高中數(shù)學 第一章 坐標系 學業(yè)分層測評3 簡單曲線的極坐標方程 新人教A版選修4-4

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【課堂新坐標】2016-2017學年高中數(shù)學 第一章 坐標系 學業(yè)分層測評3 簡單曲線的極坐標方程 新人教A版選修4-4 (建議用時：45分鐘) [學業(yè)達標] 一、選擇題 1．極坐標方程ρ＝1表示(　　) A．直線　 B．射線 C．圓 D．橢圓 【解析】　由ρ＝1，得ρ2＝1，即x2＋y2＝1，故選C. 【答案】　C 2．過極點且傾斜角為的直線的極坐標方程可以為(　　) A．θ＝ B．θ＝，ρ≥0 C．θ＝，ρ≥0 D．θ＝和θ＝，ρ≥0 【解析】　以極點O為端點，所求直線上的點的極坐標分成兩條射線． ∵兩條射線的極坐標方程為θ＝和θ＝π， ∴直線的極坐標方程為θ＝和θ＝π(ρ≥0)． 【答案】　D 3．在極坐標系中，圓ρ＝－2sin θ的圓心的極坐標是(　　) A. B. C．(1,0) D．(1，π) 【解析】　由ρ＝－2sin θ得ρ2＝－2ρsin θ，化成直角坐標方程為x2＋y2＝－2y，化成標準方程為x2＋(y＋1)2＝1，圓心坐標為(0，－1)，其對應的極坐標為. 【答案】　B 4．在極坐標系中，圓ρ＝2cos θ的垂直于極軸的兩條切線方程分別為(　　) A．θ＝0(ρ∈R)和ρcos θ＝2 B．θ＝(ρ∈R)和ρcos θ＝2 C．θ＝(ρ∈R)和ρcos θ＝1 D．θ＝0(ρ∈R)和ρcos θ＝1 【解析】　由ρ＝2cos θ，得ρ2＝2ρcos θ，化為直角坐標方程為x2＋y2－2x＝0，即(x－1)2＋y2＝1，其垂直于極軸的兩條切線方程為x＝0和x＝2，相應的極坐標方程為θ＝(ρ∈R)和ρcos θ＝2. 【答案】　B 5．在極坐標系中與圓ρ＝4sin θ相切的一條直線的方程為(　　) 【導學號：91060008】 A．ρcos θ＝ B．ρcos θ＝2 C．ρ＝4sin D．ρ＝4sin 【解析】　極坐標方程ρ＝4sin θ化為ρ2＝4ρsin θ，即x2＋y2＝4y，即x2＋(y－2)2＝4. 由所給的選項中ρcos θ＝2知，x＝2為其對應的直角坐標方程，該直線與圓相切． 【答案】　B 二、填空題 6．在極坐標系中，圓ρ＝4被直線θ＝分成兩部分的面積之比是________． 【解析】　∵直線θ＝過圓ρ＝4的圓心， ∴直線把圓分成兩部分的面積之比是1∶1. 【答案】　1∶1 7．(2016惠州模擬)若直線l的極坐標方程為ρcosθ－＝3，曲線C：ρ＝1上的點到直線l的距離為d，則d的最大值為________． 【解析】　直線的直角坐標方程為x＋y－6＝0，曲線C的方程為x2＋y2＝1，為圓；d的最大值為圓心到直線的距離加半徑，即為dmax＝＋1＝3＋1. 【答案】　3＋1 8．在極坐標系中，圓ρ＝4sin θ的圓心到直線θ＝(ρ∈R)的距離是________． 【解析】　極坐標系中的圓ρ＝4sin θ轉化為平面直角坐標系中的一般方程為：x2＋y2＝4y，即x2＋(y－2)2＝4，其圓心為(0,2)，直線θ＝轉化為平面直角坐標系中的方程為y＝x，即x－3y＝0， ∴圓心(0,2)到直線x－3y＝0的距離為＝. 【答案】　 三、解答題 9．(2016銀川月考)在直角坐標系xOy中，以O為極點，x正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為ρcos＝1，M，N分別為C與x軸，y軸的交點． (1)寫出C的直角坐標方程，并求M，N的極坐標； (2)設MN的中點為P，求直線OP的極坐標方程． 【解】　(1)由ρcos＝1， 得ρ＝1. 又x＝ρcos θ，y＝ρsin θ， ∴曲線C的直角坐標方程為＋y＝1， 即x＋y－2＝0. 當θ＝0時，ρ＝2，∴點M(2,0)． 當θ＝時，ρ＝，∴點N. (2)由(1)知，M點的坐標(2,0)，點N的坐標. 又P為MN的中點， ∴點P，則點P的極坐標為. 所以直線OP的極坐標方程為θ＝(ρ∈R)． 10．(2016南通期中)在極坐標系下，已知圓O：ρ＝cos θ＋sin θ和直線l：ρsin＝， (1)求圓O和直線l的直角坐標方程； (2)當θ∈(0，π)時，求直線l與圓O公共點的一個極坐標． 【解】　(1)由ρ＝cos θ＋sin θ，可得ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ， 又代入得⊙O：x2＋y2－x－y＝0， 由l：ρsin＝，得：ρsin θ－ρcos θ＝，ρsin θ－ρcos θ＝1， 又代入得：x－y＋1＝0. (2)由解得 又得 又因為θ∈(0，π)，則θ＝，故為. [能力提升] 1．在極坐標系中，曲線ρ＝4sin關于(　　) A．直線θ＝對稱 B．直線θ＝對稱 C．點對稱 D．極點對稱 【解析】　由方程ρ＝4sin， 得ρ2＝2ρsin θ－2ρcos θ， 即x2＋y2＝2y－2x， 配方，得(x＋)2＋(y－1)2＝4. 它表示圓心在(－，1)、半徑為2且過原點的圓， 所以在極坐標系中，它關于直線θ＝成軸對稱． 【答案】　B 2．(2016湛江模擬)在極坐標方程中，曲線C的方程是ρ＝4sin θ，過點作曲線C的切線，則切線長為(　　) A．4 B. C．2 D．2 【解析】　ρ＝4sin θ化為直角坐標方程為x2＋(y－2)2＝4，點化為直角坐標為(2，2)，切線長、圓心到定點的距離及半徑構成直角三角形，由勾股定理：切線長為＝2. 【答案】　C 3．在極坐標系(ρ，θ)(0≤θ＜2π)中，曲線ρ＝2sin θ與ρcos θ＝－1的交點的極坐標為________． 【解析】　由ρ＝2sin θ，得ρ2＝2ρsin θ， 其直角坐標方程為x2＋y2＝2y， ρcos θ＝－1的直角坐標方程為x＝－1， 聯(lián)立 解得點(－1,1)的極坐標為. 【答案】　 4．在極坐標系中，O為極點，已知圓C的圓心為，半徑r＝1，P在圓C上運動． (1)求圓C的極坐標方程； (2)在直角坐標系(與極坐標系取相同的長度單位，且以極點O為原點，以極軸為x軸正半軸)中，若Q為線段OP的中點，求點Q軌跡的直角坐標方程． 【解】　(1)設圓C上任一點坐標為(ρ，θ)，由余弦定理得12＝ρ2＋22－22ρcos， 所以圓的極坐標方程為ρ2－4ρcos＋3＝0. (2)設Q(x，y)，則P(2x,2y)，由于圓C的直角坐標方程為(x－1)2＋(y－)2＝1，P在圓C上，所以(2x－1)2＋(2y－)2＝1，則Q的直角坐標方程為＋＝.