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1、通過直觀感知、操作確認(rèn)，歸納出平面與平面平行、垂直的判定定理和性質(zhì)定理，并能用它們證明面面的平行與垂直問題,第5課時 平面與平面的位置關(guān)系,【命題預(yù)測】 1平面和平面平行是必考內(nèi)容，難度不大，其考查方式不外乎這樣兩種：一是考查平行關(guān)系的判定(小題)；二是考查平行關(guān)系的證明(大題)，在復(fù)習(xí)時應(yīng)注意定理與性質(zhì)的條件，及時總結(jié)“?？汲ｅe”的地方 2對二面角以考查基本方法為主 3對垂直關(guān)系的考查形式多樣：填空題、解答題小題多考查線面、面面、垂直關(guān)系的判定及性質(zhì)；大題則考查線面、面面垂直關(guān)系的證明以及利用垂直關(guān)系進(jìn)行有關(guān)計算.2011年考查垂直關(guān)系的可能性很大，但都是基礎(chǔ)題,【應(yīng)試對策】 1面面平行的
2、判定定理及其推論是論證兩個平面平行的主要依據(jù)對其判定 定理，可緊緊抓住六個字：“兩條”、“相交”、“平行”對于兩個平面平行問題的判定或證明，主要是將其轉(zhuǎn)化為一個平面內(nèi)的直線與另一個平面平行的問題，即“線面平行，則面面平行”，必須注意這里的“線面”是指一個平面內(nèi)的兩條相交直線和另一個平面平面平行的性質(zhì)是根據(jù)平面平行、線面平行、線線平行的定義直接給出的，證明線面平行往往轉(zhuǎn)化為證明面面平行因此，兩個平面平行的判定和性質(zhì)定理為證明空間平行關(guān)系提供了轉(zhuǎn)化的路徑,2在解決線面、面面平行的判定問題時，一般遵循從“低維”到“高維”的轉(zhuǎn)化，即從“線線平行”到“線面平行”，再到“面面平行”，而在應(yīng)用性質(zhì)定理時，其
3、順序恰好相反但也要注意，轉(zhuǎn)化的方向總是受題目的具體條件而定，決不可過于模式化在處理實際問題的過程中，可以先從題設(shè)條件入手，分析已有的平行關(guān)系，再從結(jié)論入手分析所要證明的平行關(guān)系，從而架起已知與未知之間的橋梁根據(jù)條件應(yīng)用性質(zhì)是證明幾何問題的必由之路，而作輔助線或輔助平面則是應(yīng)用性質(zhì)的自然結(jié)果，從而實現(xiàn)線線、線面與面面關(guān)系的轉(zhuǎn)化,3在證明兩平面垂直時，一般先從現(xiàn)有直線中尋找平面的垂線，若這樣的直線在圖中不存在，則可通過作輔助線來解決在一個平面內(nèi)作交線的垂線，使之轉(zhuǎn)化為線面垂直，然后進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為線線垂直，故熟練掌握線線垂直、面面垂直間的轉(zhuǎn)化條件是解決這類問題的關(guān)鍵在線線垂直和線面垂直的相互轉(zhuǎn)化中，平
4、面在其中起到至關(guān)重要的作用無論是線面垂直還是面面垂直，都源自線與線的垂直，這種轉(zhuǎn)化思想在解題時非常重要在處理實際問題的過程中，可以先從題設(shè)條件入手，分析已有的垂直關(guān)系，再從結(jié)論入手分析所要證明的垂直關(guān)系，從而架起已知與未知之間的“橋梁”,4面面垂直的判定定理與性質(zhì)定理實現(xiàn)了線面垂直與面面垂直的相互轉(zhuǎn)化，這樣面面垂直實際上就是線面垂直，最后歸結(jié)為我們熟悉的線線垂直，能否靈活地實施空間垂直的轉(zhuǎn)化是解題的關(guān)鍵，一般來講，線線垂直最基本，在轉(zhuǎn)化過程中起到穿針引線的作用；線面垂直是樞紐，將線線垂直與面面垂直聯(lián)系在一起同時也要注意平行關(guān)系與垂直關(guān)系的內(nèi)在聯(lián)系 5計算二面角的關(guān)鍵是作出二面角的平面角，其作法
5、主要有：(1)利用二面角平面角的定義，即在棱上任取一點，然后分別在兩個面內(nèi)作棱的垂線，則兩垂線所成的角為二面角的平面角；(2)利用棱的垂面，即棱的垂面與兩個平面的交線所成的角是二面角的平面角因此，二面角的求解思路都是“一作二證三算”,【知識拓展】 1平行關(guān)系的轉(zhuǎn)化 注意：(1)由上面的框圖易知三者之間可以進(jìn)行任意轉(zhuǎn)化，因此要判定某一平行的過程就是從一平行出發(fā)不斷轉(zhuǎn)化的過程，在解題時把握這一點，靈活確定轉(zhuǎn)化的思路和方向 (2)證平行關(guān)系的方法很多，但我們應(yīng)該清楚常用的方法是什么？遇到一個證平行的題目，應(yīng)該知道從哪里入手比較簡單,2垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化 在證明兩平面垂直時一般先從現(xiàn)有直線中尋找平面的
