用函數的奇偶性，將所求解析式的區(qū)間上自變量對應的函數值轉化為已知解析式的區(qū)間上自變量對應的函數值． 變式訓練 已知函數f(x)是定義在R上的奇函數，當x>0時，f(x)＝x2＋，求f(x)． 解：當x＝0時，f(－0)＝－f(0)，則f(0)＝0； 當x<0時，－x>0，由于函數f(x)是奇函數，則 f(x)＝－f(－x)＝－[(－x)2＋]＝－x2＋， 綜上所得，f(x)＝ 思路2 例1判斷下列函數的奇偶性． (1)f(x)＝2x4，x∈[－1,2]； (2)f(x)＝； (3)f(x)＝＋； (4)f(x)＝. 活動：學生思考奇偶函數的定義和函數的定義域的求法．先判斷函數的定義域是否關于原點對稱，再判斷f(－x)與f(x)的關系．在(4)中注意定義域的求法，對任意x∈R，有>＝|x|≥－x，則＋x>0.則函數的定義域是R. 解：(1)∵它的定義域關于原點不對稱，∴函數f(x)＝2x4，x∈[－1,2]既不是奇函數也不是偶函數． (2)∵它的定義域為{x|x∈R且x≠1}，并不關于原點對稱，函數f(x)＝既不是奇函數也不是偶函數． (3)∵x2－4≥0且4－x2≥0， ∴x＝2， 即f(x)的定義域是{－2,2}． ∵f(2)＝0，f(－2)＝0， ∴f(2)＝f(－2)，f(2)＝－f(2)． ∴f(－x)＝－f(x)，且f(－x)＝f(x)． ∴f(x)既是奇函數也是偶函數． (4)函數的定義域是R. ∵f(－x)＋f(x) ＝＋ ＝ ＝ ＝0， ∴f(－x)＝－f(x)． ∴f(x)是奇函數． 點評：本題主要考查函數的奇偶性． 定義法判斷函數奇偶性的步驟是：(1)求函數的定義域，當定義域關于原點不對稱時，則此函數既不是奇函數也不是偶函數，當定義域關于原點對稱時，判斷f(－x)與f(x)或－f(x)是否相等；(2)當f(－x)＝f(x)時，此函數是偶函數；當f(－x)＝－f(x)時，此函數是奇函數；(3)當f(－x)＝f(x)且f(－x)＝－f(x)時，此函數既是奇函數又是偶函數；(4)當f(－x)≠f(x)且f(－x)≠－f(x)時，此函數既不是奇函數也不是偶函數． 判斷解析式復雜的函數的奇偶性時，如果定義域關于原點對稱時，通?；唂(－x)＋f(x)來判斷f(－x)＝f(x)或f(－x)＝－f(x)是否成立． 變式訓練 　 函數f(x)＝x2－2ax＋a在區(qū)間(－∞，1)上有最小值，則函數g(x)＝在區(qū)間(1，＋∞)上一定(　　) A．有最小值　　　　　　　　　B．有最大值 C．是減函數 D．是增函數 解析：函數f(x)＝x2－2ax＋a的對稱軸是直線x＝a， 由于函數f(x)在開區(qū)間(－∞，1)上有最小值， 所以直線x＝a位于區(qū)間(－∞，1)內， 即a<1.g(x)＝＝x＋－2， 下面用定義法判斷函數g(x)在區(qū)間(1，＋∞)上的單調性． 設11>0. 又∵a<1，∴x1x2>a. ∴x1x2－a>0. ∴g(x1)－g(x2)<0. ∴g(x1)1時f(x)>0，f(2)＝1， (1)求證：f(x)是偶函數； (2)求證：f(x)在(0，＋∞)上是增函數； (3)試比較f(－)與f()的大?。? 活動：(1)轉化為證明f(－x)＝f(x)，利用賦值法證明f(－x)＝f(x)；(2)利用定義法證明單調性，證明函數單調性的步驟是“去比賽”；(3)利用函數的單調性比較它們的大小，利用函數的奇偶性，將函數值f(－)和f()轉化為同一個單調區(qū)間上的函數值． 