信號與系統(tǒng)課件(鄭君里版)第八章

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1、第 八 章 狀 態(tài) 變 量 法 狀 態(tài) 變 量 分 析 法 ； 狀 態(tài) 變 量 、 狀 態(tài) 方 程 的 概 念 ； 狀 態(tài) 方 程 的 建 立 ； 狀 態(tài) 方 程 的 求 解 ； 研 究 系 統(tǒng) 的 輸 入 與 輸 出 的 關(guān) 系 ， 通 稱 為 端 口 法 。8.1 基 本 概 念 與 定 義 一 、 狀 態(tài) 變 量 對 于 動 態(tài) 系 統(tǒng) ， 在 任 意 時(shí) 刻 ， 都 能 與 激 勵 一 起 確定 系 統(tǒng) 全 部 響 應(yīng) 的 一 組 獨(dú) 立 完 備 的 變 量 ， 稱 為 系 統(tǒng) 的狀 態(tài) 變 量 。 )(2 tyL )(1 tf )(2 tf a )( 1 ty I 2R1.9圖 C

2、)(2 tx )(1 tx )19()()()( )()()()()( 222 11111111 tftxty tfRtxRRtxtfty x1(t),x2(t)符 合 狀 態(tài) 變 量 的 定 義 ， 所 以 它 們 是 一組 獨(dú) 立 完 備 的 狀 態(tài) 變 量 。 該 方 程 稱 為 該 電 路 的 輸 出 方 程 。 二 、 狀 態(tài) 向 量 則 此 列 矩 陣x(t)即 稱 為 n維 狀態(tài) 向 量 ， 簡 稱 狀態(tài) 向 量 。 Tn txtxtxtx tx txtx )()()()( )( )()( 21321 三 、 狀 態(tài) 與 初 始 狀 態(tài) 狀 態(tài) 變 量 在 某 一 時(shí) 刻 t0的

3、 值 ， 稱 為 系 統(tǒng) 在 t0時(shí) 刻 的狀 態(tài) 。 狀 態(tài) 變 量 在 t=0-時(shí) 刻 的 值 稱 為 系 統(tǒng) 的 初 始 狀 態(tài) 或 起始 狀 態(tài) 。 X(0-)也 稱 為 初 始 狀 態(tài) 向 量 或 起 始 狀 態(tài) 向 量 。 四 、 狀 態(tài) 方 程 從 已 知 的 激 勵 與 初 始 狀 態(tài) ， 求 狀 態(tài) 向 量 的 一 階 向量 微 分 方 程 ， 稱 為 狀 態(tài) 方 程 。 )(2 tyL )(1 tf )(2 tf a )( 1 ty I 2R1.9圖 C )(2 tx )(1 tx )(1)(1)()(1)()( 222212211 tfRtxRtxtyRtxdttdxC

4、)29()(1)(1)(1)( )()(1)()( 222212 112111 tfCRtxCRtxCdttdx tfLRtxLtxLRdttdx )()()()()( 1111211 tfRtxRtxtydttdxL x2(t) 特 點(diǎn) ：方 程 左 端 都 是 一 個(gè) 狀 態(tài) 變 量 的 一 階 導(dǎo) 數(shù) ;而 方 程 右 端 則 為 各 狀 態(tài) 變 量 與 各 激 勵 的 線 性 組 合 。 矩 陣 形 式 : )( )(10 0)( )(11 1)( )( 2121212121 tf tfCRLRtx txCRC LLRtx tx一 階 向 量 微 分 方 程 的 形 式 : )39()

5、()()( tBftAxtx A常 稱 為 系 統(tǒng) 矩 陣 ;B常 稱 為 控 制 矩 陣 。 1( )f t2( )f t 2( )y t1( )y t( )jf t( ) mf t ( )ry t ( )iy t1( )x t2( )x t( )nx t 9.2圖 五 、 輸 出 方 程 )19()()()( )()()()()( 222 11111111 tftxty tfRtxRRtxtfty寫 成 矩 陣 形 式 為 )( )(10 0)( )(10 0)( )( 21121121 tf tfRtx txRty yy )49()()()( tDftCxty 稱 為 輸 出 方 程C常

