信號(hào)與系統(tǒng)(習(xí)題課)

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1、by wky習(xí) 題 課 Signals and Systems by wky第 2章 信 號(hào) 的 時(shí) 域 分 析第 3章 系 統(tǒng) 的 時(shí) 域 分 析第 4章 周 期 信 號(hào) 的 頻 域 分 析第 5章 非 周 期 信 號(hào) 的 頻 域 分 析第 6章 系 統(tǒng) 的 頻 域 分 析 信 號(hào) 與 系 統(tǒng) 習(xí) 題 課 by wky 2-1 定 性 繪 出 下 列 信 號(hào) 的 波 形 (1) f(t) = u(t) - 2 u(t-1) -1 0 1 t1-1-2 u(t)- 2 u(t-1) f(t)1-1-1 0 1 t by wky 2-1 定 性 繪 出 下 列 信 號(hào) 的 波 形 (2) f(t

2、) = u(t+1) - 2u(t) + u(t-1) 1-1-1 0 1 t f(t)1-1-1 0 1 tu(t+1)- 2u(t)u(t-1) by wkyf(t)1-1 2-1 定 性 繪 出 下 列 信 號(hào) 的 波 形 (2) f(t) = u(t+1) - 2u(t) + u(t-1) 另 一 種 思 路 ：f(t) = u(t+1) - u(t) -u(t) - u(t-1) u(t+1) - u(t)=? -1 0 1 tu(t) - u(t-1)=? -u(t) - u(t-1)=? by wky 2-1 定 性 繪 出 下 列 信 號(hào) 的 波 形 (4) f(t) = d

3、(t-1) - 2d (t-2) + d (t-3)f(t)1-12-2-3 -2 -1 0 1 2 3 t(1) (-2)(1) by wky 2-2 定 性 繪 出 下 列 信 號(hào) 的 波 形 (1) f(t) = u(t) u(3-t) f(t)1-1-3 -2 -1 0 1 2 3 tu(t)u(3-t)=u-(t-3)u(t-3) by wky 2-2 定 性 繪 出 下 列 信 號(hào) 的 波 形 (1) f(t) = u(t) u(3-t) f(t)1-1-3 -2 -1 0 1 2 3 t by wky 2-2 定 性 繪 出 下 列 信 號(hào) 的 波 形 (3) f(t) = e-

4、2t sin(2t) u(t) e-2t sin(2t)0 p 2p 3p t1-1 e-2t sin(2t) u(t) by wky 2-2 定 性 繪 出 下 列 信 號(hào) 的 波 形 (3) f(t) = e-0.5t sin(2t) u(t) 0 p 2p 3p t1-1 e-0.5te-0.5t sin(2t) u(t) by wky 2-2 定 性 繪 出 下 列 信 號(hào) 的 波 形 (5) f(t) = (t-2) u(t) f(t)1-12-2-3 -2 -1 0 1 2 3 tt-2t (t-2) u(t) by wky 2-4 利 用 單 位 階 躍 信 號(hào) u(t)表 示

5、下 列 信 號(hào) -2 0 2 tf(t)2f(t)=(t +2) u(t +2) u(-t) + 2 u(t) u(2-t)= (t +2)u(t +2) - t u(t) -2u(t -2) u(t +2) - (t) + 2u(t) -u(t -2)(a) by wky 2-4 利 用 單 位 階 躍 信 號(hào) u(t)表 示 下 列 信 號(hào) (b) f(t)213-3 -2 -1 0 1 2 3 t u(t+3) u(3-t) u(t+2) u(2-t) u(t+1)u(1-t) f(t)=u(t+3)u(3-t) +u(t+2)u(2-t) +u(t+1)u(1-t) =u(t+3)-u

6、(t- ) +u(t+2)-u(t-2) +u(t+1)- t-1 by wky 2-4 利 用 單 位 階 躍 信 號(hào) u(t)表 示 下 列 信 號(hào) (c) 0 1 2 3 4 tf(t)2-1f(t) = 2u(t-1)u(2-t) -u(t-2)u(3-t) +u(t-3)u(4-t) =2u(t-1)-u(t-2) -u(t-2)-u(t-3) (t- )-u(t-4) =2u(t-1) -3u(t-2) +2u(t-3) -u(t-4) by wky 2-5 寫 出 下 列 信 號(hào) 的 時(shí) 域 表 達(dá) 式 (a) f(t)1-1-1 0 1 tf(t)= t u(t) -u(t -

