高中物理 第4章 勻速圓周運動 第3節(jié) 向心力的實例分析教師用書 魯科版必修2

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第3節(jié)　向心力的實例分析 學(xué) 習(xí) 目 標(biāo) 知 識 脈 絡(luò) 1.通過向心力的實例分析，會分析向心力來源，體會勻速圓周運動在生活、生產(chǎn)中的應(yīng)用．(重點) 2．能應(yīng)用向心力和向心加速度公式求解豎直面內(nèi)圓周運動的最高點和最低點的向心力及向心加速度．(重點、難點) 3．熟練掌握應(yīng)用牛頓第二定律和向心力知識分析兩類豎直面內(nèi)圓周運動模型的步驟和方法．(重點、難點) 轉(zhuǎn) 彎 時 的 向 心 力 實 例 分 析 1．汽車在水平路面轉(zhuǎn)彎： 汽車 2．汽車、火車在內(nèi)低外高的路面上的轉(zhuǎn)彎： 1．汽車、火車轉(zhuǎn)彎時需要的向心力都是由重力提供的．() 2．汽車在水平道路上行駛時，最大車速受地面最大靜摩擦力的制約．(√) 3．火車彎道的半徑很大，故火車轉(zhuǎn)彎需要的向心力很小．() 如圖4－3－1所示，下雨天路面比較濕滑，行駛的汽車如果速度過快，轉(zhuǎn)彎時容易發(fā)生側(cè)滑，這是為什么？ 圖4－3－1 【提示】　汽車轉(zhuǎn)彎時需要的向心力是由地面靜摩擦力提供的，下雨天路面濕滑，最大靜摩擦力減小，故高速轉(zhuǎn)彎時易發(fā)生側(cè)滑． 火車在鐵軌上轉(zhuǎn)彎可以看成是勻速圓周運動，如圖4－3－2所示，請思考： 圖4－3－2 探討1：火車轉(zhuǎn)彎處的鐵軌有什么特點？ 【提示】　轉(zhuǎn)彎處鐵軌外高內(nèi)低． 探討2：火車轉(zhuǎn)彎時速度過大或過小，會對哪側(cè)軌道有側(cè)壓力？ 【提示】　車速過大，對外軌產(chǎn)生擠壓．車速過小，對內(nèi)軌產(chǎn)生擠壓． 1．軌道分析 火車在轉(zhuǎn)彎過程中，運動軌跡是一圓弧，由于火車轉(zhuǎn)彎過程中重心高度不變，故火車軌跡所在的平面是水平面，而不是斜面．火車的向心加速度和向心力均沿水平面指向圓心． 2．向心力的來源分析(如圖4－3－3所示) 圖4－3－3 火車速度合適時，火車受重力和支持力作用，火車轉(zhuǎn)彎所需的向心力完全由重力和支持力的合力提供，合力沿水平方向，大小F＝mgtan θ. 3．規(guī)定速度分析 若火車轉(zhuǎn)彎時只受重力和支持力作用，不受軌道壓力．則mgtan θ＝m，可得v0＝.(R為彎道半徑，θ為軌道所在平面與水平面的夾角，v0為轉(zhuǎn)彎處的規(guī)定速度)． 4．軌道壓力分析 1．賽車在傾斜的軌道上轉(zhuǎn)彎如圖4－3－4所示，彎道的傾角為θ，半徑為r，則賽車完全不靠摩擦力轉(zhuǎn)彎的速率是(設(shè)轉(zhuǎn)彎半徑水平)(　　) 圖4－3－4 A. B. C. D. 【解析】　設(shè)賽車的質(zhì)量為m，賽車受力分析如圖所示，可見：F合＝mgtan θ，而F合＝m，故v＝. 【答案】　C 2．火車在某個彎道按規(guī)定運行速度40 m/s轉(zhuǎn)彎時，內(nèi)、外軌對車輪皆無側(cè)壓力，若火車在該彎道實際運行速度為30 m/s，則下列說法中正確的是 (　　) 【導(dǎo)學(xué)號：01360132】 A．僅內(nèi)軌對車輪有側(cè)壓力 B．僅外軌對車輪有側(cè)壓力 C．內(nèi)、外軌對車輪都有側(cè)壓力 D．內(nèi)、外軌對車輪均無側(cè)壓力 【解析】　火車在彎道按規(guī)定運行速度轉(zhuǎn)彎時，重力和支持力的合力提供向心力，內(nèi)、外軌對車輪皆無側(cè)壓力。