解：(1)證明：令x1＝x2＝1，得f(1)＝2f(1)，∴f(1)＝0. 令x1＝x2＝－1，得f(1)＝f[(－1)(－1)]＝f(－1)＋f(－1)，∴2f(－1)＝0. ∴f(－1)＝0.∴f(－x)＝f(－1x)＝f(－1)＋f(x)＝f(x)．∴f(x)是偶函數． (2)證明：設x2>x1>0，則 f(x2)－f(x1)＝f(x1)－f(x1)＝f(x1)＋f()－f(x1)＝f()． ∵x2>x1>0，∴>1.∴f()>0，即f(x2)－f(x1)>0. ∴f(x2)>f(x1)．∴f(x)在(0，＋∞)上是增函數． (3)由(1)知f(x)是偶函數，則有f(－)＝f()． 由(2)知f(x)在(0，＋∞)上是增函數，則f()>f()．∴f(－)>f()． 點評：本題是抽象函數問題，主要考查函數的奇偶性和單調性及其綜合應用．判斷抽象函數的奇偶性和單調性通常應用定義法，比較抽象函數值的大小通常利用抽象函數的單調性來比較．其關鍵是將所給的關系式進行有效的變形和恰當的賦值． 變式訓練 已知f(x)是定義在(－∞，＋∞)上的不恒為零的函數，且對定義域內的任意x，y，f(x)都滿足f(xy)＝y(tǒng)f(x)＋xf(y)． (1)求f(1)，f(－1)的值； (2)判斷f(x)的奇偶性，并說明理由． 分析：(1)利用賦值法，令x＝y(tǒng)＝1得f(1)的值，令x＝y(tǒng)＝－1，得f(－1)的值；(2)利用定義法證明f(x)是奇函數，要借助于賦值法得f(－x)＝－f(x)． 解：(1)∵f(x)對任意x，y都有f(xy)＝y(tǒng)f(x)＋xf(y)， ∴令x＝y(tǒng)＝1時，有f(11)＝1f(1)＋1f(1)． ∴f(1)＝0. ∴令x＝y(tǒng)＝－1時，有f[(－1)(－1)]＝(－1)f(－1)＋(－1)f(－1)．∴f(－1)＝0. (2)是奇函數． ∵f(x)對任意x，y都有f(xy)＝y(tǒng)f(x)＋xf(y)， ∴令y＝－1，有f(－x)＝－f(x)＋xf(－1)． 將f(－1)＝0代入得f(－x)＝－f(x)， ∴函數f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函數. 課本本節(jié)練習，1,2. [補充練習] 1．設函數y＝f(x)是奇函數．若f(－2)＋f(－1)－3＝f(1)＋f(2)＋3，則f(1)＋f(2)＝__________. 解析：∵函數y＝f(x)是奇函數，∴f(－2)＝－f(2)，f(－1)＝－f(1)． ∴－f(2)－f(1)－3＝f(1)＋f(2)＋3.∴2[f(1)＋f(2)]＝－6.∴f(1)＋f(2)＝－3. 答案：－3 2．已知f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函數，定義域為[a－1,2a]，則a＝__________，b＝__________. 解析：∵偶函數的定義域關于原點對稱，∴a－1＋2a＝0.∴a＝. ∴f(x)＝x2＋bx＋1＋b.又∵f(x)是偶函數，∴b＝0. 答案：　0 3．已知定義在R上的奇函數f(x)滿足f(x＋2)＝－f(x)，則f(6)的值為(　　) A．－1　　　　　　　B．0　　　　　　　C．1　　　　　　　D．2 解析：f(6)＝f(4＋2)＝－f(4)＝－f(2＋2)＝f(2)＝f(2＋0)＝－f(0)． 