7、1) +u(t-1) 或 者 f(t)= t u(t)u( -t) (t- ) by wky 2-5 寫 出 下 列 信 號(hào) 的 時(shí) 域 表 達(dá) 式(c) f(t)1-1-1 0 1 tf(t)=-tu(t+1) -u(t) + t u(t) -u(t-1) = -t u(t+1) (-t) t u(t) u(1-) by wky 2-5 寫 出 下 列 信 號(hào) 的 時(shí) 域 表 達(dá) 式(e) f(t)1-1-1 0 1 tf(t)= u(t+1) -u(t) +(1-2t) u(t) -u(t-1) - u(t -1) f(t)= u(t+1)u(-t) +(1-2t) u(1-t) - u(

8、t -1) by wky 2-10 已 知 信 號(hào) 波 形 , 繪 出 下 列 信 號(hào) 波 形f(t)12-3 -2 -1 0 1 2 3 t 12-3 -2 -1 0 1 2 3 tf(-t)12-3 -2 -1 0 1 2 3 tf(t+2) 12-3 -2 -1 0 1 2 3 tf(-3t) by wky 2-10 已 知 信 號(hào) 波 形 , 繪 出 下 列 信 號(hào) 波 形f(t)12-3 -2 -1 0 1 2 3 t 12-3 -2 -1 0 1 2 3 tf(-t)12-3 -2 -1 0 1 2 3 tf(5-3t) 12-3 -2 -1 0 1 2 3 tf(-3t) by

9、wky 連 續(xù) LTI系 統(tǒng) 的 響 應(yīng) 經(jīng) 典 時(shí) 域 分 析 方 法全 解 齊 次 解 特 解 卷 積 法完 全 響 應(yīng) 零 輸 入 響 應(yīng) 零 狀 態(tài) 響 應(yīng)齊 次 解 中 0-時(shí) 刻對(duì) 應(yīng) 的 分 量 卷 積 積 分固 有 響 應(yīng) 強(qiáng) 迫 響 應(yīng) by wky 例 題 ： 簡(jiǎn) 單 RC電 路+f (t) 1W 1F +uc(t)已 知 f (t) = (1+e3t )u(t)初 始 條 件 uC(0-)=1V求 uC(t)。解 ： 根 據(jù) 電 容 電 流 iC(t)=C duC(t)/dt得 微 分 方 程 uC(t) + uC(t)= f (t) 特 征 方 程 s + 1 = 0得

10、 特 征 根 s 1=1 by wky (1) 零 輸 入 響 應(yīng) （ 與 齊 次 解 形 式 相 同 ）uCx(t) = K1et根 據(jù) 初 始 條 件 uC(0-)=1V得 到 K1=1，即 零 輸 入 響 應(yīng) uCx(t) = et(2) 沖 激 響 應(yīng) h(t) = Aet u(t) 代 入 原 微 分 方 程 Aet u(t) + Aet d(t) + Aet u(t) = d(t) 解 得 A = 1， 即 h(t) = e t u(t) by wky (3) 零 狀 態(tài) 響 應(yīng)uCf(t) = f (t)* h(t) d e)e1( )(3-0 -+ tt d )eee( 3-)

11、()(0 - + ttt d )ee( 2 0 ttt - + | t02 )e21e( - - tt by wky= (e0 -1/2e3t ) - (et -1/2et ) = (1 - 1/2et -1/2e3t) u(t) (4) 完 全 響 應(yīng) =零 輸 入 響 應(yīng) + 零 狀 態(tài) 響 應(yīng)uC(t) = uCx(t) + uCf(t) = et u(t) + (1 - 1/2et -1/2e3t) u(t) (3) 零 狀 態(tài) 響 應(yīng)uCf(t) = f (t)* h(t) by wky 齊 次 解 uCh(t) = K1et特 解 uCp(t) = A+Be3t 特 解 代 入 原

12、 微 分 方 程 3Be3t + A+Be3t = 1+e3t 解 得 A = 1， B =-1/2 特 解 uCp(t) = 1 1/2e3t 全 解 (完 全 響 應(yīng) )=齊 次 解 + 特 解uC(t) = K1et + (1 1/2e3t ) 【 采 用 經(jīng) 典 法 ： 】 by wky 根 據(jù) 初 始 條 件 uC(0+)= uC(0-)=1V得 到 K1 +11/2 =1，即K1 = 1/2 全 解 uC(t) = 1/2 et + (1 1/2e3t ) 齊 次 解（ 固 有 響 應(yīng) ） 特 解（ 強(qiáng) 迫 響 應(yīng) ）比 較 ： 完 全 響 應(yīng) =零 輸 入 響 應(yīng) + 零 狀 態(tài)

