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1、通過直觀感知、操作確認，歸納出平面與平面平行、垂直的判定定理和性質定理，并能用它們證明面面的平行與垂直問題,第5課時 平面與平面的位置關系,【命題預測】 1平面和平面平行是必考內(nèi)容，難度不大，其考查方式不外乎這樣兩種：一是考查平行關系的判定(小題)；二是考查平行關系的證明(大題)，在復習時應注意定理與性質的條件，及時總結“?？汲ｅe”的地方 2對二面角以考查基本方法為主 3對垂直關系的考查形式多樣：填空題、解答題小題多考查線面、面面、垂直關系的判定及性質；大題則考查線面、面面垂直關系的證明以及利用垂直關系進行有關計算.2011年考查垂直關系的可能性很大，但都是基礎題,【應試對策】 1面面平行的
2、判定定理及其推論是論證兩個平面平行的主要依據(jù)對其判定 定理，可緊緊抓住六個字：“兩條”、“相交”、“平行”對于兩個平面平行問題的判定或證明，主要是將其轉化為一個平面內(nèi)的直線與另一個平面平行的問題，即“線面平行，則面面平行”，必須注意這里的“線面”是指一個平面內(nèi)的兩條相交直線和另一個平面平面平行的性質是根據(jù)平面平行、線面平行、線線平行的定義直接給出的，證明線面平行往往轉化為證明面面平行因此，兩個平面平行的判定和性質定理為證明空間平行關系提供了轉化的路徑,2在解決線面、面面平行的判定問題時，一般遵循從“低維”到“高維”的轉化，即從“線線平行”到“線面平行”，再到“面面平行”，而在應用性質定理時，其
3、順序恰好相反但也要注意，轉化的方向總是受題目的具體條件而定，決不可過于模式化在處理實際問題的過程中，可以先從題設條件入手，分析已有的平行關系，再從結論入手分析所要證明的平行關系，從而架起已知與未知之間的橋梁根據(jù)條件應用性質是證明幾何問題的必由之路，而作輔助線或輔助平面則是應用性質的自然結果，從而實現(xiàn)線線、線面與面面關系的轉化,3在證明兩平面垂直時，一般先從現(xiàn)有直線中尋找平面的垂線，若這樣的直線在圖中不存在，則可通過作輔助線來解決在一個平面內(nèi)作交線的垂線，使之轉化為線面垂直，然后進一步轉化為線線垂直，故熟練掌握線線垂直、面面垂直間的轉化條件是解決這類問題的關鍵在線線垂直和線面垂直的相互轉化中，平
4、面在其中起到至關重要的作用無論是線面垂直還是面面垂直，都源自線與線的垂直，這種轉化思想在解題時非常重要在處理實際問題的過程中，可以先從題設條件入手，分析已有的垂直關系，再從結論入手分析所要證明的垂直關系，從而架起已知與未知之間的“橋梁”,4面面垂直的判定定理與性質定理實現(xiàn)了線面垂直與面面垂直的相互轉化，這樣面面垂直實際上就是線面垂直，最后歸結為我們熟悉的線線垂直，能否靈活地實施空間垂直的轉化是解題的關鍵，一般來講，線線垂直最基本，在轉化過程中起到穿針引線的作用；線面垂直是樞紐，將線線垂直與面面垂直聯(lián)系在一起同時也要注意平行關系與垂直關系的內(nèi)在聯(lián)系 5計算二面角的關鍵是作出二面角的平面角，其作法
5、主要有：(1)利用二面角平面角的定義，即在棱上任取一點，然后分別在兩個面內(nèi)作棱的垂線，則兩垂線所成的角為二面角的平面角；(2)利用棱的垂面，即棱的垂面與兩個平面的交線所成的角是二面角的平面角因此，二面角的求解思路都是“一作二證三算”,【知識拓展】 1平行關系的轉化 注意：(1)由上面的框圖易知三者之間可以進行任意轉化，因此要判定某一平行的過程就是從一平行出發(fā)不斷轉化的過程，在解題時把握這一點，靈活確定轉化的思路和方向 (2)證平行關系的方法很多，但我們應該清楚常用的方法是什么？遇到一個證平行的題目，應該知道從哪里入手比較簡單,2垂直關系的轉化 在證明兩平面垂直時一般先從現(xiàn)有直線中尋找平面的
