信號檢測與估計(jì)理論 第六章 波形估計(jì)

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1、估 計(jì) 理 論 與 信 號 檢 測第 六 章 信 號 波 形 的 估 計(jì) 內(nèi) 容 提 要6.1 引 言6.2 連 續(xù) 過 程 的 維 納 濾 波6.3 離 散 過 程 的 維 納 濾 波6.4 正 交 投 影 原 理6.5 離 散 卡 爾 曼 濾 波 的 信 號 模 型6.6 離 散 卡 爾 曼 濾 波6.7 狀 態(tài) 為 標(biāo) 量 時(shí) 的 離 散 卡 爾 曼 濾 波 6.1 引 言l 研 究 內(nèi) 容 ：l信 號 的 波 形 估 計(jì) (狀 態(tài) 估 計(jì) ) 若 被 估 計(jì) 的 量 是 隨 機(jī) 過 程 或 未 知 的 非 隨 機(jī) 過 程 ， 則 稱 這 種估 計(jì) 為 信 號 的 波 形 估 計(jì) 或 狀

2、 態(tài) 估 計(jì) 。l 理 論 基 礎(chǔ) ：l隨 機(jī) 過 程 及 其 統(tǒng) 計(jì) 描 述 (2.3, P.30) l線 性 系 統(tǒng) 對 隨 機(jī) 過 程 的 響 應(yīng) (2.5, P.44)l隨 機(jī) 噪 聲 理 論 (2.6, P.46)l正 交 投 影 原 理 (6.4, P.400) 2、 離 散 信 號 情 況 （ 只 考 慮 加 性 噪 聲 ）信 號 狀 態(tài) 估 計(jì) 理 論 又 稱 為 信 號 狀 態(tài) 濾 波 理 論 (抑 噪 聲 ， 提 信 號 )。 狀 態(tài) 濾 波 ， 狀 態(tài) 預(yù) 測 ， 狀 態(tài) 平 滑 ，1、 連 續(xù) 信 號 情 況 （ 只 考 慮 加 性 噪 聲 ）信 號 波 形 估 計(jì) 理

3、 論 又 稱 為 信 號 波 形 濾 波 理 論 (抑 噪 聲 ， 提 信 號 )。 波 形 濾 波 ， 波 形 預(yù) 測 ， 波 形 平 滑 ，6.1.1 信 號 波 形 估 計(jì) 的 基 本 概 念( ) ( ) ( )x t s t n t ( ) ( ), 0 x t s t ( )x t ( )H ( ) ( )x t s t ( )s t( ) ( ), 0 x t s t 1 ( )|, , , , 0k m k k k l k l x x x s1 , , ,k m k k k x x x s1 ( )|, , , , 0k m k k k l k l x x x s, 1,2,k

4、 k k k k x H s n 6.1.1 信 號 波 形 估 計(jì) 的 基 本 概 念 From Steven page 323 6.1.2 信 號 波 形 估 計(jì) 的 準(zhǔn) 則 和 方 法信 號 波 形 （ 狀 態(tài) ） 估 計(jì) 準(zhǔn) 則 ： 線 性 最 小 均 方 誤 差 準(zhǔn) 則 。維 納 濾 波 和 卡 爾 曼 濾 波 是 實(shí) 現(xiàn) 從 噪 聲 中 提 取 信 號 ， 完成 信 號 波 形 （ 狀 態(tài) ） 估 計(jì) 的 兩 種 線 性 最 佳 估 計(jì) 方 法 。l維 納 濾 波l 要 求 知 道 隨 機(jī) 信 號 的 統(tǒng) 計(jì) 特 性 ， 即 相 關(guān) 函 數(shù) 或 功 率 普 密 度 ，得 到 的 結(jié)

5、 果 是 封 閉 解 （ 解 析 式 ） ； l 由 于 采 用 頻 域 設(shè) 計(jì) 方 法 ， 僅 適 用 于 一 維 平 穩(wěn) 隨 機(jī) 信 號 。l卡 爾 曼 濾 波 （ 龐 特 里 亞 金 極 大 值 原 理 、 貝 爾 曼 動 態(tài) 規(guī) 劃 ）l 采 用 狀 態(tài) 方 程 和 觀 測 方 程 描 述 系 統(tǒng) 的 信 號 模 型 ；l 可 解 決 多 輸 入 多 輸 出 非 平 穩(wěn) 隨 機(jī) 信 號 的 估 計(jì) 問 題 ；l 采 用 遞 推 算 法 非 常 適 合 于 計(jì) 算 機(jī) 處 理 ， 計(jì) 算 效 率 高 。 6.1.2 信 號 波 形 估 計(jì) 的 準(zhǔn) 則 和 方 法例 6.1.1 平 穩(wěn) 隨

6、 機(jī) 信 號 的 線 性 最 小 均 方 誤 差 估 計(jì) （ 預(yù) 測 ）線 性 最 小 均 方 誤 差 估 計(jì) 的 正 交 性 原 理 2( ) ( ) minimize E( ( ) ( ) as t as t s t s t ( )E( ( ) ( ) ( ) 0 (0) ssrs t as t s t a r ( )( ) ( )(0)ssrs t s tr 2 2E( ( ) ( ) E( ( ) ( ) E) ( )E ( ) ( ) ( ) ( )( )(0) ( ) (0) ( ( )(0) ( ) ( )0 ss s s s s t as t as ts t s ts t as

