2022九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè) 第2章 一元二次方程2.2 用配方法求解一元二次方程2.2.2 配方法教學(xué)設(shè)計(jì)（新版）北師大版

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1、精品文檔 2．2 配方法 課時(shí)安排 3課時(shí) 沉著說課 配方法是繼探索一元二次方程近似解的根底上研究的一種求精確解的方法．它是一元二次方程的解法的通法．因?yàn)橛门浞椒ń庖辉畏匠瘫葦M麻煩，一個(gè)一元二次方程需配一次方，所以在實(shí)際解一元二次方程時(shí)，一般不用配方法．但是，配方法是導(dǎo)出求根公式的關(guān)鍵，且在以后的學(xué)習(xí)中，會(huì)常常用到配方法．因此，要理解配方法，并會(huì)用配方法解一元二次方程. 本節(jié)的重點(diǎn)、難點(diǎn)是配方法．根據(jù)課程的特點(diǎn)，以及學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，本節(jié)內(nèi)容分三課時(shí)． 在教學(xué)時(shí)，首先從前面兩節(jié)課的實(shí)例引入求精確解.因?yàn)槲覀円呀?jīng)能解形如(x+a)2=b(b≥

2、0)的方程，所以想到要求一個(gè)一元二次方程的精確解時(shí)，是否可把方程轉(zhuǎn)化為已經(jīng)能解的方程，這時(shí)引入了一元二次方程的解法——配方法． 配方法的關(guān)鍵是正確配方，而要正確配方就必須熟悉完全平方式的特征． 教學(xué)方法主要是學(xué)生自主探索、發(fā)現(xiàn)的方法． 課 題 §2．2.2 配方法 教學(xué)目標(biāo) (一)教學(xué)知識(shí)點(diǎn) 1．會(huì)用開平方法解形如(x+m)2=n(n≥0)的方程． 2．理解一元二次方程的解法——配方法． (二)能力訓(xùn)練要求 1．會(huì)用開平方法解形如(x+m)2=n(n≥0)的方程；理解配方法． 2．體會(huì)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想

3、方法． 3．能根據(jù)具體問題的實(shí)際意義檢驗(yàn)結(jié)果的合理性． (三)情感與價(jià)值觀要求 通過師生的共同活動(dòng)，學(xué)生的進(jìn)一步操作來增強(qiáng)其數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)和能力． 教學(xué)重點(diǎn) 利用配方法解一元二次方程 教學(xué)難點(diǎn) 把一元二次方程通過配方轉(zhuǎn)化為(x+m)2＝n(n≥0)的形式． 教學(xué)方法 講練結(jié)合法 教具準(zhǔn)備 投影片六張： 第一張：問題(記作投影片§2．2．1 A) 第二張：議一議(記作投影片§ 2．2．1 B) —第三張：議一議(記作投影片§ 2．2．1 C) 第四張：想一想(記作投影片§2．2．1

4、 D) 第五張：做一做(記作投影片§2．2．1 E) 第六張：例題(記作投影片§2．2．1 F) 教學(xué)過程 Ⅰ．創(chuàng)設(shè)現(xiàn)實(shí)情景，引入新課 [師]前面我們?cè)鴮W(xué)習(xí)過平方根的意義及其性質(zhì)，現(xiàn)在來回憶一下：什么叫做平方根?平方根有哪些性質(zhì)? [生甲]如果一個(gè)數(shù)的平方等于a，那么這個(gè)數(shù)就叫做a的平方根。 用式子表示：假設(shè)x2=a，那么x叫做a的平方根． [生乙]平方根有以下性質(zhì)： (1)一個(gè)正數(shù)有兩個(gè)平方根，這兩個(gè)平方根是互為相反數(shù)的． (2)零的平方根是零． (3)負(fù)數(shù)沒有平方根． [

