高中數(shù)學(xué) 第一章 三角函數(shù) 1.1 任意角和弧度制 1.1.1 任意角學(xué)案 新人教A版必修4

《高中數(shù)學(xué) 第一章 三角函數(shù) 1.1 任意角和弧度制 1.1.1 任意角學(xué)案 新人教A版必修4》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《高中數(shù)學(xué) 第一章 三角函數(shù) 1.1 任意角和弧度制 1.1.1 任意角學(xué)案 新人教A版必修4（8頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、 1.1.1　任意角 學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.理解任意角的概念.2.掌握終邊相同角的含義及其表示．(重點(diǎn)、難點(diǎn))3.掌握軸線角、象限角及區(qū)間角的表示方法．(難點(diǎn)、易錯(cuò)點(diǎn)) [自 主 預(yù) 習(xí)·探 新 知] 1．角的概念：角可以看成平面內(nèi)一條射線繞著端點(diǎn)從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所形成的圖形． 2．角的表示：如圖1­1­1， 圖1­1­1 (1)始邊：射線的起始位置OA， (2)終邊：射線的終止位置OB， (3)頂點(diǎn)：射線的端點(diǎn)O. 這時(shí)，圖中的角α可記為“角α”或“∠α”或簡(jiǎn)記為“α”． 3．任意角的分類 (1)按旋轉(zhuǎn)方向分

2、 (2)按角的終邊位置分 ①前提：角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合 ②分類： [基礎(chǔ)自測(cè)] 1．思考辨析 (1)第二象限角大于第一象限角．(　　) (2)第二象限角是鈍角．(　　) (3)終邊相同的角不一定相等，但相等的角終邊一定相同．(　　) (4)終邊相同的角有無(wú)數(shù)個(gè)，它們相差360°的整數(shù)倍．(　　) [解析]　(1)錯(cuò)誤．如第二象限角100°小于第一象限角361°. (2)錯(cuò)誤．如第二象限角－181°不是鈍角． (3)(4)都正確． [答案]　(1)×　(2)×　(3)√　(4

3、)√ 2．50°角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，把終邊按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)2周，所得角是________． －670°　[由題意知，所得角是50°－2×360°＝－670°.] 3．已知0°≤α＜360°，且α與600°角終邊相同，則α＝________，它是第________象限角． 240°　三　[因?yàn)?00°＝360°＋240°，所以240°角與600°角終邊相同，且0°≤240°＜360°，故α＝240&#

4、176;，它是第三象限角．] [合 作 探 究·攻 重 難] 任意角和象限角的概念 　(1)給出下列說(shuō)法： ①銳角都是第一象限角；②第一象限角一定不是負(fù)角；③小于180°的角是鈍角、直角或銳角；④始邊和終邊重合的角是零角． 其中正確說(shuō)法的序號(hào)為________(把正確說(shuō)法的序號(hào)都寫上)． (2)已知角的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，作出下列各角，并指出它們是第幾象限角． ①420°.②855°.③－510°. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：84352000】 (1)①　[(1)①銳角是大于0°且小于90°的

5、角，終邊落在第一象限，是第一象限角，所以①正確； ②－350°角是第一象限角，但它是負(fù)角，所以②錯(cuò)誤； ③0°角是小于180°的角，但它既不是鈍角，也不是直角或銳角，所以③錯(cuò)誤； ④360°角的始邊與終邊重合，但它不是零角，所以④錯(cuò)誤．] (2)作出各角的終邊，如圖所示： 由圖可知： ①420°是第一象限角． ②855°是第二象限角． ③－510°是第三象限角． [規(guī)律方法]　1.判斷角的概念問(wèn)題的關(guān)鍵與技巧： (1)關(guān)鍵：正確理解象限角與銳角、直角、鈍角、平角、周角等概念． (2)技巧：判斷命題為

6、真需要證明，而判斷命題為假只要舉出反例即可． 2．象限角的判定方法： (1)在坐標(biāo)系中畫出相應(yīng)的角，觀察終邊的位置，確定象限． (2)第一步，將α寫成α＝k·360°＋β(k∈Z,0°≤β<360°)的形式； 第二步，判斷β的終邊所在的象限； 第三步，根據(jù)β的終邊所在的象限，即可確定α的終邊所在的象限． 提醒：理解任意角這一概念時(shí)，要注意“旋轉(zhuǎn)方向”決定角的“正負(fù)”，“旋轉(zhuǎn)幅度”決定角的“絕對(duì)值大小”． [跟蹤訓(xùn)練] 1．已知集合A＝{第一象限角}，B＝{銳角}，C＝{小于90°的角}，則下面關(guān)系正確的是(　　) A．A