7、 t s ts t s t as t s trr ar r r 6.1.2 信 號 波 形 估 計(jì) 的 準(zhǔn) 則 和 方 法例 6.1.2 平 穩(wěn) 隨 機(jī) 信 號 的 線 性 最 小 均 方 誤 差 估 計(jì) （ 預(yù) 測 ）線 性 最 小 均 方 誤 差 估 計(jì) 的 正 交 性 原 理 2,( ) ( ) ( ) minimize E( ( ) ( ) a bs t as t bs ts t s t 0E( ( ) ( ) ( ) ( ) 0E( ( ) ( ) ( ) ( ) 0( ) ( ), ( ) ( ), ( ) 0ss s ss s ss t as t bs t s ts t as t

8、 bs t s tr r r r r ( ) ( ),(0) (0)s ss sr ra br r 2 2 20 0E( ( ) ( ) E( ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )(0) ( ) ( ) (0) (0) (0)s ss s s s s ss t s ts t as t bs t s t r rr ar br r r r ( ) ( )( ) ( ) ( )(0) (0)s ss sr rs t s t s tr r 見 習(xí) 題 6.1 6.1.2 信 號 波 形 估 計(jì) 的 準(zhǔn) 則 和 方 法例 6.1.2 （ 續(xù) ） 例 題 相 關(guān) 結(jié) 論 的 證 明0 0 0( )

9、 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) lim , ( ) lim , ( ) limt t ts t t s t s t t s t s t t s ts t s t s tt t t 0 0( ) ( ) ( ) ( )( ) E ( ) ( ) E lim ( ) lim ( )s sss st ts t t s t r t rr s t s t s t rt t 2 2d ( ) d ( )( ) , ( )d ds ss sr rr r ( ) ( ) s sr r 1 22 1 12 1 20 01 22 1 2 10 0 01 2 1 220 2 2 ( ) ( ) (

10、) ( )( ) E ( ) ( ) E lim lim( ) ( ) ( ) ( )= lim lim lim( ) ( )limss t ts s s st t ts st s t t s t s t t s tr s t s t t tr t t r t r t rt t t tr t rt t 2 20 2( ) ( )lim ( )s s st r t r rt 為 偶 函 數(shù) ， 其 導(dǎo) 數(shù) 為 奇 函 數(shù) ， 故 有( )sr 0( ) (0) 0s sr r 0 0 ( ) ( ) ( ) ( )( ) E ( ) ( ) E lim ( ) lim ( )s sss st t

11、s t t s t r t rr s t s t s t rt t 6.1.2 信 號 波 形 估 計(jì) 的 準(zhǔn) 則 和 方 法例 6.1.3 平 穩(wěn) 隨 機(jī) 信 號 的 線 性 最 小 均 方 誤 差 估 計(jì) （ 平 滑 ）線 性 最 小 均 方 誤 差 估 計(jì) 的 正 交 性 原 理 2,( ) (0) ( ) minimize E( ( ) ( ) a bs t as bs Ts t s t 2E( ( ) ( ) E( ( ) (0) ( ) ( ) 0(0) ( ) ( )s s ss t s ts t as bs T s tr ar t br T t E( ( ) (0) ( ) (

12、0) 0 ( ) (0) ( ) 0E( ( ) (0) ( ) ( ) 0 ( ) ( ) (0) 0s s ss s ss t as bs T s r t ar br Ts t as bs T s T r T t ar T br 2 2 2 2(0) ( ) ( ) ( ) (0) ( ) ( ) ( ),(0) ( ) (0) ( )s s s s s s s ss s s sr r t r T r T t r r T t r t r Ta br r T r r T 從 噪 聲 中 提 取 信 號 現(xiàn) 這 種 功 能 的 有 效 方 法 之 一 是 設(shè) 計(jì) 一 種 具有 最 佳 過 濾

13、特 性 的 濾 波 器 ， 當(dāng) 疊 加 有 噪 聲 的 信 號 通 過 這 種 濾 波 器時(shí) ， 它 可 以 將 信 號 盡 可 能 完 整 地 重 現(xiàn) 或 對 信 號 作 出 盡 可 能 精 確 的估 計(jì) ， 從 而 對 所 伴 隨 的 噪 聲 進(jìn) 行 最 大 限 度 地 抑 制 。維 納 濾 波 器 就 是 具 有 這 種 特 性 的 一 種 典 型 濾 波 器 。信 號 波 形 的 維 納 濾 波 分 為 ：l連 續(xù) 過 程 的 維 納 濾 波l離 散 過 程 的 維 納 濾 波6.2 連 續(xù) 過 程 的 維 納 濾 波維 納 (1894-1964)是 控 制 論 的 創(chuàng) 始 人 、 信

14、 息 論的 創(chuàng) 始 人 之 一 ， 于 1948年 發(fā) 表 控 制 論 (Cybernetics)。 線 性 時(shí) 變 濾 波 器6.2.1 最 佳 線 性 濾 波 線 性 加 權(quán) 和正 交 性 原 理 0g(t)表 示待 估 計(jì) 波 形 ( ) ( ), ( ), ( ), ( )g t s t s t s t s t 線 性 時(shí) 不 變 濾 波 器 假 設(shè) 和 都 是 零 均 值 的 平 穩(wěn) 隨 機(jī) 過 程 ， 而 且 二 者 是 聯(lián)合 平 穩(wěn) 的 。6.2.2 維 納 -霍 夫 方 程 維 納 -霍 夫 方 程 維 納 濾 波 器( ) ( ), ( ), ( ), ( )g t s t