5、師]很好，那你能求出適合等式x2=4的x的值嗎? [生]由x2＝4可知，x就是4的平方根．因此x的值為2和-2． [師]很好；下面我們來看上兩節(jié)課研究過的問題．(出示投影片§2．2．1 A) 如圖，一個(gè)長為10 m的梯子斜靠在墻上，梯子的頂端距地面的垂直距離為8 m，如果梯子的頂端下滑1 m，那么梯子的底端滑動(dòng)多少米? [師]由前節(jié)課的分析可知：梯子底端滑動(dòng)的距離x(m)滿足x2+12x-15＝0．上節(jié)課我們已求出了x的近似值，那么你能設(shè)法求出它的精確值嗎? …… 這節(jié)課我們就來研究一元二次方程的解法． Ⅱ．講授新課

6、 [師]我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了一元二次方程的定義及有關(guān)概念，現(xiàn)在同學(xué)們來討論一下：你能解哪些一元二次方程? [生甲]等式x2=4就是一元二次方程， 像這樣類型的方程我們就能解. [生乙]方程(x+3)2＝9，我們也可以解，即是要求(x+3)，使它的平方等于9，而9的平方根是3和-3，所以(x+3)就等于3或-3，因此x＝0或x＝-6． [師]乙同學(xué)分析得很好，大家聽清楚了沒有?……好，下面大家看大屏幕(出示投影片§ 2．2．1 B) 你會(huì)解以下一元二次方程嗎?你是怎么做的? (1)x2＝5； (2)3x2＝0； (3)x2-4＝0； (

7、4)2x2-50＝0； (5)(x+2)2＝5； (6)(x-3)2＝6； (7)2x2+50＝0． [生甲]方程(1)的解為 ，-，因?yàn)閤是5的平方根． 方程(2)的解為0，因?yàn)榉匠?x2＝0可以化為x2＝0，即x是0的平方根． [生乙]方程(3)可以通過移項(xiàng)化為方程 (1)的形式，即x2＝4，所以方程(3)的根為2，-2． 方程(4)也可以通過移項(xiàng)化為方程(2)的形式，即2x2＝50，然后再化為x2＝25，因此 方程(4)的根為5，-5． [生丙]解方程(5)和(6)時(shí)，只要把(x+2)和(x-3)當(dāng)作整體看待，其形式就如方程

8、 (1)，這樣方程(5)和(6)即可求解． 方程(5)就是求(x+2)，使它的平方為5，那么x+2就等于 或- ，因此，x就等于-2+或-2-． 方程(6)就是求(x-3)，使它的平方為6，那么(x-3)就等于 或- ，因此，x等于 3+ 或3-． [生丁]方程(7)通過移項(xiàng)得2x2＝-50． 而由平方根的性質(zhì)可知：負(fù)數(shù)沒有平方根，所以沒有一個(gè)實(shí)數(shù)適合這個(gè)方程． [師]同學(xué)們分析得真棒，大家利用平方根的定義求解了一類一元二次方程，這種解一元二次方程的方法叫做直接開平方法．其中適合方程(7)的實(shí)數(shù)x不存在，所以原方程無實(shí)數(shù)解． 從剛剛的解題

9、過程中，我們知道了一元二次方程如果有解，那么它有兩個(gè)根，這兩個(gè)根可以是相等的，如方程(2)；也可以是不相等的，如方程(1)、(3)、(4)、(5)、(6)，所以我們?cè)跁鴮憰r(shí)，通常用x1、x2表示未知數(shù)為x的一元二次方程的兩個(gè)根． 注意： (1)方程3x2＝0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，即x1=0，x2=0．這與一元一次方程3x=0有一個(gè)根x＝0是有區(qū)別的． (2)剛剛我們解的一元二次方程，可用形式ax2+c=0來表示．當(dāng)a、c異號(hào)時(shí)，方程ax2+c＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)a、c同號(hào)時(shí)，ax2+c=0沒有實(shí)數(shù)根． 好，接下來同學(xué)們來看大屏幕(出示投影片§2．2

10、．1 C)。分組討論討論． 判斷以下方程能否用開平方法來求解?如何解? (1)x2-4x+4＝2； (2)x2+12x+36＝5． [生甲]方程(1)能用開平方法求解．因?yàn)榉匠?1)的左邊正好是一個(gè)完全平方式，右邊是一個(gè)正數(shù)，所以它可以化為(x-2)2＝2．這樣利用直接開平方法可得x-2=±，即x1=2+，x2=2-. [生乙]方程(2)也能用平方法來解，方法同解方程(1)，即原方程化為(x+6)2=5．兩邊分別開平方，得x+6＝±， 即x1＝-6+，x2＝-6- [師]很好，同學(xué)們根本了解了解一元二次方程的根本思路，誰來給大家表達(dá)一下呢?