6、 稱 為 輸 出 矩 陣 。 狀 態(tài) 方 程 與 輸 出 方 程 ， 共 同 構(gòu) 成 了 描 述 系 統(tǒng) 特 性的 完 整 方 程 (即 數(shù) 學(xué) 模 型 )， 統(tǒng) 稱 為 系 統(tǒng) 方 程 。 六 、 狀 態(tài) 變 量 法 以 系 統(tǒng) 的 狀 態(tài) 方 程 與 輸 出 方 程 為 研 究 對 象 ， 對 系 統(tǒng)特 性 進(jìn) 行 系 統(tǒng) 分 析 的 方 法 ， 稱 為 狀 態(tài) 變 量 法 。一 般 步 驟 ：(1) 選 擇 系 統(tǒng) 的 狀 態(tài) 變 量 。(2) 列 寫 系 統(tǒng) 的 狀 態(tài) 方 程 。(3) 求 解 狀 態(tài) 方 程 ， 以 得 到 狀 態(tài) 向 量 。(4) 列 寫 系 統(tǒng) 的 輸 出 方

7、程 。(5) 將 第 (3)步 求 得 的 狀 態(tài) 向 量 及 已 知 的 激 勵 向 量 ， 代 入第 (4)步 所 列 出 的 輸 出 方 程 中 ， 即 得 所 求 響 應(yīng) 向 量 。 8.2連 續(xù) 時(shí) 間 系 統(tǒng) 狀 態(tài) 方 程 的 建 立 與 求 解 一 、 由 電 路 圖 直 觀 列 寫 )(1 tuC )(2 tuC 2C 3C1C )(3 tuC)(a 2C1C)(tu )(1 tuC )(2 tuC)(b 1( )i t 2( )i t3( )i t 2L1L 3L( )c 1( )i t 2( )i t 2L 1L( )i t ( )d9.3圖 網(wǎng) 絡(luò) 狀 態(tài) 方 程 的

8、直 觀 列 寫 方 法 ， 一 般 步 驟 ：(1) 選 取 電 路 中 所 有 獨(dú) 立 電 容 電 壓 和 獨(dú) 立 電 感 電 流 作為 狀 態(tài) 變 量 。(2) 必 須 對 每 一 個(gè) 獨(dú) 立 電 容 列 寫 出 只 含 此 獨(dú) 立 電 容 電壓 一 階 導(dǎo) 數(shù) 在 內(nèi) 的 節(jié) 點(diǎn) KCL方 程 ；對 每 一 個(gè) 獨(dú) 立 電 感 列 寫 出 只 含 此 獨(dú) 立 電 感 電 流 一 階 導(dǎo)數(shù) 在 內(nèi) 的 回 路 KVL方 程 。(3) 非 狀 態(tài) 變 量 也 用 激 勵 和 狀 態(tài) 變 量 表 示 出 來 ， 然 后整 理 成 式 所 示 的 矩 陣 標(biāo) 準(zhǔn) 形 式 。 例 8.2.1 列

9、寫 出 圖 所 示 電 路 的 狀 態(tài) 方 程 。 若 以 電壓 y1(t)， 電 流 為 響 應(yīng) y2(t)， 再 列 寫 出 輸 出 方 程 。 1C )(1 tx )(2 tx 2Ca b 1( )f t 2( )f t 2( )y t1( )y t 3( )x tL c2( )i t 9.5圖 R1 R2 解 : (1) 列 寫 狀 態(tài) 方 程 ： 2 211 112111 )()()()()()()( R txtxR txtftitidttdxC )(1)(1)()11( 1122121 tfRtxRtxRR )()()()()()()()( 22 21322322 tfR txtx