15、s t s t s t ( )x t ( )g t,t t u 維 納 濾 波 器 非 因 果 解6.2.3 維 納 濾 波 器 的 非 因 果 解線 性 卷 積 式 ( ) ( )E ( ) ( ) 0g t s ts t n t ( ) 0( ) ( )( ) ( ) ( )snxs sx s nPP PP P P 兩 邊 進(jìn) 行 傅 里 葉 變 換 s(t)與 加 性 噪 聲n(t)相 互 統(tǒng) 計(jì) 獨(dú) 立 維 納 濾 波 器 非 因 果 解6.2.3 維 納 濾 波 器 的 非 因 果 解（ 1） 功 率 普 密 度 和 互 不 重 疊（ 2） 功 率 普 密 度 和 有 部 分 重 疊

16、( ) sP ( )nP | ( ) 0, ( ) 1 | ( ) 0, ( ) 0ssP HP H | ( ) 0and ( ) 0, ( ) 1 | ( ) 0and ( ) 0, ( ) 1 0 | ( ) 0, ( ) 0s ns nsP P HP P HP H ( )sP ( )nP 若 是 函 數(shù) ， 即 濾 波 器 輸 入 是 一 個(gè) 白 色 過 程 ， 積 分 方 程就 可 以 直 接 求 解 。6.2.4 維 納 濾 波 器 的 因 果 解( )xr 有 理 功 率 普 密 度 ( ) ( ) wr *( ) ( ) ( )( ) ( )x x xx xP s P s P s

17、P s P s 白 化 濾 波 器 求 取6.2.4 維 納 濾 波 器 的 因 果 解( )wgP s 當(dāng) 時(shí) ， 維 納 濾 波 器 波 形 估 計(jì) 的 均 方 誤 差 （ 自 學(xué) ）6.2.4 維 納 濾 波 器 的 因 果 解( ) ( )g t s t 20( ) ( ),Var (t)= (0) ( )dsg t s t s r t t 例 6.2.2 求 解 隨 機(jī) 信 號 的 波 形 估 計(jì) 問 題 ， 即 設(shè) 計(jì)維 納 濾 波 器 使 信 號 波 形 估 計(jì) 的 均 方 誤 差 最 小 。6.2 連 續(xù) 過 程 的 維 納 濾 波 例 題( ) ( ) ( )x t s t

18、n t 1( ) e , ( ) ( )2s nr r 01 1 12 2 202( ) ( )e d e e d e e d e e d1 1 1 12 1 1 1s s s ss sP s r s s s ( ) ( )e d 1 snP s 21 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ( 1)( 1)xg xs s ns sP s P s P s P s P s s s s 22 21 2 2 2( ) ( ) ( ) 11 1 1 1x s n s s sP s P s P s s s s s 例 6.2.2（ 續(xù) ） 維 納 濾 波 器 的 非 因 果 解6.2 連 續(xù) 過

19、程 的 維 納 濾 波 例 題22 22( ) ( ) 1(1 )( ) ( ) ( ) ( ) ( 2) ( 1)1 1 12 2 2( 2) 2 2( 2)xg sx s nP s P s sH s P s P s P s s ss s s 21 21 , 02 2( ) L ( ) 1 , 02 2 tte th t H s e t 0 2 20Var ( ) Var ( ) (0) ( ) ( )d1 1 1 1 1d d2 2 22 2 2 21 1 1 1 1 0.3542 4 2 1 2 4 2 1 2s sg t s t r h re e e e 例 6.2.2（ 續(xù) ） 維

20、納 濾 波 器 的 因 果 解6.2 連 續(xù) 過 程 的 維 納 濾 波 例 題 2( )1 1 1(1 )( ) ( ) ( ) ( 2) ( 2) ( 1)1 1 (1 2) 1 (1 2) 1 (1 2)1( 2) 2 2xgx xP s s sH s P s P s s s ss ss s s 1 21( ) L ( ) , 01 2 th t H s e t 020 2Var ( ) Var ( ) (0) ( ) ( )d1 1 1e e d2 21 21 1 0.4142 2(1 2)s sg t s t r h r 例 6.2.36.2 連 續(xù) 過 程 的 維 納 濾 波 例

21、題 例 6.2.3（ 續(xù) ）6.2 連 續(xù) 過 程 的 維 納 濾 波 例 題 類 似 于 連 續(xù) 過 程 的 維 納 濾 波 ， 設(shè) 計(jì) 離 散 過 程 的 維 納 濾波 器 ， 就 是 尋 求 在 線 性 最 小 均 方 誤 差 準(zhǔn) 則 下 線 性 濾 波器 的 系 統(tǒng) 函 數(shù) （ Z域 解 ） 或 單 位 脈 沖 響 應(yīng) （ 時(shí)域 解 ） 。 （ 數(shù) 字 濾 波 ）拉 氏 變 換 （ 傅 立 葉 變 換 ） Z變 換左 半 平 面 單 位 圓 內(nèi)右 半 平 面 單 位 圓 外6.3 離 散 過 程 的 維 納 濾 波( )H z ( )h k 根 據(jù) 觀 測 信 號 序 列 對 信 號

22、作 出 線性 最 小 均 方 誤 差 估 計(jì) ， 即 求 。6.3.1 離 散 的 維 納 -霍 夫 方 程( ),0kx x k k N kgkg 離 散 形 式 的 維 納 -霍 夫 方 程,k i m k j l 6.3.2 離 散 維 納 濾 波 器 的 Z域 解非 因 果 解當(dāng) ， 且 信 號 序 列 與 噪 聲 序 列 互 不 相 關(guān) 時(shí) knk kg s ks ( )( ) ( ) ( )ss nP zH z P z P z 6.3.2 離 散 維 納 濾 波 器 的 Z域 解因 果 解（ 1） 觀 測 信 號 是 白 色 序 列（ 2） 觀 測 信 號 是 非 白 序 列 ，

