高中數(shù)學(xué)《生活中的優(yōu)化問(wèn)題舉例》文字素材1新人教A版選修2-2

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1、 怎樣建立數(shù)學(xué)模型 一、什么是數(shù)學(xué)模型和數(shù)學(xué)建模 ? 數(shù)學(xué)模型 (Mathematical Model) 是用數(shù)學(xué)符號(hào)對(duì)一類(lèi)實(shí)際問(wèn)題或?qū)嶋H系統(tǒng)發(fā)生的現(xiàn)象的 ( 近似的 ) 描述 . 而數(shù)學(xué)建模 (Mathematical Modeling) 則是獲得該模型、求解該模型并得到 結(jié)論以及驗(yàn)證結(jié)論是否正確的全過(guò)程 , 數(shù)學(xué)建模不僅是了解系統(tǒng)的基本規(guī)律的強(qiáng)有力的工 具, 而且從應(yīng)用的觀點(diǎn)來(lái)看更重要的是預(yù)測(cè)和控制所建模系統(tǒng)的行為的強(qiáng)有力的工具 . 許 多重要的物理現(xiàn)象 , 常常是從某個(gè)實(shí)

2、際問(wèn)題的簡(jiǎn)化數(shù)學(xué)模型的求解中發(fā)現(xiàn) , 并給予明確的 數(shù)學(xué)表述 , 例如 , 混沌、孤立子、奇異吸引子等 . 數(shù)學(xué)建模本身并不是什么新東西 . 縱觀科學(xué)技術(shù)發(fā)展史 , 我們可以看到數(shù)學(xué)建模的思 想和方法自古以來(lái)就是天文學(xué)家、 物理學(xué)家、 數(shù)學(xué)家等用數(shù)學(xué)作為工具來(lái)解決各種實(shí)際問(wèn)題 的主要方法 . 不過(guò)數(shù)學(xué)建模這個(gè)術(shù)語(yǔ)的出現(xiàn)和頻繁使用是 20 世紀(jì) 60 年代以后的事情 . 很重 要的原因是 , 由于計(jì)算的速度、 精度和可視化手段等長(zhǎng)期沒(méi)有解決 , 以及其他種種原因 , 導(dǎo) 致有了數(shù)學(xué)模型 , 但是解不出來(lái)

3、 , 算不出來(lái)或不能及時(shí)地算出來(lái) , 更不能形象地展示出來(lái) , 從而無(wú)法驗(yàn)證數(shù)學(xué)建模全過(guò)程的正確性和可用性 , 數(shù)學(xué)建模的重要性逐漸被人“淡忘”了. 然而，恰恰是在 20 世紀(jì)后半葉，計(jì)算機(jī)、計(jì)算速度和精度，并行計(jì)算、網(wǎng)絡(luò)技術(shù)等計(jì)算技 術(shù)以及其他技術(shù)突飛猛進(jìn)的飛速發(fā)展 , 給了數(shù)學(xué)建模這一技術(shù)以極大的推動(dòng) , 不僅重新煥 發(fā)了數(shù)學(xué)建模的活力 , 更是如虎添翼地顯示了數(shù)學(xué)建模的強(qiáng)大威力 . 而且，通過(guò)數(shù)學(xué)建模也 極大地?cái)U(kuò)大了數(shù)學(xué)的應(yīng)用領(lǐng)域 . 現(xiàn)在 數(shù)學(xué)建模以及相伴的計(jì)算和模擬 (Simulation, 有人也 譯作“仿真”

4、) 已經(jīng)成為現(xiàn)代科學(xué)的一種基本技術(shù) — 數(shù)學(xué)技術(shù) . 在各種研究方法 , 特別是 與應(yīng)用電子計(jì)算機(jī)有關(guān)的研究方法中 , 占有主導(dǎo)地位 . 在科技、經(jīng)濟(jì)和政府部門(mén)的一部分人 中, 在某種意義下 , 甚至已經(jīng)成為一種生活方式 ( way of life ), 數(shù)學(xué)建模無(wú)處不在 . 在抵 押貸款買(mǎi)房和商業(yè)談判等日常生活中都要用到數(shù)學(xué)建模的思想和方法 . 人們?cè)絹?lái)越認(rèn)識(shí)到 數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)建模的重要性 . 在大、中學(xué)的教材中經(jīng)常出現(xiàn)各種各樣的數(shù)學(xué)模型 , 因此 , 學(xué)習(xí) 和初步應(yīng)用數(shù)學(xué)建模的思想和方法已經(jīng)成為當(dāng)代大學(xué)生 , 以至生活在現(xiàn)代社

