同濟大學(xué)高等數(shù)學(xué)第六篇多元微積分學(xué)[共64頁]

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1、 第六篇 多元微積分學(xué) 第九章 多元函數(shù)微分學(xué)及其應(yīng)用 我們以前學(xué)習的函數(shù)只有一個自變量，這種函數(shù)我們稱為一元函數(shù)．一元函數(shù)的微積分解決了很多初等數(shù)學(xué)無法解決的問題．但是，在實際問題中往往牽扯到多方面的因素，解決這類問題必須引進多元函數(shù)．本章將在一元函數(shù)微分學(xué)的基礎(chǔ)上，討論多元函數(shù)的微分及其應(yīng)用．從一元函數(shù)的情形推廣到二元函數(shù)時會產(chǎn)生一些新的問題，而從二元函數(shù)推廣到二元以上的多元函數(shù)則可以類推．通過本章的學(xué)習，學(xué)生要掌握多元函數(shù)微分學(xué)的基本原理以及解決幾何、經(jīng)濟與管理、工程等領(lǐng)域的實際問題的具體方法. 第1節(jié) 多元函數(shù)的基本概念 1.1 平面點集 為了介紹二元

2、函數(shù)的概念，有必要介紹一些關(guān)于平面點集的知識，在一元函數(shù)微積分中，區(qū)間的概念是很重要的，大部分問題是在區(qū)間上討論的．在平面上，與區(qū)間這一概念相對應(yīng)的概念是鄰域． 1.1.1 鄰域 設(shè)是平面上的一定點，是某一正數(shù)，與點的距離小于的點的全體，稱為點的鄰域，記為，即 , 亦即 ． 在幾何上表示以為中心，為半徑的圓的內(nèi)部(不含圓周)． 上述鄰域去掉中心后，稱為的去心鄰域，記作． . 如果不需要強調(diào)鄰域的半徑，則用表示點的鄰域，用表示的去心鄰域． 1.1.2 區(qū)域 下面用鄰域來描述平面上的點與點集之間的關(guān)系． 設(shè)是平面上的一個點集，是平面上的一點，則與的

3、關(guān)系有以下三種情形： (1) 內(nèi)點：如果存在的某個鄰域，使得，則稱點為的內(nèi)點． (2) 外點：如果存在的某個鄰域，使得，則稱為的外點． (3) 邊界點：如果在點的任何鄰域內(nèi)，既有屬于的點，也有不屬于的點，則稱點為的邊界點．的邊界點的集合稱為的邊界，記作． 例如：點集，除圓心與圓周上各點之外圓的內(nèi)部的點都是的內(nèi)點，圓外部的點都是的外點，圓心及圓周上的點為的邊界點；又如平面點集，直線上方的點都是的內(nèi)點，直線下方的點都是的外點，直線上的點都是的邊界點(圖9—1)． 圖9—1 顯然，點集E的內(nèi)點一定屬于E；點集E的外點一定不屬于E；E的邊界點可能屬于E，也可能不屬于E． 如果點集E的

4、每一點都是E的內(nèi)點，則稱E為開集，點集是開集，不是開集． 設(shè)E是開集，如果對于E中的任何兩點，都可用完全含于E的折線連接起來，則稱開集E是連通集(圖9—2) ．點集E1和E2都是連通的，點集不是連通的(圖9—2)． 圖9—2 連通的開集稱為開區(qū)域(開域)． 從幾何上看，開區(qū)域是連成一片的且不包括邊界的平面點集．如E1是開區(qū)域．開區(qū)域是數(shù)軸上的開區(qū)間這一概念在平面上的推廣． 開區(qū)域E連同它的邊界構(gòu)成的點集，稱為閉區(qū)域(閉域)，記作 (即)． 閉區(qū)域是數(shù)軸上的閉區(qū)間這一概念在平面上的推廣．如E2及都是閉域，而既非閉域，又非開域．閉域是連成一片的且包含邊界的平面點集． 本書把開區(qū)域

5、與閉區(qū)域統(tǒng)稱為區(qū)域． 如果區(qū)域E可包含在以原點為中心的某個圓內(nèi)，即存在正數(shù)，使，則稱E為有界區(qū)域，否則，稱E為無界區(qū)域．例如E1是有界區(qū)域，E2是無界區(qū)域． 記E是平面上的一個點集，P是平面上的一個點．如果點P的任一鄰域內(nèi)總有無限多個點屬于點集E，則稱P為E的聚點．顯然，E的內(nèi)點一定是E的聚點，此外，E的邊界點也可能是E的聚點．例如，設(shè)，那么點既是的邊界點又是的聚點，但的這個聚點不屬于；又如，圓周上的每個點既是的邊界點，也是的聚點，而這些聚點都屬于．由此可見，點集E的聚點可以屬于E，也可以不屬于E．再如點，原點是它的聚點，中的每一個點都不是聚點． 1.1.3 n維空間Rn 一般地，由

6、n元有序?qū)崝?shù)組的全體組成的集合稱為n維空間，記作Rn．即 ． n元有序數(shù)組稱為n維空間中的一個點，數(shù)xi稱為該點的第i個坐標． 類似地規(guī)定，n維空間中任意兩點與之間的距離為 ． 前面關(guān)于平面點集的一系列概念，均可推廣到n維空間中去，例如，，δ是某一正數(shù)，則點的δ鄰域為 ． 以鄰域為基礎(chǔ)，還可以定義n維空間中內(nèi)點、邊界點、區(qū)域等一系列概念． 1.2 多元函數(shù)的概念 1.2.1 n元函數(shù)的定義 定義1 設(shè)D是中的一個非空點集，如果存在一個對應(yīng)法則f , 使得對于D中的每一個點，都能由f 唯一地確定一個實數(shù)y，則稱f為定義在D上的n元函數(shù)，記為 ． 其中叫做自變量，

7、y叫做因變量，點集D叫做函數(shù)的定義域，常記作． 取定，對應(yīng)的叫做所對應(yīng)的函數(shù)值．全體函數(shù)值的集合叫做函數(shù)f的值域，常記為［或］，即 ． 當n=1時，D為實數(shù)軸上的一個點集，可得一元函數(shù)的定義，即一元函數(shù)一般記作；當n=2時，D為平面上的一個點集，可得二元函數(shù)的定義，即二元函數(shù)一般記作，若記，則也記作． 二元及二元以上的函數(shù)統(tǒng)稱為多元函數(shù)．多元函數(shù)的概念與一元函數(shù)一樣，包含對應(yīng)法則和定義域這兩個要素． 多元函數(shù)的定義域的求法，與一元函數(shù)類似．若函數(shù)的自變量具有某種實際意義，則根據(jù)它的實際意義來決定其取值范圍，從而確定函數(shù)的定義域. 對一般的用解析式表示的函數(shù)，使表達式有意義的自變量的取