6、垂線，若這樣的直線圖中不存在，則可通過作輔助線來解決如有平面垂直時，一般要用性質(zhì)定理，在一個平面內(nèi)作交線的垂線，使之轉(zhuǎn)化為線面垂直，然后進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為線線垂直故熟練掌握“線線垂直”“面面垂直”間的轉(zhuǎn)化條件是解決這類問題的關(guān)鍵,每一垂直或平行的判定就是從某一垂直或平行開始轉(zhuǎn)向另一垂直或平行，最終達(dá)到目的例如：有兩個平面垂直時，一般要用性質(zhì)定理，在一個平面內(nèi)作交線的垂線，使之轉(zhuǎn)化為線面垂直，然后進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為線線垂直立體幾何中的證明，我們要牢牢抓住“轉(zhuǎn)化”這一武器，線與線、線與面、面與面之間的垂直與平行，都可互相轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化的理論依據(jù)是這三種平行與垂直的判定定理、性質(zhì)定理等解題中要注意運用上面的轉(zhuǎn)化途徑
7、,1兩個平面的位置關(guān)系 2兩個平面平行的判定： (1)定義； (2)判定定理：a，b，abM，a ，b ； (3)a，a . 3兩個平面平行的性質(zhì) (1)兩個平面平行的性質(zhì)定理：，a，b ； (2)，l .,,,ab,l,4兩個平行平面間的距離 與兩個平行平面都垂直的直線，叫做這兩個平行平面的 ，它夾在這 兩個平行平面間的線段，叫做這兩個平行平面的公垂線段，公垂線段的長 度叫做 ,公垂線,兩個平行平面間的距離,5二面角及其平面角 (1)二面角的定義 一條直線和由這條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做 ，這
8、條直線 叫做二面角的 ，每個半平面叫做二面角的 (2)二面角平面角的定義 以二面角的棱上任意一點為端點，在兩個面內(nèi)分別作垂直于棱的射線，這兩條 射線所成的角叫做二面角的 ，平面角是直角的二面角叫做 ,二面角,面,棱,平面角,直二面角,6平面與平面垂直 (1)平面與平面垂直的定義 如果兩個平面所成的二面角是 ，就說這兩個平面互相垂直 (2)平面與平面垂直的判定定理 如果一個平面經(jīng)過另一個平面的 ，那么這兩個平面互相垂直 (3)平面與平面垂直的性質(zhì)定理 如果兩個平面互相垂直，那么在一個平面內(nèi)垂直于它們 的直線垂直于另一個 平面,
9、直二面角,一條垂線,交線,1(2010揚州中學(xué)高三考試)設(shè)、為互不重合的平面，m、n為互不重合 的直線，給出下列四個命題：若m，n，則mn；若 m，n，m，n，則；若，m， n，nm，則n；若m，，mn，則n.其中正 確命題的序號為________ 答案：,2已知、是不同的兩個平面，直線a，直線b，命題p：a與b無 公共點；命題q：，則p是q的________條件 解析：若a、b無公共點，則、既可平行，也可相交， 故p q. 若，即“ab或a、b異面”，即“a、b無公共點”， 即pq. 由知p是q的必要而不充分條件 答案：必要不充分,3(2010洛陽市高三考
10、試)設(shè)m，n是不同的直線，，是不同的平面，有 以下四個命題： 若mn，n，則m；若m，n，m，n，則 ；若m，n，則mn；若，m，則m. 其中真命題的個數(shù)是________ 解析：是真命題 答案：1,4已知平面，l，P是空間一點，且P到平面、的距離分 別是1、2，則點P到l的距離為________ 解析：如圖，PO平面PAB，lPO. PO就是P到直線l的距離 ，PAOB為矩形，PO . 答案：,5平行四邊形的一個頂點A在平面內(nèi)，其余頂點在的同側(cè)，已知其中有 兩個頂點到的距離分別為1和2，那么剩下的一個頂點到平面的距離可 能是：1；2；3；4. 以上