5、會(huì)的每一個(gè)人 , 必須學(xué)習(xí)的重要內(nèi)容 . 在部分中學(xué) , 都開(kāi)設(shè)了數(shù)學(xué)建模課 ; 自 1992 年開(kāi)始舉辦的“中國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽 (China Undergraduate Mathematical Contest in Modeling, 縮寫(xiě)為 CUMCM) ”已經(jīng)成為我國(guó)大學(xué)生課余最大的科技活動(dòng) . ( 想了 解 CUMCM更多細(xì)節(jié)的讀者可以訪問(wèn)網(wǎng)站 ). 于 1985 年開(kāi)始舉辦的 “美國(guó) 大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽 (Mathematical Contest in Modeling, 縮寫(xiě)為 MCM) ”以及與 1999

6、 年 起開(kāi)始增加的“美國(guó)大學(xué)生跨學(xué)科建模競(jìng)賽 (Interdisciplinary Contest in Modeling, 縮 寫(xiě)為 ICM) ”也是我國(guó)大學(xué)生非常樂(lè)于參加的數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽 , 近年來(lái)這兩個(gè)競(jìng)賽有一半以上的參賽隊(duì)來(lái)自中國(guó) . ( 想了解 MCM和 ICM更多的細(xì)節(jié)的讀者可以訪問(wèn)網(wǎng)站 ). 對(duì)實(shí)際現(xiàn)象的定量研究的重要性和挑戰(zhàn)在于怎樣去建立能夠更好地了解該現(xiàn)象 , 并且可以 應(yīng)用數(shù)學(xué)方法來(lái)解決的數(shù)學(xué)模型 ( 數(shù)學(xué)問(wèn)題 ). 實(shí)際現(xiàn)象通常都是極為復(fù)雜的 , 不經(jīng)過(guò)理想 化和簡(jiǎn)化是很難進(jìn)行定量研究的 . 因此 , 數(shù)學(xué)建模的全過(guò)程大體

7、上可歸納為以下步驟： 1. 對(duì)某個(gè)實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行觀察、分析 ( 是否抓住主要方面 ); 2. 對(duì)實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行必要的抽象、簡(jiǎn)化，作出合理的假設(shè) ( 往往是很不容易的 ); 3. 確定要建立的模型中的變量和參數(shù); 4. 根據(jù)某種“規(guī)律” ( 已知的各學(xué)科中的定律 , 甚至是經(jīng)驗(yàn)的規(guī)律 ) 建立變量和參數(shù)間確 用心 愛(ài)心 專(zhuān)心 1 定的數(shù)學(xué)關(guān)系 ( 明確的數(shù)學(xué)問(wèn)題或在這個(gè)層次上的一個(gè)數(shù)學(xué)模型 ), 這可能是一個(gè)非常 具有挑戰(zhàn)性的數(shù)學(xué)問(wèn)題 ; 5. 解析或近似地求解該數(shù)學(xué)問(wèn)題 . 這往往涉及復(fù)

8、雜的數(shù)學(xué)理論和方法, 近似方法和算法 ; 6. 數(shù)學(xué)的結(jié)論能否展示、解釋甚至預(yù)測(cè)實(shí)際問(wèn)題中出現(xiàn)的現(xiàn)象 , 或用某種方法 ( 例如，歷 史數(shù)據(jù)、實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)或現(xiàn)場(chǎng)測(cè)試數(shù)據(jù)等 ) 來(lái)驗(yàn)證結(jié)論是否合理、正確 , 這也是很不容易的 ; 7. 如果第 6 步的結(jié)果是肯定的， 那么就可以付之試用 ; 如果是否定的， 那就要回到第 1 – 6 步進(jìn)行仔細(xì)分析，重復(fù)上述建模過(guò)程。 因此，如果要對(duì)數(shù)學(xué)建模下定義的話 , 那就是 : 數(shù)學(xué)建模就是上述 7個(gè)步驟的多次重復(fù)執(zhí)行的過(guò)程 . 或用框圖來(lái)表示如下： 觀察、分析實(shí)際問(wèn)題