11、 [生]解一元二次方程的根本思路是：把原方程變?yōu)?x+m)2＝n，然后兩邊同時(shí)開平方，這樣原方程就轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次方程． [師]真棒，實(shí)際上解一元二次方程的關(guān)鍵是要設(shè)法將其轉(zhuǎn)化為一元一次方程，即將原方程“降次〞，“降次〞也是一種數(shù)學(xué)方法． 下面我們來看能否求出方程x2+12x-15=0的精確值，同學(xué)們先來想一想：(出示投影片§2．2．1 D) 解方程x2+12x-15=0的困難在哪里?你能將方程x2+12x-15＝0轉(zhuǎn)化成(x+m)2=n的形式嗎? [生]解方程x2+12x-15＝0的困難就是：怎么樣能把x2+12x-15=0的左邊變成一個(gè)完全平方形式，右

12、邊變成一個(gè)非負(fù)數(shù)． [師]噢，那想一想完全平方式的特征是什么? [生]完全平方公式是:a2±2ab+b2＝(a±b)2 [師]好，下面大家來做一做．(出示投影片§2．2．1 E) 填上適當(dāng)?shù)臄?shù)，使以下等式成立． (1)x2+12x+ ＝(x+6)2； (2)x2-4x+ =(x- )2； (3)x2+8x+ ＝(x+ )2． [生甲](1)的左邊應(yīng)填上：36． (2)的左邊應(yīng)填上4，右邊填；2． (3)的左邊應(yīng)填上16，右邊填：4． [生乙]老師，我看出來了，這三個(gè)等式的左邊填

13、的常數(shù)是：一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方；而右邊填的是：一次項(xiàng)系數(shù)的一半．是嗎? [師]大家說呢? [生齊聲]是． [師]好，我們理解了完全平方式的特征后，把方程；x2+12x-15＝0轉(zhuǎn)化為(x+m)2＝n的形式． [師生共析]x2+12x-15＝0， 可以先把常數(shù)項(xiàng)移到方程的右邊，得 x2+12x＝15． 兩邊都加上62(一次項(xiàng)系數(shù)12的一半的平方)，得 x2+12x+62=15+62， 即(x+6)2＝51． [師]接下來能否求出方程x2+12x-15＝0的精確值，即梯子底端滑動(dòng)的距離呢?

14、 [生齊聲]能，給方程兩邊開平方，得 x+6＝±， 即x+6＝或x+6＝- 所以x1＝-6+,2＝-6-． [師]噢，所以梯子底端滑動(dòng)了(-6+)m或(-6-)m． [生]老師，梯子底端滑動(dòng)的距離是正數(shù)，不能是負(fù)數(shù)，所以x1是原問題的解，而x2不是． [師]大家說，對(duì)嗎? [生齊聲]對(duì)． [師]很好，x1，x2是方程x2+12x-15＝0的根，但x2不是原問題的解，所以應(yīng)舍去． 我們通過配成完全平方式的方法得到了一元二次方程x2+12x-15＝0的根，這種解一元二次方程的方法稱為配方法(Solving b

15、y completing the square)． 下面同學(xué)們來看一例題：(出示投影片§2．2．1 F) [例題]解方程x2+8x-9＝0． [師]大家能獨(dú)立解這個(gè)方程嗎? [生齊聲]能． 解：可以把常數(shù)項(xiàng)移到方程的右邊，得 x2+8x＝9． 兩邊都加上16，得 x2+8x+16＝9+16， 即(x+4)2=25． 開平方，得 x+4＝±5， 即x+4=5或x+4＝-5． 所以x1＝1，x2＝-9． [師]很好，由此我們可以知道：由配方法解一元二次方程的根本思