6、垂線，若這樣的直線圖中不存在，則可通過作輔助線來解決如有平面垂直時，一般要用性質定理，在一個平面內(nèi)作交線的垂線，使之轉化為線面垂直，然后進一步轉化為線線垂直故熟練掌握“線線垂直”“面面垂直”間的轉化條件是解決這類問題的關鍵,每一垂直或平行的判定就是從某一垂直或平行開始轉向另一垂直或平行，最終達到目的例如：有兩個平面垂直時，一般要用性質定理，在一個平面內(nèi)作交線的垂線，使之轉化為線面垂直，然后進一步轉化為線線垂直立體幾何中的證明，我們要牢牢抓住“轉化”這一武器，線與線、線與面、面與面之間的垂直與平行，都可互相轉化，轉化的理論依據(jù)是這三種平行與垂直的判定定理、性質定理等解題中要注意運用上面的轉化途徑
7、,1兩個平面的位置關系 2兩個平面平行的判定： (1)定義； (2)判定定理：a，b，abM，a ，b ； (3)a，a . 3兩個平面平行的性質 (1)兩個平面平行的性質定理：，a，b ； (2)，l .,,,ab,l,4兩個平行平面間的距離 與兩個平行平面都垂直的直線，叫做這兩個平行平面的 ，它夾在這 兩個平行平面間的線段，叫做這兩個平行平面的公垂線段，公垂線段的長 度叫做 ,公垂線,兩個平行平面間的距離,5二面角及其平面角 (1)二面角的定義 一條直線和由這條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做 ，這
8、條直線 叫做二面角的 ，每個半平面叫做二面角的 (2)二面角平面角的定義 以二面角的棱上任意一點為端點，在兩個面內(nèi)分別作垂直于棱的射線，這兩條 射線所成的角叫做二面角的 ，平面角是直角的二面角叫做 ,二面角,面,棱,平面角,直二面角,6平面與平面垂直 (1)平面與平面垂直的定義 如果兩個平面所成的二面角是 ，就說這兩個平面互相垂直 (2)平面與平面垂直的判定定理 如果一個平面經(jīng)過另一個平面的 ，那么這兩個平面互相垂直 (3)平面與平面垂直的性質定理 如果兩個平面互相垂直，那么在一個平面內(nèi)垂直于它們 的直線垂直于另一個 平面,
9、直二面角,一條垂線,交線,1(2010揚州中學高三考試)設、為互不重合的平面，m、n為互不重合 的直線，給出下列四個命題：若m，n，則mn；若 m，n，m，n，則；若，m， n，nm，則n；若m，，mn，則n.其中正 確命題的序號為________ 答案：,2已知、是不同的兩個平面，直線a，直線b，命題p：a與b無 公共點；命題q：，則p是q的________條件 解析：若a、b無公共點，則、既可平行，也可相交， 故p q. 若，即“ab或a、b異面”，即“a、b無公共點”， 即pq. 由知p是q的必要而不充分條件 答案：必要不充分,3(2010洛陽市高三考
10、試)設m，n是不同的直線，，是不同的平面，有 以下四個命題： 若mn，n，則m；若m，n，m，n，則 ；若m，n，則mn；若，m，則m. 其中真命題的個數(shù)是________ 解析：是真命題 答案：1,4已知平面，l，P是空間一點，且P到平面、的距離分 別是1、2，則點P到l的距離為________ 解析：如圖，PO平面PAB，lPO. PO就是P到直線l的距離 ，PAOB為矩形，PO . 答案：,5平行四邊形的一個頂點A在平面內(nèi)，其余頂點在的同側，已知其中有 兩個頂點到的距離分別為1和2，那么剩下的一個頂點到平面的距離可 能是：1；2；3；4. 以上
11、結論正確的為________(寫出所有正確結論的編號) 答案：,判定兩個平面平行除了定義之外常用的判定方法有兩個，一個是用兩個平面平行的判定定理，判定兩個平面平行，另一個是用結論“垂直于同一條直線的兩個平面平行”判定兩個平面平行,【例1】在正方體ABCDA1B1C1D1中，求證：平面A1BD平面CB1D1. 思路點撥：證平面A1BD內(nèi)的兩條相交直線平行于平面CB1D1. 證明：由正方體ABCDA1B1C1D1知，A1B1綊AB， AB綊CD，A1B1綊CD.四邊形A1B1CD為平行四邊形A1DB1C. 而B1C面CB1D1，A1D面CB1D1. 同理，BD平面CB1D1，