9、→→→→→→→→ ↓ ↑ 抽象、簡(jiǎn)化，確定變量和參數(shù) ↑ ↓ 利用某種“定律”建立變量 和參數(shù)間的確定的關(guān)系（數(shù)學(xué) 問(wèn)題 , 這個(gè)層次上的一個(gè)數(shù)學(xué) 模型） ↑ ↓ 解析或“近似”地求解該 數(shù)學(xué)問(wèn)題（數(shù)學(xué)模型） ↓ 解釋、驗(yàn)證 ↑ ↓ ←←←←←← 通不過(guò) ↓ ↓ 通過(guò) ↓ 可應(yīng)用該數(shù)學(xué)模型 由此可見(jiàn) , 數(shù)學(xué)建模過(guò)程中最重要的三個(gè)要素 , 也是三個(gè)最大的難點(diǎn)是 : 1. 怎樣從實(shí)際情況出發(fā)做出 合理的假設(shè) , 從而得到可以執(zhí)行的合理的數(shù)學(xué)模型 ; 2. 怎樣 求解 模型

10、中出現(xiàn)的 數(shù)學(xué)問(wèn)題 , 它可能是非常困難的問(wèn)題 ; 3. 怎樣 驗(yàn)證模型的結(jié)論 是合理、正確、可行的 . 所以 , 當(dāng)你看到一個(gè)數(shù)學(xué)模型時(shí) , 就一定要問(wèn)問(wèn)或者想一想它的假設(shè)是什么 , 是否合 理 ? 模型中的數(shù)學(xué)問(wèn)題是否很難 , 數(shù)學(xué)上是否已經(jīng)解決 ? 怎樣驗(yàn)證該模型的正確與可行性 ? 當(dāng)你在學(xué)習(xí)有關(guān)后繼課程或參加具體的數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)時(shí)牢記這三條 , 一定會(huì)受益匪淺 . 另外 , 在建模過(guò)程中還有一條不成文的原則 : “從簡(jiǎn)單到精細(xì)” , 也就是說(shuō) , 首先建立 一個(gè)比較簡(jiǎn)單但盡可能合理的模型 , 對(duì)該模型中的數(shù)學(xué)問(wèn)題有可能解決很徹底 , 從而能夠

11、 用心 愛(ài)心 專(zhuān)心 2 做到僅僅通過(guò)實(shí)驗(yàn)觀察不可能做到的事情 , 甚至發(fā)現(xiàn)重要的現(xiàn)象 . 如果在求解該模型的結(jié) 果不合理 , 甚至完全錯(cuò)誤 , 那么它也有可能告訴我們?nèi)绾胃倪M(jìn)的方向 . 要想比較成功地運(yùn)用數(shù)學(xué)建模去解決真正的實(shí)際問(wèn)題 , 還要學(xué)習(xí) “雙向翻譯” 的能力 , 即 能夠把實(shí)際問(wèn)題用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表述出來(lái) , 而且能夠把數(shù)學(xué)建模得到的 ( 往往是用數(shù)學(xué)形式 表述的 ) 結(jié)果 , 用普通人 ( 或者說(shuō)要應(yīng)用這些結(jié)果的非數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)的人士 ) 能夠懂的普通語(yǔ)言 表述出來(lái) . 二、可口可樂(lè)罐頭為什么是這種樣子 ?

