動能定理和機械能守恒(教師)

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1、專題四 動能定理和機械能守恒(教師) 【考綱要求】 內(nèi)容 要求 說明 功和功率 n 重力勢能 n 彈性勢能 i 彈性勢能的表達式不作要求 恒力做功與物體動能變化的關(guān)系(實驗探究) n 動能動能定理 n 機械能守恒及其應(yīng)用 n 驗證機械能守恒定律(實驗探究) n 能源和能量耗散 i 【重點知識梳理】 1.功和功率 (1)功的概念 (2)功的定義式 (3)合力的功計算方法 (4) 變力的功計算方法 (5)功率的定義式 (6) 平均功率的計算方法 (7)瞬時功率的計算方法 (8) 牽引力功率的計算

2、 (9 2.機械能 (1)動能的表達式 ⑵ 動能與動量的關(guān)系式 (3)重力勢能的表達式 (4) 彈性勢能的概念 3.功和能的關(guān)系 (1)功能關(guān)系 (2)重力做功與重力勢能變化的關(guān)系 (3)彈力做功與彈性勢能變化的關(guān)系 (4)合外力做功與動能變化的關(guān)系 (動能定理) (5)除重力彈力外其他力做功與機械能變化的關(guān)系 (6)滑動摩擦力做功與摩擦生熱的關(guān)系 4.守恒定律 (1) 機械能守恒定律條件 內(nèi)容 表達式 (2) 能的轉(zhuǎn)化和守恒定律內(nèi)容 表達式 3 【分類典型例題】 題型一：汽車啟動的問題 ［例1］ 一輛汽車的質(zhì)量是 5X 1

3、03 kg ,發(fā)動機的額定功率為 60 kW,汽車所受阻力恒為 5 000 N,如果汽車從靜止開始以 0. 5 m/s2的加速度做勻加速直線運動，功率達到最大后又以額定 功率運動了一段距離后汽車達到了最大速度，在整個過程中，汽車運動了 125 m.問在這個 過程中，汽車發(fā)動機的牽引力做功多少？ 下面是甲、乙兩位同學(xué)的解法： 2s 2 125 甲同學(xué)：t 「一 s 22.36s ,a . 0.5 W=Pt=6 x 104 X 22.36 J =1. 34 X 106 j. 乙同學(xué)：F=ma + f=7500 N. W=Fs=7 500X125 J =9. 375 X 105

4、J. 請對上述兩位同學(xué)的解法做出評價，若都不同意請給出你的解法. 解：甲、乙兩位同學(xué)的解法都不正確. 甲同學(xué)把125 m全部當做勻加速直線運動的位移，求出運動時間 t,這一步就錯了，然 后又用公式 W=Pt來求牽引力做功， 而汽車在做勻加速運動的過程中功率是逐漸變大的， 這 一步驟又錯了. 而乙同學(xué)的做法中，第一步是正確的，但力 F是汽車做勻加速運動時的牽引力，當汽車 以額定功率行駛時，牽引力是變力，做功不能用 W=Fs來計算. 正確的解法是：汽車行駛的最大速度為 6-^m/s 12m/s 5000 1 2 _ 根據(jù)動能定理得W fs 1mv2 0,

5、 2 1 2 ? 5 W — mv2 fs 9.85 105J。 2 題型二：應(yīng)用動能定理時的過程選取問題 解決這類問題需要注意：對多過程問題可采用分段法和整段法 處理，解題時可靈活處理，通常用整段法解題往往比較簡潔 ［例2］如圖4-1所示，一質(zhì)量m=2Kg的鉛球從離地面 H=2mW處自由下落，陷入沙坑h=2cm 深處，求沙子對鉛球的平均阻力.(g取10m/s2) 圖4-1 ［解析1方法一：分段法列式 設(shè)小球自由下落到沙面時的速度為 v,則mgH=mV2-0 設(shè)鉛球在沙坑中受到的阻力為 F,則mgh-Fh=0- mv2/2 代入數(shù)據(jù)，解得F=2020N 方法二：整段