又f(x)是定義在R上的奇函數，∴f(0)＝0. ∴f(6)＝0.故選B. 答案：B 問題：基本初等函數的奇偶性． 探究：利用判斷函數的奇偶性的方法：定義法和圖象法，可得 正比例函數y＝kx(k≠0)是奇函數； 反比例函數y＝(k≠0)是奇函數； 一次函數y＝kx＋b(k≠0)，當b＝0時是奇函數，當b≠0時既不是奇函數也不是偶函數； 二次函數y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，當b＝0時是偶函數，當b≠0時既不是奇函數也不是偶函數． 本節(jié)主要學習了函數的奇偶性，判斷函數的奇偶性通常有兩種方法，即定義法和圖象法，用定義法判斷函數的奇偶性時，必須注意首先判斷函數的定義域是否關于原點對稱． 課本習題1.3，A組，6，B組，3. 單調性與奇偶性的綜合應用是本節(jié)的一個難點，而本節(jié)設計的題目不多，因此，在實際教學中，教師可以利用課余時間補充，讓學生結合函數的圖象充分理解好單調性和奇偶性這兩個性質．在教學設計中，注意培養(yǎng)學生的綜合應用能力，以便滿足高考要求． 奇、偶函數的性質 (1)奇偶函數的定義域關于原點對稱；奇函數的圖象關于原點對稱，偶函數的圖象關于y軸對稱． (2)奇偶性是函數的整體性質，對定義域內任意一個x都必須成立． (3)f(－x)＝f(x)?f(x)是偶函數，f(－x)＝－f(x)?f(x)是奇函數． (4)f(－x)＝f(x)?f(x)－f(－x)＝0，f(－x)＝－f(x)?f(x)＋f(－x)＝0. (5)兩個奇函數的和(差)仍是奇函數，兩個偶函數的和(差)仍是偶函數． 奇偶性相同的兩個函數的積(商、分母不為零)為偶函數，奇偶性相反的兩個函數的積(商、分母不為零)為奇函數；如果函數y＝f(x)和y＝g(x)的奇偶性相同，那么復合函數y＝f[g(x)]是偶函數，如果函數y＝f(x)和y＝g(x)的奇偶性相反，那么復合函數y＝f[g(x)]是奇函數，簡稱為“同偶異奇”． (6)如果函數y＝f(x)是奇函數，那么f(x)在區(qū)間(a，b)和(－b，－a)上具有相同的單調性；如果函數y＝f(x)是偶函數，那么f(x)在區(qū)間(a，b)和(－b，－a)上具有相反的單調性． (7)定義域關于原點對稱的任意函數f(x)可以表示成一個奇函數與一個偶函數的和，即f(x)＝＋. (8)若f(x)是(－a，a)(a＞0)上的奇函數，則f(0)＝0； 若函數f(x)是偶函數，則f(x)＝f(－x)＝f(|x|)＝f(－|x|)． 若函數y＝f(x)既是奇函數又是偶函數，則有f(x)＝0. 實習作業(yè) 作者：曹齊平，福鼎一中教師．本教學設計獲福建省教學大賽三等獎. 教學內容分析　　　 《普通高中課程標準實驗教科書數學(1)》(人教A版)——《實習作業(yè)》．本節(jié)課程體現數學文化的特色，學生通過了解函數的發(fā)展歷史進一步感受數學的魅力．學生在自己動手收集、整理資料信息的過程中，對函數的概念有更深刻的理解，感受新的學習方式帶給他們學習數學的樂趣． 學生學習情況分析　 該內容在《普通高中課程標準實驗教科書數學(1)》(人教A版)第一章末．學生第一次完成《實習作業(yè)》，積極性高，有熱情和新鮮感，但缺乏經驗，所以需要教師精心設計，作好準備工作，充分體現教師的“導演”角色．