12、 可口可樂(lè)、 雪碧、健力寶等銷(xiāo)量極大的飲料罐 ( 易拉罐 ) 頂蓋的直徑和從頂蓋到底部的高之比為多少 ? 為什么 ? 它們的形狀為什么是這樣的 ? “用鐵皮做成一個(gè)容積一定的圓柱形的無(wú)蓋 ( 或有蓋 ) 容器，問(wèn)應(yīng)當(dāng)如何設(shè)計(jì)，才能使用 料最省，這時(shí)圓柱的直徑和高之比為多少 ? ” 實(shí)際上 , 用幾何語(yǔ)言來(lái)表述就是 : 體積給定的正圓柱體 , 其表面積最小的尺寸 ( 半徑和 高) 為多少 ? 表面積用 S 表示 , 體積用 V 表示 , 則用微積分的典型的解法是 S(r , h) 2 r h r 2 r 2 2 [ r 2 rh ] V r 2

13、h, h V / r 2 S(r ) 2 [ r 2 V / r ] S (r ) 2 (2r  V r  2  ) 2 (2r 3 V ) 0 r 2 r  3  V , 2 h V V 3 4 2 3 4 2V 3 3 8V d . r 2 V 2 2 2 2r V 2 結(jié)論 : 正圓柱體的直徑等于高 .

14、 測(cè)量一個(gè)可口可樂(lè)飲料罐 : 它頂蓋的直徑和從頂蓋到底部的高 : 約為 6厘米和 12厘米 . 中間胖的部分的直徑約為 6.6 厘米，胖的部分高約為 10.2 厘米 . 可口可樂(lè)飲料罐上標(biāo)明凈含量為 355 毫升 ( 即 355 立方厘米 ). 實(shí)際的罐內(nèi)體積為 365 毫 升. 怎樣測(cè)量比較簡(jiǎn)捷 ? 簡(jiǎn)化模型 分析和假設(shè)： 首先把飲料罐近似看成一個(gè)正圓柱是有一定

15、合理性的 . 要求飲料罐內(nèi)體積一定 用心 愛(ài)心 專(zhuān)心 3 時(shí), 求能使易拉罐制作所用的材料最省的頂蓋的直徑和從頂蓋到底部的高之比 . 實(shí)際上，飲料罐的形狀是如下平面圖形繞其中軸線旋轉(zhuǎn)而成的立體。 my = {AbsoluteThickness[2],Line[{{2.3,0.4},{2.3,0},{2.7,0}, {2.7,0.8},{3.3,0.8},{3.

16、3,11},{3,12},{3,12.4},{2.7,0},{-3,12}, {-3,12.4},{-3,12},{-3.3,11},{-3.3,0.8},{-2.7,0.8},{-2.7,0}, {-2.3,0},{-2.3,0.4}}]} mygrapg = Show[Graphic[my],AxesLabel->{x,y}, AspectRatio->Automatic, PlotRange->{0,12.4}] 用手摸一下頂蓋就能感覺(jué)到它的硬度要比其他的材料要硬 ( 厚 , 因?yàn)橐箘爬?), 假設(shè)除 易拉罐的頂蓋外 , 罐的厚度相同 ,

17、記作 b , 頂蓋的厚度為 b . 想象一下 , 硬度體 現(xiàn)在同樣材料的厚度上 ( 有人測(cè)量過(guò) , 頂蓋厚度大約是其他部分的材料厚度的 3 倍 ). 因此 , 我們可以進(jìn)行如下的數(shù)學(xué)建模 . 這時(shí)必須考慮所用材料的體積 ( 或者每單位體積的材料的價(jià) 格 ). F={AbsoluteThickness[1],Line[{{-3.1,0},{3.1,0},{3.1,12.4}, {-3.1,0},{-3,0.1},{3,0.1},{3,12.1},{-3,12.1},{-3,0.1}}]} mygrapg = Show[Graphic[F],AxesLabel->

18、{x,y}, AspectRatio->Automatic, PlotRange->{0,12.5}] 用心 愛(ài)心 專(zhuān)心 4 明確變量和參數(shù)： 設(shè)飲料罐的半徑為 r （因此，直徑為 d = 2r ）, 罐的高為 h. 罐內(nèi)體積為 V. b 為除頂蓋外的材料的厚度 . 其中 r, h 是自變量 , 所用材料的體積 SV 是

19、因變量 , 而 b 和 V 是固定參數(shù) , 是待定參數(shù) . 飲料罐側(cè)面所用材料的體積為 ( (r b)2 r 2 )(h (1 )b) (2 rb b2 )(h (1 )b) 2 rhb 2 r (1 )b2 h b2 (1 )b3 飲料罐頂蓋所用材料的體積為 b r 2 飲料罐底部所用材料的體積為 b r 2 所以 , SV 和 V 分別為 , SV(r , h) b[(1 )(r b)2 (2r b)h] 2 rhb (1 ) r 2b 2 r (1 )b2 h b2 (1 )b3 V