8、值范圍，就是函數(shù)的定義域． 例1 在生產(chǎn)中，設(shè)產(chǎn)量Y與投入資金K和勞動力L之間的關(guān)系為 （其中均為正常數(shù))． 這是以K，L為自變量的二元函數(shù)，在西方經(jīng)濟學(xué)中稱為生產(chǎn)函數(shù)．該函數(shù)的定義域為． 例2 求函數(shù)的定義域D，并畫出D的圖形． 解 要使函數(shù)的解析式有意義，必須滿足 即,如圖9—3劃斜線的部分． 圖9—3 圖9—4 1.2.2. 二元函數(shù)的幾何表示 設(shè)函數(shù)的定義域為平面區(qū)域D，對于D中的任意一點，對應(yīng)一確定的函數(shù)值．這樣便得到一個三元有序數(shù)組，相應(yīng)地在空間可得到一點．

9、當點P在D內(nèi)變動時，相應(yīng)的點M就在空間中變動，當點P取遍整個定義域D時，點M就在空間描繪出一張曲面S (圖9—4)．其中 ． 而函數(shù)的定義域D就是曲面S在xO y面上的投影區(qū)域． 例如表示一平面；表示球心在原點，半徑為1的上半球面． 1.3二元函數(shù)的極限 二元函數(shù)的極限概念是一元函數(shù)極限概念的推廣．二元函數(shù)的極限可表述為 定義1 設(shè)二元函數(shù)的定義域是某平面區(qū)域D，P0為D的一個聚點，當D中的點P以任何方式無限趨于Ｐ0時，函數(shù)值f(P)無限趨于某一常數(shù)A，則稱A是函數(shù)當P趨于P0時的(二重)極限．記為 或， 此時也稱當時的極限存在， 否則稱的極限不存在．若點的坐標為，點的坐

10、標為，則上式又可寫為 或　 f (x, y)→A（x→x０，y→y０）． 類似于一元函數(shù)，無限趨于A可用來刻畫，點無限趨于可用刻畫，因此，二元函數(shù)的極限也可如下定義． 定義2 設(shè)二元函數(shù)的定義域為D，是D的一個聚點，A為常數(shù)．若對任給的正數(shù)，不論多小，總存在，當，且時，總有 則稱A為當時的(二重)極限． 注 ①定義中要求是定義域D的聚點，是為了保證在P0的任何鄰域內(nèi)都有D中的點． ②注意到平面上的點趨近于的方式可以多種多樣：可以從四面八方趨于，也可以沿曲線或點列趨于．定義1指出：只有當以任何方式趨近于，相應(yīng)的都趨近于同一常數(shù)A時，才稱A為當時的極限．如果以某些特殊方式(如沿某

11、幾條直線或幾條曲線)趨于時，即使函數(shù)值趨于同一常數(shù)A，我們也不能由此斷定函數(shù)的極限存在．但是反過來，當P在D內(nèi)沿不同的路徑趨于時，趨于不同的值，則可以斷定函數(shù)的極限不存在． ③二元函數(shù)極限有與一元函數(shù)極限相似的運算性質(zhì)和法則，這里不再一一敘述． 例3 設(shè)判斷極限是否存在? 解 當沿x軸趨于時，有y=0，于是 ； 當沿y軸趨于時，有x=0，于是 ． 但不能因為以上述兩種特殊方式趨于時的極限存在且相等，就斷定所考察的二重極限存在． 因為當沿直線)趨于時，有 ， 這個極限值隨k不同而變化，故不存在． 例4 求下列函數(shù)的極限： (1) ；(2)?。?(3)． 解 (1

12、)． (2)當時，，有． 這時，函數(shù)有界，而y是當x→0且y→0時的無窮小，根據(jù)無窮小量與有界函數(shù)的乘積仍為無窮小量，得 ． (3) ． 從例4可看到求二元函數(shù)極限的很多方法與一元函數(shù)相同． 1.4 二元函數(shù)的連續(xù)性 類似于一元函數(shù)的連續(xù)性定義，我們用二元函數(shù)的極限概念來定義二元函數(shù)的連續(xù)性． 定義3 設(shè)二元函數(shù)在點的某鄰域內(nèi)有定義，如果 , 則稱函數(shù)在點處連續(xù)，稱為的連續(xù)點；否則稱在處間斷(不連續(xù))，稱為的間斷點． 與一元函數(shù)相仿，二元函數(shù)在點處連續(xù)，必須滿足三個條件：①函數(shù)在點有定義；②函數(shù)在處的極限存在；③函數(shù)在處的極限與處的函數(shù)值相等，只要三條中有一條不滿足

13、，函數(shù)在處就不連續(xù)． 由例3可知，在處間斷；函數(shù)在直線上每一點處間斷． 如果在平面區(qū)域D內(nèi)每一點處都連續(xù)，則稱在區(qū)域D內(nèi)連續(xù)，也稱是D內(nèi)的連續(xù)函數(shù)，記為．在區(qū)域D上連續(xù)函數(shù)的圖形是一張既沒有“洞”也沒有“裂縫”的曲面． 一元函數(shù)中關(guān)于極限的運算法則對于多元函數(shù)仍適用，故二元連續(xù)函數(shù)經(jīng)過四則運算后仍為二元連續(xù)函數(shù)(在商的情形要求分母不為零)；二元連續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)也是連續(xù)函數(shù)． 與一元初等函數(shù)類似，二元初等函數(shù)是可用含的一個解析式所表示的函數(shù)，而這個式子是由常數(shù)、的基本初等函數(shù)、的基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四則運算及復(fù)合所構(gòu)成的，例如,,等都是二元初等函數(shù)．二元初等函數(shù)在其定義域的區(qū)域內(nèi)處處

14、連續(xù)． 與閉區(qū)間上一元連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)相類似，有界閉區(qū)域上的連續(xù)函數(shù)有如下性質(zhì)． 性質(zhì)1(最值定理) 若在有界閉區(qū)域D上連續(xù)，則在D上必取得最大值與最小值． 推論 若在有界閉區(qū)域D上連續(xù)，則在D上有界． 性質(zhì)2 (介值定理) 若在有界閉區(qū)域D上連續(xù)，M和m分別是在D上的最大值與最小值，則對于介于M與m之間的任意一個數(shù)C，必存在一點,使得． 以上關(guān)于二元函數(shù)的極限與連續(xù)性的概念及有界閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)，可類推到三元以上的函數(shù)中去． 習題9—1 1．判斷下列平面點集哪些是開集、閉集、區(qū)域、有界集、無界集？并分別指出它們的聚點組成的點集和邊界. (1) ；

15、(2) ； (3) ． 2．求下列函數(shù)的定義域，并畫出其示意圖： (1)； (2)； (3)； (4)． 3．設(shè)函數(shù)，求 (1); (2)； (3) . 4．討論下列函數(shù)在點處的極限是否存在： (1) ； (2)． 5．求下列極限： (1) ； (2)； (3)； (4)． 6．證明：二元函數(shù)在點連續(xù)． 7．設(shè)二元函數(shù)，試判斷在點處的連續(xù)性． 8．函數(shù)在何處是間斷的？ 第2節(jié) 偏導(dǎo)數(shù)與全微分 2.1