16、路是將方程轉(zhuǎn)化為(x+m)2＝n的形式，它的一邊是一個(gè)完全平方式，另一邊是一個(gè)常數(shù)，當(dāng)n≥0時(shí)，兩邊開平方便可求出它的根． 注；因?yàn)樵趯?shí)數(shù)范圍內(nèi)任何非負(fù)數(shù)都有平方根，所以當(dāng)n≥0時(shí)，方程有解；當(dāng)n<0時(shí)，左邊是一個(gè)完全平方式，右邊是一個(gè)負(fù)數(shù)，因此方程在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)無解． 接下來，通過做練習(xí)來進(jìn)一步穩(wěn)固本節(jié)所學(xué)的內(nèi)容． Ⅲ．課堂練習(xí) 課本P49隨堂練習(xí) 1 1．解以下方程 (1)x2-10x+25＝7；(2)x2+6x＝1． 解：(1)x2-10x+25＝7， (x-5)2＝7， x-5=±， 即

17、x-5=或x-5=-， 所以x1＝5+，x2＝5- (2)x2+6x＝1， x2+6x+9＝1+9， (x+3)2＝10， x+3＝±， 即x+3＝或x+3＝-． 所以x1＝-3+，x2＝-3-． Ⅳ．課時(shí)小結(jié) 這節(jié)課我們研究了一元二次方程的解法： (1)直接開平方法． (2)配方法． Ⅴ．課后作業(yè) (一)課本P49習(xí)題2．3 1、2 (二)1．預(yù)習(xí)內(nèi)容P49～P52 2．預(yù)習(xí)提綱 如何利用配方法解二次項(xiàng)系數(shù)不為1或一次項(xiàng)系數(shù)不為偶數(shù)

18、的一元二次方程． Ⅵ．活動(dòng)與探究 1．解以下關(guān)于x的方程： (1)＝1(a>0)； (2)x2-a＝0(a≥0)； (3)(x-a)2＝b2； (4)(ax+c)2＝d(d≥0，a≠0)． [過程]通過對(duì)此題的探究，讓學(xué)生了解字母系數(shù)的一元二次方程的解法與數(shù)字系數(shù)的一元二次方程的解法一樣，因?yàn)樨?fù)數(shù)沒有平方根，因此只有在判明了方程的兩邊均是非負(fù)數(shù)時(shí)，才能開平方．此題的(1)、(2)方程經(jīng)過變形后，可得x2＝a，因?yàn)榻o了條件a＞0或d≥0，所以可以對(duì)a進(jìn)行開平方；方程(3)中，兩邊都是完全平方式，可以同時(shí)開平方；方程(4)是給了

19、條件d≥0，所以也可以直接開平方． [結(jié)果] 解：(1)化簡為x2=a． 因?yàn)閍＞0， 所以兩邊同時(shí)開平方，得x＝±， 即x1=，x2＝-． (2)化簡為x2=a． 因?yàn)閍≥0， 所以兩邊同時(shí)開平方，得x＝±， 即x1=，x2＝-． (3)兩邊同時(shí)開平方，得 x-a=±， 即x-a＝b或x-a＝-b． 解關(guān)于x的方程，得 x1=a+b，x2=a-b． (4)因?yàn)閐≥0， 所以兩邊同時(shí)開平方，得ax+c＝± 即ax+c=或ax+c=， 又因?yàn)閍≠0， ∴x1= ，x2= 注意： 假設(shè)題目(4)中不給條件d≥0，那么要分情況討論如下： ①假設(shè)d>0時(shí)，那么有ax+c＝±， 得x1＝，x2＝ ②假設(shè)d＝0，那么有ax+c＝0， 所以x1＝x2＝-. ③假設(shè)d<0，那么因?yàn)橐粋€(gè)數(shù)的平方不可能 為負(fù)，所以此題無解． 板書設(shè)計(jì) 歡迎下載