普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)數(shù)學(xué)5(人民教育出版社B版).doc

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普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)數(shù)學(xué)5（人民教育出版社B版） 第二章 數(shù)列 陳愛(ài)華(北京市育英學(xué)校) 一、新課標(biāo)解讀 數(shù)列作為一種特殊的函數(shù)，是反映自然規(guī)律的基本數(shù)學(xué)模型。在本模塊中，學(xué)生將通過(guò)對(duì)日常生活中大量實(shí)際問(wèn)題的分析，建立等差數(shù)列和等比數(shù)列這兩種數(shù)列模型，探索并掌握它們的一些基本數(shù)量關(guān)系，感受這兩種數(shù)列模型的廣泛應(yīng)用，并利用它們解決一些實(shí)際問(wèn)題。 內(nèi)容與要求 （1）數(shù)列的概念和簡(jiǎn)單表示法通過(guò)日常生活中的實(shí)例，了解數(shù)列的概念和幾種簡(jiǎn)單的表示方法（列表、圖像、通項(xiàng)公式），了解數(shù)列是一種特殊函數(shù)。 （2）等差數(shù)列、等比數(shù)列 ①通過(guò)實(shí)例，理解等差數(shù)列、等比數(shù)列的概念。 ②探索并掌握等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和的公式。 ③能在具體的問(wèn)題情境中，發(fā)現(xiàn)數(shù)列的等差關(guān)系或等比關(guān)系，并能用有關(guān)知識(shí)解決相應(yīng)的問(wèn)題。 ④體會(huì)等差數(shù)列、等比數(shù)列與一次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的關(guān)系。 解讀 （1）教學(xué)中，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)日常生活中的實(shí)例，了解數(shù)列的概念和幾種表示方法，揭示數(shù)列是一類(lèi)特殊函數(shù)的本質(zhì)屬性，是反映自然規(guī)律的基本數(shù)學(xué)模型之一。重視通過(guò)具體實(shí)例（如教育貸款、購(gòu)房貸款、人口增長(zhǎng)等）使學(xué)生理解等差等比數(shù)列模型的作用，培養(yǎng)學(xué)生從實(shí)際問(wèn)題中抽象出數(shù)列模型的能力。 （2）新課標(biāo)要求在數(shù)列的教學(xué)中，應(yīng)保證基本技能的訓(xùn)練，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)必要的練習(xí)，掌握數(shù)列中各量之間的關(guān)系，但訓(xùn)練要控制難度和復(fù)雜程度。這體現(xiàn)了《課程標(biāo)準(zhǔn)》在內(nèi)容處理上的一個(gè)原則：刪減繁瑣的計(jì)算、人為技巧化難題和過(guò)分強(qiáng)調(diào)細(xì)枝末節(jié)的內(nèi)容。 （3）要學(xué)生掌握并能應(yīng)用等差等比數(shù)列有關(guān)公式解題，還在能力上要求學(xué)生會(huì)用歸納、疊加、疊乘、倒序相加、錯(cuò)位相減等方法解決數(shù)列綜合問(wèn)題 （4）新課標(biāo)要求教學(xué)上要注重?cái)?shù)列的實(shí)際應(yīng)用，關(guān)注學(xué)生對(duì)數(shù)列模型本質(zhì)的理解，以及培養(yǎng)運(yùn)用數(shù)列模型解決實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題的能力 二、地位與作用 數(shù)列是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，其地位作用體現(xiàn)在以下四個(gè)方面： （1）數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，它既與函數(shù)等知識(shí)有密切的聯(lián)系，又豐富了函數(shù)的內(nèi)容。同時(shí)數(shù)列知識(shí)還蘊(yùn)含了豐富的數(shù)學(xué)思想和方法，如函數(shù)思想、方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類(lèi)討論思想、等價(jià)轉(zhuǎn)化思想、整體思想等。 （2）數(shù)列內(nèi)容的教學(xué)突出學(xué)生的邏輯思維能力、運(yùn)算能力、解決實(shí)際問(wèn)題能力的培養(yǎng)。學(xué)習(xí)數(shù)列要經(jīng)常觀察、比較、分析、概括，還要運(yùn)用歸納、演繹進(jìn)行推理，解決與生產(chǎn)生活有關(guān)的數(shù)學(xué)問(wèn)題，同時(shí)要求學(xué)生正確的運(yùn)用公式進(jìn)行運(yùn)算、處理數(shù)據(jù)。 （3）數(shù)列知識(shí)是承前啟后的內(nèi)容，以前學(xué)過(guò)的數(shù)、式、方程、簡(jiǎn)易邏輯、函數(shù)等知識(shí)都能在本章得到充分應(yīng)用，數(shù)列與函數(shù)、三角、不等式、數(shù)學(xué)歸納法、解析幾何、立體幾何等有廣泛的聯(lián)系，有很強(qiáng)的綜合性，是高中代數(shù)中培養(yǎng)學(xué)生綜合能力的好素材。 （4）數(shù)列有著廣泛的實(shí)際應(yīng)用，是反映自然規(guī)律的基本數(shù)學(xué)模型。數(shù)列知識(shí)，特別是等差數(shù)列、等比數(shù)列等知識(shí)結(jié)合社會(huì)實(shí)際需要解決了眾多實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題，如銀行利息的計(jì)算、產(chǎn)品規(guī)格的設(shè)計(jì)、堆放物品的數(shù)量計(jì)算、人口增長(zhǎng)、細(xì)胞分裂等。對(duì)于數(shù)列的學(xué)習(xí)，有助于培養(yǎng)學(xué)生的建模能力，發(fā)展應(yīng)用意識(shí)。 三、教學(xué)目標(biāo) （1）了解數(shù)列的概念，掌握數(shù)列的幾種表示法，了解數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，能根據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng)寫(xiě)出簡(jiǎn)單數(shù)列的通項(xiàng)公式。能根據(jù)項(xiàng)數(shù)多少、數(shù)列的性質(zhì)對(duì)數(shù)列進(jìn)行分類(lèi)。 （2）理解等差數(shù)列和等比數(shù)列的概念，會(huì)用定義判斷已知數(shù)列是否是等差數(shù)列或等比數(shù)列，會(huì)求兩個(gè)已知數(shù)的等差中項(xiàng)和等比中項(xiàng)。 （3）掌握等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，前項(xiàng)和公式，并能應(yīng)用公式解決相關(guān)的問(wèn)題。 （4）能在具體的問(wèn)題情境中，發(fā)現(xiàn)數(shù)列的等差關(guān)系或等比關(guān)系，并能構(gòu)建等差數(shù)列或等比數(shù)列模型解決相應(yīng)的實(shí)際問(wèn)題。 （5）體會(huì)等差數(shù)列、等比數(shù)列與一次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的關(guān)系。 （6）培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維能力，優(yōu)化思維品質(zhì)，學(xué)會(huì)觀察、類(lèi)比、歸納、猜想等思維方式，提高運(yùn)算和論證能力，養(yǎng)成既能大膽猜想，又能?chē)?yán)格證明的科學(xué)作風(fēng)。 四、重點(diǎn)與難點(diǎn) 本章的重點(diǎn)是數(shù)列的概念，等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前項(xiàng)和公式。 本章的難點(diǎn)是等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前項(xiàng)和公式的推導(dǎo)及它們的綜合應(yīng)用。 五、教學(xué)內(nèi)容及課時(shí)安排（約13課時(shí)） 21 數(shù)列 2課時(shí) 211數(shù)列的基本概念 212數(shù)列的遞推公式（選學(xué)） 22等差數(shù)列 221 等差數(shù)列 2課時(shí) 概念及等差中項(xiàng) 通項(xiàng)公式應(yīng)用 222 等差數(shù)列的前n項(xiàng)和 2課時(shí) 公式推導(dǎo)及應(yīng)用 歸納與倒序相加法應(yīng)用 23等比數(shù)列 231 等比數(shù)列 2課時(shí) 概念及等比中項(xiàng) 通項(xiàng)公式 232 等比數(shù)列的前n項(xiàng)和 2課時(shí) 公式推導(dǎo)及應(yīng)用 構(gòu)造與錯(cuò)位相減法應(yīng)用 小結(jié)與復(fù)習(xí) 3課時(shí) 概念及性質(zhì)應(yīng)用 數(shù)列的通項(xiàng)、數(shù)列求和綜合應(yīng)用 六、教學(xué)建議 1. 發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí) （1）概念課的教學(xué)中，設(shè)置直觀、生動(dòng)的實(shí)際背景，使學(xué)生通過(guò)日常生活中的實(shí)例歸納出數(shù)列、等差數(shù)列、等比數(shù)列的概念讓學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)就在身邊。 （2）除了讓學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)知識(shí)來(lái)源于客觀世界，還應(yīng)該讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)是解決實(shí)際問(wèn)題的重要工具，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)。