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1、點集拓?fù)鋵W(xué),第一章 集合論初步,1.2 關(guān)系,等價關(guān)系,1.1 集 合,1.3 映 射,1.4 集族及其運算,1.5 可數(shù)集，不可數(shù)集,1.6 基 數(shù),,,,,,,1.1 集 合,重點:熟悉有關(guān)集合的等式和性質(zhì) 難點:有關(guān)集合的有限笛卡爾積的等式和性質(zhì),,集合一詞，我們在高中階段已經(jīng)接觸過，在那里，集合是指具有某種屬性的對象的全體.在這里，我們?nèi)圆捎脤系倪@種直觀的描述性定義，以后我們還將經(jīng)常遇到像這樣直觀的描述性定義或一些直觀的結(jié)論.雖然這樣做邏輯性差一些，不及公理集合論的嚴(yán)密性，但這樣做卻是我們易于理解和接受的，不致使讀者陷入邏輯困惑之中，從而盡快地進(jìn)入拓樸學(xué)基礎(chǔ)的學(xué)習(xí)程序.,,,,,,
2、,,,,,,,,不含任何元素的集合稱為空集，用符號 表示.,規(guī)定空集是任意集合的子集.,含有有限個元素的集合叫做有限集，,不是有限集的集合叫做無限集.,定義1.1.2 給定集合A,B,由A與B的全部元素 構(gòu)成的集合叫做A與B的并集,記作 .,用描述法表示是:,.,定義1.1.3 給定集合A,B,由A和B的公共元素 構(gòu)成的集合叫做A與B的交集,記作 .,,定義1.1.4 給定集合A,B，把由屬于A而不屬于B 的元素構(gòu)成的集合叫做A與B的差集,記作 .,用描述法表示是 .,而此時可稱B為全集，全集在一個問題中是事先 指定的或者是不言自明的.,對于集合之間的運算，有時
3、用圖象表示更直觀一些.在下面的圖1.1.1中， 我們用兩個圓分別表示集合A,B，而用陰影部分表示兩個集合運算的結(jié)果.,圖1.1.1,觀察圖1.1.1我們不難得出下面的等式:,這樣做的好處在于將并集 轉(zhuǎn)化成互不相交 的集合并集.該集合等式也可以用定義證明.,,集合中的運算律,設(shè)X是全集，A，B，C是X的子集，則以下運算律成立：,(1)交換律,(2)結(jié)合律,(3)零元,單位元,(4)吸收律,(5)分配律,,(6)冪等律,(7)對合律,(8)對偶律,(9)互補(bǔ)律,,以上運算定律由定義或作圖不難驗證,我們僅以對 偶律的驗證為例,其余讀者自己完成.,圖1.1.2,.,,雖然對于任意給定集合,它們的
4、元素不必有序,但我們可 以把集合的元素串在一起,這樣就可用線段或直線表示 集合.進(jìn)而將集合的笛卡爾積就可用“平面圖形”直觀的表 現(xiàn)出來.,,,,,（A-B）（C-D）,圖1.1.3,該集合等式也可用定義證明,其過程讀者自己做為練習(xí)完成.,習(xí)題 1.1,1. 試判斷下列關(guān)系式的正確與錯誤,,,,,的元素.,,2. 設(shè),都是集合，其中,,證明：如果,, 則,,3. 設(shè),，即X有,個互不相同的元素，X的冪集P (X)有多少個互不相同,4. 設(shè),， 用列舉法給出P (X).,5. 設(shè)A，B是集合，證明,的充要條件是 ,,，,的充要條件是,.,且,,；,,，,,，,,1.2 關(guān)系,等價關(guān)系,重點：熟
5、悉關(guān)系像，逆關(guān)系，復(fù)合關(guān)系和 等價關(guān)系的性質(zhì) 難點：對命題演算知識的欠缺將影響性質(zhì) 證明的嚴(yán)謹(jǐn)性,,,,定義1.2.2 設(shè)R是從集合X到集合Y的一個關(guān)系,即,,,,,顯然，若,，集合B相對于關(guān)系R-1的象集就是集合,集合,.,,,(1),,,,證明：(1),當(dāng)且僅當(dāng),,當(dāng)且僅當(dāng),.,(1),,(2),,(3),(4),，,,，,.,,,，,此時假設(shè),，由于,，因此,，,這與,,,，,,定義1.2.6 設(shè)R是集合X中的一個關(guān)系,如果,即對于任意,,有,,則稱關(guān)系R為自反的;,如果,,,即對于任何,,如果,,則,,則稱關(guān)系R為對稱的;,如果,,即對于任何,,,,,,.,有,,,,,,,例1.2
