2022年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第四章4.3 兩角和與差的三角函數(shù)及二倍角的三角函數(shù)教案 理 北師大版

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1、2022年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第四章4.3 兩角和與差的三角函數(shù)及二倍角的三角函數(shù)教案 理 北師大版 考綱要求 1．會用向量的數(shù)量積推導(dǎo)出兩角差的余弦公式． 2．能利用兩角差的余弦公式導(dǎo)出兩角差的正弦、正切公式． 3．能利用兩角差的余弦公式導(dǎo)出兩角和的正弦、余弦、正切公式，導(dǎo)出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它們的內(nèi)在聯(lián)系． 4．能運用兩角和與差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角的正弦、余弦和正切公式進行簡單的恒等變換(包括導(dǎo)出積化和差、和差化積、半角公式，但對這三組公式不要求記憶)． 知識梳理 1．兩角和與差的正弦、余弦、正切公式 sin(α±β)＝__________；

2、cos(α±β)＝__________； tan(α±β)＝__________. 2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 sin 2α＝__________； cos 2α＝__________＝__________＝__________； tan 2α＝__________. 3．形如asin α＋bcos α的化簡 asin α＋bcos α＝sin(α＋φ)，其中cos φ＝__________，sin φ＝__________，即tan φ＝. 4．半角公式 (1)用cos α表示sin2，cos2，tan2. sin2＝__________； cos2＝______

3、____； tan2＝__________. (2)用cos α表示sin，cos ，tan. sin＝__________； cos＝__________； tan＝__________. (3)用sin α，cos α表示tan. tan＝＝. 基礎(chǔ)自測 1．下列各式中，值為的是(　　)． A．2sin 15°cos 15° B．cos215°－sin215° C．2sin215°－1 D．sin215°＋cos215° 2．化簡的結(jié)果是(　　). A．－cos 1 B．cos 1 C．cos 1 D．－cos 1 3．已知α∈，sin

4、 α＝，則tan＝__________. 4．函數(shù)f(x)＝2sin x－2cos x的值域是__________． 5．若＝2 012，則tan 2α＋＝__________. 思維拓展 1．兩角和與差的正切公式對任意角都適用嗎？若出現(xiàn)不適用的情況如何化簡？ 提示：在Tα＋β與Tα－β中，α，β，α±β都不等于kπ＋(k∈Z)，即保證tan α，tan β，tan(α＋β)都有意義；若α，β中有一角是kπ＋(k∈Z)，可利用誘導(dǎo)公式化簡． 2．你能用tan α來表示sin 2α，cos 2α嗎？ 提示：sin 2α＝2sin αcos α＝＝； cos 2α＝cos2α－si

5、n2α＝＝. 3．sin＝±，cos＝±，tan＝±的符號取決于什么？能否用sin α及cos α表示tan？ 提示：各函數(shù)值的符號取決于所在象限． tan＝＝＝或tan＝＝＝. 一、兩角和與差的三角函數(shù)公式的應(yīng)用 【例1－1】在△ABC中，角C＝120°，tan A＋tan B＝，則tan Atan B的值為(　　)． A． B． C． D． 【例1－2】化簡：. 方法提煉1．運用兩角和與差的三角函數(shù)公式時，不但要熟練，準確，而且要熟悉公式的逆用及變形，如tan α＋tan β＝tan(α＋β)·(1－tan αtan β)和二倍角的余弦公式的多種

6、變形等． 2．應(yīng)熟悉公式的逆用和變形應(yīng)用，公式的正用是常見的，但逆用和變形應(yīng)用則往往容易被忽視，公式的逆用和變形應(yīng)用更能開拓思路，培養(yǎng)從正向思維向逆向思維轉(zhuǎn)化的能力，只有熟悉了公式的逆用和變形應(yīng)用后，才能真正掌握公式的應(yīng)用． 請做[針對訓(xùn)練]1 二、角的變換 【例2－1】已知sin＝－，則sin 2x＝__________. 【例2－2】已知0＜β＜＜α＜π，cos＝，sin＝，求sin(α＋β)的值． 方法提煉1．當(dāng)“已知角”有兩個時，“所求角”一般表示為兩個“已知角”的和或差的形式； 2．當(dāng)“已知角”有一個時，此時應(yīng)著眼于“所求角”與“已知角”的和或差的關(guān)系，然后應(yīng)用誘導(dǎo)公式

