《解直角三角形及其應(yīng)用》教案 (省一等獎(jiǎng)) 4

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1、 解直角三角形 教學(xué)目標(biāo) ( 一)知識(shí)與能力 穩(wěn)固直角三角形中銳角的三角函數(shù)，學(xué)會(huì)解關(guān)于坡度角和有關(guān)角度的問(wèn)題． (二)方法與過(guò)程： 逐步培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力，進(jìn)一步滲透數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想和方法． (三)情感、態(tài)度與價(jià)值觀： 培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的意識(shí)；滲透數(shù)學(xué)來(lái)源于實(shí)踐又反過(guò)來(lái)作用于實(shí)踐的辯證唯物主義觀點(diǎn)． 教學(xué)重點(diǎn)：能熟練運(yùn)用有關(guān)三角函數(shù)知識(shí)． 教學(xué)難點(diǎn)：解決實(shí)際問(wèn)題． 教學(xué)疑點(diǎn)：株距指相鄰兩樹間的水平距離，學(xué)生往往理解為相鄰兩樹間的距離而造成錯(cuò)誤． 教學(xué)過(guò)程 1．創(chuàng)設(shè)情境，導(dǎo)入新課． 例 1 同學(xué)們，如果你是修建三峽大壩的工程師，現(xiàn)在有這樣一個(gè)問(wèn)題請(qǐng)

2、你解決：如圖6-33 水庫(kù)大壩的橫斷面是梯形，壩頂寬 6m，壩高 23m，斜坡 AB 的坡度 i=1∶3，斜坡 CD 的坡度 i=1∶，求斜坡 AB 的坡面角α， 壩 底寬 AD 和斜坡 AB 的長(zhǎng)(精確到 0.1m) ． 2.介紹概念：坡度與坡角 教師講解：解直角三角形有廣泛的應(yīng)用，解決問(wèn)題時(shí)，?要根據(jù)實(shí)際情況靈活運(yùn)用相關(guān) 知識(shí)．例如，當(dāng)我們要測(cè)量如圖大壩的高度 h 時(shí)，只要測(cè)出仰角α和大壩的水平寬度 L，就 能算出 h=Ltanα．但是，當(dāng)我們要測(cè)量如課本圖 28．2-10 所示的山 高 h 時(shí)，問(wèn)題就不那么 簡(jiǎn)單了．這是由于不能很方便地得到仰角α和山坡長(zhǎng)度 L． 圖

3、 28．2-9  圖 28．2-10 與測(cè)壩高相比，測(cè)山高的困難在于：壩坡是“直〞的，而山坡是“曲〞的．怎樣 解決 這樣的問(wèn)題呢？ 我們?cè)O(shè)法“化曲為直，以直代曲〞．我們可以把山坡“化整為零〞地劃分為一些小段， 課本圖 28．2-11 表示其中一局部小段．劃分小段時(shí)，注意使每一小段上的山坡近似是“直〞 的 ，可以量出這段坡長(zhǎng) L ，測(cè)出相應(yīng)的仰角α，這樣就可以算出這段山坡的高度 h =L sin 1 1 1 α． 圖 28．2-11 在每個(gè)小段上，我們都構(gòu)造出直角三角形，利用上面的方法分別算出各段山坡的高度 h ，h ，……．

4、1 2 然后我們?cè)佟胺e零為整〞，把 h ，h ，…相加，于是得到山高 h． 1 2 以上解決問(wèn)題中所用的“化整為零，積零為整〞“化 曲為直，以直代曲〞的做法，就 是高等數(shù)學(xué)中微積分的根本思想，它在數(shù)學(xué)中有重要地位，在今后的學(xué)習(xí)中，你會(huì)更多地了 解這方面的內(nèi)容． 3. 自主探究，解決問(wèn)題 例 2  如右圖，纜車行駛線與水平線間的夾角α=30°，β=45°．?小明乘纜車上山，從 A 到 B，再?gòu)?B 到 D 都走了 200 米〔即 AB=BD=200 米〕，?請(qǐng)根據(jù)所給的數(shù)據(jù)計(jì)算纜車垂直上升 的距離．〔計(jì)算結(jié)果保存整數(shù)，以下數(shù)據(jù)供選用： s

5、in47°≈0.7314，cos47?°≈0.6820， tan47°≈1.0724〕 分析：纜車垂直上升的距離分成兩段：BC 與 DF．分別在 ABC 和 Rt△DBF?中求出 BC 與 DF，兩者之和即為所求． 解：在 ABC 中，AB=200 米，∠BAC=α=30°， ∴BC=AB·sinα=200sin30°=100〔米〕． 在 Rt△BDF 中，BD=200 米，∠DBF=β47°， ∴DF=BD·sinβ=200·sin47°≈200×0.7314=146.28 〔米〕． ∴BC+DF=100+146.28=246.28〔米〕． 答：纜車