若火車的運行速度小于規(guī)定運行速度時，重力和支持力的合力大于火車需要的向心力，火車將做近心運動，內(nèi)軌對車輪產(chǎn)生側(cè)壓力，重力、支持力和內(nèi)軌的側(cè)壓力的合力提供火車做圓周運動的向心力，故A正確． 【答案】　A 3．某游樂場里的賽車場為圓形，半徑為100 m，一賽車和乘客的總質(zhì)量為100 kg，車輪與地面間的最大靜摩擦力為600 N．(g取10 m/s2) (1)若賽車的速度達到72 km/h，這輛車在運動過程中會不會發(fā)生側(cè)移？ (2)若將場地建成外高內(nèi)低的圓形，且傾角為30，并假設(shè)車輪和地面之間的最大靜摩擦力不變，為保證賽車的行駛安全，賽車最大行駛速度應(yīng)為多大？ 【解析】　(1)賽車在場地上做圓周運動的向心力由靜摩擦力提供，如圖甲所示．賽車做圓周運動所需的向心力為F＝＝400 N＜600 N，所以賽車在運動過程中不會發(fā)生側(cè)移． 甲　 乙 (2)若將場地建成外高內(nèi)低的圓形，則賽車做勻速圓周運動的向心力由重力mg、支持力N和靜摩擦力的合力來提供，如圖乙所示為賽車做圓周運動的后視圖(賽車正垂直紙面向里運動)．賽車以最大速度行駛時，地面對賽車的摩擦力為最大靜摩擦力．由牛頓第二定律得 水平方向：Nsin θ＋fmaxcos θ＝m 豎直方向：Ncos θ－fmaxsin θ－mg＝0 代入數(shù)據(jù)解得vmax＝≈35.6 m/s. 【答案】　(1)不會　(2)35.6 m/s 火車轉(zhuǎn)彎問題的解題策略 (1)對火車轉(zhuǎn)彎問題一定要搞清合力的方向，指向圓心方向的合外力提供火車做圓周運動的向心力，方向指向水平面內(nèi)的圓心． (2)彎道兩軌在同一水平面上時，向心力由外軌對輪緣的擠壓力提供． 　 豎 直 平 面 內(nèi) 的 圓 周 運 動 實 例 分 析 1．汽車過拱形橋 項目 汽車過凸形橋 汽車過凹形橋 向心力 支持力與重力合力 做向心力 支持力與重力合力 做向心力 方程 mg－N＝m N－mg＝m 支持力 N＝mg－m 支持力<重力， 當(dāng)v＝時N＝0 N＝mg＋m 支持力>重力 2.過山車(在最高點和最低點) (1)向心力來源：受力如圖4－3－5，重力和支持力的合力提供向心力． 圖4－3－5 (2)向心力方程 1．過山車在運動時，做的是勻速圓周運動．() 2．汽車在凸形橋上行駛時，速度較小時，對橋面的壓力大于車重，速度較大時，對橋面的壓力小于車重．() 3．汽車過凹形橋時，對橋面的壓力一定大于車重．(√) 過山車和乘客在軌道上的運動是圓周運動(如圖4－3－6甲、乙所示)．那么 甲 乙 圖4－3－6 過山車駛至軌道的頂部，車與乘客都在軌道的下方，為什么不會掉下來？ 【提示】　過山車駛至軌道的頂部時，車所受的軌道的壓力和所受的重力的合力提供車做圓周運動的向心力，只改變速度方向，而不使物體做自由落體運動． 　小球分別在輕繩(如圖4－3－7甲)和輕桿(如圖4－3－7乙)的一端繞另一端在豎直平面內(nèi)運動，請思考： 圖4－3－7 探討1：小球要在豎直平面內(nèi)完成圓周運動，經(jīng)過最高點時的最小速度能為零嗎？ 【提示】　輕繩上的小球最小速度不能為零． 輕桿上的小球最小速度可以為零． 探討2：小球經(jīng)過最高點時，與繩(或桿)之間的作用力可以為零嗎？ 【提示】　小球輕過最高點時與繩或桿的作用力可以為零． 1．汽車過橋問題的分析： (1)汽車過凸形橋． 汽車在橋上運動，經(jīng)過最高點時，汽車的重力與橋?qū)ζ囍С至Φ暮狭μ峁┫蛐牧Γ鐖D4－3－8甲所示． 圖4－3－8 由牛頓第二定律得：G－N＝m，則N＝G－m. 汽車對橋的壓力與橋?qū)ζ嚨闹С至κ且粚ο嗷プ饔昧?，即N′＝N＝G－m，因此，汽車對橋的壓力小于重力，而且車速越大，壓力越?。? ①當(dāng)0≤v＜時，0＜N≤G. ②當(dāng)v＝時，N＝0，汽車做平拋運動飛離橋面，發(fā)生危險． ③當(dāng)v＞時，汽車做平拋運動飛離橋面，發(fā)生危險． (2)汽車過凹形橋． 