20、(r , h) r 2h 因?yàn)?b r , 所以帶 b2 , b3 的項(xiàng)可以忽略 用心 愛(ài)心 專(zhuān)心 5 ( 工程上用的近似方法 , 是合理的假設(shè)或簡(jiǎn)化嗎 ?). 因此 SV(r ,h) S(r , h) 2 rhb r 2 (1 )b 記 g(r , h) r 2h V . 于是我們可以建立以下的數(shù)學(xué)模型： min S(r , h) r 0, h 0 s..t g(r , h) 0 其中 S 是目標(biāo)函數(shù)，

21、 g(r , h) 0 是約束條件 , V 是已知的 ( 即罐內(nèi)體積一定 ), 即 要在體積一定的條件下 , 求罐的體積最小的 r, h 和 使得 r, h 和測(cè)量結(jié)果吻合 . 這 是一個(gè)求條件極值的問(wèn)題 . 模型的求解：方法 1: ( 從約束中解出一個(gè)變量，化約束極值問(wèn)題為求一元函數(shù)的無(wú)約束極值 問(wèn)題 ) 從 g(r , h) r 2 h V 0 解出 h V / r 2  , 代入 S, 使 原問(wèn)題化為：求 d : h 使 S 最小 , 即, 求

22、 r 使 S(r , h(r )) b[ 2V (1 ) r 2 ] r 最小 . 求臨界點(diǎn) : 令其導(dǎo)數(shù)為零得 dS 2b[(1 ) r V2 ] 2b2 ((1 ) r 3 V ) 0. dr r r r 3 V , 解得臨界點(diǎn)為 (1 ) 因此 用心 愛(ài)心 專(zhuān)心 6 h

23、 V ( 3 2(1 ) )2 2(1 )( 3 V ) V (1 ) (1 )r (1 2 )d . 測(cè)量數(shù)據(jù)為 h/r= 2, 即 4 1 , =3 , 即頂蓋的厚度是其他材料厚度的3 倍 . 為驗(yàn)證這個(gè) r 確實(shí)使 S 達(dá)到極小 . 計(jì)算 S 的二階導(dǎo)數(shù) S 4b[2 (1 ) 2V ] 0, r 0. r 3 所以 , 這個(gè) r 確實(shí)使 S

24、達(dá)到局部極小 , 因?yàn)榕R界點(diǎn)只有一個(gè) , 因此也是全局極小 . 方法 2: 利用算術(shù)幾何平均值不等式： 1 n ai n ai 0, i 1,...,n n i n ai , ， 1 i 1 當(dāng)且僅當(dāng) a1 a2 ... an 時(shí)等號(hào)成立 . ( n = 2,3 時(shí)有明顯的幾何意義 : 周長(zhǎng)一定的矩形中正方形的面積最大; 三邊長(zhǎng)

25、的和一定的 長(zhǎng)方體中立方體的體積最大 .) 算術(shù)幾何平均值不等式是一類(lèi)等周不等式. 令 n 3, a a V , a (1 )r 2 , 于是有 3 1 2 r [ V V (1 ) r 2 ]/ 3 3 (1 ) V 2 ，當(dāng)且僅當(dāng) r r 時(shí)等號(hào)成立，即在 r0 V 3 處達(dá)到極小值 . 結(jié)果相同 . 注意， (1

26、)  V (1 )r 2 r 如果不忽略高級(jí)無(wú)窮小量 ，那么 SV(r , h) b[(1 )(r b)2 (2r b)h] 把 h V / r 2 , 代入 SV ，得 用心 愛(ài)心 專(zhuān)心 7 SV(r ) b[(1 )(r b)2 (2r b) V 2 ] r 求臨界點(diǎn)，得 SV (r ) b[2(1 )( r b) 2V 2(2 r b

27、)V ] r 2 r 3 2 b(r b)((1 ) V ) 0, r0 3 (1 V r 3 ) 因此 h V 2 V ( 3 2(1 ) ) 2 2(1 )( 3 V ) r V (1 ) 0 (1 )r0 (1 )d 2 又 因 為 SV 2b(2