12、且A1DBDD. 平面A1BD平面CB1D1.,變式1：如果兩個平面分別平行于第三個平面，那么這兩個平面互相平行 已知：，. 求證：. 證法一：如圖，作兩個相交平面分別與、、交于a、c、e和b、d、f.,證法二：作直線a，使a， ，a.，a. 直線a垂直于平面、又垂直于，.,,【例2】已知a和b是異面直線，且ab，a平面，b平面，求證：b. 思路點撥：構造一個過b與a垂直的平面或找一條在內(nèi)與b平行的直線 證法一：如圖(1)，過b上一點P作a的垂線PQ，b與PQ確定平面， ab，aPQ，a.又a，，且b.b.,證法二：如圖(2)，在b上任取一點M，作MN于N，直線b與MN確定一
13、個平面，設為. a，MN，aMN.又ab，bMN.設c，且MN，c，MNc. 又MNb，MNc，且MN、b、c，bc，而b，c，b.,變式2：如圖，平面，線段AB分別交、于M、N兩點，線段AD分別交 、于C、D兩點，線段BF分別交、于F、E兩點，AM9，MN11， NB15，SFMC78，求END的面積,解：ABADA，經(jīng)過AB、AD可確定平面ABD. MC、ND分別為平面ABD與、的交線，MCND. 同理，F(xiàn)MEN，則FMCEND. SEND 78100.,,【例3】(1)已知ABC中，ABC90，P為ABC所在平面外一點，PAPBPC. 求證：平面PAC平面ABC. (
14、2)如圖，在四棱錐PABCD中，平面PAD平面ABCD，ABDC，PAD是等 邊三角形，已知BD2AD8，AB2DC4 . 設M是PC上的一點，證明：平面MBD平面PAD； 求四棱錐PABCD的體積,思路點撥：(1)證PO平面ABC，(2)因為兩平面垂直與M點位置無關，所以在平面MBD內(nèi)一定有一定直線垂直于平面PAD，考慮證明BD平面PAD.四棱錐底面為一梯形，高為P到面ABCD的距離 (1)證明：取AC的中點為O，連接OP、OB，AOOC，PAPC，POAC.ABC90，OBOA.又PBPA，POPO， POBPOA.POOB. PO平面ABC.平面PAC平面ABC.,(2)解：在
15、ABD中，AD4，BD8，AB4 ， AD2BD2AB2.ADBD.又面PAD面ABCD， 面PAD面ABCDAD，BD面ABCD，BD面PAD.又BD面BDM， 面MBD面PAD.,過P作POAD，面PAD面ABCD， PO面ABCD，即PO為四棱錐PABCD的高，又PAD是邊長為4的等邊三角形，PO2. 在底面四邊形ABCD中，ABDC，AB2DC， 四邊形ABCD為梯形在RtADB中，斜邊AB邊上的高為 ， 此即為梯形的高S四邊形ABCD 24. VPABCD .,變式3：(南京市調(diào)研)如圖，在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，ABBCCA ，
16、ADCD1，平面AA1C1C平面ABCD. (1)求證：BDAA1； (2)若E為線段BC的中點，求證：A1E平面DCC1D1.,證明：(1)因為BABC，DADC，所以BD是線段AC的垂直平分線 所以BDAC.又平面AA1C1C平面ABCD， 平面AA1C1C平面ABCDAC，BD平面ABCD， 所以BD平面AA1C1C.因為AA1平面AA1C1C，所以BDAA1.,(2)因為ABBCCA ，DADC1，所以BACBCA60， DCA30.連接AE.因為E為BC的中點，所以CE ， 在AEC中，易知EAC30. 所以EACDCA，所以AEDC. 因為DC平面DCC1D1，AE平面DC