6、垂直上升了． 說(shuō)明：解直角三角形在實(shí)際生活中的應(yīng)用，是中考考查的重點(diǎn)，也是考查的熱點(diǎn)．要解 決好這類問(wèn)題：一是要合理地構(gòu)造適宜的直角三角形；?二是要熟記特殊角的三角函數(shù)值； 三是要有很好的運(yùn)算能力和分析問(wèn)題的能力． 4．穩(wěn)固練習(xí) 教材練習(xí) 2 引導(dǎo)學(xué)生回憶前述例題，進(jìn)行總結(jié)，以培養(yǎng)學(xué)生的概括能力． 1．弄清俯角、仰角、株距 、坡度、坡角、水平距離、垂直距離、水位等概念的意義，明確 各術(shù)語(yǔ)與示意圖中的什么元素對(duì)應(yīng)，只有明確這些概念，才能恰當(dāng)?shù)匕褜?shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué) 問(wèn)題． 2．認(rèn)真分析題意、畫圖并找出要求的直角三角形，或通過(guò)添加輔助線構(gòu)造直角三角形來(lái)解 決問(wèn)題． 3．選

7、擇適宜的邊角關(guān)系式，使計(jì)算盡可能簡(jiǎn)單，且不易出錯(cuò)． 4．按照題中的精確度進(jìn)行計(jì)算，并按照題目中要求的精確度確定答案以及注明單位． 利用土埂修筑一條渠道，在埂中間挖去深為米的一塊(圖 6-35 陰影局部是挖去局部)，渠道 內(nèi)坡度為 1∶，渠道底面寬 BC 為米，求： ①橫斷面(等腰 梯形)ABCD 的面積； ②修一條長(zhǎng)為 100 米的渠道要挖去的土方數(shù)． [教學(xué)反思] 學(xué)生對(duì)展開圖通過(guò)各種途徑有了一些了解，但仍不能把平面與立體很好的結(jié)合；在遇 到問(wèn)題時(shí)，多數(shù)學(xué)生不愿意自己探索，都要尋求幫助。在今后的教學(xué)中，我會(huì)不斷的鉆研探 索，使我的課堂真正成為學(xué)生學(xué)習(xí)的樂園。

8、 在本節(jié)課的教學(xué)中，我始終堅(jiān)持以引導(dǎo)為起點(diǎn)，以問(wèn)題為主線，以能力培養(yǎng)為核心，遵 照教師為主導(dǎo)，學(xué)生為主體，訓(xùn)練為主線的教學(xué)原那么；通過(guò)師生雙邊活動(dòng)，通過(guò)對(duì)單元的 復(fù)習(xí)，使學(xué)生對(duì)本單元的知識(shí)系統(tǒng)化，重點(diǎn)知識(shí)突出化，能力培養(yǎng)階梯化；在選擇題目時(shí)注 意了以基此題為主，少量思考性較強(qiáng)的題目為輔，兼顧了不同層次學(xué)生的不同要求。 本節(jié)課的教學(xué)活動(dòng)，主要是讓學(xué)生通過(guò)觀察、動(dòng)手操作，熟悉長(zhǎng)方體、正方體的展開圖 以及圖形折 疊后的形狀。教學(xué)時(shí)，我讓每個(gè)學(xué)生帶長(zhǎng)方體或正方體的紙盒 ，每個(gè)學(xué)生都剪 一剪，并展示所剪圖形的形狀。由于剪的方法不同，展開圖的形狀也可能是不

9、同的。學(xué)生在 剪、拆盒子過(guò)程中，很容易把盒子拆散了，無(wú)法形成完整的展開圖，就要求適當(dāng)進(jìn)行指導(dǎo)。 通過(guò)動(dòng)手操作，動(dòng)腦思考，集體交流，不僅提高了學(xué)生的空間思維能力，而且在情感上每位 學(xué)生 都獲得了成功的體驗(yàn)，建立自信心。接著，我利用可操作材料，體會(huì)展開圖與長(zhǎng)方體、 正方體的聯(lián)系；通過(guò)立體與平面的有機(jī)結(jié)合，開展學(xué)生的空間觀念。這樣由淺入深、由表及 里地使學(xué)生逐步達(dá)教學(xué)目標(biāo)的要求：閉上眼睛想象展開或折疊的過(guò)程，促進(jìn)學(xué)生建立表象， 幫助學(xué)生理解概念，開展空間觀念。 24.1 圓 (第 3 課時(shí)) 教學(xué)內(nèi)容 1．圓周角的概念． 2．圓周角定理：在同圓或等圓中，