13、 響 應(yīng)= et + (1 - 1/2et -1/2e3t) by wky 習(xí) 題 3-4已 知 微 分 方 程 為 y(t) + 3 y (t) = f(t)， t 0; y(0) =1，求 系 統(tǒng) 的 固 有 響 應(yīng) (齊 次 解 ) yh(t)、 強(qiáng) 迫 響 應(yīng)(特 解 ) yp(t)和 完 全 響 應(yīng) (全 解 ) y(t) 解 ： 系 統(tǒng) 特 征 方 程 為 s+3=0,解 得 特 征 根 s=-3 齊 次 解 的 形 式 為 yh(t)=Ke-3t by wky (1)當(dāng) 輸 入 f(t)=u(t)時(shí) ， 特 解 形 式 為 yp(t)=A 代 入 原 方 程 ， 得 A =1/3

14、， 即 yp(t)= 1/3 全 解 y(t) = yh(t) + yp(t) = Ke-3t + 1/3 根 據(jù) 初 始 條 件 有 y(0)= K+1/3=1, 得 K =2/3 y(t) = 2/3 e-3t + 1/3(2)當(dāng) f(t)=e-tu(t)時(shí) ， 特 解 形 式 為 yp(t)=Ae-t代 入 原 方 程 , 得 A =1/2, 即 yp(t)= e-t 全 解 y(t) = yh(t) + yp(t) = Ke-3t + e-t 根 據(jù) 初 始 條 件 有 y(0)= K+1/2=1, 得 K =1/2 y(t) = e-3t + e-t(3)當(dāng) f(t)=e-3tu(t

15、)時(shí) ， 因 為 特 征 根 s=-3 特 解 形 式 為 yp(t)=At e-3t 代 入 原 方 程 , 得 A 1, 即 yp(t)= t e-3t 全 解 y(t) = h(t) + yp(t) = Ke-3t + t e-3t 根 據(jù) 初 始 條 件 有 y(0)= K=1, y(t) = e-3t + t e-3t = (1+ t) e-3t by wky 習(xí) 題 3-6 (1)已 知 系 統(tǒng) 的 微 分 方 程 為y(t) +5 y(t) + 4 y(t) =2 f (t) + 5f(t), t 0;初 始 狀 態(tài) y(0-) =1， y(0-) =5， 求 系 統(tǒng) 的 零 輸

16、 入 響 應(yīng) yx(t)。 解 ： 系 統(tǒng) 特 征 方 程 為 s2+5s+4=0 ,解 得 特 征 根 s1=-1, s2=-4 by wky 零 輸 入 響 應(yīng) 與 齊 次 解 的 形 式 相 同 ： yx(t)=K1e-t + K2e-4t根 據(jù) 初 始 狀 態(tài) ， 有 y(0-) = yx(0-) = K1+ K2 = 1 y(0-) = yx(0-) = -K1 -4 K2 = 5 解 出 K1= 3, K2 = -2 零 輸 入 響 應(yīng) 為 yx(t) = 3 e-t - 2 e-4t by wky 習(xí) 題 3-6 (2)已 知 系 統(tǒng) 的 微 分 方 程 為y(t) +4 y(t

17、) + 4 y(t) =3 f (t) + 2f(t), t 0;初 始 狀 態(tài) y(0-) =-2， y(0-) =3， 求 系 統(tǒng) 的 零 輸 入 響 應(yīng) yx(t)。 解 ： 系 統(tǒng) 特 征 方 程 為 s2+4s+4=0 ,解 得 特 征 根 s1= s2= -2 by wky 零 輸 入 響 應(yīng) 與 齊 次 解 的 形 式 相 同 ： yx(t)= (K1 + K2t)e-2t根 據(jù) 初 始 狀 態(tài) ， 有 y(0-) = yx(0-) = K1= -2 y(0-) = yx(0-) = -2K1 + K2 = 3 解 出 K1= -2 , K2 = -1 零 輸 入 響 應(yīng) 為 y