23、且 其 功 率 普 密 度 是 有 理 函 數(shù)kx kx 1,0,ml m lm l 無 限 長 因 果 序 列 的 離 散 維 納 濾 波 器 不 具 有 實(shí) 時(shí) 性 而 使 其 應(yīng) 用 受 到限 制 。 通 常 用 有 限 長 序 列 來 逼 近 離 散 維 納 濾 波器 的 解 。6.3.3 離 散 維 納 濾 波 器 的 時(shí) 域 解( )(0 1)h k k N ( )(0 )h k k N 階 FIR濾 波 器6.3.3 離 散 維 納 濾 波 器 的 時(shí) 域 解 (0)(0) (0) (1) ( 1) (1)(1) (1) (0) ( 2), , ( 1)( 1) ( 1) ( 2

24、) (0) xgx x x xgx x xx xg xgx x x rh r r r N rh r r r N r Nh N r N r N r h R rN階 FIR濾 波 器 (Finite Impulse Response， 有 限 長 度 脈 沖 響 應(yīng) ) ；IIR 濾 波 器 (Infinite Impulse Response， 無 限 長 度 脈 沖 響 應(yīng) )， 即維 納 濾 波 器 。 例 6.3.1 離 散 信 號 序 列 的 維 納 濾 波 器 Z域 解（ 1） 非 因 果 解（ 2） 因 果 解6.3 離 散 過 程 的 維 納 濾 波 例 題k k kx s n 1

25、0.36( ) , ( ) 1, ( ) 0(1 0.8 )(1 0.8 )s n nsP z P z P zz z 1 110.36( ) ( ) 0.225(1 0.8 )(1 0.8 )( ) 0.36( ) ( ) ( ) (1 0.5 )(1 0.5 )1(1 0.8 )(1 0.8 )xs sx s nP z P z z zH z P z P z P z z zz z 11 ( ) 1 ( ) 3/8( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 0.5xs sx x x xP z P zH z P z P z P z P z z 11 10.36 (1 0.5 )(1 0.5 )(

26、) ( ) ( ) 1 1.6(1 0.8 )(1 0.8 ) (1 0.8 )(1 0.8 )x s n z zP z P z P z z z z z 111 0.5 1 0.5( ) 1.6 , ( )1 0.8 1 0.8x xz zP z P zz z 11 1 1( ) 0.36 1 0.8 3/5 3/5( ) (1 0.8 )(1 0.8 )1 0.5 13/51 0.8 2 1 0.8sx zP z zP z z z z z z 例 6.3.2 設(shè) 計(jì) 二 階 FIR濾 波 器 逼 近 維 納 濾 波 器 （ 三 階 、 四 階 ）6.3 離 散 過 程 的 維 納 濾 波 例

27、 題1 2, 0 1, 0Input: , Output:1 2, 1 0, 1,2,k kk kx sk k 1 1 10 01 1 1 1(0) , (1)2 4 2 8x k k x k kk kr x x r x x 1 1 10 01 1 1(0) , (1) 02 4 2xs k k xs k kk kr x s r x s 1 1 1 4(0) (1) (0)4 8 4 31 1 2(0) (1) 0 (1)8 4 3h h hh h h 10 ( ) ( ) ( ) ( )2/3, 01/3, 11/3, 2Nk is h k x k h i x k ikkk 2 2 222

28、2 2 01 1 2 1 1 1 E( ) ( ) 1 0 03 3 3 3 3 9 k k k k ks ks s s s 動 態(tài) 信 號 模 型Steven M. K ay page 338347DC電 平 測 量 ：實(shí) 際 上 真 實(shí) 的 電 壓 值 隨 時(shí) 間 緩 慢 變 化 （ 溫 度 的 影 響 、 器 件 的 老 化 ） ：假 定 是 一 個(gè) 未 知 的 確 定 性 參 數(shù) 序 列 ， 則 的 MVU估 計(jì) 量 為 ： 真 實(shí) 電 壓 和 MVU估 計(jì) 量 圖 中 真 實(shí) 電 壓 的 連 續(xù) 樣 本 的 差 別不 是 很 大 ， 表 現(xiàn) 了 高 度 的 “ 相 關(guān) 性 ” 。可

29、以 認(rèn) 為 是 隨 機(jī) 過 程 的 一 個(gè) 現(xiàn) 實(shí) ，均 值 為 10， 樣 本 之 間 存 在 一 定 的 相 關(guān) 性 。相 關(guān) 約 束 的 強(qiáng) 制 要 求 避 免 的 估 計(jì)隨 時(shí) 間 起 伏 太 大 。 線 性 最 小 均 方 誤 差 準(zhǔn) 則第 五 章 5.7.3小 節(jié) 曾 提 到 過 正 交 性 原 理 （ P311）本 章 前 3節(jié) 也 曾 多 次 提 到 過 正 交 性 原 理本 章 6.6節(jié) 討 論 的 卡 爾 曼 濾 波 也 采 用 線 性 最 小 均 方 誤 差準(zhǔn) 則 ， 其 遞 推 公 式 的 推 導(dǎo) 也 是 基 于 正 交 投 影 的 概 念 和原 理 進(jìn) 行 的 。正