11、結(jié)論正確的為________(寫出所有正確結(jié)論的編號) 答案：,判定兩個平面平行除了定義之外常用的判定方法有兩個，一個是用兩個平面平行的判定定理，判定兩個平面平行，另一個是用結(jié)論“垂直于同一條直線的兩個平面平行”判定兩個平面平行,【例1】在正方體ABCDA1B1C1D1中，求證：平面A1BD平面CB1D1. 思路點撥：證平面A1BD內(nèi)的兩條相交直線平行于平面CB1D1. 證明：由正方體ABCDA1B1C1D1知，A1B1綊AB， AB綊CD，A1B1綊CD.四邊形A1B1CD為平行四邊形A1DB1C. 而B1C面CB1D1，A1D面CB1D1. 同理，BD平面CB1D1，
12、且A1DBDD. 平面A1BD平面CB1D1.,變式1：如果兩個平面分別平行于第三個平面，那么這兩個平面互相平行 已知：，. 求證：. 證法一：如圖，作兩個相交平面分別與、、交于a、c、e和b、d、f.,證法二：作直線a，使a， ，a.，a. 直線a垂直于平面、又垂直于，.,,【例2】已知a和b是異面直線，且ab，a平面，b平面，求證：b. 思路點撥：構(gòu)造一個過b與a垂直的平面或找一條在內(nèi)與b平行的直線 證法一：如圖(1)，過b上一點P作a的垂線PQ，b與PQ確定平面， ab，aPQ，a.又a，，且b.b.,證法二：如圖(2)，在b上任取一點M，作MN于N，直線b與MN確定一
13、個平面，設(shè)為. a，MN，aMN.又ab，bMN.設(shè)c，且MN，c，MNc. 又MNb，MNc，且MN、b、c，bc，而b，c，b.,變式2：如圖，平面，線段AB分別交、于M、N兩點，線段AD分別交 、于C、D兩點，線段BF分別交、于F、E兩點，AM9，MN11， NB15，SFMC78，求END的面積,解：ABADA，經(jīng)過AB、AD可確定平面ABD. MC、ND分別為平面ABD與、的交線，MCND. 同理，F(xiàn)MEN，則FMCEND. SEND 78100.,,【例3】(1)已知ABC中，ABC90，P為ABC所在平面外一點，PAPBPC. 求證：平面PAC平面ABC. (
14、2)如圖，在四棱錐PABCD中，平面PAD平面ABCD，ABDC，PAD是等 邊三角形，已知BD2AD8，AB2DC4 . 設(shè)M是PC上的一點，證明：平面MBD平面PAD； 求四棱錐PABCD的體積,思路點撥：(1)證PO平面ABC，(2)因為兩平面垂直與M點位置無關(guān)，所以在平面MBD內(nèi)一定有一定直線垂直于平面PAD，考慮證明BD平面PAD.四棱錐底面為一梯形，高為P到面ABCD的距離 (1)證明：取AC的中點為O，連接OP、OB，AOOC，PAPC，POAC.ABC90，OBOA.又PBPA，POPO， POBPOA.POOB. PO平面ABC.平面PAC平面ABC.,(2)解：在
15、ABD中，AD4，BD8，AB4 ， AD2BD2AB2.ADBD.又面PAD面ABCD， 面PAD面ABCDAD，BD面ABCD，BD面PAD.又BD面BDM， 面MBD面PAD.,過P作POAD，面PAD面ABCD， PO面ABCD，即PO為四棱錐PABCD的高，又PAD是邊長為4的等邊三角形，PO2. 在底面四邊形ABCD中，ABDC，AB2DC， 四邊形ABCD為梯形在RtADB中，斜邊AB邊上的高為 ， 此即為梯形的高S四邊形ABCD 24. VPABCD .,變式3：(南京市調(diào)研)如圖，在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，ABBCCA ，
16、ADCD1，平面AA1C1C平面ABCD. (1)求證：BDAA1； (2)若E為線段BC的中點，求證：A1E平面DCC1D1.,證明：(1)因為BABC，DADC，所以BD是線段AC的垂直平分線 所以BDAC.又平面AA1C1C平面ABCD， 平面AA1C1C平面ABCDAC，BD平面ABCD， 所以BD平面AA1C1C.因為AA1平面AA1C1C，所以BDAA1.,(2)因為ABBCCA ，DADC1，所以BACBCA60， DCA30.連接AE.因為E為BC的中點，所以CE ， 在AEC中，易知EAC30. 所以EACDCA，所以AEDC. 因為DC平面DCC1D1，AE平面DC