（例貸款、儲(chǔ)蓄等問(wèn)題） 2 發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)能力 數(shù)列一章的思維過(guò)程主要是：直觀感知、觀察發(fā)現(xiàn)、歸納類(lèi)比、抽象概括、運(yùn)算求解、演繹證明等。這有助于學(xué)生對(duì)客觀事物中蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)對(duì)象進(jìn)行思考和作出判斷，提高數(shù)學(xué)思維能力，提高學(xué)生的建模能力。在教學(xué)中注重培養(yǎng)學(xué)生歸納——猜想——證明的思維模式解決問(wèn)題。 給學(xué)生留出足夠的自主探索，獨(dú)立思考的空間。教材在頁(yè)邊處編排了一些帶有“？”的邊框，提出了值得學(xué)生思考的問(wèn)題，讓學(xué)生能夠用好教材，自我發(fā)展。 3 注重方法的教學(xué)與落實(shí)，把握好難度 等差數(shù)列的通項(xiàng)公式是通過(guò)歸納法或疊加法得到的，前n項(xiàng)和公式是通過(guò)倒序相加的辦法求出來(lái)的；等比數(shù)列的通項(xiàng)公式是通過(guò)歸納法或疊乘法得到的，前n項(xiàng)和公式是通過(guò)構(gòu)造方程法或錯(cuò)位相減法而得到的能力上要求學(xué)生會(huì)用歸納、疊加、疊乘、倒序加、錯(cuò)位減等技巧解決數(shù)列綜合問(wèn)題 在教學(xué)中，注意例題的選取，應(yīng)致力于打好基礎(chǔ)并進(jìn)行初步的綜合訓(xùn)練，把握好難度，不要過(guò)早地進(jìn)行針對(duì)“高考” 的綜合性訓(xùn)練，從而影響了基本內(nèi)容的學(xué)習(xí)和加重學(xué)生負(fù)擔(dān)。例如在學(xué)習(xí)數(shù)列的遞推公式時(shí)，不要去搞涉及遞推公式變形的論證、計(jì)算問(wèn)題，只要會(huì)根據(jù)遞推公式求出數(shù)列的前幾項(xiàng)就行了；在研究數(shù)列求和問(wèn)題時(shí)，不要涉及過(guò)多的技巧 4加強(qiáng)數(shù)列內(nèi)容與函數(shù)的聯(lián)系 ????（1）數(shù)列的本質(zhì)是函數(shù)，數(shù)列是一種定義域?yàn)檎麛?shù)集(或它的前n個(gè)數(shù)組成的有限子集)的函數(shù) 在教學(xué)中強(qiáng)調(diào)數(shù)列的項(xiàng)是按一定順序排列的，“次序”便是函數(shù)的自變量，相同的數(shù)組成的數(shù)列，次序不同則就是不同的數(shù)列．函數(shù)表示法有列表法、圖象法、解析式法，類(lèi)似地，數(shù)列就有列舉法、圖示法、通項(xiàng)公式法．由于數(shù)列的自變量為正整數(shù)，于是就有可能相鄰的兩項(xiàng)（或幾項(xiàng)）有關(guān)系，從而數(shù)列就有其特殊的表示法——遞推公式法． ????（2）等差數(shù)列與一次函數(shù)、二次函數(shù)的聯(lián)系 從等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可以知道，公差不為零的等差數(shù)列的每一項(xiàng)a是關(guān)于項(xiàng)數(shù)n的一次函數(shù)式于是可以利用一次函數(shù)的性質(zhì)來(lái)認(rèn)識(shí)等差數(shù)列 首項(xiàng)為、公差為d的等差數(shù)列前n項(xiàng)和的公式可以寫(xiě)為， ????即當(dāng)時(shí)，是n的二次函數(shù)式，于是可以運(yùn)用二次函數(shù)的觀點(diǎn)和方法來(lái)認(rèn)識(shí)求等差數(shù)列前n項(xiàng)和的問(wèn)題 ????（3）等比數(shù)列與指數(shù)型函數(shù)的聯(lián)系 ????由于首項(xiàng)為、公比為q的等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可以寫(xiě)成， 它的前項(xiàng)和公式為 ，它與指數(shù)函數(shù)y=有著密切聯(lián)系，從而可利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)來(lái)研究等比數(shù)列 5 注意等差數(shù)列與等比數(shù)列的對(duì)比，突出兩類(lèi)數(shù)列的基本特征 ????等差數(shù)列與等比數(shù)列在內(nèi)容上是完全平行的，包括：定義、性質(zhì)、通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和的公式、兩個(gè)數(shù)的等差(等比)中項(xiàng)因此在教學(xué)與復(fù)習(xí)時(shí)可采用對(duì)比方法，以便于弄清它們之間的聯(lián)系與區(qū)別。 6.建議在2.1節(jié)數(shù)列的概念教學(xué)中補(bǔ)充數(shù)列前項(xiàng)和的概念 每個(gè)數(shù)列都有前項(xiàng)和問(wèn)題，所以在2.1節(jié)數(shù)列的概念課中應(yīng)補(bǔ)充前項(xiàng)和的概念，用表示的問(wèn)題是重點(diǎn)問(wèn)題，可先提出一個(gè)具體問(wèn)題讓學(xué)生分析與的關(guān)系，再由特殊到一般，研究其一般規(guī)律，并給出嚴(yán)格的推理證明（強(qiáng)調(diào)的表達(dá)式是分段的）；之后再到特殊問(wèn)題的解決，舉例時(shí)要兼顧結(jié)果可合并及不可合并的情況．