6、.1 給出平面上的一個關(guān)系,,,,的意義,,,,,,是平面 上的一個等價關(guān)系. 相對于等價關(guān)系,,,即商集是由單點集,和以原點為中心的所有圓,周組成的集合.,習(xí) 題 1.2,2. 設(shè)R是從集合X到集合Y的一個關(guān)系,證明下列條件,等價:,(1) 對于任意,，,6. 實數(shù)集合R中的一個關(guān)系定義為：,1.3 映 射,重點：熟悉由映射所誘導(dǎo)的逆關(guān)系得所有性質(zhì) 難點：對映射的逆關(guān)系性質(zhì)的理解,,,(4)f(X)叫映射f的值域.,,(3) (Y)=X,即映射f的定義域是X.,(6) f -1作為Y到X的關(guān)系有定義,但一般說來f -1不是 一個從Y到X的映射.,,.,(2)對 ,設(shè) 使得,因此，
7、 是從X到Z的映射.,(2),(1),(2)由于,是關(guān)系,由定理1.2.2 可得,根據(jù)下面的定理1.3.3,一一映射又稱為可逆映射.,),并且也是一一映射,此外還有,如果f是個一一映射，則其逆關(guān)系f--1便是從Y到X的映射 (因此可以寫作,定理1.3.3 設(shè)X和Y是兩個集合,又設(shè),.,,證明：結(jié)合定理1.3.1和單射、滿射定義容易證明, 本定理,略.,,從關(guān)系出發(fā)定義映射的本意使得我們在本書的理論 體系中除了“集合”和“元素”不再有任何未定義對象.但是， 如果每次定義一個映射都要將映射寫成它的定義域與值 域的笛卡爾積的一個子集，畢竟是件不太方便的事， 因此在定義映射時仍采用我們習(xí)慣的方法：對定
8、義域中 的每一個元素指定值域中的唯一一個元素作為它的象.,,,,,定義1.3.6 設(shè)是集合X中的一個等價關(guān)系.從集合X到 它的商集 的自然投射定義為對于每一個 這個自然投射用關(guān)系定義便是：,,習(xí) 題 1.3,1. 設(shè) 是一個滿射,關(guān)系 定義為：,其中 是 的簡寫.,2. 設(shè)X是一個給定集合，,證明集合的對稱差滿足交換群公理,即設(shè) 則,(3) 存在集合-A，使得,(4), f是單射., 對于任意 )., 對于任意,3. 設(shè)X和Y是兩個集合, ,證明, 對于任意,1.4 集族及其運算,重點:集族的交與并的理解 難點：集族交與并的
9、理解,,1.5 可數(shù)集，不可數(shù)集,重點:可數(shù)集合的定義和性質(zhì) 難點：不可數(shù)集合的存在性,,對于有限集，我們今后使用下面的定義.定義1.5.1 設(shè)X是一個集合,如果X是空集或者存在正整數(shù)使得集合X和集合1,2,,n之間有一個一一映射,則稱集合X是一個有限集.,定義1.5.2 不是有限集的集合稱為無限集;如果存在一個從集合X到正整數(shù)集Z+的雙射,則稱集合X是一個可數(shù)無限集,不是可數(shù)無限集的無限集合稱為不可數(shù)集.有限集和可數(shù)無限集統(tǒng)稱為可數(shù)集.,,,定理1.5.1 如果C是Z+的一個無限子集,那么C是可數(shù)無限集.,,,,,,,.,習(xí) 題 1.5, 1.6 基 數(shù),,,,,,,,,圖1.6.1,,,,,,,,圖1.6.2,,,,,,,,閱讀材料（二）序關(guān)系,,,,,,,,,y,習(xí)題,
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