如圖4－3－8乙所示，汽車經(jīng)過凹形橋面最低點時，受豎直向下的重力和豎直向上的支持力，兩個力的合力提供向心力，則N－G＝m，故N＝G＋m.由牛頓第三定律得：汽車對凹形橋面的壓力N′＝G＋m，大于汽車的重力，而且車速越大，車對橋面的壓力越大． 2．過山車問題分析：如圖4－3－9所示，設(shè)過山車與坐在上面的人的質(zhì)量為m，軌道半徑為r，過山車經(jīng)過頂部時的速度為v，以人和車作為一個整體，在頂部時所受向心力是由重力和軌道對車的彈力的合力提供的。由牛頓第二定律得mg＋N＝m.人和車要不從頂部掉下來，必須滿足的條件是：N≥0. 當(dāng)N＝0時，過山車通過圓形軌道頂部的速度為臨界速度，此時重力恰好提供過山車做圓周運動的向心力，即mg＝m，臨界速度為v臨界＝，過山車能通過最高點的條件是v≥. 圖4－3－9 3．輕繩模型：如圖4－3－10所示，輕繩系的小球或在軌道內(nèi)側(cè)運動的小球，在最高點時的臨界狀態(tài)為只受重力，由mg＝m，得v＝. 圖4－3－10 在最高點時： (1)v＝時，拉力或壓力為零． (2)v＞時，物體受向下的拉力或壓力，并且隨速度的增大而增大． (3)v＜時，物體不能達到最高點．(實際上球未到最高點就脫離了軌道) 即繩類模型中小球在最高點的臨界速度為v臨＝. 4．輕桿模型：如圖4－3－11所示，在細輕桿上固定的小球或在管形軌道內(nèi)運動的小球，由于桿和管能對小球產(chǎn)生向上的支持力，所以小球能在豎直平面內(nèi)做圓周運動的條件是在最高點的速度大于或等于零，小球的受力情況為： 圖4－3－11 (1)v＝0時，小球受向上的支持力N＝mg. (2)0＜v＜時，小球受向上的支持力且隨速度的增大而減?。? (3)v＝時，小球只受重力． (4)v＞時，小球受向下的拉力或壓力，并且隨速度的增大而增大． 即桿類模型中小球在最高點的臨界速度為v臨＝0. 圖4－3－12 4．(多選)如圖4－3－12所示，汽車以速度v通過一弧形的拱橋頂端時，關(guān)于汽車受力的說法中正確的是(　　) A．汽車的向心力就是它所受的重力 B．汽車的向心力是它所受的重力與支持力的合力，方向指向圓心 C．汽車受重力、支持力、牽引力、摩擦力和向心力的作用 D．汽車受到的支持力比重力小 【解析】　汽車以速度v通過一弧形的拱橋頂端時，汽車受重力、支持力、牽引力和摩擦力，重力與支持力的合力提供向心力，方向指向圓心，A、C錯誤，B正確；汽車受到的支持力比重力小，D正確． 【答案】　BD 5．長為L的細繩，一端系一質(zhì)量為m的小球，另一端固定于某點，當(dāng)繩豎直時小球靜止，再給小球一水平初速度v0，使小球在豎直平面內(nèi)做圓周運動，并且剛好能過最高點，則下列說法中正確的是(　　) 【導(dǎo)學(xué)號：01360133】 A．球過最高點時，速度為零 B．球過最高點時，繩的拉力為mg C．開始運動時，繩的拉力為m D．球過最高點時，速度大小為 【解析】　開始運動時，由小球受的重力mg和繩的拉力F的合力提供向心力，即F－mg＝m，F(xiàn)＝m＋mg，可見C不正確；小球剛好過最高點時，繩拉力為0，mg＝m，v＝，A、B不正確．故選D. 【答案】　D 6．游樂場的過山車的運動過程可以抽象為圖4－3－13所示模型．弧形軌道的下端與圓軌道相接，使小球從弧形軌道上端A點由靜止滑下，進入圓軌道后沿圓軌道運動，最后離開．試分析A點離地面高度h至少要多大，小球才可以順利通過圓軌道最高點(已知圓軌道的半徑為R，不考慮摩擦等阻力)． 圖4－3－13 【解析】　小球恰好通過圓軌道的最高點時，軌道對小球的作用力為零．小球從A點到達圓軌道最高點的過程中，由機械能守恒定律得：mgh＝mg2R＋mv2， 在圓軌道最高處：mg＝m，解得h＝R. 