特別在分組時注意學生的合理搭配(成績的好壞、家庭有無電腦、男女生比例、口頭表達能力等)，選題時，各組之間盡量不要重復，盡量多地選不同的題目，可以讓所有的學生在學習共享的過程中受到更多的數學文化的熏陶． 設計思想 《標準》強調數學文化的重要作用，體現數學文化的價值．數學教育不僅應該幫助學生學習和掌握數學知識和技能，還應該有助于學生了解數學的價值．讓學生逐步了解數學的思想方法、理性精神，體會數學家的創(chuàng)新精神． 教學目標 1．了解函數概念的形成、發(fā)展的歷史以及在這個過程中起重大作用的歷史事件和人物． 2．體驗合作學習的方式，通過合作學習品嘗分享獲得知識的快樂． 3．在合作形式的小組學習活動中培養(yǎng)學生的領導意識、社會實踐技能和民主價值觀． 重點難點 教學重點：了解函數在數學中的核心地位，以及在生活中的廣泛應用． 教學難點：培養(yǎng)學生合作交流的能力以及收集和處理信息的能力． 課堂準備　　　　　 1．分組：4～6人為一個實習小組，確定一人為組長．教師需要做好協(xié)調工作，確保每位學生都參加． 2．選題：根據個人興趣初步確定實習作業(yè)的題目．教師應該到各組中去了解選題情況，盡量多地選擇不同的題目． 參考題目：(1)函數產生的社會背景；(2)函數概念發(fā)展的歷史過程；(3)函數符號的故事；(4)數學家(如：開普勒、伽利略、笛卡兒、牛頓、萊布尼茲、貝努利、歐拉、柯西、狄里克雷、羅巴契夫斯基等)與函數；(5)也可自擬題目． 3．分配任務：根據個人情況和優(yōu)勢，經小組共同商議，由組長確定每人的具體任務． 4．搜集資料：針對所選題目，通過各種方式(相關書籍——《函數在你身邊》《世界函數通史》《世界著名科學家傳記》等；相關網頁——pep.cn、http：//i3721/cz/tbjak/qnj/bsdb8njsxxc/xx05/43459.html等)搜集素材，包括文字、圖片、數據以及音像資料等，并記錄相關資料，寫出實習報告． 實習報告　　　　　年　月　日 題目 組長及參加人員 教師審核意見及等級 正文 備注 (指出參考文獻或相關網頁) 5．投影儀、多媒體． 6．把各組的實習報告，貼在班級的學習欄內，讓學生相互學習交流． 教學過程　　　　　 1．出示課題：交流、分享實習報告． 2．交流、分享：(由數學科代表主持．小組推薦中心發(fā)言人；以下記錄均為發(fā)言概述) (1)學生1：函數小史 數學史表明，重要的數學概念的產生和發(fā)展，對數學發(fā)展起著不可估量的作用．有些重要的數學概念對數學分支的產生起著奠定性的作用．我們剛學過的函數就是這樣的重要概念．在笛卡兒引入變量以后，變量和函數等概念日益滲透到科學技術的各個領域．最早提出函數(function)概念的是17世紀德國數學家萊布尼茲．最初萊布尼茲用“函數”一詞表示冪.1755年，瑞士數學家歐拉給出了不同的函數定義．中文數學書上使用的“函數”一詞是轉譯詞，是我國清代數學家李善蘭在翻譯《代數學》(1895年)一書時，把“function”譯成“函數”的． 我們可以預計到，關于函數的爭論、研究、發(fā)展、拓廣將不會完結，也正是這些影響著數學及其相鄰學科的發(fā)展． (2)教師帶頭鼓掌并簡單評價． (3)學生2：函數概念的縱向發(fā)展： 該同學從早期函數概念——幾何觀念下的函數到十八世紀函數概念——代數觀念下的函數，其中包括18世紀中葉著名的數學家歐拉對函數概念發(fā)展的貢獻．接著又講述了十九世紀函數概念——對應關系下的函數．