10、txtftitxdttdxC )()()(1)(1 232212 tftxtxRtxR )()( 23 txdttdxL )( )(00 10 01)( )( )(010 111 01)11()( )( )( 2121132122222 121211321 tf tfCCRtx tx txL CCRCR CRCRCRtx tx tx(2) 列 寫 輸 出 方 程 ： )()()( 111 tftxty )()()(1)(1)()( 232212222 tftxtxRtxRdttdxCty )( )(10 01)( )( )(111 001)( )( 213212221 tf tftx tx t

11、xRRty ty二 、 單 輸 入 單 輸 出 系 統(tǒng) 狀 態(tài) 方 程 與 輸 出 方 程 的 列 寫 ( )f t ( )y ts9.7圖設(shè) 系 統(tǒng) 為 三 階 的 ， 即 n=3)。 該 系 統(tǒng) 的 微 分 方 程 (取 )為 )()()()( 01222301223 tfbpbpbpbtyapapap 01223 012233)( asasas bsbsbsbsH 設(shè) H(s)的 分 子 與 分 母 無 公 因 式 相 消 ， 則 可 根 據(jù) 系 統(tǒng)的 微 分 方 程 或 畫 出 其 模 擬 圖 或 信 號 流 圖 ， 然 后 選 取 每 一 個(gè) 積 分 器 的 輸 出 變 量 作 為

12、狀 態(tài) 變 量 ，即 可 列 出 系 統(tǒng) 的 狀 態(tài) 方 程 與 輸 出 方 程 。 選 取 每 一 個(gè) 積 分 器 的 輸 出 變 量 x1(t),x2(t),x3(t)作為 狀 態(tài) 變 量 )(tf )(a 1x2x3x 2x3x 0b 1b2b 3b 2a 1a 0a )(ty )(sF )(sY1s1s 11 1s 1x2x3x 1x2x3x 0b1b2b3b2a 1a 0a )(b9.8圖 x1 )()( )()( 32 21 txtx txtx )()()()()( 3221103 tftxatxatxatx )(100)( )()(100 010)( )()( 321210321

13、 tftx tx txaaatx tx tx 系 統(tǒng) 的 輸 出 方 程 ： )()()()()( 33322110 txbtxbtxbtxbty )()()()()()()( )()()()( )()()( 3323221311030 3211103 322110 tfbtxabbtxabbtxabb tftxatxatxab txbtxbtxb )()( )()( 3321232131030 tfbtx tx txabbabbabbty 3 232131030 210 100,100 010b abbabbabb aaa DC BA但 應(yīng) 注 意 A， B矩 陣 仍 不 改 變 。 例 8

14、.2.2 列 寫 出 圖 所 示 系 統(tǒng) 的 狀 態(tài) 方 程 與 輸 出 方程 。 11.9圖 21s 101s 11s )(sF )(sY)(sW )(1 sX)(2 sX)(3 sX )(21)(2 sWssX )()(2)( 22 sWsXssX )()()(2)()(2)( 3222 tftxtxttxtx 故 )(105)( 21 sXssX )(5)(10)( 211 txtxtx 故 )(11)( 13 sXssX )()()( 313 txtxtx 故 )(010)( )( )(101 120 0510)( )( )( 321321 tftx tx txtx tx tx )()

15、( 1 txty )( )( )(001)( 321 tx tx txty 三 、 多 輸 入 多 輸 出 系 統(tǒng) 狀 態(tài) 方 程 與 輸 出 方 程 的 列 寫 12.9圖 11s 1s)(1 tf )( 2 tf 2 2 2 3 483 3 )(2 ty )(1 ty1x 1x 2x 2x )(3)(2)(3)( )(3)(2)(2)( 2122 2111 tftftxtx tftftxtx )( )(32 32)( )(30 02)( )( 212121 tf tftx txtx tx系 統(tǒng) 的 輸 出 方 程 為 ： )(8)(4)(8)()( )(4)( 21212 11 txtxt