【答案】　R “二明、一分、一用”解豎直平面內(nèi)圓周運動問題 學(xué)業(yè)分層測評(十七) (建議用時：45分鐘) [學(xué)業(yè)達標(biāo)] 1．在水平面上轉(zhuǎn)彎的汽車，向心力是(　　) 【導(dǎo)學(xué)號：01360134】 A．重力和支持力的合力 B．靜摩擦力 C．滑動摩擦力 D．重力、支持力和牽引力的合力 【解析】　水平面上轉(zhuǎn)彎的汽車，重力和地面對汽車的支持力相平衡，向心力由指向圓心的靜摩擦力提供，故B正確，A、C、D錯誤． 【答案】　B 2．(2016玉溪高一檢測)某高速公路彎道處設(shè)計為內(nèi)側(cè)低外側(cè)高的圓弧彎道，使路面與水平面有一傾角α，彎道半徑為R.當(dāng)汽車在該彎道處沿側(cè)向的摩擦力恰為零時，汽車轉(zhuǎn)彎的速度v為(　　) A．v＝ B．v＝ C．v＝ D．安全速度與汽車的質(zhì)量有關(guān) 【解析】　當(dāng)汽車在該彎道處沿側(cè)向的摩擦力恰為零時，汽車轉(zhuǎn)彎所需的向心力由重力和路面支持力的合力提供，即mgtan α＝m，則汽車的轉(zhuǎn)彎速度為v＝，選項A正確． 【答案】　A 3．如圖4－3－14所示，汽車以一定的速度經(jīng)過一個圓弧形橋面的頂點時，關(guān)于汽車的受力及汽車對橋面的壓力情況，以下說法錯誤的是(　　) 圖4－3－14 A．在豎直方向汽車受到三個力：重力、橋面的支持力和向心力 B．在豎直方向汽車可能只受兩個力：重力和橋面的支持力 C．在豎直方向汽車可能只受重力 D．汽車對橋面的壓力小于汽車的重力 【解析】　一般情況下汽車受重力和支持力作用，且mg－N＝m，故支持力N＝mg－m，即支持力小于重力，A錯，B、D對；當(dāng)汽車的速度v＝時，汽車所受支持力為零，C正確． 【答案】　A 4．冰面對溜冰運動員的最大靜摩擦力為運動員重力的k倍，在水平冰面上沿半徑為R的圓周滑行的運動員，其安全速度應(yīng)為(　　) 【導(dǎo)學(xué)號：01360135】 A．v＝k　 B．v≤ C．v≥ D．v≤ 【解析】　當(dāng)處于臨界狀態(tài)時，有kmg＝m，得臨界速度v＝.故安全速度v≤. 【答案】　B 5.如圖4－3－15所示，用輕繩一端拴一小球，繞另一端O在豎直平面內(nèi)做圓周運動．若繩子不夠牢，則運動過程中繩子最易斷的位置是小球運動到(　　) 圖4－3－15 A．最高點 B．最低點 C．兩側(cè)與圓心等高處 D．無法確定 【解析】　在最低點位置時，小球的速率最大，向心力方向又向上，拉力F＝mg＋m，此處繩子受到的拉力最大，故最易斷．選項B正確． 【答案】　B 6．長為L的細線一端拴一質(zhì)量為m的小球，小球繞細線另一固定端在豎直平面內(nèi)做圓周運動并恰能通過最高點，不計空氣阻力，設(shè)小球通過最低點和最高點時的速度分別為v1和v2，細線所受拉力分別為F1、F2，則(　　) 【導(dǎo)學(xué)號：01360136】 A．v1＝ B．v2＝0 C．F1＝5mg D．F2＝mg 【解析】　小球恰能通過最高點，細線拉力F2＝0，由mg＝m，得v2＝；由機械能守恒定律得：mv＝mg2L＋mv，解得：v1＝；通過最低點時，由F1－mg＝m，解得F1＝6mg.故選A. 【答案】　A 7．質(zhì)量可忽略，長為L的輕棒，末端固定一質(zhì)量為m的小球，要使其繞另一端點在豎直平面內(nèi)做圓周運動，那么小球在最低點時的速度v必須滿足的條件為(　　) A．v≥ B．v≥ C．v≥2 D．v≥ 【解析】　小球到最高點時速度v1≥0，由機械能守恒定律得：mv2＝mg2L＋mv，解得：v≥2.故選C. 【答案】　C 8．(2016成都高一檢測)質(zhì)量為103 kg的小汽車駛過一座半徑為50 m的圓形拱橋，到達橋頂時的速度為5 m/s.