28、 (3b 2r )V ) 0, r 0 r 4 V r0 3 3 (1 ) 是唯一的臨界點(diǎn)， 因而是全局極小點(diǎn) . 當(dāng)  . 所 以 , 即高等于 2倍的直徑時(shí)，制作飲料罐時(shí)所用的材料最省. 驗(yàn)證和進(jìn)一步的分析： 有人測(cè)量過(guò)頂蓋的厚度確實(shí)為其他材料厚度的 3 倍 . 如果易拉罐的半徑為 3厘米 , 則其體積為 按照 r 3 V 計(jì)算 , V = 365立方厘米 , 可以算得 4

29、 r = 3.074 厘米 . 下面只是一種可能的考慮 . 粗略的計(jì)算 , 可以把飲料罐的體積看成兩部分 , 一是上底半徑為 3 厘米，下底半徑為 3.3 厘米 , 高為 1 厘米的錐臺(tái) , 二是半徑為 3.3 厘米 , 高為 10.2 厘米的正圓柱體 . 它 們的體積分別為 31.2 立方厘米和 349 立方厘米總共為 380.2 立方厘米 . 然后 , 我們?cè)賮?lái)通過(guò)測(cè)量重量或容積 ( 怎么測(cè)量 ?) 來(lái)驗(yàn)證 . 我們可以認(rèn)為 1 立方厘米 的水和飲料的重量都是 1 克. 測(cè)量結(jié)果為 :

30、 未打開(kāi)罐時(shí)飲料罐的重量為 370 克 , 倒出來(lái)的可樂(lè) 確實(shí)重 355 克 , 空 的飲料罐重量為 15 克 , 裝滿水的飲料罐重量為 380 克 . 這和我們的近似計(jì)算 380.2 立 用心 愛(ài)心 專(zhuān)心 8 方厘米十分接近！ 飲料罐不能裝滿飲料 , 而是留有 10 立方厘米的空間余量 . 由錐臺(tái)和正圓柱體組成的容器的數(shù)學(xué)建模 ?( 見(jiàn)習(xí)題 ) 有意思的是 , 計(jì)算飲料罐的胖的部分的直徑和高的比為 6.6/10.2 = 0.647, 非常接近 黃金分割比 0.618. 這是巧合嗎 ? 還是這樣的比例看起來(lái)最舒服 , 最美

31、? 此外 , 諸如底部的形狀 , 上拱的底面 , 頂蓋實(shí)際上也不是平面的 , 略有上拱 , 頂蓋實(shí) 際上是半徑為 3 + 0.4 + 0.2 = 3.6 平方厘米的材料沖壓而成的 , 從頂蓋到胖的部分的斜 率為 0.3, 這些要求也許保證了和飲料罐的薄的部分的焊接 ( 粘合 ) 很牢固、耐壓 . 所有這些 都是物理、力學(xué)、工程或材料方面的要求 , 必須要有有關(guān)方面的實(shí)際工作者或?qū)＜襾?lái)確定 . 因此 , 同學(xué)們可以體會(huì)到真正用數(shù)學(xué)建模的方法來(lái)進(jìn)行設(shè)計(jì)是很復(fù)雜的過(guò)程 , 只依靠數(shù)學(xué) 知識(shí)是不夠的 , 必須和實(shí)際工作者的經(jīng)驗(yàn)緊密結(jié)合 . 還可以從其他角度

32、來(lái)考慮各種各樣罐的數(shù)學(xué)建模 . 可以參看有關(guān)的閱讀材料 . 習(xí)題 ( 任課教師可以自行配置習(xí)題 ) 1. 如果正圓柱形飲料罐 , 上底的厚度為其它部分厚度的3 倍 , 飲料罐的總面積固定 , 求 能夠使其體積最大的飲料罐的尺寸 ( 直徑和高之比 ). 2. 試證明 , 在周長(zhǎng)相等的矩形中 , 正方形的面積最大 . 試證明 , 表面積相等的長(zhǎng)方體中 , 正方體的體積最大 . ( 到市場(chǎng)上去考察各種箱包、容器的尺寸 , 并給予一定的解釋 .) 3, 假設(shè)飲料罐的剖面圖如下圖所示