16、xtyty txty )( )(84 04)( )( 2121 tx txty ty 00 00,84 04,32 32,30 02 DCBA四 、 連 續(xù) 系 統(tǒng) 狀 態(tài) 方 程 與 輸 出 方 程 的 s域 解 法 1、 狀 態(tài) 方 程 的 s域 解 法 )()()0()( ssss BFAXX xI為 與 A同 階 的 單 位 矩 陣 BFxXA-I )(s)s 0 (s) 零 狀 態(tài) 解零 輸 入 解 )()()0()()()()0()()( 1 sssssss BFxBFAIxAIX )()()( sss fx XXX 或 )()()0()()( 1 ssLtt BFxx 2、 輸

17、出 方 程 的 s域 解 法 與 轉(zhuǎn) 移 函 數(shù) 矩 陣 H(s) 3、 矩 陣 A的 特 征 值 與 系 統(tǒng) 的 自 然 頻 率 AI DAIBAICDBAI AICDBAICH s ssadjs sadjss )()()()( 1 例 8.2.3 已 知 系 統(tǒng) 的 狀 態(tài) 方 程 與 輸 出 方 程 為 )(1)( )(121)( )(01)( )(31 01)( )( 21 2121 tftx txty tftx txtx tx )()()()()()()()()( )()()( ty4s3t2t1210 x 0 xtUtf 21 求 全 響 應(yīng)；求；求；求。， 初 始 狀 態(tài)系 統(tǒng)

18、的 激 勵 發(fā) Hx )()()()()()()()()( )()()( ty4s3t2t1210 x 0 xtUtf 21 求 全 響 應(yīng)；求；求；求。， 初 始 狀 態(tài)系 統(tǒng) 的 激 勵 發(fā) Hx 11 30 0110 01s)s()s()1( AI解 解 ： 3s 13s 211s 21 01s 13s 13s1s 1 01s 1 1s1 03s3s1s 13s1 01s 1)( )( ttt t eee et 33 )(21 0)( )()()0()()()2( 1 sBFsLtt xx )()51(31 1 )32(61 13(21 )31132(61 111)3(21 101313

19、21121 01121)()(21 0 3 33 13 133 tUe eeeee e sss ssLee e ssss sLteee e t tt ttt t tt t tt t 3211)()()3( sss DBCH stULs 1)()()4( F )()()0()()( 1 ssLtt FHxCy )()21(65)()56123 333 tUetUee ttt 零 狀 態(tài) 響 應(yīng)零 輸 入 響 應(yīng) （ 例 8.2.4 求 下 列 各 矩 陣 A的 特 征 值 (即 系 統(tǒng) 的 自然 頻 率 )： 320 100 010)3(300 010 002)2(21 20)1( AA 320

20、 100 010)3(300 010 002)2(21 20)1( AA 320 100 010)3(300 010 002)2(21 20)1( AA 0)11)(11(2221 2010 01)1( 2 jsjssssAsI解 解 0)3)(1)(2(300 010 002100 010 001)2( sssss AI當(dāng) A為 對 角 陣 時(shí) ， 其 對 角 線 上 的 元 素 值 即 為 A的 特 征值 。 0)2)(1(320 100 010100 010 001)3( sssss AI 例 8.2.4 如 圖 所 示 系 統(tǒng) 。 (1) 列 寫 系 統(tǒng) 的 狀 態(tài) 方 程與 輸 出

21、方 程 ； (2) 求 系 統(tǒng) 的 轉(zhuǎn) 移 函 數(shù) 矩 陣 H(s)； (3) 求系 統(tǒng) 的 微 分 方 程 。 15.9圖1 11 1 1 1s 1s 1s)( 1 tf )( 2 tf )(1 ty )( 2 ty 2 1 22x 2x 3x 3x 422 1 )()(2)( )()()(2)( )(2)()()( 233 2122 2111 tftxtx tftftxtx tftftxtx )( )(10 11 21)( )( )(200 020 001)( )( )( 21321321 tf tftx tx txtx tx tx即 系 統(tǒng) 的 輸 出 方 程 為 )()()( 211