16、 偏導(dǎo)數(shù)的概念 2.1.1 偏導(dǎo)數(shù)的定義 在研究一元函數(shù)時，我們從研究函數(shù)的變化率引入了導(dǎo)數(shù)概念．由于二元函數(shù)的自變量有兩個，關(guān)于某點處函數(shù)的變化率問題相當復(fù)雜，因此我們不能籠統(tǒng)地講二元函數(shù)在某點的變化率．在這一節(jié)，我們考慮二元函數(shù)關(guān)于某一個自變量的變化率，這就是偏導(dǎo)數(shù)的概念． 設(shè)函數(shù)在點的某鄰域內(nèi)有定義，x在有改變量，而保持不變，這時函數(shù)的改變量為 ， 稱為函數(shù)在處關(guān)于的偏改變量(或偏增量)．類似地可定義關(guān)于的偏增量為 ． 有了偏增量的概念，下面給出偏導(dǎo)數(shù)的定義． 定義1 設(shè)函數(shù)在的某鄰域內(nèi)有定義，如果 存在，則稱此極限值為函數(shù)在處關(guān)于x的偏導(dǎo)數(shù),并稱函數(shù)在點處關(guān)于x

17、可偏導(dǎo)．記作 類似地，可定義函數(shù)在點處關(guān)于自變量y的偏導(dǎo)數(shù)為 ， 記作  如果函數(shù)在區(qū)域D內(nèi)每一點處的偏導(dǎo)數(shù)都存在，即 存在，則上述兩個偏導(dǎo)數(shù)還是關(guān)于x，y的二元函數(shù)，分別稱為z對x，y的偏導(dǎo)函數(shù)(簡稱為偏導(dǎo)數(shù))．并記作 ． 不難看出，在關(guān)于x的偏導(dǎo)數(shù)就是偏導(dǎo)函數(shù)在處的函數(shù)值，而就是偏導(dǎo)函數(shù)在處的函數(shù)值． 由于偏導(dǎo)數(shù)是將二元函數(shù)中的一個自變量固定不變，只讓另一個自變量變化，相應(yīng)的偏增量與另一個自變量的增量的比值的極限；因此，求偏導(dǎo)數(shù)問題仍然是求一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)問題．求時，把y看做常量，將看做x的一元函數(shù)對x求導(dǎo)；求時，把x看做常量，將看做y的一元函數(shù)對y求導(dǎo)．

18、三元及三元以上的多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)，完全可以類似地定義和計算，這里就不討論了． 例1 求函數(shù)在點處的偏導(dǎo)數(shù)． 解 將y看成常量，對x求導(dǎo)得 ； 將x看成常量，對y求導(dǎo)得 ． 再將代入上式得 ． 例2 求函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)． 解 ，． 例3 設(shè)，求證： ． 證 因為，， 所以 ． 例4 求函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)． 解 將y和z看做常量，對x求導(dǎo)得 ， 同樣可得 ，． 2.1.2 二元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義 由于偏導(dǎo)數(shù)實質(zhì)上就是一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，而一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)在幾何上表示曲線上切線的斜率，因此，二元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)也有類似的幾何意義． 設(shè)在點處的偏導(dǎo)數(shù)存在

19、，由于就是一元函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)值，即＝，故只須弄清楚一元函數(shù)的幾何意義，再根據(jù)一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的幾何意義，就可以得到的幾何意義．在幾何上表示一曲面，過點作平行于xz面的平面，該平面與曲面相截得到截線 ： 若將代入第一個方程，得．可見截線Γ１是平面上一條平面曲線，在上的方程就是．從而＝表示在點處的切線對x軸的斜率(圖9-5)． 同理，＝表示平面與的截線 ： 在處的切線對y軸的斜率(圖9—5)． 圖9—5 例5 討論函數(shù) 在點(0,0)處的兩個偏導(dǎo)數(shù)是否存在． 解 ． 同樣有．這表明在處對x和對y的偏導(dǎo)數(shù)存在，即在處兩個偏導(dǎo)數(shù)都存在． 由上節(jié)例3知：該函數(shù)在處不連續(xù)．

20、本例指出，對于二元函數(shù)而言，函數(shù)在某點的偏導(dǎo)數(shù)存在，不能保證函數(shù)在該點連續(xù)．但在一元函數(shù)中，我們有結(jié)論：可導(dǎo)必連續(xù)．這并不奇怪，因為偏導(dǎo)數(shù)只刻畫函數(shù)沿x軸與y軸方向的變化率，存在，只能保證一元函數(shù)在x0處連續(xù)，即與的截線在處連續(xù)．同時只能保證在處連續(xù)，但兩曲線,在處連續(xù)并不能保證曲面在處連續(xù)． 2.2 高階偏導(dǎo)數(shù) 設(shè)函數(shù)在區(qū)域D內(nèi)具有偏導(dǎo)數(shù)=,,那么在D內(nèi)及都是x, y的二元函數(shù)．如果這兩個函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)還存在，則稱它們是函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)．按照對變量求導(dǎo)次序的不同有下列四個二階偏導(dǎo)數(shù)： ，， ，， 其中 (或)與 (或)稱為的二階混合偏導(dǎo)數(shù)．同樣可定義三階，四階，…，n

21、階偏導(dǎo)數(shù)．二階及二階以上的偏導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階偏導(dǎo)數(shù)． 例6 求函數(shù)的所有二階偏導(dǎo)數(shù)和． 解 因為=y+2xsiny, =x+x2cosy, 所以 =2siny, ＝1＋2xcosy, =1+2xcosy, =x2siny， ． 從本例我們看到,即兩個二階混合偏導(dǎo)數(shù)相等，這并非偶然． 事實上，有如下定理． 定理1 如果函數(shù)的兩個二階混合偏導(dǎo)數(shù)和在區(qū)域D內(nèi)連續(xù)，則在該區(qū)域內(nèi)有 ． 定理1表明：二階混合偏導(dǎo)數(shù)在連續(xù)的條件下與求導(dǎo)的次序無關(guān).對于二元以上的函數(shù)，也可以類似的定義高階偏導(dǎo)數(shù)，而且高階混合偏導(dǎo)數(shù)在偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)的條件下

22、也與求導(dǎo)的次序無關(guān)． 例7 驗證函數(shù)滿足方程． 解 所以 ， ， 故 =． 2.3 全微分 2.3.1 全微分的概念 我們知道，一元函數(shù)如果可微，則函數(shù)的增量Δ y可用自變量的增量Δx的線性函數(shù)近似求得．在實際問題中，我們會遇到求二元函數(shù)的全增量的問題，一般說來，計算二元函數(shù)的全增量Δ z更為復(fù)雜，為了能像一元函數(shù)一樣，用自變量的增量Δx與Δ y的線性函數(shù)近似代替全增量，我們引入二元函數(shù)的全微分的概念． 定義2 設(shè)函數(shù)在的某鄰域內(nèi)有定義，如果函數(shù)z在處的全增量可表示成 ， 其中A，B是