18、x(t) = (-2-t) e-2t by wky 習(xí) 題 3-7 (1)已 知 連 續(xù) 時(shí) 間 LTI系 統(tǒng) 的 微 分 方 程 為y(t) + 3 y(t) = f(t), t 0;求 系 統(tǒng) 在 輸 入 激 勵(lì) f(t) = e-3tu(t)作 用 下 系 統(tǒng)的 零 狀 態(tài) 響 應(yīng) yf(t)。 解 : (1) 系 統(tǒng) 特 征 方 程 為 s+3=0 ,解 得 特 征 根 s=-3, 且 滿 足 nm by wky 沖 激 響 應(yīng) 與 齊 次 解 的 形 式 相 同 ： h(t)= Ke-3t u(t) 代 入 原 微 分 方 程 ， 有 Ke-3t d(t)-3 Ke-3t u(t)+

19、 3 Ke-3t u(t)= d(t)即 Ke-3t d(t) = d(t)利用沖激函數(shù)的篩選特性：f (t) d (t) = f(0) d(t) 得 K d(t) = d(t)，即 K =1 沖 激 響 應(yīng) h(t)= e-3t u(t)(2) 當(dāng) 輸 入 f(t) = e-3tu(t) 時(shí) ， 零 狀 態(tài) 響 應(yīng)為 yf(t) = h(t) * f(t) = t e-3t u(t) by wky 習(xí) 題 3-7 (5)已 知 連 續(xù) 時(shí) 間 LTI系 統(tǒng) 的 微 分 方 程 為y(t) +4 y(t) + 3 y(t) = f(t), t 0;求 系 統(tǒng) 在 輸 入 激 勵(lì) f(t) =

20、e-2tu(t)作 用 下 系 統(tǒng)的 零 狀 態(tài) 響 應(yīng) yf(t)。 解 ： (1) 系 統(tǒng) 特 征 方 程 為 s2+4s+3=0 ,解 得 特 征 根 s1=-1, s2=-3 , 且 滿 足 nm by wky 沖 激 響 應(yīng) 與 齊 次 解 的 形 式 相 同 ： h(t)= (K1et + K2e3t) u(t) 代 入 原 微 分 方 程 ， 有 (K1e-t + K2e-3t) d(t)+2(-K1e-t -3 K2e-3t) d(t) + (K1e-t + 9K2e-3t) u(t)+4(K1e-t + K2e-3t)d(t)+ (-K1e-t -3 K2e-3t) u(t)

21、+ 3(K1e-t + K2e-3t) u(t) = d(t)化簡(jiǎn)得(K1e-t +K2e-3t)d(t)+(2K1e-t -2K2e-3t)d(t)=d(t) by wky 利用沖激函數(shù)的篩選特性：f (t) d (t) = f(0) d(t) 以 及 f (t) d(t) = f (0) d(t) - f(0) d(t) 得(K1+K2)d(t) +(K1 +3K2 + 2K1 -2 K2) d(t) = d(t)即 K1+K2 = 0， 3K1+K2 = 1 K1 = ， K2 = - 沖激響應(yīng) h(t)= (1/2e-t -1/2e-3t) u(t) (2) 當(dāng) 輸 入 f(t) =

22、e-2tu(t) 時(shí) ， 零 狀 態(tài) 響 應(yīng) 為y f(t) = h(t) * f(t) = (1/2e-t +1/2e-3t -e-2t) u(t) by wky 習(xí) 題 3-8 (1)已 知 系 統(tǒng) 微 分 方 程 為y (t) + 5 y (t) + 4 y (t) = f(t) +2 f (t) ， t 0f (t) =u(t), y(0-)=2, y (0-)=4求 零 輸 入 響 應(yīng) 、 零 狀 態(tài) 響 應(yīng) 和 完 全 響 應(yīng) 。解 ： 特 征 方 程 s2 + 5s + 4 = 0得 特 征 根 s1=1， s2=4 by wky yx (t) = K1et + K2e4t根 據(jù)

23、 初 始 狀 態(tài) ， 有y (0-) = yx(0-) = K1+ K2 = 2y(0-) = yx(0-) = -K1 -4 K2 = 4解 出 K1= 4, K2 =-2，零 輸 入 響 應(yīng) 為yx(t) = 4 et 2 e4t(1) 求 零 輸 入 響 應(yīng) (與 齊 次 解 形 式 相 同 )(2) 求 沖 激 響 應(yīng) (與 齊 次 解 形 式 相 同 )h(t) = (Aet + Be4t ) u(t) 代 入 原 微 分 方 程 y (t) + 5 y (t) + 4 y (t) = f(t) +2 f (t)(Aet + Be4t ) d(t) +(3Aet 3 Be4t ) d