30、交 投 影 的 三 個(gè) 引 理 ：（ 1） 引 理 I， 唯 一 性（ 2） 引 理 II， 線 性 可 轉(zhuǎn) 換 性 和 可 疊 加 性（ 3） 引 理 III， 可 遞 推 性6.4 正 交 投 影 原 理 設(shè) s和 x分 別 是 具 有 前 二 階 矩 的 M維 和 N維 隨 機(jī) 矢 量 。 如 果 存 在 一個(gè) 與 s同 維 的 隨 機(jī) 矢 量 ， 并 且 具 有 如 下 三 個(gè) 性 質(zhì) ：（ 1） 可 以 用 x線 性 表 示 ， 即 存 在 非 隨 機(jī) 的 M維 矢 量 a和 M N矩 陣B， 滿 足（ 2） 滿 足 無 偏 性 要 求 ， 即（ 3） 誤 差 與 x正 交 ， 即則

31、 稱 是 s在 x上 的 正 交 投 影 ， 簡 稱 投 影 ， 并 記 為6.4.1 正 交 投 影 的 概 念* s a Bx*E( ) E( ) ss s s * TE( ) 0s s x*s s * OP | s s x*s 6.4.2 正 交 投 影 的 引 理引 理 正 交 投 影 的 唯 一 性若 s和 x分 別 是 具 有 前 二 階 矩 的 M維 和 N維 隨 機(jī) 矢 量 ， 則 s在 x上 的 正交 投 影 唯 一 地 等 于 基 于 x的 s之 線 性 最 小 均 方 誤 差 估 計(jì) 矢 量 ， 即證 明 ： 線 性 性 質(zhì) 無 偏 性 故 有 正 交 性 這 樣 有 *

32、 s a Bx*E( ) E( ) E( )( ) ss xs xs a B x sa Bs B x * 1OP | ( ) s sx x xs s x C C x * T TT1E( ) E ( ) E ( )( ) 0 s xs x xsx xsx xs s x s B x xs B x xC BCB C C * 1( ) s sx x xs C C x 6.4.2 正 交 投 影 的 引 理引 理 正 交 投 影 的 線 性 可 轉(zhuǎn) 換 性 和 可 疊 加 性設(shè) s1和 s2分 別 是 兩 個(gè) 具 有 前 二 階 矩 的 M維 隨 機(jī) 矢 量 ， x是 具 有 前 二階 矩 的 N維 隨

33、 機(jī) 矢 量 ， A1和 A2均 為 非 隨 機(jī) 矩 陣 ， 其 列 數(shù) 等 于 M，行 數(shù) 相 同 ， 則證 明 ： 令 則 式 中 這 樣 有 1 1 2 2 As A s 11 1 2 2OP( )| OP | ( ) x x xAs A s x x C C x 1 1 2 2 1 1 2 2OP( )| OP | OP | As A s x A s x A s x1 21 1 2 2 1 2=E( ) E( ) s sAs A s A A 1 2 1 21 1 2 21 1 2 2 11 2 1 21 11 1 2 21 1 2 2OP( )| ( ) ( )( ) ( )OP | O

34、P | s s s x s x x xs s x x x s s x x xAs A s xA A AC A C C xA AC C x A A C C xA s x A s x 1 21 2 T T1 1 2 21 2E( )( ) E ( ) ( )( ) x xs s xs x s xC xA s A s xAC A C 6.4.2 正 交 投 影 的 引 理引 理 正 交 投 影 的 可 遞 推 性設(shè) s， x(k-1)和 xk是 三 個(gè) 具 有 前 二 階 矩 的 隨 機(jī) 矢 量 ， 它 們 的 維 數(shù) 不 必相 同 ， 又 令則式 中引 理 的 證 明 見 附 錄 6A。 ( 1)

35、( ) kkk xx x OP | ( 1), OP | ( 1) k k kk k s s s x x x x x T T 1OP | ( 1)OP | ( 1)OP | ( ) OP | E( )E( )k k kk kkk k s x s xs s xx xx sx x 6.4.2 正 交 投 影 的 引 理引 理 正 交 投 影 的 可 遞 推 性 （ 續(xù) ） 雖 然 維 納 濾 波 和 卡 爾 曼 濾 波 都 是 解 決 以 線 性 最 小 均 方 誤 差 為 準(zhǔn) 則 的最 佳 線 性 濾 波 問 題 ， 二 者 之 間 的 差 別 ： 維 納 濾 波 只 適 用 于 平 穩(wěn) 隨 機(jī)

36、 過 程 （ 信 號 ） ； 卡 爾 曼 濾 波 則 可 用 于 非 平 穩(wěn) 隨 機(jī) 過 程 （ 信 號 ） 。 維 納 濾 波 根 據(jù) 全 部 過 去 的 和 當(dāng) 前 的 觀 測 信 號 來 估 計(jì) 信 號 的 波 形 ； 卡 爾 曼 濾 波 根 據(jù) 前 一 次 的 估 計(jì) 值 和 當(dāng) 前 的 觀 測 值 來 估 計(jì) 信 號 波 形 （ 遞 推 算 法 ） 。 維 納 濾 波 的 解 以 線 性 濾 波 器 的 系 統(tǒng) 函 數(shù) 或 脈 沖 響 應(yīng) 的 形 式 給 出 ； 卡 爾 曼 濾 波 的 解 則 以 估 計(jì) 值 的 形 式 給 出 。 維 納 濾 波 的 信 號 模 型 是 信 號 和

37、 噪 聲 的 相 關(guān) 函 數(shù) 或 功 率 普 密 度 函 數(shù) ； 卡 爾 曼 濾 波 的 信 號 模 型 是 信 號 的 狀 態(tài) 方 程 和 觀 測 方 程 。6.5 離 散 卡 爾 曼 濾 波 的 信 號 模 型 線 性 系 統(tǒng) 離 散 狀 態(tài) 方 程6.5.1 離 散 狀 態(tài) 方 程 和 觀 測 方 程狀 態(tài) 轉(zhuǎn) 移 矩 陣零 輸 入 響 應(yīng) 零 狀 態(tài) 響 應(yīng) 分 步 轉(zhuǎn) 移 性互 逆 性同 時(shí) 刻 不 變 性 6.5.1 離 散 狀 態(tài) 方 程 和 觀 測 方 程1, 1k k I線 性 系 統(tǒng) 離 散 狀 態(tài) 方 程 和 觀 測 方 程狀 態(tài) 方 程觀 測 方 程 系 統(tǒng) 控 制 矩