23、與Δx，Δy無關(guān)，僅與有關(guān)的常數(shù)，ρ＝，o（ρ）表示當Δx→0，Δy→0時關(guān)于ρ的高階無窮小量，則稱函數(shù)在處可微，而稱為在點處的全微分，記作或，即 ． 若在區(qū)域D內(nèi)處處可微，則稱在D內(nèi)可微，也稱是D內(nèi)的可微函數(shù)．在處的全微分記作dz，即 ． 二元函數(shù)在點P(x,y)的全微分具有以下兩個性質(zhì)： (1) 是的線性函數(shù)，即； (2) ,，因此，當都很小時，可將作為計算Δ z的近似公式． 多元函數(shù)在某點的偏導(dǎo)數(shù)即使都存在，也不能保證函數(shù)在該點連續(xù)．但是對于可微函數(shù)卻有如下結(jié)論： 定理2 如果函數(shù)在點處可微，則函數(shù)在該點必連續(xù)． 這是因為由可微的定義，得 ， 即

24、 ． 即函數(shù)在點處連續(xù)． 一元函數(shù)可微與可導(dǎo)是等價的，那么二元函數(shù)可微與可偏導(dǎo)之間有何關(guān)系呢? 定理3 如果函數(shù)在點處可微，則在該點的兩個偏導(dǎo)數(shù)都存在，且有 ． 證 因為函數(shù)在點處可微，故 ，　ρ＝． 令，于是． 由此得 ， 即 ． 同理可證得 ． 定理3的逆命題是否成立呢? 即二元函數(shù)在某點的兩個偏導(dǎo)數(shù)存在能否保證函數(shù)在該點可微分呢? 一般情況下答案是否定的．如函數(shù) 在處兩個偏導(dǎo)數(shù)都存在，但在處不連續(xù)，由定理2知

25、，該函數(shù)在處不可微．但兩個偏導(dǎo)數(shù)既存在且連續(xù)時，函數(shù)就是可微的．我們不加證明地給出如下定理． 定理4 如果函數(shù)在處的偏導(dǎo)數(shù)存在且連續(xù)，則函數(shù)在該點可微． 類似于一元函數(shù)微分的情形，規(guī)定自變量的微分等于自變量的改變量．即，于是由定理3有 ． 以上關(guān)于二元函數(shù)的全微分的概念及結(jié)論，可以類推到三元以上的函數(shù)中去．比如若三元函數(shù)在點處可微，則它的全微分為 ． 例8 求下列函數(shù)的全微分： (1) ； (2) ． 解 (1) 因為,，所以． (2) 因為，,， 所以 ． 例9 求在點處的全微分． 解 因,

26、得 ， 于是 ． 3.1.2全微分的運算法則 類似于一元函數(shù)微分的運算法則，有 定理5 (全微分四則運算法則) 設(shè)，在處可微，則 1) 在處可微，且 ; 2) 若k為常數(shù)，在點處可微，且 ； 3) 在點處可微，且 ; 4) 當g(x,y)≠0時，在點處可微， 且 ． 例10 求的全微分． 解 ，， 習題9—2 1．求下列各函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)： (1) ; (2) ； (3) ； (4) ． 2．已知，求，． 3．設(shè)，求． 4．設(shè)

27、，求證：． 5．求下列函數(shù)的所有二階偏導(dǎo)數(shù)． (1) ; (2) ； (3) ； (4) ． 6．設(shè)，求及． 7．驗證滿足． 8．求下列函數(shù)的全微分. (1) ； (2) ； (3 ) ； (4) ． 9．設(shè)，求． 10．設(shè)求． 第3節(jié) 多元復(fù)合函數(shù)和隱函數(shù)的求導(dǎo)法則 3.1復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則 3.1.1 復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則 現(xiàn)在要將一元函數(shù)微分學(xué)中復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則推廣到多元復(fù)合函數(shù)的

28、情形，多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則在多元函數(shù)微分學(xué)中也起著重要作用． 定理1 設(shè)函數(shù)), 其中,．如果函數(shù),都在x點可導(dǎo)，函數(shù)在對應(yīng)的點處可微，則復(fù)合函數(shù)在x處可導(dǎo)，且 ． (9-3-1) 證 設(shè)自變量x的改變量為Δx，中間變量和的相應(yīng)的改變量分別為Δu和Δv，函數(shù)z的改變量為Δz．因在處可微，由可微的定義有 ， 其中,，且，故有 ． 因為和在點x可導(dǎo)，故當時，Δu→0，Δv→0，ρ→0，→，→． 在上式中令Δx→0，兩邊取極限，得 ． 注意，當Δx→0時，→0． 這是由于 ， 這

29、說明Δx→0時，是有界量，為無窮小量．從而→0（Δx→0）． 用同樣的方法，可以得到中間變量多于兩個的復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則．比如,而,,，則 ． （9-3-2） 例1 設(shè)，,求 解 利用公式(9-3-1)求導(dǎo)， 因為 ， ,　， 所以 ． 本題也可將,代入函數(shù)中，再用一元函數(shù)的取對數(shù)求導(dǎo)法，求得同樣的結(jié)果． 觀察公式(9-3-1) ，(9-3-2)可以知道，若函數(shù)z有2個中間變量，則公式右端是2項之和，若z有3個中間變量，則公式右端

30、是3項之和，一般地，若z有幾個中間變量，則公式右端是幾項之和，且每一項都是兩個導(dǎo)數(shù)之積，即z對中間變量的偏導(dǎo)數(shù)再乘上該中間變量對x的導(dǎo)數(shù)． 公式(9-3-1),(9-3-2)可借助復(fù)合關(guān)系圖來理解和記憶． 圖9—6 公式(9-3-1) ，(9-3-2)稱為多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的鏈式法則． 上述定理還可推廣到中間變量依賴兩個自變量x和y的情形．關(guān)于這種復(fù)合函數(shù)的求偏導(dǎo)問題，有如下定理： 定理2 設(shè)在(u,v)處可微，函數(shù)及在點的偏導(dǎo)數(shù)存在，則復(fù)合函數(shù)在處的偏導(dǎo)數(shù)存在，且有如下的鏈式法則 

31、（9-3-3） 可以這樣來理解（9-3-3）：求時，將y看做常量，那么中間變量u和v是x的一元函數(shù)，應(yīng)用定理1即可得．但考慮到復(fù)合函數(shù)以及與都是x, y的二元函數(shù)，所以應(yīng)把（9-3-1）中的全導(dǎo)數(shù)符號“”改為偏導(dǎo)數(shù)符號“”． 公式（9-3-3）也可以推廣到中間變量多于兩個的情形．例如，設(shè),,的偏導(dǎo)數(shù)都存在，函數(shù)可微，則復(fù)合函數(shù) 對x和y的偏導(dǎo)數(shù)都存在，且有如下鏈式法則  （9-3-4） 特別對于下述情形：可微，而的偏導(dǎo)數(shù)存在，則復(fù)合函數(shù) 對x及y的偏導(dǎo)數(shù)都存在，為了求出這兩個偏導(dǎo)數(shù)，應(yīng)將f中的

32、變量看做中間變量： ． 此時， ． 由公式（9-3-4）得  （9-3-5） 注 這里與的意義是不同的．是把中的u與y都看做常量對x的偏導(dǎo)數(shù)，而卻是把二元復(fù)合函數(shù)中y看做常量對x的偏導(dǎo)數(shù)． 公式（9-3-3），（9-3-4），（9-3-5）可借助圖9—7理解． 圖9—7 例2 設(shè), 求． 解 ， ． 例3 設(shè)可微，求對x及y的偏導(dǎo)數(shù)． 解 引入中間變量,,由(9-3-3)得 ，