7、把“所求角”變成“已知角”． 3．常見的配角技巧： α＝2·；α＝(α＋β)－β； 2α＝(α＋β)＋(α－β)；2β＝(α＋β)－(α－β)； α＝β－(β－α)；α＝[(α＋β)＋(α－β)]；β＝[(α＋β)－(α－β)]；＋α＝－； ＝－. 注意：特殊的角也看成已知角，如α＝－. 請做[針對訓(xùn)練]2 三、三角函數(shù)式的化簡 【例3－1】化簡：(π＜α＜2π)． 【例3－2】化簡：. 方法提煉三角函數(shù)式的化簡要遵循“三看”原則． (1)一看“角”，這是最重要的一環(huán)，通過看角之間的差別與聯(lián)系，把角進行合理的拆分，從而正確使用公式； (2)二看“函數(shù)名稱”，看函數(shù)名稱

8、之間的差異，從而確定使用的公式，常見的有“切化弦”； (3)三看“結(jié)構(gòu)特征”，分析結(jié)構(gòu)特征，可以幫助我們找到變形的方向，常見的有“遇到分式要通分”等． 請做[針對訓(xùn)練]4 四、三角函數(shù)式的求值 【例4】已知π＜α＜π，tan α＋＝－.求的值． 方法提煉三角函數(shù)的求值主要有三種類型，即給角求值、給值求值、給值求角． (1)給角求值的關(guān)鍵是正確地選用公式，以便把非特殊角的三角函數(shù)相約或相消，從而化為特殊角的三角函數(shù)． (2)給值求值的關(guān)鍵是找出已知式與待求式之間的聯(lián)系及函數(shù)的差異，一般可以適當(dāng)變換已知式，求得另外某些函數(shù)式的值，以備應(yīng)用．同時也要注意變換待求式，便于將已知式求得的函

9、數(shù)值代入，從而達到解題的目的． (3)給值求角的關(guān)鍵是先求出該角的某一三角函數(shù)的值，其次判斷該角對應(yīng)的區(qū)間，從而達到解題的目的． 請做[針對訓(xùn)練]3 五、三角恒等式的證明 【例5－1】求證：＝sin 2α. 【例5－2】已知0＜α＜，0＜β＜，且3sin β＝sin(2α＋β),4tan＝1－tan2，證明：α＋β＝. 方法提煉1．證明三角恒等式的實質(zhì)是消除等式兩邊的差異，有目的的化繁為簡、左右歸一或變更論證． 2．三角恒等式的證明主要有兩種類型：絕對恒等式與條件恒等式． (1)證明絕對恒等式要根據(jù)等式兩邊的特征，化繁為簡，左右歸一，變更論證，通過三角恒等式變換，使等式的兩邊化

10、異為同． (2)條件恒等式的證明則要認真觀察，比較已知條件與求證等式之間的聯(lián)系，選擇適當(dāng)途徑．常用代入法、消元法、兩頭湊等方法． 請做[針對訓(xùn)練]5 考情分析 從近兩年的高考試題來看，利用同角三角函數(shù)的關(guān)系改變?nèi)呛瘮?shù)的名稱、利用誘導(dǎo)公式、和差角公式及二倍角公式改變角的恒等變換是高考的熱點，常與三角函數(shù)式的求值、三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)、向量等知識綜合考查． 預(yù)測xx年高考仍將以同角三角函數(shù)的關(guān)系及利用和差角公式、二倍角公式進行恒等變換為主要考點，重點考查轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想和計算能力． 針對訓(xùn)練 1．如果cos2α－cos2β＝a，則sin(α＋β)sin(α－β)等于(　　)

11、． A．－ B． C．－a D．a(chǎn) 2．已知tan＝，tan ＝，則tan(α＋β)的值為(　　)． A． B． C． D．1 3．＝__________. 4．化簡：sin2αsin2β＋cos2αcos2β－cos 2αcos 2β. 5．已知sin β＝msin(2α＋β)(m≠1)，求證：tan(α＋β)＝tan α. 參考答案 基礎(chǔ)梳理自測 知識梳理 1．sin αcos β±cos αsin β　cos αcos β?sin αsin β　 2．2sin αcos α　cos2α－sin2α　2cos2α－1 1－2s