22、txtxty )(4)(2)( 312 txtxty )( )( )(402 011)( )( 32121 tx tx txty ty即 442 531231)()()2( 21 s sssss DBAICH )()()()3( sss FHY )( )(442 531231)( )( 21221 sF sFs ssssY sY即 )(234)(23 42)( )(23 53)(231)( 22122 22121 sFsssFss ssY sFss ssFsssY )(4)()42()()23( )()53()()()23( 2122 2112 tftfptypp tfptftypp 例 8.

23、2.5 已 知 系 統(tǒng) 的 狀 態(tài) 方 程 與 輸 出 方 程 為 )(110)( )( )(300 020 001)( )( )( 321321 tftx tx txtx tx tx )( )( )(011)( 321 tx tx txty(1) 畫 出 系 統(tǒng) 的 信 號 流 圖 ； (2) 求 H(s)與 h(t)； (3)求系 統(tǒng) 的 零 輸 入 響 應(yīng) ， 已 知 系 統(tǒng) 的 初 始 狀 態(tài) 為 111)0( )0( )0(321xxx )()(3)( )()(2)( )()( 33 22 11 tftxtx tftxtx txtx解 （ 1） )()()( 21 txtxty 16

24、.9圖 1111 1s 1s1s1x 1x2x 2x 3x 3x 1 2 3)(tf )(ty 21)()( )()()2( 1 sssF sYsH DBAIC)()( 2 tUeth t 2111)0()()()3( 1 ssssYx xAIC ttx eety 2)( 0t 五 、 連 續(xù) 系 統(tǒng) 狀 態(tài) 方 程 與 輸 出 方 程 的 時(shí) 域 解 法1、 狀 態(tài) 方 程 的 時(shí) 域 解 法 )(e)(e)(e ttt BfAxx AtAtAt )(Bfe)(Axe)(xe AtAtAt ttt 即 )(Bfe)(xe AtAt ttdtd 即 dddd tt 00 )(e)(e Bfx

25、AA對 上 式 等 號 兩端 同 時(shí) 積 分 dt tt 0 AA )(Bfe0)(xe故 有 d)()0()t( 0 Bfexxe t AAt 即 設(shè) 有 兩 個(gè) 矩 陣 函 數(shù) 為 )()( )()()( 2221 1211 tftf tftftf )( )()( 2211 tg tgtg )()()()( )()()()()( )()()( )()()()( 21221121 2112111121112221 1211 tgtftgtf tgtftgtftg tgtftf tftftt gf 111 )()()(e AIslsltAt )(Df)(fBe)0(xeC)(y AA ttt

26、tt 引 入 一 個(gè) m m(m為 系 統(tǒng) 激 勵 的 個(gè) 數(shù) )階 的 單 位 沖 激激 勵 對 角 矩 陣 (t)， 階 mmtttt )(0 )()()( 0 )(DB)t(C)(DBeC)(h ttt At 式 中 稱 為 系 統(tǒng) 的 單 位 沖 激 響 應(yīng) 矩 陣 ， 為 r m階 ， 即 與 D同階 。 DBCHhL )()()( sst 例 8.2.6 用 時(shí) 域 法 求 解 例 8.2.3。 例 8.2.3 已 知 系 統(tǒng) 的 狀 態(tài) 方 程 與 輸 出 方 程 為 )(1)( )(121)( )(01)( )(31 01)( )( 21 2121 tftx txty tftx

27、 txtx tx )()()()()()()()()( )()()( ty4s3t2t1210 x 0 xtUtf 21 求 全 響 應(yīng)；求；求；求。， 初 始 狀 態(tài)系 統(tǒng) 的 激 勵 發(fā) Hx )()()()()()()()()( )()()( ty4s3t2t1210 x 0 xtUtf 21 求 全 響 應(yīng)；求；求；求。， 初 始 狀 態(tài)系 統(tǒng) 的 激 勵 發(fā) Hx 解 : 21e)e(e21 0e)0()()0(e 33 ttt tAt t xx )()e3(e21 e 3 ttt t U 零 狀 態(tài) 解 為 : )(01e)e(e21 0e)()( 33 ttt ttt t UfB