33、 ． 注 記號與分別表示對第一個變量與第二個變量在(）處的偏導(dǎo)數(shù)，可簡寫為與，后面還會用到這種表示方法． 例4 設(shè)，  ， ． 下面給出經(jīng)濟學(xué)中經(jīng)常遇到的齊次函數(shù)的概念． 設(shè)函數(shù)的定義域為D，且當時，對任給的t∈R，t＞0，仍有．如果存在非負常數(shù)k，使對任意的，恒有 ， 則稱二元函數(shù)為k次齊次函數(shù)．k=1時，稱為線性齊次函數(shù)． 例5 證明k次齊次函數(shù)滿足 ． 證明 在中，令，當取定一點時是t的一元函數(shù)，于是有 ． 又因為，所以有 ． 因此，對任意的t，有 . 3.1.2 全微分形式不變性 我們知道一元函數(shù)的一階微分形式具有不變性，多元

34、函數(shù)的全微分形式也具有不變性．下面以二元函數(shù)為例來說明． 設(shè)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則有全微分 ． 如果u,v是中間變量，即,，且這兩個函數(shù)也具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則復(fù)合函數(shù)的全微分為 ． 可見，無論z是自變量u,v的函數(shù)還是中間變量u,v的函數(shù)，它的全微分形式都是一樣的，這種性質(zhì)叫做多元函數(shù)的全微分形式的不變性． 例6 利用一階全微分形式的不變性求函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)與全微分． 解 引入中間變量，則． ． 因此 ，． 3.2 隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù) 在一元函數(shù)的微分學(xué)中，我們曾介紹了隱函數(shù)的求導(dǎo)方法：方程兩邊對x求導(dǎo)，再解出y′． 現(xiàn)在

35、我們介紹隱函數(shù)存在定理，并根據(jù)多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法導(dǎo)出隱函數(shù)的求導(dǎo)公式． 3.2.1 一個方程的情形 定理3 設(shè)函數(shù)在點的某一鄰域內(nèi)有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)且,，則方程在點的某鄰域內(nèi)惟一確定一個具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)的函數(shù)，它滿足條件，并且有 ． (9-3-6) 公式(9-3-6)就是隱函數(shù)的求導(dǎo)公式． 這里僅對公式(9-3-6)進行推導(dǎo)． 將函數(shù)代入方程得恒等式 ． 其左端可以看作是x的一個復(fù)合函數(shù)，上式兩端對x求導(dǎo)，得 ． 由于連續(xù)，且，所以存在點的一個鄰域，在這個

36、鄰域內(nèi)，所以有 ． 如果的二階偏導(dǎo)數(shù)也都連續(xù)，我們可以把(9-3-6)的兩端看作x的復(fù)合函數(shù)而再一次求導(dǎo)，得到 例7 驗證方程在點的某一鄰域內(nèi)能唯一確定一個有連續(xù)導(dǎo)數(shù)的隱函數(shù)且時，并求這個函數(shù)的一階與二階導(dǎo)數(shù)在的值． 解 設(shè)，則.由此，由定理3可知，方程在點的某一鄰域內(nèi)能唯一確定一個有連續(xù)導(dǎo)數(shù)的隱函數(shù)且時. 所以 ，； 例8 設(shè), 求． 解法一 令，則 由公式(9-3-6)得 解法二 方程兩邊對x求導(dǎo)，注意y是x的函數(shù)，得 解得 注 在第一種方法中x與y都視為

37、自變量，而在第二種方法中要將y視為x的函數(shù)y(x)． 隱函數(shù)存在定理還可以推廣到多元函數(shù)，下面介紹三元方程確定二元隱函數(shù)的定理． 定理4 設(shè)函數(shù)在點的某鄰域內(nèi)具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，且，，則方程在點的某一鄰域內(nèi)能惟一確定一個有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)，它滿足條件，并且有 ． (9-3-7) 這里僅對公式(9-3-7)進行推導(dǎo)． 將函數(shù)代入方程得恒等式 ． 其左端可以看作是x和y的一個復(fù)合函數(shù)，上式兩端對x和y求導(dǎo)，得 ． 由于連續(xù)，且，所以存在點的一個鄰域，在這個鄰域內(nèi)，所以有 ．

38、例9 設(shè)求 解 設(shè)，則當時，得 ． 所以 3.2.2 方程組情形 方程組 （9-3-8） 中有四個變量，一般其中只能有兩個變量獨立變化，因此方程組（9-3-8）就可以確定兩個二元函數(shù)．下面給出方程（9-3-8）能確定兩個二元函數(shù)u=u(x,y),v=v(x,y)的條件以及求u,v的偏導(dǎo)數(shù)公式． 定理5 設(shè)，在點的某鄰域內(nèi)具有對各個變量的連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，又，，且偏導(dǎo)數(shù)組成的函數(shù)行列式（稱為雅可比( Jacobi )式）  在點不等于零，則方程組（

39、9-3-8）在點的某鄰域內(nèi)惟一確定連續(xù)且具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的兩個函數(shù)，，它們滿足，且有 ， ， ， (9-3-9) 定理5我們不證，關(guān)于公式(9-3-9)作如下推導(dǎo)： 由于 上述等式兩邊對x求偏導(dǎo)得 由假設(shè)可知在點的某鄰域內(nèi)，系數(shù)行列式 ， 解上述二元線性方程組得 ， ． 同理可得公式(9-3-9) 的另外兩個式子． 例10 設(shè),求． 解 方程兩邊對x求偏導(dǎo)，注意u,v是x,y的二元函數(shù)，得 將看成未知量，解上述方程組，在系數(shù)行列式時，方程組有唯一解 ． . 類似的，在系數(shù)行列

40、式的條件下，可求得 ． 一般求方程組所確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(或偏導(dǎo)數(shù))，通常不用公式法，而是對各方程的兩邊關(guān)于自變量求導(dǎo)(或求偏導(dǎo))，得到所求導(dǎo)數(shù)(或偏導(dǎo)數(shù))的方程組，再解出所求量． 例11 設(shè)函數(shù),方程確定u是x, y的函數(shù)，其中可微；連續(xù)，且，求證：． 解 隱函數(shù)看成由方程組 所確定．當然同時還確定了另一函數(shù)．對方程組的兩個方程關(guān)于x求偏導(dǎo)，得  解得 ． 類似地可求得 ． 故 習題9—3 1．求下列復(fù)合函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)或?qū)?shù)： (

41、1) 設(shè)，求； (2) 設(shè)，，求; (3) 設(shè)，求; (4) 設(shè)，求; (5) 設(shè)，求; (6) 設(shè)，求. 2．設(shè)，其中為可微函數(shù)，驗證： ． 3．設(shè)，其中為可微函數(shù)，證明： ． 4．設(shè)，求． 5．設(shè)，求和． 6．求下列函數(shù)的(其中f 具有二階偏導(dǎo)數(shù))： (1) ； (2); (3)． 7．設(shè)，證明： . 8．求下列隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)： (1) 設(shè)，求； (2) 設(shè)，求； (3) 設(shè)，求； (4) 設(shè)，求. 9．設(shè)，求. 10．設(shè)有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，和分別由方程和確定，求． 11．設(shè)證明． 12．設(shè)都是由方程所確定的具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的