24、(t) = d(t) +2d(t) 利 用 沖 激 信 號(hào) 的 篩 選 特 性 ：f (t) d(t) = f (0) d(t) - f(0) d(t) f (t) d (t) = f(0) d(t) 得 到 ( + B) d(t) - (- A - 4B) d() + (3A - 3B ) d(t) = d(t) +2d(t) 即 A + B=1, 4A + B=2, 解 得 A=1/3, B=2/3沖 激 響 應(yīng) h(t) = (1/3 et + 2/3 e4t ) u(t) by wky (3) 求 零 狀 態(tài) 響 應(yīng) yf(t)= f (t)*h(t)=h(t)*f(t) d )e32

25、e31( 40 - +t | t 04 )e61e31( - - )( )21e61e31( 4 tutt +- - by wkyy(t) = yx(t) + yf(t) = (4 et 2 e4t )u(t) + (-1/3 et 1/6 e4t + 1/2)u(t)= (11/3 et 13/6 e4t + 1/2)u(t) (4) 完 全 響 應(yīng) =零 輸 入 響 應(yīng) + 零 狀 態(tài) 響 應(yīng) by wky 齊 次 解 的 形 式 為 yh (t) = A1et + A2e4t求 特 解 ：由 yp (t) = A3 4 A3=2 A3=1/2全 解 為 y (t) = yh (t) +

26、yp (t) =A1et + A2e4t + 1/2【 采 用 經(jīng) 典 法 ： 】 by wky 如 果 y (0+) = y (0-), y(0+)= y(0-)根 據(jù) 初 始 狀 態(tài) ， 有y (0+) = A1+ A2 + 1/2 = 2y(0+) = -A1 -4 A2 = 4解 出 A1= 10/3, A2 =-11/6，全 解 為 y (t) = 10/3 et 11/6 e4t + 與卷積法結(jié)果不同！ by wky 取 初 值 y (0+) = y (0-)=2, y(0+)=5 根 據(jù) 初 始 狀 態(tài) ， 有y (0+) = A1+ A2 + 1/2 = 2y(0+) = -A

27、1 -4 A2 = 5解 出 A1= 11/3, A2 =-13/6，全 解 為 y (t) = 11/3 et 13/6 e4t + 與卷積法結(jié)果相同！ by wky 習(xí) 題 3-8 (2)已 知 系 統(tǒng) 微 分 方 程 為y (t) + 4 y (t) + 4 y (t) = 3f(t) +2 f (t) ， t 0f (t) =e-tu(t), y(0-)=-2, y (0-)=3求 零 輸 入 響 應(yīng) 、 零 狀 態(tài) 響 應(yīng) 和 完 全 響 應(yīng) 。解 ： 特 征 方 程 s2 + 4s + 4 = 0得 特 征 根 s 1= s2=2，且滿足nm by wky yx(t)= (K1 +

28、 K2t)e-2t根 據(jù) 初 始 狀 態(tài) ， 有 y(0-) = yx(0-) = K1= -2 y(0-) = yx(0-) = -2K1 + K2 = 3 解 出 K1= -2 , K2 = -1 零 輸 入 響 應(yīng) 為 yx(t) = (-2-t) e-2t(1) 求 零 輸 入 響 應(yīng) (與 齊 次 解 形 式 相 同 ) by wky (2) 求 沖 激 響 應(yīng) (與 齊 次 解 形 式 相 同 )h(t) = (A + Bt)e-2t u(t) 代 入 原 微 分 方 程 y (t) + 4 y (t) + 4 y (t) = 3f(t) +2 f (t)(A+ Bt ) e-2t

29、 d(t) +2(-2A-2Bt +B) e-2t d(t) + (4A+4Bt -4B) e-2t u(t) + 4(A+ Bt ) e-2t d(t) +(-2A-2Bt +B) e-2t u(t) +4(A+ Bt ) e-2tu(t)= d(t) +2d(t) by wky 即(A+Bt)e-2td(t)+ 2Be-2td(t)=3d(t)+2d(t) 利 用 沖 激 信 號(hào) 的 篩 選 特 性 ：f (t) d(t) = f (0) d(t) - f(0) d(t) f (t) d (t) = f(0) d(t) , 得 到 : Ad(t) - (-2A +B)d(t) + 2B d

