2018-2019高中數學 第二章 數列 2.3.3 第2課時 等比數列前n項和的性質及應用課件 蘇教版必修5.ppt
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第2課時等比數列前n項和的性質及應用,第2章2.3.3等比數列的前n項和,,學習目標1.理解等比數列前n項和公式的函數特征.2.熟練應用等比數列前n項和公式的有關性質解題.3.會用錯位相減法求和．,,,問題導學,達標檢測,,題型探究,內容索引,問題導學,,知識點一等比數列前n項和公式的函數特征,,,,,思考若數列{an}的前n項和Sn＝2n－1，那么數列{an}是不是等比數列？若數列{an}的前n項和Sn＝2n＋1－1呢？,答案當Sn＝2n－1時，當Sn＝2n＋1－1時，,梳理當公比q≠1時，設A＝，等比數列的前n項和公式是Sn＝A(qn－1)．即Sn是n的指數型函數．當公比q＝1時，因為a1≠0，所以Sn＝na1，Sn是n的正比例函數．,,知識點二等比數列前n項和的性質,,,,,思考若公比不為－1的等比數列{an}的前n項和為Sn，則Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比數列嗎？,答案由題意可知，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n都不為0，設{an}的公比為q，則Sn＝a1＋a2＋…＋an，S2n－Sn＝an＋1＋an＋2＋…＋a2n＝a1qn＋a2qn＋…＋anqn＝qnSn，S3n－S2n＝a2n＋1＋a2n＋2＋…＋a3n＝an＋1qn＋an＋2qn＋…＋a2nqn＝qn(S2n－Sn)，∴Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比數列，公比為qn.,梳理等比數列{an}前n項和的三個常用性質：(1)數列{an}為公比不為－1的等比數列，Sn為其前n項和，則Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍構成等比數列．(2)若{an}是公比為q的等比數列，則Sn＋m＝Sn＋qnSm(n，m∈N*)．(3)若{an}是公比為q的等比數列，S偶，S奇分別是數列的偶數項和與奇數項和，則：①在其前2n項中，＝q；②在其前2n＋1項中，S奇－S偶＝a1－a2＋a3－a4＋…－a2n＋a2n＋1,[思考辨析判斷正誤]1.對于公比q≠1的等比數列{an}的前n項和公式，其qn的系數與常數項互為相反數.()2.當{an}為等差數列，{bn}為公比不是1的等比數列時，求數列的前n項和，適用錯位相減法.(),√,√,題型探究,例1已知數列{an}的前n項和Sn＝an－1(a是不為零且不等于1的常數)，求證：數列{an}為等比數列.,,類型一等比數列前n項和公式的函數特征應用,證明,證明當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝(a－1)an－1；當n＝1時，a1＝a－1，滿足上式，∴an＝(a－1)an－1，n∈N*.∴數列{an}是等比數列.,跟蹤訓練1若{an}是等比數列，且前n項和為Sn＝3n－1＋t，則t＝________.,解析顯然q≠1，此時應有Sn＝A(qn－1)，,答案,解析,,類型二等比數列前n項和的性質,命題角度1連續(xù)n項之和問題例2已知等比數列前n項，前2n項，前3n項的和分別為Sn，S2n，S3n，,證明,證明方法一設此等比數列的公比為q，首項為a1，當q＝1時，Sn＝na1，S2n＝2na1，S3n＝3na1，,方法二根據等比數列的性質有S2n＝Sn＋qnSn＝Sn(1＋qn)，S3n＝Sn＋qnSn＋q2nSn，,反思與感悟處理等比數列前n項和有關問題的常用方法：(1)運用等比數列的前n項和公式，要注意公比q＝1和q≠1兩種情形，在解有關的方程(組)時，通常用約分或兩式相除的方法進行消元.(2)靈活運用等比數列前n項和的有關性質整體處理.,解答,跟蹤訓練2在等比數列{an}中，已知Sn＝48，S2n＝60，求S3n.,解由等比數列前n項和的性質得，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n也成等比數列，∴122＝48(S3n－60)，解得S3n＝63.,命題角度2不連續(xù)n項之和問題,解析∵a2＋a4＋a6＋a8＝a1q＋a3q＋a5q＋a7q＝q(a1＋a3＋a5＋a7)，,－3,答案,解析,反思與感悟注意觀察序號之間的聯系，發(fā)現解題契機；整體思想能使問題的解決過程變得簡潔明快.,跟蹤訓練3設數列{an}是以2為首項，1為公差的等差數列；數列{bn}是以1為首項，2為公比的等比數列，則＝____.,126,∴{}是首項為b2，公比為2的等比數列.,答案,解析,解析∵＝＝2，,,類型三錯位相減法求和,解答,反思與感悟一般地，如果數列{an}是等差數列，{bn}是公比不為1的等比數列，求數列{anbn}的前n項和時，可采用錯位相減法.,跟蹤訓練4求和：Sn＝x＋2x2＋3x3＋…＋nxn(x≠0).,解答,當x≠1時，Sn＝x＋2x2＋3x3＋…＋nxn，xSn＝x2＋2x3＋3x4＋…＋(n－1)xn＋nxn＋1，∴(1－x)Sn＝x＋x2＋x3＋…＋xn－nxn＋1,達標檢測,答案,1.已知等比數列{an}的公比為2，且其前5項和為1，那么{an}的前10項和為_____.,1,2,3,4,解析設{an}的公比為q，由題意，q＝2，a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝1，則a6＋a7＋a8＋a9＋a10＝q5(a1＋a2＋a3＋a4＋a5)＝q5＝25＝32，∴S10＝1＋32＝33.,解析,33,答案,解析,2.已知等比數列{an}的前n項和為Sn＝x3n－1－，則x的值為____.,1,2,3,4,當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝2x3n－2，∵{an}是等比數列，∴n＝1時也應適合an＝2x3n－2，,答案,解析,3.已知等差數列{an}的前n項和Sn＝n2＋bn＋c，等比數列{bn}的前n項和Tn＝3n＋d，則向量a＝(c，d)的模為___.,1,2,3,4,1,解析由等差數列與等比數列的前n項和公式知，c＝0，d＝－1，所以向量a＝(c，d)的模為1.,答案,1,2,3,4,4.設等比數列{an}的前n項和為Sn，若q＝2，S100＝36，則a1＋a3＋…＋a99＝____.,12,解析,解析設a1＋a3＋…＋a99＝S，則a2＋a4＋…＋a100＝2S.∵S100＝36，∴3S＝36，∴S＝12，∴a1＋a3＋a5＋…＋a99＝12.,1.在利用等比數列前n項和公式時，一定要對公比q＝1或q≠1作出判斷；若{an}是等比數列，且an>0，則{lgan}構成等差數列.2.等比數列前n項和中用到的數學思想：(1)分類討論思想：①利用等比數列前n項和公式時要分公比q＝1和q≠1兩種情況討論；②研究等比數列的單調性時應進行討論：當a1>0，q>1或a11或a1>0,0
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