38、 陣擾 動 噪 聲 矢 量觀 測 噪 聲 矢 量一 步 狀 態(tài)轉(zhuǎn) 移 矩 陣 例 6.5.1 建 立 系 統(tǒng) 的 離 散 狀 態(tài) 方 程 和 觀 測 方 程（ 1） 狀 態(tài) 方 程（ 2） 觀 測 方 程6.5.1 離 散 狀 態(tài) 方 程 和 觀 測 方 程2 21 1 1 121 1 1 11 1 11 2 00 1 00 0 1 1Tk k k k k kk k k k k kk k k k kr r Tv a r T T rv v Ta v T v wa a w a a 2, 1 11 2 0, 0 1 , 00 0 1 1kk k k k k kr T Tv Ta s , 1 1 1

39、1k k k k k k s s w 1 0 0k k kkx r n Hk k k kx n H s 6.5.2 離 散 信 號 模 型 的 統(tǒng) 計(jì) 特 性基 本 離 散 卡 爾 曼 濾 波 問 題 的 信 號 模 型 的 統(tǒng) 計(jì) 特 性1）2）3）4） 基 本 的 離 散 卡 爾 曼 濾 波 問 題 擴(kuò) 展 的 離 散 卡 爾 曼 濾 波 問 題 擾 動 噪 聲 矢 量為 白 噪 聲 序 列觀 測 噪 聲 矢 量為 白 噪 聲 序 列兩 者 互 不 相 關(guān)初 始 狀 態(tài) 和 兩 種噪 聲 互 不 相 關(guān) 離 散 卡 爾 曼 濾 波 解 決 離 散 時(shí) 間 系 統(tǒng) 狀 態(tài) 矢 量 的 遞 推

40、 估 計(jì) 問 題 。 離散 的 狀 態(tài) 方 程 和 觀 測 方 程 分 別 為離 散 時(shí) 間 系 統(tǒng) 的 狀 態(tài) 估 計(jì) ， 就 是 根 據(jù) 觀 測 矢 量 求 得 狀 態(tài) 矢量 的 一 個(gè) 估 計(jì) 的 問 題 。 按 照 j和 k的 關(guān) 系 可 分 為 三 種 情 況 ：（ 1） 時(shí) ， 稱 為 狀 態(tài) 濾 波 ；（ 2） 時(shí) ， 稱 為 狀 態(tài) 預(yù) 測 （ 外 推 ） ； 狀 態(tài) 一 步 預(yù) 測 （ 3） 時(shí) ， 稱 為 狀 態(tài) 平 滑 （ 內(nèi) 插 ） 。 6.6 離 散 卡 爾 曼 濾 波 ( )kx js 長 列 矢 量j kj kj k |j ks ( 1)| k ks 因 為 離

41、散 卡 爾 曼 濾 波 采 用 線 性 最 小 均 方 誤 差 準(zhǔn) 則 ， 所 以 可 以 使 用正 交 投 影 的 概 念 和 原 理 來 推 導(dǎo) 離 散 卡 爾 曼 濾 波 的 遞 推 公 式 。引 理 I引 理 III6.6.1 離 散 卡 爾 曼 濾 波 的 遞 推 公 式 1、 項(xiàng) 的 計(jì) 算引 理 II6.6.1 離 散 卡 爾 曼 濾 波 的 遞 推 公 式OP | ( 1)k k s x 狀 態(tài) 一 步 預(yù) 測 值觀 測 長 列 矢 量 僅 由表 示 ， 所 以 與 不 相 關(guān) 。( 1)kx 1kw 1 2 1 0 1 2 0 1 1, , , ; , , , ; , , ,

42、k k k n n n w w w s s s( 1)kx1 0kw 2、 和 的 計(jì) 算6.6.1 離 散 卡 爾 曼 濾 波 的 遞 推 公 式|( 1)k ks |( 1)k kx 3、 項(xiàng) 的 計(jì) 算6.6.1 離 散 卡 爾 曼 濾 波 的 遞 推 公 式T|( 1) |( 1)E( )k k k k s x4、 狀 態(tài) 一 步 預(yù) 測 均 方 誤 差 陣 的 計(jì) 算 |( 1)k kM|( 1)k kM 狀 態(tài) 濾 波 的均 方 誤 差 陣狀 態(tài) 一 步 預(yù) 測的 均 方 誤 差 陣 5、 項(xiàng) 的 計(jì) 算6.6.1 離 散 卡 爾 曼 濾 波 的 遞 推 公 式T|( 1) |(

43、1)E( )k k k k x x6、 狀 態(tài) 濾 波 值 的 計(jì) 算 ks 7、 狀 態(tài) 濾 波 均 方 誤 差 陣 的 計(jì) 算6.6.1 離 散 卡 爾 曼 濾 波 的 遞 推 公 式kM 離 散 卡 爾 曼 濾 波 是 系 統(tǒng) 狀 態(tài) 矢 量 的 一 種 遞 推 估 計(jì) 。 為 了 能 啟動 遞 推 計(jì) 算 ， 需 要 確 定 初 始 狀 態(tài) 濾 波 值 和 初 始 狀 態(tài) 濾 波 的 均 方誤 差 陣 。6.6.2 離 散 卡 爾 曼 濾 波 的 遞 推 算 法0s0M最 小 化 0 02E( ) 0 s s 離 散 卡 爾 曼 濾 波 遞 推 公 式 表6.6.2 離 散 卡 爾 曼