10、同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，?都等于這條弦所對(duì) 的圓心角的一半． 推論：半圓〔或直徑〕所對(duì)的圓周角是直角，90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑及其它們的 應(yīng)用． 教學(xué)目標(biāo) 1．了解圓周角的概念． 2．理解圓周角的定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，?都等于這條 弧所對(duì)的圓心角的一半． 3．理解圓周角定理的推論：半圓〔或直徑〕所對(duì)的圓周角是直角，90?°的圓周角所對(duì) 的弦是直徑． 4．熟練掌握?qǐng)A周角的定理及其推理的靈活運(yùn)用． 設(shè)置情景，給出圓周角概念，探究這些圓周角與圓心角的關(guān)系，運(yùn)用數(shù)學(xué)分類思想給予 邏輯證明定理，得出推導(dǎo)，讓學(xué)生活動(dòng)證明定理推論的正確性，最后運(yùn)用定理及其推

11、導(dǎo)解決 一些實(shí)際問(wèn)題． 重難點(diǎn)、關(guān)鍵 1．重點(diǎn)：圓周角的定理、圓周角的定理的推導(dǎo)及運(yùn)用它們解題． 2．難點(diǎn)：運(yùn)用數(shù)學(xué)分類思想證明圓周角的定理． 3．關(guān)鍵：探究圓周角的定理的存在． 教學(xué)過(guò)程 一、復(fù)習(xí)引入 〔學(xué)生活動(dòng)〕請(qǐng)同學(xué)們口答下面兩個(gè)問(wèn)題． 1．什么叫圓心角？ 2．圓心角、弦、弧之間有什么內(nèi)在聯(lián)系呢？ 老師點(diǎn)評(píng)：〔1〕我們把頂點(diǎn)在圓心的角叫圓心角． 〔2〕在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，?那么它們 所對(duì)的其余各組量都分別相等． 剛剛講的，頂點(diǎn)在圓心上的角，有一組等量的關(guān)系，如果頂點(diǎn)不在圓心上，它在其它的 位置上？如在圓周上，是否還存在一些

12、等量關(guān)系呢？這就是我們今天要探討， 要研究，要解決的問(wèn)題． 二、探索新知 問(wèn)題：如下圖的⊙O，我們?cè)谏溟T游戲中，設(shè) E、F 是球門，?設(shè)球員們只能在  EF  所在 的⊙O 其它位置射門，如下圖的 A、B、C 點(diǎn)．通過(guò)觀察，我們可以發(fā)現(xiàn)像∠EAF、∠EBF、∠ ECF 這樣的角，它們的頂點(diǎn)在圓上，?并且兩邊都與圓相交的角叫做圓周角． 現(xiàn)在通過(guò)圓周角的概念和度量的方法答復(fù)下面的問(wèn)題． 1．一個(gè)弧上所對(duì)的圓周角的個(gè)數(shù)有多少個(gè)？ 2．同弧所對(duì)的圓周角的度數(shù)是否發(fā)生變化？ A C 3．同弧上的圓周角與圓心角有什么關(guān)系？ 〔學(xué)生分組討論〕提問(wèn)二

13、、三位同學(xué)代表發(fā)言．  O 老師點(diǎn)評(píng)： 1．一個(gè)弧上所對(duì)的圓周角的個(gè)數(shù)有無(wú)數(shù)多個(gè)．  B 2．通過(guò)度量，我們可以發(fā)現(xiàn)，同弧所對(duì)的圓周角是沒有變化的． 3．通過(guò)度量，我們可以得出，同弧上的圓周角是圓心角的一半． 下面，我們通過(guò)邏輯證明來(lái)說(shuō)明“同弧所對(duì)的圓周角的度數(shù)沒有變化， ? 并且 A  D 它的度數(shù)恰好等于這條弧所對(duì)的圓心角的度數(shù)的一半．〞 〔1〕設(shè)圓周角∠ABC 的一邊 BC 是⊙O 的直徑，如下圖 ∵∠AOC 是△ABO 的外角  B O  C ∴∠AOC=∠ABO+∠BAO ∵OA=OB ∴∠ABO=∠BAO ∴

14、∠AOC=∠ABO ∴∠ABC= 1 2  ∠AOC 〔2〕如圖，圓周角∠ABC 的兩邊 AB、AC 在一條直徑 OD 的兩側(cè)，那么∠ABC= ∠AOC 嗎？請(qǐng)同學(xué)們獨(dú)立完成這道題的說(shuō)明過(guò)程． 1 2 老師點(diǎn)評(píng)：連結(jié) BO 交⊙O 于 D 同理∠AOD 是△ABO 的外角，∠COD 是△BOC 的外角，?那么就有∠AOD=2∠ABO，∠DOC=2∠CBO，因此∠AOC=2∠ABC． 〔3〕如圖，圓周角∠ABC 的兩邊 AB、AC 在一條直徑 OD 的同側(cè)，那么∠ABC= ∠AOC 嗎？請(qǐng)同學(xué)們獨(dú)立完成證明． 1 2 老師點(diǎn)評(píng)：連