7、＝B＝C B．A?C C．A∩C＝B D．B∪C?C D　[由已知得BC，所以B∪C＝C，故D正確．] 2．給出下列四個(gè)命題：①－75°是第四象限角；②225°是第三象限角；③475°是第二象限角；④－315°是第一象限角．其中正確的命題有(　　) 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：84352001】 A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè) D　[－90°＜－75°＜0°，180°＜225°＜270°， 360°＋90°＜475°＜360°＋180

8、6;，－360°＜－315°＜－270°.所以這四個(gè)命題都是正確的．] 終邊相同的角的表示及應(yīng)用 　(1)將－885°化為k·360°＋α(0°≤α＜360°，k∈Z)的形式是________． (2)寫出與α＝－1 910°終邊相同的角的集合，并把集合中適合不等式－720°≤β＜360°的元素β寫出來(lái)． [思路探究]　(1)根據(jù)－885°與k·360°，k∈Z的關(guān)系確定k. (2)先寫出與α終邊相同的角k·360°＋α，

9、k∈Z，再由已知不等式確定k的可能取值． (1)(－3)×360°＋195°　[(1)－885°＝－1 080°＋195°＝(－3)×360°＋195°.] (2)與α＝－1 910°終邊相同的角的集合為 {β|β＝k·360°－1 910°，k∈Z}． ∵－720°≤β＜360°，即－720°≤k·360°－1 910°＜360°(k∈Z)， ∴3≤k＜6(k∈Z)，故取k＝4,5,6

10、. k＝4時(shí)，β＝4×360°－1 910°＝－470°； k＝5時(shí)，β＝5×360°－1 910°＝－110°； k＝6時(shí)，β＝6×360°－1 910°＝250°. [規(guī)律方法]　1.在0°到360°范圍內(nèi)找與給定角終邊相同的角的方法 (1)一般地，可以將所給的角α化成k·360°＋β的形式(其中0°≤β＜360°，k∈Z)，其中的β就是所求的角． (2)如果所給的角的絕對(duì)值不是很大，可以通過(guò)如下方法

11、完成：當(dāng)所給角是負(fù)角時(shí)，采用連續(xù)加360°的方式；當(dāng)所給角是正角時(shí)，采用連續(xù)減360°的方式，直到所得結(jié)果達(dá)到要求為止． 2．運(yùn)用終邊相同的角的注意點(diǎn) 所有與角α終邊相同的角，連同角α在內(nèi)可以用式子k·360°＋α，k∈Z表示，在運(yùn)用時(shí)需注意以下四點(diǎn)： (1)k是整數(shù)，這個(gè)條件不能漏掉． (2)α是任意角． (3)k·360°與α之間用“＋”連接，如k·360°－30°應(yīng)看成k·360°＋(－30°)，k∈Z. (4)終邊相同的角不一定相等，但相等的角終邊一定相同

12、，終邊相同的角有無(wú)數(shù)個(gè)，它們相差周角的整數(shù)倍． 提醒：表示終邊相同的角，k∈Z這一條件不能少． [跟蹤訓(xùn)練] 3．下面與－850°12′終邊相同的角是(　　) A．230°12′ B．229°48′ C．129°48′ D．130°12′ B　[與－850°12′終邊相同的角可表示為α＝－850°12′＋k·360°(k∈Z)，當(dāng)k＝3時(shí)，α＝－850°12′＋1 080°＝229°48′.] 4．在－360°～360°之間找出所有與下列各角

13、終邊相同的角，并判斷各角所在的象限． ①790°；②－20°. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：84352002】 [解]?、佟?90°＝2×360°＋70°＝3×360°－290°， ∴在－360°～360°之間與它終邊相同的角是70°和－290°，它們都是第一象限的角． ②∵－20°＝－360°＋340°， ∴在－360°～360°之間與它終邊相同的角是－20°和340°，它們都是第四象限的角．