30、(t) = 3d(t) +2d(t) 即 A =3, - (-2A +B) + 2B =2, 解 得 A=3, B=-4沖 激 響 應(yīng) h(t) = (3 4t) e2t u(t) by wky (3) 求 零 狀 態(tài) 響 應(yīng) yf(t)= f (t)*h(t)=h(t)*f(t) d ee)43( )(20 - - tt )ee(4)e(3 e | t0t0 - - t )( ee)14( 2 tut tt - -+ ett d e)43(e 0 - -tt by wky 習(xí) 題 3-11已 知 連 續(xù) 時(shí) 間 LTI系 統(tǒng) 的 微 分 方 程 , 求 系 統(tǒng) 的 沖 激 響 應(yīng) h(t)。

31、 (1) y(t) + 3 y(t) = 2f(t), t 0;(2) y(t) + 4 y(t) = 3f(t) + 2f(t), t 0;(3) y(t) + 3y(t) + 2y(t) = 4f(t), t 0; by wky (1) y(t) + 3 y(t) = 2f(t), t 0;解 ： 系 統(tǒng) 特 征 方 程 為 s+3=0 ,解 得 特 征 根 s= -3, 且滿足nm 沖 激 響 應(yīng) 與 齊 次 解 形 式 相 同 , h(t)= Ke-3t u(t) 代 入 原 微 分 方 程 ， 有 Ke-3t d(t) -3 Ke-3t u(t)+ 3 Ke-3t u(t)= 2d(

32、t)即 Ke-3t d(t) = 2d(t)利用沖激函數(shù)的篩選特性：f (t) d (t) = f(0) d(t) 得 K d(t) = 2d(t)，即 K =2 沖 激 響 應(yīng) h(t)= 2e-3t u(t) by wky (2) y(t) + 4 y(t) = 3f(t) + 2f(t), t 0;解 ： 系 統(tǒng) 特 征 方 程 為 s+4=0 ,解 得 特 征 根 s= -4, 且存在n=m 沖 激 響 應(yīng) 含 有 d(t)項(xiàng) , h(t)= Ae-4t u(t) + B d(t)代 入 原 微 分 方 程 ， 有Ae-4td(t) -4Ae-4t u(t) + Bd (t) + 4A

33、e-4t u(t) + 4B d(t) = 3d (t)+ 2d(t)即 Bd (t)+Ae-4t +4Bd (t) = 3d (t)+2d(t)利用沖激函數(shù)的篩選特性：f (t) d(t) = f(0) d(t) 得 B = 3, A+4B = 2，即 A = -10, B = 3 沖 激 響 應(yīng) h(t)= -10e-4t u(t) + 3d(t) by wky (3) y(t) + 3y(t) + 2y(t) = 4f(t), t 0;解 ： 系 統(tǒng) 特 征 方 程 為 s2+3s+2=0 ,解 得 特 征 根 s1=-1, s2=-2, 且滿足nm 沖 激 響 應(yīng) 與 齊 次 解 形

34、式 相 同 , h(t)= (K1et + K2e2t) u(t) 將 沖 激 響 應(yīng) 代 入 原 微 分 方 程 ， 有 (K1e-t + K2e-2t) d(t)+2(-K1e-t -2 K2e-2t) d(t) + (K1e-t + 4K2e-2t) u(t)+3(K1e-t + K2e-2t)d(t)+ (-K1e-t -2 K2e-2t) u(t)+ 2(K1e-t + K2e-2t) u(t) = 4d(t)利用沖激函數(shù)的篩選特性：f (t) d (t) = f(0) d(t)，以及f (t) d(t) = f (0) d(t) - f(0) d(t)，得 (K1+K2)d(t)

35、+(K1+2K2+K1-K2)d(t) = 4d(t)即 K1= 4， K2 = -4沖激響應(yīng) h(t)= (4e-t -4e-2t) u(t) by wky 習(xí) 題 4-1 比 較 周 期 方 波 的 對(duì) 稱 性 ，寫 出 Fourier級(jí) 數(shù) 展 開 式 。 by wky fa(t)A-T -T/4 T/4 T t(a)fa(t)偶 對(duì) 稱 ， Fourier級(jí) 數(shù) 展 開 式 中 只 含有 直 流 分 量 和 余 弦 分 量 。 )2/Sa(2)2/Sa( 0 p nAnTACn tnna nAtf 0j)e2/Sa(2)( p- by wky fb(t)A-T T/2 T/2 T t(