6、法列式 全過程重力做功 mg(H+h),進入沙坑中阻力阻力做功 -Fh, 從全過程來看動能變化為 0,得mg(H+h)-Fh=0,代入數(shù)值 得 F=2020N. ［變式訓(xùn)練1］一個物體從斜面上高 h處由靜止滑下并緊接著在水平面上滑行一段距離 后停止，測得停止處對開始運動處的水平距離為 S,如圖4-2 ,不考慮物體滑至斜面底端的 碰撞作用，并設(shè)斜面與水平面對物體的動摩擦因數(shù)相同.求動摩擦因數(shù) .h/s 題型三：運用動能定理求解變力做功問題 解決這類問題需要注意：恒力做功可用功的定義式直接求解 ，變力做功可借助動能定理 并利用其它的恒力做功進行間接求解 . ［例3］如圖4-3

7、所示，AB為1/4圓弧軌道，BC為水平軌道, 圓弧的半徑為R, BC的長度也是R. 一質(zhì)量為m的物體，與兩個軌道 間的動摩擦因數(shù)都為科，當它由軌道頂端 A從靜止開始下落時，恰 好運動到C處停止，那么物體在AB段克服摩擦力所做的功為 ))mgR () A…mgR/2 B. mgR/2 C. mgR D.(1- ［解析1設(shè)物體在AB段克服摩擦力所做的功為 Wb,物體由A到C全過程，由動能定理 mgR-W-mgR=0 所以.Wab= mgR-科 mgR=（1-科）mgR 答案為 D ［變式訓(xùn)練2］質(zhì)量為m的小球用長為L的輕繩懸于 O點，如 右圖4-4所示，小球在水平力 F作用下由最低點

8、 P緩慢地移到 Q 點，在此過程中F做的功為（B ） A. FLsin 9 B. mglcos 9 C.mgL （1—cosB） D. FLtan 9 圖 4-4 : \ 題型四：動能定理與圖象的結(jié)合問題 ；0 解決這類問題需要注意：挖掘圖象信息，重點分析圖象的坐 「3足’ 標、切線斜率、包圍面積的物理意義 . x ［例4］靜置于光滑水平面上坐標原點處的小物塊， 在 水平拉力F作用下，沿x軸方向運動，拉力 F隨物塊所在 位置坐標x的變化關(guān)系如圖4-5所示，圖線為半圓.則小 物塊運動到X0處時的動能為（） 1 2 A 0 B- —FmX0 C ? — FmX0 D  —

9、X0 2 4 4 ［解析1由于水平面光滑，所以拉力F即為合外力，F(xiàn) 隨位移X的變化圖象包圍的面積即為 F做的功，設(shè)X0處的 動能為Ek由動能定理得：E K-0= -Fmx0 = -x（2 = -Ff2 答案:C 4 8 2 ［變式訓(xùn)練3］在平直公路上，汽車由靜止開始作勻加速運 動，當速度達到Vm后立即 關(guān)閉發(fā)動機直到停止，v-t圖像如圖4-6所示。設(shè)汽車的牽引力為 F,摩擦力為f,全過程 中牽引力做功 W,克服摩擦力做功 W,則（BC ） A. F: f=1 : 3 B . F: f=4 : 1 C. W: W=1 : 1 D. W: W=l : 3 卜…A 圖 4-6 題型

10、五：機械能守恒定律的靈活運用 圖4-7 解決這類問題需要注意：靈活運用機械能守恒定律的三種表 達方式：1.初態(tài)機械能等于末態(tài)機械能，2.動能增加量等于勢能 減少量,3. 一個物體機械能增加量等于另一個物體機械能減少 量.后兩種方法不需要選取零勢能面 . ［例5］如圖4-7所示，粗細均勻的 U形管內(nèi)裝有總長為 4L 的水。開始時閥門K閉合，左右支管內(nèi)水面高度差為 L。打開閥 門KB,左右水面剛好相平時左管液面的速度是多大？（管的 內(nèi)部橫截面很小，摩擦阻力忽略不計） ［解析］由于不考慮摩擦阻力，故整個水柱的機械能守恒。從初始狀態(tài)到左右支管水面 相平為止，相當于有長L/2的水柱由左管移到右管