33、 - 3,@812, - 3.3,<811,<-3.3, 0 , my = AbsoluteThickness 1 , 83.3,0 <8,3.3,11 <8 < Line83.3, 11 , 3 , 12@D, mygrapg 8<8

34、 PlotRange 0 , 12 上半部分是一個(gè)圓錐臺(tái) , 下半部分是一個(gè)圓柱體 . 如果頂蓋半徑為 厘米 圓錐臺(tái)的高 8 b >0) 的橢圓的面積為 ab ，它

35、的周長(zhǎng)為 用心 愛(ài)心 專(zhuān)心 9 C 4b 2 1 a2 b 2 b2 sin2 tdt . 0 雖然它不能用初等函數(shù)表示 , 但是當(dāng)給出 a 和 b 的具體數(shù)值時(shí) , 可以用數(shù)學(xué)軟件來(lái) 2 a2 b2 ) 1 2 sin 2 tdt 稱為第 計(jì)算它的值 . 若令 b 2 , E( ,

36、 0 二類(lèi)不完全橢圓積分 , 或 Legendre 第二類(lèi)橢圓積分 , 是一類(lèi)重要的特殊函數(shù) .) 4. 太空船 ( 航天飛機(jī) , Space Shuttle) 里的水箱的外形是由半徑為 r 的球放在一個(gè)正圓錐 上形成的 , 形如我們通常吃的冰淇淋的樣子 . ( 其中心縱斷面的圖形見(jiàn)下圖 ).

37、 圓錐體的底部直徑等于球體的半徑 ( 見(jiàn)上圖 ). 如果球體的半徑限定為正好為 6 英尺 , 設(shè)計(jì) 的水箱表面積為 460 平方英尺 , 請(qǐng)確定球拱高和圓錐體高的尺寸 , 使得水箱容積最大 . 試 著從約束中解出一個(gè)變量 , 化條件極值問(wèn)題為求一元函數(shù)的無(wú)條件極值問(wèn)題 , 手算容易 嗎？再用數(shù)學(xué)軟件試試 , 體會(huì)數(shù)學(xué)軟件的優(yōu)勢(shì) . 什么情況下數(shù)學(xué)軟件是可以信任的 , 什么 情況下會(huì)出問(wèn)題 . 圓錐部分的體積 V (2rx x x x2 ) c

38、3 1 2 1 2 被圓錐所截后的球體部分的體積 V 4r 3 x3 3x2r s 3 2 2 水箱的總體積 Vw Vc Vs 用心 愛(ài)心 專(zhuān)心 10 圓錐的表面積 Sc 2rx 2 x22 x12 2rx 2 x22 被圓錐所截后的球體部分的表面積 S 4 r 2 2 rx 2 s 水箱的總表面積 ST Sc Ss . 問(wèn)題為

39、 Maximize f ( x1, x2 ) 4r 3 x23 3x22r 2rx1 x2 x1 x22 3 s..t 4 r 2 2 rx 2 2rx 2 x2 x2 2rx 2 x 2 450 2 1 2 從約束條件解出 x1 460 2 4r 2 2rx2 x2 x 2rx 2 1 2rx x 2 2

40、 2 2 代入 f ( x1, x2 ) , 4r 3 x3 3x2r 2 2 V ( x2 ) 460 4r 2 2rx 2 2rx x2 2 3 x2 ) 2 2 2 (2 rx 2

41、 2 2rx x 2 2 2 這些都還可以手算 , 手算求臨界點(diǎn)可行嗎 ? 為什么要用數(shù)學(xué)軟件包就成為必須考慮的問(wèn)題. 考試題目 1. 什么是數(shù)學(xué)模型和數(shù)學(xué)建模 ; 數(shù)學(xué)建模的難點(diǎn)是什么 ? 用心 愛(ài)心 專(zhuān)心 11 2. 如果圓柱形飲料罐 ( 易拉罐 ) 頂蓋的厚度是其他部分厚度的兩倍. 罐內(nèi)體積一定時(shí) , 能 使材料最省的罐的直徑和高之比為多少? 用心 愛(ài)心 專(zhuān)心 12