17、C1D1 所以AE平面DCC1D1.,在棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA1DD1. 因為DD1平面DCC1D1，AA1平面DCC1D1，所以AA1平面DCC1D1. 因為AA1平面AA1E，AE平面AA1E，AA1AEA， 所以平面AA1E平面DCC1D1. 因為A1E平面AA1E，所以A1E平面DCC1D1.,【規(guī)律方法總結(jié)】,1解決線面平行、面面平行問題，要切實把握轉(zhuǎn)化的思想方法： 線線平行 線面平行 面面平行 2證明平面和平面平行的方法： (1)利用定義證，即采用反證法；(2)利用判定定理 3垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化：,在證明兩平面垂直時一般先從現(xiàn)有直線中尋找平面的垂線，若這樣的直線圖中不存在
18、，則可通過作輔助線來解決如有平面垂直時，一般要用性質(zhì)定理，在一個平面內(nèi)作交線的垂線，使之轉(zhuǎn)化為線面垂直，然后進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為線線垂直故熟練掌握“線線垂直”、“線面垂直”、“面面垂直”間的轉(zhuǎn)化條件是解決這類問題的關(guān)鍵,【例4】已知，，是三個互不重合的平面，l是一條直線，給出下列四個命題： 若，l，則l；若l，l，則；若l上有兩個點到的距離相等，則l； 若，，則.其中正確命題的序號是________.,【錯因分析】,解本題可能出現(xiàn)的錯誤就是對空間點、線、面位置關(guān)系的判定定理和性質(zhì)定理掌握不清導(dǎo)致誤判如對命題可能對線面平行關(guān)系不清，誤以為線在平面內(nèi)也算平行，認(rèn)為命題正確；再如對點到平面的距離相等考
19、慮不到點可能在平面兩側(cè)，認(rèn)為命題正確,解：有直線l的可能；中可以過直線l作第三個平面與平面相交于直線m，根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理，知ml，又l，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理，得m ，再根據(jù)面面垂直的判定定理，得，故正確；中包含兩個點在平面兩側(cè)的情況；在平面內(nèi)作與和交線垂直的直線m，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理，得m，再過直線m作平面，這個平面與平面相交于直線n，根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理，知mn，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理，知n，再根據(jù)面面垂直的判定定理，知，故正確故填.,【答題模板】,這類關(guān)于空間點、線、面位置關(guān)系的組合判斷類試題是高考全面考查考生對空間位置關(guān)系的判定和性質(zhì)掌握程度的理想題型，歷來受到命題者的青睞
20、解決這類問題的基本思路有二：一是逐個尋找反例作出否定的判斷、逐個進(jìn)行邏輯證明作出肯定的判斷；二是結(jié)合長方體模型或?qū)嶋H空間位置(如課桌、教室)作出判斷，但要注意定理應(yīng)用準(zhǔn)確、考慮問題全面細(xì)致.,【狀元筆記】,,證明：如圖，過a作任一平面和平面交于a，a，aa. 又a，a，a，且a與b相交又b，b，. 一通百通：對于面面平行的證明問題，往往考慮利用面面平行的判定定理來解決，轉(zhuǎn)而考慮證明相關(guān)的線面平行，有時可能需要進(jìn)一步去證明線線平行，從而將問題解決,2如圖所示，ABC為正三角形，EC平面ABC，BDEC，且ECAC 2BD，M是AE的中點求證： (1)DEAD； (2)平面BDM平面ECA. 分析：(1)取EC中點F，要證明DEAD，只需要證明 RtDEFRtABD；(2)注意點M為EA的中點，可取AC的中點N，先證明 點N在平面BDM內(nèi)，再證明平面BDMN經(jīng)過平面ECA的一條垂線即可,證明：(1)取EC的中點F，連接DF.ECBC，DFBC，DFEC. 在RtDFE和RtABD中，EF ECBD，DFBCAB， RtDEFRtABD，故DEAD. (2)取AC的中點N，連接MN，BN，則MNEC，MN EC， MNBD，即點N在平面BDM內(nèi)又EC平面ABC，ECBN. 又ACBN，BN平面ECA.又平面BDM經(jīng)過BN，平面BDM平面ECA.,
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