11、。系統(tǒng)的重力勢能減少，動能增加。該過 程中，整個水柱勢能的減少量等效于高 L/2的水柱降低L/2重力勢能的減少。不妨設(shè)水柱總 質(zhì)量為8m則mg L 1 8m v2 2 2 ［變式訓(xùn)練4］ 徑為R, (R遠大于 如圖4-8所示, 一節(jié)車廂的高度 的光滑槽中只能使列車沿著圓周運動, 游樂列車由許多節(jié)車廂組成。 列車全長為L,圓形軌道半 h和長度l ,但L>2ti R).已知列車的車輪是卡在導(dǎo)軌上 在軌道的任何地方都不能脫軌。 試問：在沒有任何動 力的情況下，列車在水平軌道上應(yīng)具有多大初速度 v0,才能使列車通過圓形軌道而運動到右 邊的水平軌道上? vo 2Rl 題型六

12、：系統(tǒng)機械能守恒的問題 ［例6］如圖所示，輕桿長為 3L,在桿的A B兩端分別固定質(zhì)量均 為m的球A和球B,桿上距球A為L處的點O裝在光滑的水平轉(zhuǎn)動軸上， 桿和球在豎直面內(nèi)轉(zhuǎn)動，已知球 B運動到最高點時，球 B對桿恰好無作 用力.求： (1)球B在最高點時，桿對水平軸的作用力大小. (2)球B轉(zhuǎn)到最低點時，球A和球B對桿的作用力分別是多大？方向 如何？ 解：(1)球B在最高點時速度為 vo,有 2 mg m—,得 Vo J2gL. 2L 1 1 . 此時球A的速度為一v0 -v12gL ,設(shè)此時桿對球 A的作用力為Fa,則 2 2 Fa mg meFA 1.5mg,,

13、 A球?qū)U的作用力為 Fa 1.5mg,. 水平軸對桿的作用力與 A球?qū)U的作用力平衡，再據(jù)牛頓第三定律知，桿對水平軸的作 用力大小為 Fo=1. 5 mg. (2)設(shè)球B在最低點時的速度為 Vb ,取。點為參考平面，據(jù)機械能守恒定律有 1 2 」1 ,v0、2 mg 2L mv0 mgL m(—) 2 2 2 2 1 /vB \2 b mgL -m(—) 2 2 對A球有F1 mg m (Vb/2)2 解得桿對A球的作用力F1 0.3mg . 2 對B球有f2 mg m—B- 解得桿對B球的作用力F2 3.6mg . 據(jù)牛頓第三定律可知： A球?qū)U的作用

14、力大小為 0.3mg,方向向上；B對桿的作用力大小 為3. 6mg ,方向向下. ［變式訓(xùn)練5］ 如圖所示，質(zhì)量為 M的小球被一根長為 L的可繞。軸自由轉(zhuǎn)動的輕質(zhì)桿固定在其端點，同 時又通過長繩跨過光滑定滑輪與質(zhì)量為 m的小球相連。（忽略M和滑輪體積，認為 O點到 滑輪距離為L） 1）若裝置平衡時，輕桿與豎直方向夾角 30。，求 —— m 2）若將M由桿呈水平狀態(tài)開始釋放，不計摩擦，豎直繩足 夠長，則當桿轉(zhuǎn)動到豎直位置時， m的速度是多大？（注: 不要使用1）中的結(jié)論，答案保留 M和m） 解：1） Mg mgcos30 ……2 分 —33 2 m 2）桿轉(zhuǎn)動到豎直位置時，