42、函數(shù)，證明． 13．求由下列方程組所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或偏導(dǎo)數(shù)： (1) 設(shè)，求； (2) 設(shè)，求； (3) 設(shè)，其中具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求. 14．設(shè)函數(shù)由方程組 所確定，求 第4節(jié) 方向?qū)?shù)和梯度 4.1 方向?qū)?shù) 利用二元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)可以解決函數(shù)沿平行于坐標軸方向的變化率問題．在許多實際問題中，還需要考慮函數(shù)沿其他方向的變化率．如要預(yù)報某地的風速(風力與風向)，就必須知道氣壓在該處沿某些方向的變化率

43、．因此，有必要引進多元函數(shù)在某點沿一給定方向的方向?qū)?shù)的概念． 定義1 設(shè)函數(shù)在點的某一鄰域內(nèi)有定義，為自點引出的射線，從x軸的正向逆時針轉(zhuǎn)到射線l的轉(zhuǎn)角為，為l上的另一點，記 (圖9—8)．如果極限 存在，則稱該極限值為函數(shù)在處沿方向l的方向?qū)?shù)，記作或，即 ． （9-4-1） 圖9—8 定義中的極限表達式還可表示成另一形式．設(shè)l的方向向量為e，則l的參數(shù)方程為 ?。? 所以，從而(9-4-1)式可表示為 ． （9-4-2） 關(guān)于方向?qū)?shù)存在的條件及計算方法，

44、有如下的定理． 定理1 如果函數(shù)在點處可微分，則函數(shù)在該點處沿任何方向l的方向?qū)?shù)都存在，且 =． （9-4-3） 證 由于函數(shù)在點處可微分，因此函數(shù)的增量為 ， ． 因為 ， 所以 從而得到 ． 這表明了方向?qū)?shù)是存在的，且有 ． 例1 求函數(shù)在點處從點到的方向的方向?qū)?shù)． 解 這里射線l的方向就是向量的方向，將單位化得： ＝， 得 ， ，

45、 ． 由偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)可知函數(shù)在xOy平面上是可微的，所以 ． 公式9-4-3)還有另外的形式： 設(shè)與l同向的單位向量為，其中α，β分別為l與x軸正向和y軸正向所成夾角(方向角)．則當滿足定理1的條件時，有  ． （9-4-4） 同樣可以證明：如果函數(shù)函數(shù)在點可微分，那么函數(shù)在該點沿著方向的方向?qū)?shù)為 ． （9-4-5） 例2 求函數(shù)在點沿l的方向的方向?qū)?shù)，其中l(wèi)的方向

46、角分別為． 解 與l同方向的單位向量為： 所以有 ． 函數(shù)在xOy平面上是可微的，所以 ． 4.2 梯度 函數(shù)在某點沿方向l的方向?qū)?shù)刻畫了函數(shù)沿方向l的變化情況，那么函數(shù)在某點究竟沿哪一個方向增加最快呢?為此將函數(shù)在處的方向?qū)?shù)的公式改寫為 ， 這里el＝(cosφ，sinφ)和為兩個向量，且el＝(cosφ，sinφ)為與方向l一致的單位向量，于是有 ． 可見，g與el的方向一致(亦即g與l的方向一致)時，達到最大，即函數(shù)變化最快，的最大值為，即 ． 于是給出梯度的定義． 定義2 設(shè)在點處存在偏導(dǎo)數(shù)和,則稱向量為函數(shù)在點P處的梯度，記作（

47、或)，即 ． 梯度的長度(或模)為 ＝． 故函數(shù)在點P處沿方向l的方向?qū)?shù)可寫為 ． 梯度方向就是函數(shù)值增加最快的方向，或者說函數(shù)變化率最大的方向，也就是說函數(shù)在P點處的所有方向?qū)?shù)(若存在)中，沿梯度方向的方向?qū)?shù)最大，并且等于梯度的長度；沿梯度反方向的方向?qū)?shù)最小且為 例3 設(shè)，求在點處沿任意方向的方向?qū)?shù)，并求方向?qū)?shù)的最大值和取得最大值的方向． 解 因為，， 所以 ＝． 由于沿梯度方向的方向?qū)?shù)最大，且最大方向?qū)?shù)為梯度的長度，而 ， ︱graDf︱＝． 因此在處方向?qū)?shù)的最大值為，取得最大值的方向為． 例4 設(shè)，，求及． 解

48、因為 ， 所以有 ． 習題9—4 1．求在點(1，2)處沿該點到點(2，2+)的方向的方向?qū)?shù)． 2．求在點(1，1，1)處沿該點到點(2，2，2)的方向的方向?qū)?shù)． 3．求在點(1，1，2)處沿方向l的方向?qū)?shù)，其中l(wèi)的方向角分別為． 4．求函數(shù)在點A(0，0，0)和點處的梯度以及它們的模． 5．求函數(shù)在點處沿與Ox軸的正方向所成角為α的方向l上的方向?qū)?shù)．問在什么情況下，此方向?qū)?shù)取得最大值？最小值？等于零？ 6．求函數(shù)在點處變化最快的方向,并求這個方向的方向?qū)?shù)． 第5節(jié) 多元函數(shù)的應(yīng)用 5.1 多元函

49、數(shù)微分學(xué)的幾何應(yīng)用 5.1.1 空間曲線的切線與法平面 設(shè)空間曲線的參數(shù)方程為 ： 這里假定在上可導(dǎo). 現(xiàn)在要求曲線上一點處的切線和法平面. 這里，，. 在曲線上點的附近取一點. 作曲線的割線，其方程為 ， 其中.以除上式各分母，得 ， 當點M沿著趨于點M0時割線的極限就是曲線在點M0處的切線. 所以當Dt?0，即M?M0時, 得曲線在點M0處的切線方程為 . 曲線的切向量: 切線的方向向量稱為曲線的切向量. 向量T 就是曲線在點M0處的一個切向量. 法平面: 通過點M0而與切線垂直的平面稱為曲線在點M0 處的法平面，其法平面方程為

50、 . 例1 求曲線在點處的切線及法平面方程. 解 因為，而點所對應(yīng)的參數(shù).所以切線的方向向量為 . 于是, 切線方程為 , 法平面方程為 即. 若曲線的方程為 ： 則曲線方程可看作參數(shù)方程: 若都在處可導(dǎo)，由上面的討論知，切向量為T .因此曲線在點處的切線方程為 ， 在點處的法平面方程為 . 若曲線的方程為 是曲線上的一個點. 設(shè)有對各個變量的連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且 這時方程組 在點的附近能確定惟一連續(xù)可微的隱函數(shù)組 使得 在方程組