14、任意角終邊位置的確定和表示 [探究問(wèn)題] 1．若射線OA的位置是k·360°＋10°，k∈Z，射線OA繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°經(jīng)過(guò)的區(qū)域?yàn)镈，則終邊落在區(qū)域D(包括邊界)的角的集合應(yīng)如何表示？ 提示：終邊落在區(qū)域D包括邊界的角的集合可表示為{α|k·360°＋10°≤α≤k·360°＋100°，k∈Z}． 2．若角α與β的終邊關(guān)于x軸、y軸、原點(diǎn)、直線y＝x對(duì)稱，則角α與β分別具有怎樣的關(guān)系？ [提示]　(1)關(guān)于x軸對(duì)稱：若角α與β的終邊關(guān)于x軸對(duì)稱，則角α與β的關(guān)系是β＝－α＋k&#

15、183;360°，k∈Z. (2)關(guān)于y軸對(duì)稱：若角α與β的終邊關(guān)于y軸對(duì)稱，則角α與β的關(guān)系是β＝180°－α＋k·360°，k∈Z. (3)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱：若角α與β的終邊關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則角α與β的關(guān)系是β＝180°＋α＋k·360°，k∈Z. (4)關(guān)于直線y＝x對(duì)稱：若角α與β的終邊關(guān)于直線y＝x對(duì)稱，則角α與β的關(guān)系是β＝－α＋90°＋k·360°，k∈Z. 　(1)若α是第一象限角，則－是(　　) A．第一象限角 B．第一、四象限角 C．第二象限角 D．第二、四象限角

16、 (2)已知，如圖1­1­2所示． 圖1­1­2 ①分別寫出終邊落在OA，OB位置上的角的集合． ②寫出終邊落在陰影部分(包括邊界)的角的集合. [思路探究]　(1)→→ (2)①→ ② → (1)D　[(1)因?yàn)棣潦堑谝幌笙藿?，所以k·360°＜α＜k·360°＋90°，k∈Z， 所以k·180°＜＜k·180°＋90°，k∈Z， 所以是第一、三象限角， 又因?yàn)椋c的終邊關(guān)于x軸對(duì)稱， 所以－是第二、四象限角．] (

17、2)①終邊落在OA位置上的角的集合為{α|α＝90°＋45°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝135°＋k·360°，k∈Z}； 終邊落在OB位置上的角的集合為{α|α＝－30°＋k·360°，k∈Z}． ②由題干圖可知，陰影部分(包括邊界)的角的集合是由所有介于[－30°，135°]之間的與之終邊相同的角組成的集合，故該區(qū)域可表示為{α|－30°＋k·360°≤α≤135°＋k·360°，k∈Z}． 母題探

18、究：1.若將本例(2)改為如圖1­1­3所示的圖形，那么終邊落在陰影部分(包括邊界)的角的集合如何表示？ 圖1­1­3 [解]　在0°～360°范圍內(nèi)，終邊落在陰影部分(包括邊界)的角為60°≤β＜105°與240°≤β＜285°，所以所有滿足題意的角β為{β|k·360°＋60°≤β＜k·360°＋105°，k∈Z}∪{β|k·360°＋240°≤β＜k·360°＋285

19、76;，k∈Z} ＝{β|2k·180°＋60°≤β＜2k·180°＋105°，k∈Z}∪{β|(2k＋1)·180°＋60°≤β＜(2k＋1)·180°＋105°，k∈Z} ＝{β|n·180°＋60°≤β＜n·180°＋105°，n∈Z}． 故角β的取值集合為{β|n·180°＋60°≤β＜n·180°＋105°，n∈Z}． 2．若將本例(2)改

20、為如圖1­1­4所示的圖形，那么陰影部分(包括邊界)表示的終邊相同的角的集合如何表示？ 圖1­1­4 [解]　在0°～360°范圍內(nèi)，陰影部分(包括邊界)表示的范圍可表示為：150°≤β≤225°，則所有滿足條件的角β為{β|k·360°＋150°≤β≤k·360°＋225°，k∈Z}． [規(guī)律方法]　1.表示區(qū)間角的三個(gè)步驟： 第一步：先按逆時(shí)針的方向找到區(qū)域的起始和終止邊界； 第二步：按由小到大分別標(biāo)出起始和終止邊界對(duì)應(yīng)的－360