17、C1D1 所以AE平面DCC1D1.,在棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA1DD1. 因為DD1平面DCC1D1，AA1平面DCC1D1，所以AA1平面DCC1D1. 因為AA1平面AA1E，AE平面AA1E，AA1AEA， 所以平面AA1E平面DCC1D1. 因為A1E平面AA1E，所以A1E平面DCC1D1.,【規(guī)律方法總結】,1解決線面平行、面面平行問題，要切實把握轉化的思想方法： 線線平行 線面平行 面面平行 2證明平面和平面平行的方法： (1)利用定義證，即采用反證法；(2)利用判定定理 3垂直關系的轉化：,在證明兩平面垂直時一般先從現(xiàn)有直線中尋找平面的垂線，若這樣的直線圖中不存在
18、，則可通過作輔助線來解決如有平面垂直時，一般要用性質定理，在一個平面內(nèi)作交線的垂線，使之轉化為線面垂直，然后進一步轉化為線線垂直故熟練掌握“線線垂直”、“線面垂直”、“面面垂直”間的轉化條件是解決這類問題的關鍵,【例4】已知，，是三個互不重合的平面，l是一條直線，給出下列四個命題： 若，l，則l；若l，l，則；若l上有兩個點到的距離相等，則l； 若，，則.其中正確命題的序號是________.,【錯因分析】,解本題可能出現(xiàn)的錯誤就是對空間點、線、面位置關系的判定定理和性質定理掌握不清導致誤判如對命題可能對線面平行關系不清，誤以為線在平面內(nèi)也算平行，認為命題正確；再如對點到平面的距離相等考
19、慮不到點可能在平面兩側，認為命題正確,解：有直線l的可能；中可以過直線l作第三個平面與平面相交于直線m，根據(jù)線面平行的性質定理，知ml，又l，根據(jù)線面垂直的性質定理，得m ，再根據(jù)面面垂直的判定定理，得，故正確；中包含兩個點在平面兩側的情況；在平面內(nèi)作與和交線垂直的直線m，根據(jù)面面垂直的性質定理，得m，再過直線m作平面，這個平面與平面相交于直線n，根據(jù)面面平行的性質定理，知mn，根據(jù)線面垂直的性質定理，知n，再根據(jù)面面垂直的判定定理，知，故正確故填.,【答題模板】,這類關于空間點、線、面位置關系的組合判斷類試題是高考全面考查考生對空間位置關系的判定和性質掌握程度的理想題型，歷來受到命題者的青睞
20、解決這類問題的基本思路有二：一是逐個尋找反例作出否定的判斷、逐個進行邏輯證明作出肯定的判斷；二是結合長方體模型或實際空間位置(如課桌、教室)作出判斷，但要注意定理應用準確、考慮問題全面細致.,【狀元筆記】,,證明：如圖，過a作任一平面和平面交于a，a，aa. 又a，a，a，且a與b相交又b，b，. 一通百通：對于面面平行的證明問題，往往考慮利用面面平行的判定定理來解決，轉而考慮證明相關的線面平行，有時可能需要進一步去證明線線平行，從而將問題解決,2如圖所示，ABC為正三角形，EC平面ABC，BDEC，且ECAC 2BD，M是AE的中點求證： (1)DEAD； (2)平面BDM平面ECA. 分析：(1)取EC中點F，要證明DEAD，只需要證明 RtDEFRtABD；(2)注意點M為EA的中點，可取AC的中點N，先證明 點N在平面BDM內(nèi)，再證明平面BDMN經(jīng)過平面ECA的一條垂線即可,證明：(1)取EC的中點F，連接DF.ECBC，DFBC，DFEC. 在RtDFE和RtABD中，EF ECBD，DFBCAB， RtDEFRtABD，故DEAD. (2)取AC的中點N，連接MN，BN，則MNEC，MN EC， MNBD，即點N在平面BDM內(nèi)又EC平面ABC，ECBN. 又ACBN，BN平面ECA.又平面BDM經(jīng)過BN，平面BDM平面ECA.,
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