51、 的兩邊分別對取導(dǎo)數(shù)，得到 故可解得 所以，得到曲線在點處的切線方程為 曲線在點處的法平面方程為 同理可推出：當和時，曲線在點處的切線方程和法平面方程. 例2 求曲線在點處的切線及法平面方程. 解 為求切向量，將所給方程的兩邊對x 求導(dǎo)數(shù).得 , 解方程組得，. . 所求切線方程為 , 法平面方程為 即 . 5.1.2 曲面的切平面與法線 設(shè)曲面的方程為 是曲面上的一點，并設(shè)函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)在該點連續(xù)且不同時為零. 在曲面上，過點任意引一條曲線,假定曲

52、線的參數(shù)方程式為 , 對應(yīng)于點且不全為零. 曲線在點的切向量為 T . 曲面方程兩端在的全導(dǎo)數(shù)為： . 引入向量 n= 易見T與n是垂直的.因為曲線是曲面上通過點的任意一條曲線，它們在點的切線都與同一向量n垂直，所以曲面上通過點的一切曲線在點的切線都在同一個平面上. 這個平面稱為曲面在點的切平面. 切平面的方程式是 . 曲面的法線: 通過點且垂直于切平面的直線稱為曲面在該點的法線. 法線方程為 . 曲面的法向量: 垂直于曲面上切平面的向量稱為曲面的法向量. 向量 n = 就是曲面在點處的一個法向量. 例3 求球面

53、在點處的切平面及法線方程式. 解 , . 法向量為n = 或n =. 所求切平面方程為 即. 法線方程為 . 討論: 若曲面方程為，問曲面的切平面及法線方程式是什么形式. 提示: 此時. n = . 例4 求旋轉(zhuǎn)拋物面在點處的切平面及法線方程. 解 n=, n. 所以在點處的切平面方程為 ，即. 法線方程為 . 5.2 多元函數(shù)的極值及其求法 5.2.1 多元函數(shù)的極值與最值 類似一

54、元函數(shù)的極值概念，我們有多元函數(shù)極值的概念． 定義1 設(shè)函數(shù)的定義域為， 為的內(nèi)點. 若存在的某個鄰域，對于該鄰域內(nèi)異于的任意點，都有 ， 則稱函數(shù)在點有極大值，點稱為函數(shù)的極大值點；若對于該鄰域內(nèi)異于的任意點，都有 ， 則稱函數(shù)在點有極小值，點稱為函數(shù)的極小值點．極大值與極小值統(tǒng)稱為函數(shù)的極值．使函數(shù)取得極值的點稱為函數(shù)的極值點． 例如：函數(shù)在點處取得極小值；函數(shù)在點處取得極大值；而函數(shù)在點處既不取得極大值也不取得極小值．這是因為，而在點的任何鄰域內(nèi)，既可取正值(Ⅰ、Ⅲ象限)，也可取負值(Ⅱ、Ⅳ象限)． 以上關(guān)于二元函數(shù)的極值的概念，可推廣到元函數(shù). 設(shè)元函數(shù)的定義域為， 為

55、的內(nèi)點. 若存在的某個鄰域，對于該鄰域內(nèi)異于的任意點，都有 （或）， 則稱函數(shù)在點有極大值(或極小值). 由一元函數(shù)取極值的必要條件，我們可以得到類似的二元函數(shù)取極值的必要條件． 定理1(極值存在的必要條件) 設(shè)函數(shù)在點處的兩個一階偏導(dǎo)數(shù)都存在，若是的極值點，則有 ． 證 若是的極值點，則固定變量，所得的一元函數(shù)在處取得相同的極值．由一元函數(shù)極值存在的必要條件可得，即 ． 同樣可證 ． 使得兩個一階偏導(dǎo)數(shù)都等于零的點稱為的駐點．定理1表明，偏導(dǎo)數(shù)存在的函數(shù)的極值點一定是駐點，但駐點未必是極值點．如，是它的駐點，但不是它的極值點．

56、 函數(shù)也有可能在偏導(dǎo)數(shù)不存在的點取得極值．如在處取得極大值，但該點的偏導(dǎo)數(shù)不存在． 怎樣判斷一個駐點究竟是否為極值點？下面給出一個判定定理． 定理2 (極值存在的充分條件) 設(shè)點是函數(shù)的駐點，且函數(shù)在點處的某鄰域內(nèi)具有連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù)，記 ， 則有 (1) 如果，則為的極值點；且當時，為極小值；當時，為極大值． (2) 如果，則不是的極值點． (3) 如果，則不能確定點是否為的極值點． 例5 求的極值． 解 由方程組 得駐點． 又 , ，， 在點處，，又，所以函數(shù)取得極小值； 在點處，，函數(shù)在該點不取得極值；

57、 在點處，，該點不是極值點； 在點處，，又，所以函數(shù)取得極大值． 與一元函數(shù)類似，我們也可提出如何求多元函數(shù)的最大值和最小值問題．如果在有界閉區(qū)域D上連續(xù)，則函數(shù)在D上必有最大(小)值，最大(小)值點可以在D的內(nèi)部，也可以在閉區(qū)域D的邊界上．如果在D的內(nèi)部取得最大(小)值，那么這最大(小)值也是函數(shù)的極大(小)值，在這種情況下，最大(小)值點一定是極大(小)值點之一．因此，要求函數(shù)在有界閉區(qū)域D上的最大(小)值時，需將函數(shù)的所有極大(小)值與邊界上的最大(小)值比較，其中最大的就是最大值，最小的就是最小值．這種處理方法遇到的麻煩是求區(qū)域邊界上的最大(小)值往往相當復(fù)雜． 例6 求二元

58、函數(shù)在由直線，x軸和y軸所圍成的閉區(qū)域D上的最大值與最小值． 解 由 得，和，其中點在區(qū)域D的內(nèi)部． 又 ． 利用定理2：，因此點是的極大值點，為極大值． 再考慮區(qū)域D的邊界上的函數(shù)值： 在邊界及上，． 在邊界上，將代入中，得． 記，令得或．已考慮，時，，這時． 比較以上各函數(shù)值：，，,可知在閉域D上的最大值為，最小值為． 在實際問題中，如果能根據(jù)實際情況斷定最大(小)值一定在D的內(nèi)部取得，并且函數(shù)在D的內(nèi)部只有一個駐點的話，那么肯定這個駐點處的函數(shù)值就是在D上的最大(小)值． 例7 某廠要用鋼板制造一個容積為的有蓋長方形水箱，問長、寬、高

59、各為多少時能使用料最省? 解 要使得用料最省，即要使得長方體的表面積最小，設(shè)水箱的長為x，寬為y，則高為，表面積 ． 由，得駐點(，）． 由題意知，表面積的最小值一定存在，且在開區(qū)域的內(nèi)部取得，故可斷定當長為，寬為，高為=時，表面積最小，即用料最省的水箱是正方形水箱． 5.2.2 條件極值和拉格朗日乘數(shù)法 以上討論的極值問題，除了函數(shù)的自變量限制在函數(shù)的定義域內(nèi)以外，沒有其他約束條件，這種極值稱為無條件極值．但在實際問題中，往往會遇到對函數(shù)的自變量還有附加條件限制的極值問題，這類極值問題稱為條件極值問題． 例如：假設(shè)某企業(yè)生產(chǎn)、兩種產(chǎn)品，其產(chǎn)量分別為，該企業(yè)的利潤函數(shù)為 ．