以及現代函數概念——集合論下的函數．函數概念的定義經過三百多年的錘煉、變革，形成了函數的現代定義形式． (4)教師帶頭鼓掌并簡單評價． (5)學生3：我國數學家李國平與函數： 學生3描述了數學家、中國科學院數學物理學部委員——李國平(1910—1996)的身世和他的成長歷程．李國平，1933年畢業(yè)于中山大學數學天文系，后歷任中國科學院數學計算技術研究所所長，中國科學院武漢數學物理研究所所長，中國數學會理事，中國科學院學部委員等職務．學生還通俗地講述了李國平先生在微分方程、復變函數論領域的卓越貢獻． (6)教師帶頭鼓掌并簡單評價． (7)學生4：函數概念對數學發(fā)展的影響： 該學生從歷史上重要數學概念對數學發(fā)展的作用是不可估量的事實出發(fā)，講述了函數概念對數學發(fā)展的深刻影響，可以說是貫穿古今、曠日持久、作用非凡，回顧函數概念的歷史發(fā)展，看一看函數概念不斷被精煉、深化、豐富的歷史過程，是一件十分有益的事情，它不僅有助于我們提高對函數概念來龍去脈認識的清晰度，而且更能幫助我們領悟數學概念對數學發(fā)展、數學學習的巨大作用． 函數概念來源于代數學中不定方程的研究．由于羅馬時代的丟番圖對不定方程已有相當研究，所以函數概念至少在那時已經萌芽．該學生說道，早在函數概念尚未明確提出以前，數學家已經接觸并研究了不少具體的函數，比如對數函數、三角函數、雙曲函數等等.1673年前后笛卡兒在他的解析幾何中，已經注意到了一個變量對于另一個變量的依賴關系，但由于當時尚未意識到需要提煉一般的函數概念，因此直到17世紀后期牛頓、萊布尼茲建立微積分的時候，數學家還沒有明確函數的一般意義． 從以上函數概念發(fā)展的全過程中，我們體會到聯系實際、聯系大量數學素材，研究、發(fā)掘、拓廣數學概念的內涵是何等重要． (8)教師帶頭鼓掌并簡單評價． (9)學生5：函數概念的歷史演變過程： 該學生說，數學的抽象完全舍棄了事物的質的內容，而僅僅保留了它們的量的屬性，即數學抽象的目的只是數量關系和空間形式．這就決定了數學與其他自然科學的區(qū)別，也決定了數學的特殊性．如果在兩個集合元素之間存在著確定的對應關系，就稱為是一個映射． 上述函數概念的歷史演變過程就是一系列弱抽象的過程．學生展示了下表： (10)教師帶頭鼓掌并簡單評價． 3．實習作業(yè)的評定： 實習作業(yè)評價參考意見 級別 標準 很好 1.小組配合默契(有計劃、任務分配合理、每人積極認真)； 2．報告材料豐富、可靠，線索清晰； 3．擁有自己的獨立見解． 好 1.小組配合良好； 2．報告材料豐富、可靠，線索較清晰； 3．有一定的獨立見解． 一般 1.小組配合一般； 2．報告材料一般、線索基本清晰； 3．有一定的分析． 較差 1.小組配合欠佳； 2．報告材料貧乏、線索不夠清晰. 實習作業(yè)是新課程的一個亮點，是培養(yǎng)學生的團隊精神，體驗合作學習的方式的重要途徑．但事實上，實習作業(yè)很容易被教師忽視，所以想通過該教學設計引起教師們的重視．在高一剛開始的時候，如何做好第一次實習作業(yè)，是很關鍵的．就目前的學校條件和學生情況，是完全可以做好實習作業(yè)的，事實證明學生做得很好．可以通過這次實習作業(yè)，讓學生體驗合作學習的方式，通過合作學習品嘗分享獲得知識的快樂．再者，通過對數學家的了解，感受數學家的精神，增加學好數學的信心，為今后的學習打下良好的基礎．