12、in2α　 3．　 4．(1)　　 (2)±　±　± 基礎(chǔ)自測 1．B　解析：A中：2sin 15°cos 15°＝sin 30°＝； B中：cos215°－sin215°＝cos 30°＝； C中：2sin215°－1＝－cos 30°＝－； D中：sin215°＋cos215°＝1. 2．C　解析：＝＝＝cos 1. 3．－　解析：∵α∈，sin α＝，∴cos α＝－. ∴tan α＝－，tan 2α＝＝－. ∴tan＝＝－. 4．[－2，2]　解析：f(x)＝ 2sin，又－1≤sin≤1， ∴－2≤f(x)≤2. 5．2 012　解析：tan 2α＋＝

13、＝＝＝＝2 012. 考點探究突破 【例1－1】B　解析：由題意得 tan C＝tan[π－(A＋B)] ＝－tan(A＋B)＝－＝－， 又tan A＋tan B＝， 解得tan Atan B＝.故選B. 【例1－2】解：原式＝ ＝ ＝＝＝cos 2x. 【例2－1】　解析；sin 2x＝－cos＝－cos 2＝2sin2－1＝2×2－1＝. 【例2－2】解：∵＜α＜， ∴－＜－α＜－，－＜－α＜0. 又∵cos＝， ∴sin＝－. ∵0＜β＜，∴＜＋β＜π. 又∵sin＝， ∴cos＝－， ∴sin(α＋β)＝－cos ＝－cos ＝－coscos－s

14、insin ＝－×－× ＝＋＝. 【例3－1】解：原式＝ ＝ ＝. 又∵π＜α＜2π，∴＜＜π. ∴cos ＜0. ∴原式＝＝cos α. 【例3－2】解：原式＝＝·＝·＝. 【例4】解：∵tan α＋＝－， ∴3tan2α＋10tan α＋3＝0， 解得tan α＝－3或tan α＝－. 又∵＜α＜π，∴tan α＝－. ∵ ＝ ＝ ＝＝＝－. 【例5－1】證明：∵左邊＝＝＝＝ ＝cos αsincos＝sin αcos α＝sin 2α＝右邊． ∴原式成立． 【例5－2】證明：∵3sin β＝sin(2α＋β)， 即3sin(α＋β－α)＝sin

15、(α＋β＋α)， ∴3sin(α＋β)cos α－3cos(α＋β)sin α ＝sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α， ∴2sin(α＋β)cos α＝4cos(α＋β)sin α， ∴tan(α＋β)＝2tan α. 又∵4tan＝1－tan2 ∴tanα＝＝. ∴tan(α＋β)＝2tan α＝1 ∵α＋β∈，∴α＋β＝. 演練鞏固提升 針對訓(xùn)練 1．C　解析：sin(α＋β)sin(α－β) ＝(sinαcosβ＋cosαsin β)(sin αcos β－cos αsin β)＝sin2αcos2β－cos2αsin2β ＝(1－cos2α

16、)cos2β－cos2α(1－cos2β) ＝cos2β－cos2α＝－a. 2．D　解析：tan(α＋β) ＝tan ＝ ＝＝＝1， 故選D. 3．　解析：∵sin 50°(1＋tan 10°)＝sin 50°· ＝sin 50°·＝＝＝＝1， cos 80°·＝sin 10°·＝sin210°. ∴＝＝. 4．解：解法一：原式＝sin2α·sin2β＋cos2α·cos2β－(2cos2α－1)(2cos2β－1) ＝sin2α·sin2β＋cos2α·cos2β－(4cos2αcos2β－2cos2α－2cos2β＋1) ＝sin2α·sin2β－cos2α·c

17、os2β＋cos2α＋cos2β－ ＝sin2α·sin2β＋cos2α·sin2β＋cos2β－ ＝sin2β＋cos2β－＝1－＝. 解法二：原式＝·＋·－cos 2α·cos 2β ＝(1＋cos 2α·cos 2β－cos 2α－cos 2β)＋(1＋cos 2α·cos 2β＋cos 2α＋cos 2β)－cos 2α·cos 2β＝＋cos 2α·cos 2β－cos 2α·cos 2β＝. 5．證明：由β＝(α＋β)－α，2α＋β＝(α＋β)＋α得sin[(α＋β)－α]＝m·sin[(α＋β)＋α]， 即sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α ＝m[sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α]， 即(1－m)sin(α＋β)cos α＝(1＋m)cos(α＋β)sin α. 兩邊同除以(1－m)cos(α＋β)cos α得 tan(α＋β)＝tan α(m≠1)，即等式成立．