60、 同時該企業(yè)要求兩種產(chǎn)品的產(chǎn)量滿足的附加條件為 ． 怎樣求企業(yè)的最大利潤呢? 直接的做法就是消去約束條件，從中，求得，然后將代入利潤函數(shù)中得 ． 這樣問題轉(zhuǎn)化為無條件極值問題．按照一元函數(shù)的求極值方法，令得，再代入附加條件得．因此，當企業(yè)生產(chǎn)5個單位的A產(chǎn)品和7個單位的B產(chǎn)品時，可獲利潤最大，最大利潤為 ． 但是很多情況下，要從附加條件中解出某個變量不易實現(xiàn)，這就迫使我們尋求一種求條件極值的直接方法，拉格朗日乘數(shù)法能夠解決這個問題． 我們來分析函數(shù) 在條件 下取得極值的必要條件． 如果函數(shù)在處取得極值，則有

61、． 假定在的某一鄰域內(nèi)函數(shù)與均有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)，而且. 由隱函數(shù)存在定理可知，方程確定一個連續(xù)且具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)的函數(shù),將其代入，得 ． 函數(shù)在取得的極值，相當于函數(shù)在點取得的極值．由一元可導(dǎo)函數(shù)取得極值的必要條件可知 ． 而由隱函數(shù)的求導(dǎo)公式有 ， 把它代入上式得 ． 這個式子與就構(gòu)成了函數(shù)在條件下在點處取得極值的必要條件． 設(shè)，上述必要條件就變?yōu)? 引進輔助函數(shù) 則方程組前兩式就是 . 函數(shù)稱為拉格朗日函數(shù)，參數(shù)稱為拉格朗日乘子． 拉格朗日乘數(shù)法：欲求函數(shù)滿足條件的極值，可按如下步驟進行： (1) 構(gòu)造拉格朗日函數(shù) ， 其中為待定參數(shù). (2) 解方

62、程組 得及值，則就是所求的可能的極值點． (3) 判斷所求得的點是否為極值點，為極大值點還是極小值點． 這里我們再用拉格朗日乘數(shù)法來解答一下前面的例子． 先構(gòu)造拉格朗日函數(shù) ． 解方程組 得． 即當企業(yè)生產(chǎn)5個單位A產(chǎn)品，7個單位B產(chǎn)品時利潤最大，最大利潤為868． 拉格朗日乘數(shù)法還可以推廣到自變量多于兩個而條件多于一個的情形. 例如，要求函數(shù) 在附加條件 ， 下的極值，可以先做拉格朗日函數(shù) 其中均為參數(shù)，求其一階偏導(dǎo)數(shù)，并使之為零，與附加條件聯(lián)立方程組，就能得到可能的極值點． 例8 求函數(shù)在附加條件 下的極值. 解 作拉格朗日函數(shù) .

63、 則有 注意到以上三個方程的左端的第一項都是三個變量中某兩個變量的乘積，將各方程兩端同乘以相應(yīng)缺少的那個變量，使各方程左端的第一項都成為，然后將三個方程的左右兩端相加，得到 所以 . 則得到解為.由此得到點是函數(shù)的唯一可能的極值點.應(yīng)用二元函數(shù)極值的充分條件可知，點是極小值點.因此，函數(shù)在附加條件下在點處取得極小值 例9 假設(shè)某企業(yè)在兩個相互分割的市場上出售同一種產(chǎn)品，兩個市場的需求函數(shù)分別是 ， 其中和分別表示該產(chǎn)品在兩個市場的價格(單位：萬元/噸)，和分別表示該產(chǎn)品在兩個市場的銷售量(即需求量，單位：噸)，并且該企業(yè)生產(chǎn)這種產(chǎn)品的總成本函數(shù)是 ， 其中Q表示該

64、產(chǎn)品在兩個市場的銷售總量，即． (1)如果該企業(yè)實行價格差別策略，試確定兩個市場上該產(chǎn)品的銷售量和價格，使該企 業(yè)獲得最大利潤； (2)如果該企業(yè)實行價格無差別策略，試確定兩個市場上該產(chǎn)品銷售量及其統(tǒng)一的價格，使該企業(yè)的總利潤最大化；并比較兩種價格策略下的總利潤大?。? 解 (1)依題意，總利潤函數(shù)為 ． 由  得，則（萬元/噸)，（萬元／噸)．因只有惟一的駐點，且所討論的問題的最大值一定存在，故最大值必在駐點處取得．最大利潤為 （萬元）． (2) 若價格無差別，則，于是，問題化為求函數(shù)在約束條件下的極值． 構(gòu)造拉格朗日函數(shù) ． 由  得，則． 最大利潤為（

65、萬元）． 由(1)，(2)兩個結(jié)果可知，企業(yè)實行差別定價所得總利潤要大于統(tǒng)一定價的總利潤． 5.3 多元函數(shù)在經(jīng)濟學(xué)中的應(yīng)用 在一元函數(shù)的微分學(xué)中，我們通過導(dǎo)數(shù)研究了經(jīng)濟學(xué)中的邊際概念，如邊際成本，邊際收益、邊際利潤等．多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)，無非是對某一個自變量求導(dǎo)數(shù)，而將其他的自變量視作常量，它也反映了某一經(jīng)濟變量隨另一經(jīng)濟變量的變化率，因此在經(jīng)濟學(xué)中同樣也叫“邊際”函數(shù)． 5.3.1 邊際函數(shù) (1) 邊際需求 假設(shè)對某一商品的市場需求受到商品的價格P與企業(yè)的廣告投入A這兩個因素的影響，其需求函數(shù)為 ． 企業(yè)在決策時要研究商品價格的變化和企業(yè)廣告投入的變化會對商品的需

66、求產(chǎn)生怎樣的影響．為了解決這問題，一般的做法是假定其他變量不變，考慮一個變量變化時函數(shù)所受到的影響，這就要研究經(jīng)濟函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)． 價格變化對需求的邊際影響為 ; 廣告投入變化對需求的邊際影響為 ． 和分別稱為價格的邊際需求和廣告投入的邊際需求． (2) 邊際成本 設(shè)某企業(yè)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，產(chǎn)量分別為x , y,總成本函數(shù)為 ， 則甲產(chǎn)品的邊際成本為 ， 乙產(chǎn)品的邊際成本為 ． 5.3.2 偏彈性 與一元函數(shù)一樣，還可以定義多元函數(shù)的彈性概念，多元函數(shù)的各種彈性稱為偏彈性． (1) 需求的價格偏彈性 在經(jīng)濟活動中，商品的需求量Q受商品的價格、消費者的收入以及相關(guān)商品的價格等因素的影響．假設(shè) ． 若消費者收入及相關(guān)商品的價格不變時，商品需求量Q將隨價格的變化而變化．當存在時，則可定義需求的價格偏彈性為 ， 其中 ． (2) 需求的交叉價格偏彈性 需求的交叉價格偏彈性表示一種商品的需求量的變化相對另一種商品的價格變化的反應(yīng)程度，在需求函數(shù) 中，需求的交叉價格偏彈性定義為 ， 其中