28、 )()ee32(61 e1 3 ttt t U )(e)51(31 1)()e51(31 )( 33 ttt tt UUU (2) 求 y(t)： 單 位 沖 激 響 應(yīng) 矩 陣 為 )(e31211)()( 311 ttslslt t UHh 21)-(故 零 狀 態(tài) 響 應(yīng) 為 )()e5(61)()(e31)()()( 33 tttttt tt UUUfh )()e21(65)()()0()( 3 tttt t UfhxC 8.3 由 狀 態(tài) 方 程 判 斷 系 統(tǒng) 的 穩(wěn) 定 性 連 續(xù) 系 統(tǒng) 例 8.3.1 如 圖 所 示 系 統(tǒng) ， 欲 使 系 統(tǒng) 穩(wěn) 定 ， 試 確定 K的

29、取 值 范 圍 。 )(1 tf )( 2 tf 1 )( 1 ty )( 2 ty1s2x 2x25.9圖 1 1 111 11s 1s 1x 1x 3x 3x 1 1K 1 解 ： 選 每 個(gè) 積 分 器 的 輸 出 變 量 x1(t), x2(t), x3(t)為 狀 態(tài) 變 量 ， 則 可 列 出 狀 態(tài) 方 程 為 :)()( 21 txtx )()()()()( 3122 tftxtxtxtx )()()()( 321 tftxtxtx )()()()(3)( 13233 tftxtxtxtx )()(4)( 132 tftxtx )( )(010 00)( )( )(410 4

30、010)( )( )( 21321321 tf tfktx tx txKKtx tx tx即 410 4 010 KKA故 得 系 統(tǒng) 的 特征 多 項(xiàng) 式 為 : kssss 445 23 AI 可 見 ， 欲 使 系 統(tǒng) 穩(wěn) 定 ， 其 必 要 條 件 是 K0。再 排 出 羅 斯 陣 列 ： 04 05 204 45 41 0123 ks ks kss 欲 使 系 統(tǒng) 為 穩(wěn) 定 系 統(tǒng) ， 必 須 有 : 0K5， 系 統(tǒng) 就 是 穩(wěn) 定 的 例 8.3.2 圖 所 示 電 路 。 (1) 欲 使 電 路 穩(wěn) 定 ， 求 K的 取 值 范 圍 ； (2) 欲 使 電 路 為 臨 界 穩(wěn)

31、 定 ， 求 K的 值 ，并 求 此 時(shí) 的 單 位 沖 激 響 應(yīng) h(t)。 )(tf )(ty1 2( )x t 2( )Kx t1 1F1( )x t1F 9.26圖 解 ： 選 x1(t), x2(t)為 狀 態(tài) 變 量 ， 則 可 列 出 狀 態(tài) 方程 為 : )()1()(1 )()()()( 212212 txKtxtxtKxtxtx )(1 )()()()( 2211 txtKxtxtftx )()()12()(2 21 tftxKtx )(01)( )(11 122)( )( 2121 tftx txKKtx tx )( )(0)()( 212 tx txKtKxty電 路 的 特 征 多 項(xiàng) 式 為 : 1)3(2 sKss AI可 見 ， 欲 使 電 路 穩(wěn) 定 ， 必 須 3-K 0， 即 K3。 (2) 欲 使 電 路 為 臨 界 穩(wěn) 定 ， 則 必 須 K=3。 (3) 當(dāng) K=3時(shí) ， 電 路 的 各 系 數(shù) 矩 陣 為 0 D,C,B,A 300121 52 21 5211)()( 21 sssss AI 113)()( 2 sss DBCH )(sin3)( ttth U