15、 m上升2L,由速度分解v— J2vm MgL mg . 2L - Mv— 2 2 z -mvm 得 Vm 2 2(M 2m)gL 2M m 題型七：彈簧類問題 ［例7］質(zhì)量為m的小球B用一根輕質(zhì)彈簧連接. 現(xiàn)把它們放置在豎直固 定的內(nèi)壁光滑的直圓筒內(nèi)，平衡時彈簧的壓縮量為 xo,如圖所示，小球 A從 小球B的正上方距離為3 xo的P處自由落下，落在小球 B上立刻與小球B粘 在一起向下運動，它們到達最低點后又向上運動，并恰能回到 O點（設(shè)兩個 小球直徑相等，且遠小于 xo,略小于直圓筒內(nèi)徑），已知彈簧的彈性勢能為 1 2 —k x2,其中k為彈簧的勁度系數(shù)， x為

16、彈簧的形變量.求： 2 （1）小球A的質(zhì)量. （2）小球A與小球B 一起向下運動時速度的最大值. 解：（1）由平衡條件得 mg = k xo,設(shè)球A的質(zhì)量為m,與球B碰撞前的速度為V1,由 1 2 機械能寸恒te律得 3mgx0 — mv1 設(shè)球A B結(jié)合后的速度為 v1 ,由動量守恒定律得  vi 6gxo m m1 由于球 (mi A、B恰能回到。點，根據(jù)動能定理得 m)gx0 1kx02 0 1(m1 m)v1 之 解之得 (2)由B點向下運動的距離為 xi時速度最大，加速度為零.即(m1 m)gx1 k(x1 x0), 因為mg kx0 , m1

17、 m ,所以x1 x0.由機械能守恒得 (mi m)gxi i 2 ](mi m)vi i . 2 i 2 i 2 2網(wǎng) 2 (mi m)vm 2 k(xi x) vm ,2g% . [變式訓(xùn)練6] 一個質(zhì)量為 m=0. 20 kg的小球系于輕質(zhì)彈簧的一端，且套在光豎直的圓 環(huán)上，彈簧固定于環(huán)的最高點 A,環(huán)的半徑R=0. 50 m,彈簧原長L0 = 0. 50 m ,勁度系數(shù)為 4.8 N/m,如圖所示，若小球從圖示位置 B點由靜止開始滑到最低點 C時，彈簧的彈性勢能 E彈=0. 60J;求：(i)小球到C點時的速度vc 的大小. (2)小球在C點時對環(huán)的作用力

18、(g=i0 m/S2). 解：小球由B點滑到C點，由動能定理得 0 i 2 mg(R Rcos60 ) W彈力 -mvc , W彈力 0.60J 得 vc=3 m/s. (2)在 C 點時有 F彈 k(2R I0) 2.4N , 設(shè)環(huán)對小球作用力為 N,方向指向圓心，則 2 v彈 F彈 N mg m ——,N 3.2N . R 小球?qū)Νh(huán)作用力為 N , N N 3.2N . 9 第五專題：動量動量守恒定律 內(nèi)容 要求 說明 動量動量守恒定律 n 只限一維情況 驗證動量守恒定律（實驗、探究）彈性和非彈性碰撞 反沖: I 只限一維情況 1 .動

19、量與碰撞： （1）動量守恒定律的內(nèi)容： 一個系統(tǒng)不受 或所受外力之矢量和 ,則系統(tǒng)的總 動量保持不變。表達式 =,其中等式左邊表示 的總動量, 右邊表示 的總動量。對于 、等現(xiàn)象因 遠遠大于外力，即使合 外力不為零，系統(tǒng)動量也可看成 。 （2）碰撞：發(fā)生 碰撞，系統(tǒng)動能損失最大；發(fā)生 碰撞，系統(tǒng)動能和動量均守 恒，其碰后的速度表達式為： V 1/ =, V2/=。 ［分類典型例題］ 題型一：動量守恒定律與微觀粒子的碰撞相結(jié)合的本模塊 （3 - 5）的綜合性問題 解彈性碰撞的“雙守恒式”時，最好能記住碰后的速度的解。碰撞后發(fā)生核反應(yīng)，釋放 的核能轉(zhuǎn)變成粒子的動能，注意總能量守恒與動