44、 濾 波 的 遞 推 算 法 0 0, 1 1 1 1 TTE( ) , E( )E( ) , E( ), , 0,1,2, k kk kj kk kk k k k k kk k k kk j k jkk j k jkj k 0000 0 w wn nw ns w s ns s wx H s nw w w Cn n n CCC C 1T |( 1) , 1 1 , 1 1 1T T 1|( 1) |( 1)|( 1), 1 1 , 1 1( 1)| 1, (I)( ) (II)( ) (III) ( ) (IV) (V)k kk k k k k k k k kk k k k k k k kk

45、k k k kk k k k k k k k k kk k k k k w nM M CK M H H M H CM I K H Ms s K x H ss s 0 00 0 , s ss M C 狀 態(tài) 方 程觀 測 方 程統(tǒng) 計(jì) 特 性一 步 預(yù) 測 均 方 誤 差 陣濾 波 增 益 矩 陣濾 波 均 方 誤 差 陣狀 態(tài) 濾 波狀 態(tài) 一 步 預(yù) 測 濾 波 初 始 狀 態(tài) 離 散 卡 爾 曼 濾 波 遞 推 公 式 可 以 分 成 兩 部 分 ： 第 一 部 分 是 前 三 個(gè) 公式 ， 它 們 是 狀 態(tài) 濾 波 增 益 矩 陣 的 遞 推 公 式 ； 第 二 部 分 是 后 兩 個(gè)

46、 公式 ， 它 們 是 離 散 狀 態(tài) 濾 波 和 狀 態(tài) 一 步 預(yù) 測 的 遞 推 公 式 。6.6.2 離 散 卡 爾 曼 濾 波 的 遞 推 算 法 6.6.3 離 散 卡 爾 曼 濾 波 的 特 點(diǎn) 與 性 質(zhì)1、 離 散 卡 爾 曼 濾 波 的 主 要 特 點(diǎn)（ 1） 離 散 卡 爾 曼 濾 波 的 參 數(shù) 矩 陣 可 以 是 時(shí) 變 的 ， 因 此 離 散 卡 爾曼 濾 波 適 用 于 矢 量 的 非 平 穩(wěn) 隨 機(jī) 過 程 的 狀 態(tài) 估 計(jì) 。（ 2） 離 散 卡 爾 曼 濾 波 的 狀 態(tài) 估 計(jì) 采 用 遞 推 估 計(jì) 算 法 ， 數(shù) 據(jù) 存 儲量 少 ， 運(yùn) 算 量 少

47、 ， 特 別 是 避 免 了 高 階 矩 陣 求 逆 問 題 ， 提 高 了 運(yùn) 算效 率 。（ 3） 由 于 離 散 卡 爾 曼 濾 波 的 增 益 矩 陣 與 觀 測 數(shù) 據(jù) 無 關(guān) ， 所 以有 可 能 離 線 算 出 ， 從 而 減 少 實(shí) 時(shí) 在 線 計(jì) 算 量 ， 提 高 實(shí) 時(shí) 處 理 能 力 。（ 4） 離 散 卡 爾 曼 濾 波 不 僅 能 夠 同 時(shí) 得 到 狀 態(tài) 濾 波 值 和 狀 態(tài) 一 步 預(yù) 測 值 ， 而 且 同 時(shí) 得 到 狀 態(tài) 濾 波 的 均 方 誤 差 陣 和 狀 態(tài) 一 步 預(yù) 測 的均 方 誤 差 陣 ， 它 們 是 狀 態(tài) 濾 波 和 狀 態(tài) 一

48、步 預(yù) 測 的 精 度 指 標(biāo) 。kK 6.6.3 離 散 卡 爾 曼 濾 波 的 特 點(diǎn) 與 性 質(zhì)2、 離 散 卡 爾 曼 濾 波 的 主 要 性 質(zhì)（ 1） 狀 態(tài) 濾 波 值 是 系 統(tǒng) 狀 態(tài) 的 線 性 最 小 均 方 誤 差 估 計(jì) 量 ， 因 為它 是 無 偏 估 計(jì) 量 ， 所 以 狀 態(tài) 濾 波 的 均 方 誤 差 陣 就 是 所 有 線 性 估 計(jì)中 的 最 小 誤 差 方 差 陣 。（ 2） 狀 態(tài) 估 計(jì) 的 誤 差 矢 量 與 狀 態(tài) 估 計(jì) 量 正 交 ， 即（ 3） 狀 態(tài) 濾 波 的 增 益 矩 陣 與 初 始 狀 態(tài) 均 方 誤 差 陣 、 擾 動 噪 聲

49、矢量 的 協(xié) 方 差 矩 陣 和 觀 測 噪 聲 矢 量 的 協(xié) 方 差 矩 陣 有 關(guān) 。 （ 4） 狀 態(tài) 濾 波 的 均 方 誤 差 陣 的 上 限 值 為 狀 態(tài) 一 步 預(yù) 測 的 均 方 誤差 陣 。 參 見 (5.7.32)式 和 (5.8.38)式矩 陣 求 逆 引 理 P314 例 6.6.1 離 散 卡 爾 曼 濾 波 增 益 矩 陣 的 離 線 遞 推 計(jì) 算6.6 離 散 卡 爾 曼 濾 波 例 題 1 01 1 0 0 , 1,2, 10 00 1 0 1 0 101 0 2 ( 1) , 1,2,kk k kk w snC CH C kK 例 6.6.1 離 散 卡