15、結(jié) OA、OC，連結(jié) BO 并延長(zhǎng)交⊙O 于 D，那么∠AOD=2∠ABD，∠COD=2∠CBO， 而∠ABC=∠ABD-∠CBO= 1 1 1 ∠AOD- ∠COD= ∠AOC 2 2 2 現(xiàn)在，我如果在畫一個(gè)任意的圓周角∠AB′C，?同樣可證得它等于同弧上圓心角一半， 因此，同弧上的圓周角是相等的． 從〔1〕、〔2〕、〔3〕，我們可以總結(jié)歸納出圓周角定理： 在同圓或等圓中，同弧等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半． 進(jìn)一步，我們還可以得到下面的推導(dǎo)： 半圓〔或直徑〕所對(duì)的圓周角是直角，90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑． 下面，我們通過(guò)這個(gè)定理和推

16、論來(lái)解一些題目． 例 1．如圖，AB 是⊙O 的直徑，BD 是⊙O 的弦，延長(zhǎng) BD 到 C，使 AC=AB，BD 與 CD 的大小有什么關(guān)系？為什么？ 分析：BD=CD，因?yàn)?AB=AC，所以這個(gè)△ABC 是等腰，要證明 D 是 BC 的中點(diǎn)， ?只要連結(jié) AD 證明 AD 是高或是∠BAC 的平分線即可． 解：BD=CD 理由是：如圖 24-30，連接 AD ∵AB 是⊙O 的直徑 ∴∠ADB=90°即 AD⊥BC 又∵AC=AB ∴BD=CD 三、穩(wěn)固練習(xí) 1．教材 P92 思考題． 2．教材 P93 練習(xí)． 四、應(yīng)用拓展 例 2．如圖 ABC

17、內(nèi)接于⊙O，∠A、∠B、∠C 的對(duì)邊分別設(shè)為 a，b，c，⊙O 半徑為 R， 求證： a b c = = =2R． sin A sin B sin C a b c a b c 分析：要證明 = = =2R，只要證明 =2R， =2R， =2R， sin A sin B sin C sin A sin B sin C a b c 即 sinA= ，sinB= ，sinC= ，因此，十清楚顯要在直角三 2 R 2 R 2 R 角形中進(jìn)行． 證明：連接 CO 并延長(zhǎng)交⊙O 于 D，連接 DB ∵CD 是直徑 ∴∠DBC=90° 又∵∠A=∠D 在

18、Rt△DBC 中，sinD= BC a ，即 2R= DC sin A b c 同理可證： =2R， =2R sin B sin C a b c ∴ = = =2R sin A sin B sin C 五、歸納小結(jié)〔學(xué)生歸納，老師點(diǎn)評(píng)〕 本節(jié)課應(yīng)掌握： 1．圓周角的概念； 2．圓周角的定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，?都相等這條弧所 對(duì)的圓心角的一半； 3．半圓〔或直徑〕所對(duì)的圓周角是直角，90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑． 4．應(yīng)用圓周角的定理及其推導(dǎo)解決一些具體問(wèn)題． 六、布置作業(yè) 1．教材 P95 綜合運(yùn)用 9、10、 [教學(xué)反思]

19、 學(xué)生對(duì)展開圖通過(guò)各種途徑有了一些了解，但仍不能把平面與立體很好的結(jié)合；在遇 到問(wèn)題時(shí)，多數(shù)學(xué)生不愿意自己探索，都要尋求幫助。在今后的教學(xué)中，我會(huì)不斷的鉆研探 索，使我的課堂真正成為學(xué)生學(xué)習(xí)的樂園。 本節(jié)課的教學(xué)活動(dòng)，主要是讓學(xué)生通過(guò)觀察、動(dòng)手操作，熟悉長(zhǎng)方體、正方體的展開圖 以及圖形折 疊后的形狀。教學(xué)時(shí)，我讓每個(gè)學(xué)生帶長(zhǎng)方體或正方體的紙盒 ，每個(gè)學(xué)生都剪 一剪，并展示所剪圖形的形狀。由于剪的方法不同，展開圖的形狀也可能是不同的。學(xué)生在 剪、拆盒子過(guò)程中，很容易把盒子拆散了，無(wú)法形成完整的展開圖，就要求適當(dāng)進(jìn)行指導(dǎo)。 通過(guò)動(dòng)手操作，動(dòng)腦思考，集體交流，不僅提高了學(xué)生的空間思維能力，而且在情感上每位 學(xué)生 都獲得了成功的體驗(yàn)，建立自信心。