20、量守恒相結(jié)合。 ［例1］實驗室核反應(yīng)源產(chǎn)生一未知粒子，它與靜止的氫核正碰，測出碰后氫核的速度是 3.3 x 107m/s；它跟跟靜止的氮核正碰，測出碰后氮核的速度是 4.7 x 106m/so上述碰撞都是 彈性碰撞。求未知粒子（速度不變）的質(zhì)量數(shù)。這是歷史上查德威克發(fā)現(xiàn)中子的實驗。 1 2 1 2,1 2 2m1 ［解析］ mv = mv1+mv2 ; — mv = — mv1 + — m>V2 。 v = v ,對于氫核 2 2 2 m1m2 2mn 2mn _ vH v ,對于氮核 vN v ,得 mn = 1.16 mH，即質(zhì)重數(shù)為 1.16。 mn mH mn

21、14mH ［變式訓(xùn)練1:用石墨做慢化劑使快中子減速，碳核與中子每次的碰撞都是彈性正碰，且碰 前碳核都是靜止的，設(shè)碰前中子的動能為 E。（1）經(jīng)過一次碰撞，中子的動能變成多少？ （1） 121E/169（2）42 次 ［變式訓(xùn)練 2］至少經(jīng)過多少次碰撞，中子的動能才小于 10 6E? lg13 = 1.114,lg11 = 1.041。兩個笊核動能均為 0.37MeV,做對心相向正碰發(fā)生了聚變反應(yīng)： 21H+ 2卜25H+ln。 其中笊核質(zhì)量為 2.1036U ,氮3的質(zhì)量為3.1950U ,中子的質(zhì)量為1.0087u。反應(yīng)中釋放的 核能全部轉(zhuǎn)化為動能，求所生成的氨核和中子的動能。 1

22、u相當于931MeV的能量。 1MeV;3MeV ［變式訓(xùn)練3］已知HZ各能級能量的表達式為 En=-與，靜止的H/從最低激發(fā)態(tài)躍 n 遷到基態(tài)時如考慮到該離子的反沖，發(fā)射的光子的波長為入 1；如該離子的反沖忽略不計， 發(fā)射的光子的波長為入2。則入1/入2= ? 3E0 。A*的質(zhì)量為 ,116m2c4 24mc2 E0 4mc2 m,普朗克常量為h,真空中光速為co 題型二：利用動量守恒定律解純動量守恒問題。 哪是作用前的動量， 哪是作用后的動 系統(tǒng)包含哪些物體，發(fā)生了什么相互作用（內(nèi)力）， 量，各速度是否相對于同一參考系，正負方向是否確定。 ［例2］甲、乙兩輛小車質(zhì)

23、量分別為 m=50kg和m2 =30kg ,質(zhì)量m= 30kg的小孩站在甲車上。兩車在光 滑軌道上相向運動，車速 V1=3m/s, %=4m/s,為避 免兩車相撞，小孩至少以多大的水平速度（相對地面） 跳到乙車上？ ［解析1 “跳、落”是常見的內(nèi)力作用方式，動量是狀態(tài)量，抓住跳之前和跳之后、落之前 和落之后的狀態(tài)。規(guī)定向右為正方向，小孩的速度用 u表示。 以甲車、小孩為系統(tǒng)： (m+m)M = mM/+mu (1) 以小孩、乙車為系統(tǒng)： mu+ m2 (― V2) = ( m^ m>) V (2) 兩車不撞：V；WV2/ (3) 得uR6.2m/s,即小孩至少以6.2m/s的水平速度跳到乙車上才能避免兩車相撞。當然 (1)式 +(2) 式得： ( m1+m) V1 +m2(－ V2) =m1V1/ +( m+m2) V2/ ，即以兩車、小孩為系統(tǒng)的守恒式。