36、b)信 號(hào) 為 fa(t)右 移 T/4， 即 fb(t)= fa(t-T/4)，根 據(jù) 時(shí) 移 特 性 可 以 得 到 fb(t)的 Fourier系 數(shù) 。 2/j-4j- e )2/Sa(2e )( 0 p p nTnann nAtfCC )2/(j 0)e2/Sa(2)( pp - tnnb nAtf by wky (c)fc(t)=2 fa(t)-A ， 偶 對(duì) 稱 ， 且 半 波 鏡 像 對(duì)稱 ， Fourier級(jí) 數(shù) 展 開 式 中 只 含 有 奇 次諧 波 的 余 弦 分 量 。 C0=0 0 ),2/Sa( nnAC n p tnnnc nAtf 0j0, )e2/Sa()(

37、 p - fc(t)A-A-T -T/4 T/4 T t by wky (d)信 號(hào) 為 fc(t)右 移 T/4， 即 fd(t)= fc(t-T/4)，根 據(jù) 時(shí) 移 特 性 可 以 得 到 fd(t)的 Fourier系 數(shù) 。 C0=0 0 ,e)2Sa( 2/-j nnAC nn pp )2/(j0, 0)e2/Sa()( pp - - tnnnd nAtf -T T/2 T/2 T t fd(t)A-A by wky (d)奇 對(duì) 稱 ， 且 半 波 鏡 像 對(duì) 稱 ， Fourier級(jí) 數(shù)展 開 式 中 只 含 有 奇 次 諧 波 的 正 弦 分 量-T T/2 T/2 T tf

38、d(t)A-A by wky 習(xí) 題 4-3 求 下 列 信 號(hào) 指 數(shù) 形 式 的Fourier級(jí) 數(shù) 系 數(shù) 。(1) f (t) = sin 20t f (t) = 1/(2j) (ej20t e j20t) C2= 1/(2j) = -0.5j C-2= -1/(2j) = 0.5j Cn = 0, n 2 by wky (4) f (t) = sin 2t + cos 4t + sin 6t f (t) = 1/(2j) (ej2t e j2t) + 1/2 (ej4t e j4t) + 1/(2j) (ej6t e j6t)取 0=2 f (t) = 1/(2j) (ej0t e

39、j0t) + 1/2 (ej20t e j20t) + 1/(2j) (ej30t e j30t) C1 = -0.5j， C-1= 0.5jC 2 = 0.5， C3 = -0.5j， C-3= 0.5j Cn = 0, n 1, 2, 3 by wky-9 9 習(xí) 題 4-7 已 知 頻 譜 Cn， 寫 出 f(t)表 達(dá) 式Cn3 341 12 2-6 6-3 30由圖可知: 0 = 3, C0=4, C13, C21 , C32 by wky 0j( ) e n tnnf t C - 0 0 0 0j j j2 j24 3(e e ) (e e )t t t t - - + + + +

40、 0 0 04 6cos( ) 2cos(2 ) 4cos(3 )t t t + + +0 0j3 j32(e e )t t -+ + by wky 習(xí) 題 5-1 求 非 周 期 信 號(hào) 的 頻 譜 函 數(shù) 。(a) fa(t)2-2 -1 0 1 2 t矩形脈沖的頻譜 F (j) = A Sa(/ 2) F p1(t) = Sa(/ 2)時(shí)移特性 F f(t-t0) = F (j) e jt 0 by wky 習(xí) 題 5-1 求 非 周 期 信 號(hào) 的 頻 譜 函 數(shù) 。方法一：fa(t) = 2 p1(t -1.5) + 2 p1(t +1.5)Ffa(t)=2Sa(/ 2) e j1.