求： (1)汽車在橋頂時對橋的壓力； (2)如果要求汽車到達橋頂時對橋的壓力為零，且車不脫離橋面，到達橋頂時的速度應(yīng)是多大？ 【解析】　(1)汽車在最高點時重力與支持力的合力提供向心力． mg－N＝m N＝mg－m＝9 500 N 由牛頓第三定律可知，汽車對橋的壓力 N′＝9 500 N(豎直向下)． (2)當(dāng)汽車對橋面壓力恰好為0時，有：mg＝m v＝＝10 m/s. 【答案】　(1)9 500 N　豎直向下　(2)10 m/s [能力提升] 9．(多選)如圖4－3－16所示，小球m在豎直放置的光滑的圓形管道內(nèi)做圓周運動，下列說法正確的是 (　　) 【導(dǎo)學(xué)號：01360137】 圖4－3－16 A．小球通過最高點時的最小速度是 B．小球通過最高點時的最小速度為零 C．小球通過最低點時對管壁壓力一定大于重力 D．小球在水平線ab以上的管道中運動時外側(cè)管壁對小球一定有作用力 【解析】　小球在光滑的圓形管道內(nèi)運動到最高點時的最小速度為零，A錯誤、B正確；小球通過最低點時N－mg＝m，得N＝mg＋m，故小球通過最低點時對管壁壓力一定大于重力，C正確；小球在水平線ab以上的管道中運動時外側(cè)管壁對小球不一定有作用力，D錯誤． 【答案】　BC 10．(多選)(2016全國卷丙)如圖4－3－17所示，一固定容器的內(nèi)壁是半徑為R的半球面，在半球面水平直徑的一端有一質(zhì)量為m的質(zhì)點P.它在容器內(nèi)壁由靜止下滑到最低點的過程中，克服摩擦力做的功為W.重力加速度大小為g.設(shè)質(zhì)點P在最低點時，向心加速度的大小為a，容器對它的支持力大小為N，則(　　) 圖4－3－17 A．a(chǎn)＝ B．a(chǎn)＝ C．N＝ D．N＝ 【解析】　質(zhì)點P下滑到最低點的過程中，由動能定理得mgR－W＝mv2，則速度v＝，最低點的向心加速度a＝＝，選項A正確，選項B錯誤；在最低點時，由牛頓第二定律得N－mg＝ma，N＝，選項C正確，選項D錯誤． 【答案】　AC 11．如圖4－3－18所示，小球A質(zhì)量為m，固定在輕細直桿L的一端，并隨桿一起繞桿的另一端點O在豎直平面內(nèi)做圓周運動，如果小球經(jīng)過最高位置時，桿對小球的作用力大小等于小球的重力．求： 【導(dǎo)學(xué)號：01360138】 圖4－3－18 (1)小球的速度大小； (2)當(dāng)小球經(jīng)過最低點時速度為，此時，求桿對球的作用力的大小和球的向心加速度的大小． 【解析】　(1)小球A在最高點時，對球受力分析：重力mg，拉力F＝mg或支持力F＝mg 根據(jù)小球做圓周運動的條件，合外力等于向心力，得 mgF＝m① F＝mg② 解①②兩式，可得v＝或v＝0. (2)小球A在最低點時，對球受力分析：重力mg、拉力F′，設(shè)向上為正方向 根據(jù)小球做圓周運動的條件，合外力等于向心力，F(xiàn)′－mg＝m 解得F′＝mg＋m＝7mg， 故球的向心加速度a＝＝6g. 【答案】　(1)或0　(2)7mg　6g 12．(2016淮安高一檢測)AB是豎直平面內(nèi)的四分之一圓弧軌道，下端B與水平直軌道相切，如圖4－3－19所示．一小球自A點起由靜止開始沿軌道下滑．已知圓弧軌道半徑為R，小球的質(zhì)量為m，不計各處摩擦．求： 圖4－3－19 (1)小球運動到B點時的動能． (2)小球經(jīng)過圓弧軌道的B點和水平軌道的C點時，所受軌道支持力NB、NC各是多大？ 【解析】　(1)小球自A點由靜止開始沿軌道運動到最低點B的過程中，只有重力做功，機械能守恒．取BC水平面為零重力勢能面，則mgR＝mv B點的動能為Ek＝mv＝mgR. (2)小球運動到B點時，由牛頓第二定律得， NB－mg＝m 則NB＝3mg. 到達C點時，豎直方向由平衡條件得： NC＝mg. 【答案】　(1)mgR　(2)3mg　mg