21、6;～360°范圍內(nèi)的角α和β，寫出最簡(jiǎn)區(qū)間{x|α<x<β}，其中β－α<360°； 第三步：起始、終止邊界對(duì)應(yīng)角α，β再加上360°的整數(shù)倍，即得區(qū)間角集合． 2．nα或所在象限的判斷方法： (1)用不等式表示出角nα或的范圍； (2)用旋轉(zhuǎn)的觀點(diǎn)確定角nα或所在象限． 例如：k·120°＜＜k·120°＋30°，k∈Z. 由0°＜＜30°，每次逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°可得終邊的位置． 提醒：表示區(qū)間角時(shí)要注意實(shí)線邊界與虛線邊界的差異． [當(dāng) 堂 達(dá) 標(biāo)

22、·固 雙 基] 1．下列說(shuō)法正確的是(　　) A．三角形的內(nèi)角是第一象限角或第二象限角 B．第四象限的角一定是負(fù)角 C．60°角與600°角是終邊相同的角 D．將表的分針撥慢10分鐘，則分針轉(zhuǎn)過(guò)的角為60° D　[A錯(cuò)誤，90°角既不是第一象限角也不是第二象限角； B錯(cuò)誤，280°角是第四象限角，但它不是負(fù)角； C錯(cuò)誤，600°－60°＝540°不是360°的倍數(shù)； D正確，分針轉(zhuǎn)一周為60分鐘，轉(zhuǎn)過(guò)的角度為－360°，將分針撥慢是逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，撥慢10分鐘轉(zhuǎn)過(guò)的角為3

23、60°×＝60°.] 2．下列各個(gè)角中與2 017°終邊相同的是(　　) A．－147°　　　 B．677°　　　 C．317°　　　 D．217° D　[因?yàn)? 017°＝360°×5＋217°，所以與2 017°終邊相同的角是217°.] 3．已知角α的終邊在如圖1­1­5陰影表示的范圍內(nèi)(不包含邊界)，那么角α的集合是________. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：84352004】 圖1­1­5 {α|k&

24、#183;360°＋45°＜α＜k·360°＋150°，k∈Z}　[觀察圖形可知，角α的集合是{α|k·360°＋45°＜α＜k·360°＋150°，k∈Z}．] 4．角α，β的終邊關(guān)于y軸對(duì)稱，若α＝30°，則β＝________. 150°＋k·360°，k∈Z　[∵30°與150°的終邊關(guān)于y軸對(duì)稱， ∴β的終邊與150°角的終邊相同． ∴β＝150°＋k·360°，k∈Z

25、.] 5．在0°到360°范圍內(nèi)，找出與下列各角終邊相同的角，并判斷它們是第幾象限的角： (1)－120°；(2)640°. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：84352005】 [解]　(1)與－120°終邊相同的角的集合為M＝{β|β＝－120°＋k·360°，k∈Z}． 當(dāng)k＝1時(shí)，β＝－120°＋1×360°＝240°， ∴在0°到360°范圍內(nèi)，與－120°終邊相同的角是240°，它是第三象限的角． (2)與640°終邊相同的角的集合為M＝{β|β＝640°＋k·360°，k∈Z}． 當(dāng)k＝－1時(shí)，β＝640°－360°＝280°， ∴在0°到360°范圍內(nèi)，與640°終邊相同的角為280°，它是第四象限的角． 我國(guó)經(jīng)濟(jì)發(fā)展進(jìn)入新常態(tài)，需要轉(zhuǎn)變經(jīng)濟(jì)發(fā)展方式，改變粗放式增長(zhǎng)模式，不斷優(yōu)化經(jīng)濟(jì)結(jié)構(gòu)，實(shí)現(xiàn)經(jīng)濟(jì)健康可持續(xù)發(fā)展進(jìn)區(qū)域協(xié)調(diào)發(fā)展，推進(jìn)新型城鎮(zhèn)化，推動(dòng)城鄉(xiāng)發(fā)展一體化因：我國(guó)經(jīng)濟(jì)發(fā)展還面臨區(qū)域發(fā)展不平衡、城鎮(zhèn)化水平不高、城鄉(xiāng)發(fā)展不平衡不協(xié)調(diào)等現(xiàn)實(shí)挑戰(zhàn)。