41、5 +2Sa(/ 2) ej1.5=4Sa(/ 2) cos(1.5)方法二：fa(t) = 2 p4(t) - 2 p2(t)Ffa(t)=8Sa(2) - 4Sa() by wky 習(xí) 題 5-1 求 非 周 期 信 號(hào) 的 頻 譜 函 數(shù) 。(c) fc(t)2-2 -1 0 1 2 tfc(t) = 2 p1(t -0.5) + p1(t -1.5)Ffc(t)=2Sa(/ 2) e j0.5 + Sa(/ 2) ej1.5 by wky 習(xí) 題 5-5 利 用 F p1(t) = Sa(/ 2)以 及Fourier變 換 的 性 質(zhì) 求 f(t)的 Fourier變 換(a) f1(

42、t)10 1 2 t F f1(t) = 1/|0.5| F (j/ 0.5) e j = 2Sa(/0.5 /2) e j = 2Sa() e j f1(t) = p1(0.5 (t-1)擴(kuò)展2倍，平移1 by wky 習(xí) 題 5-5 利 用 F p1(t) = Sa(/ 2)以 及Fourier變 換 的 性 質(zhì) 求 f(t)的 Fourier變 換(c) -1 0 1 tF f3(t) = Sa(/2) e j0.5 - Sa(/2) e j0.5 = Sa(/2) e j0.5 - e j0.5 = 2j Sa(/2) sin (0.5) f3(t) = p1(t+0.5)- p1(t

43、- 0.5)f3(t)1-1 by wky 習(xí) 題 5-6 利 用 Ff(t) = F(j)以 及 Fourier變 換 的 性 質(zhì) 求 Fourier變 換(1) F f(t-5) = F (j) e j5 (時(shí)移特性)(2) F f(5t) = 1/5 F (j/5) (展縮特性) F f(-5t) = 1/5 F (-j/5) by wky Ex.6-1 Find the differential equation of an LTI system with the following frequency response 8)j(6)j( )j(4)j( 2 + HO btain th

44、e steady-state response y(t) of the system, if the input is f(t)=cos(3t)u(t)已 知 頻 率 響 應(yīng) ， 求 微 分 方 程 ；根 據(jù) 輸 入 f(t)計(jì) 算 穩(wěn) 態(tài) 響 應(yīng) y(t) 。 by wky 8)j(6)j( )j(4)j( )j()j( 2 + FYH )j()j(4)j(8)j(6)j( 2 FY +微分方程為y(t) + 6y(t) + 8y(t) = 4f (t)， t0輸 入 f(t)=cos(3t)u(t)時(shí)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為y(t) = ReH (j3).ej3t = |H (j3)|.cos(3t+

45、(3) by wky Ex.6-3 Find the zero-state response y(t) of an LTI system with the following frequency response 2j 1)j( + Hif the input is f(t)=u(t)已 知 頻 率 響 應(yīng) H (j)和 輸 入 f(t)， 計(jì) 算 零 狀 態(tài)響 應(yīng) y(t) 。 by wkypd j 1)()j( +F解：輸入信號(hào)u(t)的頻譜為j1)(2j 1)j()j()j( pd + FHY 零狀態(tài)響應(yīng)y(t)的頻譜為 by wky 利用函數(shù)的篩選特性，可得pd j)2(j 1)(21

46、)j( +Y 2j 121j121)(21 +-+ pd )()e1( 21)(e21)(21)( 22 tutututy tt - - by wky Ex.6-4 Find the Fourier Transform Y(j) of the output of an LTI system when the input is f(t)= e-4t u(t)(1) If the differential equation of the system is y(t) + 3y(t) = 2f (t)， t0(2) If the differential equation of the system

47、 is y(t) + 5y(t) + 6y(t) = 3f (t)+5f (t)， t0已 知 動(dòng) 態(tài) 方 程 和 輸 入 ， 求 響 應(yīng) 的 頻 譜 Y(j) 。 by wky (1) 對(duì)于微分方程y(t) + 3y(t) = 2f (t)， t0 頻率響應(yīng)為3j 2)j( + H 4j 1)j( + F 輸入信號(hào)的頻譜為 by wky 所以響 應(yīng) 的 頻 譜為4j 23j 2)j( +-+ Y如果求時(shí)域響應(yīng)，)4j)(3(j 2)j()j()j( + FHY y(t) = 2(e-3t -e-4t) u(t) by wky (2) 對(duì)于微分方程y(t) + 5y(t) + 6y(t) = 3f (t)+5f (t)， t0 頻率響應(yīng)為 4j 1)j( + F 輸入信號(hào)的頻譜為6)j(5)j( 5)j(3)j( 2 + + H by wky 所以響 應(yīng) 的 頻 譜為4j 1273j 142j 121)j( +-+- Y如果求時(shí)域響應(yīng)，)4j)(3(j)2(j 53j)j( + + Yy(t) = (-1/2e-2t +4e-3t -7/2e-4t) u(t)