50、 爾 曼 濾 波 增 益 矩 陣 的 離 線 遞 推 計(jì) 算 （ 續(xù) ）6.6 離 散 卡 爾 曼 濾 波 例 題kK 例 6.6.1 離 散 卡 爾 曼 濾 波 增 益 矩 陣 的 離 線 遞 推 計(jì) 算 （ 續(xù) ）6.6 離 散 卡 爾 曼 濾 波 例 題kK 例 6.6.2 若 飛 機(jī) 相 對 于 雷 達(dá) 作 徑 向 勻 加 速 直 線 運(yùn) 動 ， 現(xiàn) 通 過 對 飛機(jī) 的 距 離 測 量 來 估 計(jì) 飛 機(jī) 的 距 離 、 速 度 和 加 速 度 。 設(shè)（ 1） 從 開 始 測 量 ， 測 量 時(shí) 間 間 隔 為 2s；（ 2） 飛 機(jī) 相 對 雷 達(dá) 的 距 離 、 速 度 和 加

51、速 度 為 。 現(xiàn)已 知（ 3） 忽 略 擾 動 噪 聲 對 飛 機(jī) 的 擾 動 ；（ 4） 觀 測 噪 聲 是 零 均 值 的 白 噪 聲 隨 機(jī) 序 列 ， 已 知（ 5） 觀 測 噪 聲 與 均 互 不 相 關(guān) 。6.6 離 散 卡 爾 曼 濾 波 例 題2st 0 002 20 2 20 2 2 2 20E( ) 0(km), 8(km)E( ) 0(km/s), 10(km/s)E( ) 0.2(km/s ), 5(km/s )rvarva 1kw 2 20.15 (km)j kn n n jk jkC ( ), ( ), ( )r t v t a tknkn 0 0 0, ,r v

52、 a0.36,1.56,3.64,6.44,10.5,14.8,20.0,25.2,32.2,40.4kx 例 6.6.2 若 飛 機(jī) 相 對 于 雷 達(dá) 作 徑 向 勻 加 速 直 線 運(yùn) 動 ， 現(xiàn) 通 過 對 飛機(jī) 的 距 離 測 量 來 估 計(jì) 飛 機(jī) 的 距 離 、 速 度 和 加 速 度 。 （ 續(xù) ）信 號 模 型6.6 離 散 卡 爾 曼 濾 波 例 題, 1 1 1 1 12 21 2 1 2 2, 0 1 0 1 20 0 1 0 0 11 0 0k k k k k k kk k k k k kkk kk Tx nr T Tv Ta s s w sH s n HssH 0

53、00 8 0 00 , 0 10 00.2 0 0 5C s s 例 6.6.2 若 飛 機(jī) 相 對 于 雷 達(dá) 作 徑 向 勻 加 速 直 線 運(yùn) 動 ， 現(xiàn) 通 過 對 飛機(jī) 的 距 離 測 量 來 估 計(jì) 飛 機(jī) 的 距 離 、 速 度 和 加 速 度 。 （ 續(xù) ）6.6 離 散 卡 爾 曼 濾 波 例 題 1|0 1 1 1|02|1 20.4 0.3600 0.1497 0.0880 0.0221 68 40 10 0.4 , 0.3765 , 0.0880 6.5223 4.1306 40 30 100.2 0.1941 0.0221 4.1306 3.5370 10 10 51

54、.5014 1.5590 0.7147 , 0.80860.1941 0 s s M Ms s 2 2|19|8 9 0.1496 0.1056 0.0311 73.872 52.108 15.357, 0.1056 0.5092 0.3922 52.108 37.193 11.205.2063 0.0311 0.3922 0.3493 15.357 11.205 3.53731.987 32.127 3.4305 , 3.46320.1804 0.18 M Ms s 910|9 10 10 0.0986 0.0230 0.0022, 0.0230 0.0083 0.001036 0.0022

55、 0.0010 0.000139.420 40.024 0.0925 0.0193 0.0017 3.8304 , 3.9536 , 0.0193 0.0061 0.00060.1836 0.1946 0.0017 0.0006 0.0000 Ms s M 7 0 0 |( 1) 1T T 1|( 1) |( 1)|( 1)1 1( 1)|0 0 (I)( ) (II)( ) (III)(IV) ( ) (V) , kk k kk k k k kk k k kk k k k kk k k ns sM MK M H HM H CM I K H Ms s K x H ss ss M C 6.7 狀

56、 態(tài) 為 標(biāo) 量 的 離 散 卡 爾 曼 濾 波6.7.1 狀 態(tài) 為 標(biāo) 量 的 離 散 狀 態(tài) 方 程 和 觀 測 方 程 0 0, 1 , 1 1 22 20 02 2, 1, 1E( ) 0, E( )E( ) 0, E( )E( ) , Var( ), kkk kk kk k k k k kk j k jkwk j k jkns sw nw nw w wn n ns s HC C 6.7.2 狀 態(tài) 為 標(biāo) 量 的 離 散 卡 爾 曼 濾 波(I)(II)(III)(IV)(V) 6.7.3 有 關(guān) 參 數(shù) 的 特 點(diǎn)狀 態(tài) 濾 波 的 均 方 誤 差由 (6.7.3)式 知 ，狀 態(tài) 濾 波 的 增 益狀 態(tài) 濾 波 的 均 方 誤 差 2 2E( ) 0k k ks s 12 2 , 1k k kw n K 若 2kk nK