《解直角三角形及其應用》教案 (省一等獎) 4

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1、 解直角三角形 教學目標 ( 一)知識與能力 穩(wěn)固直角三角形中銳角的三角函數(shù)，學會解關于坡度角和有關角度的問題． (二)方法與過程： 逐步培養(yǎng)學生分析問題解決問題的能力，進一步滲透數(shù)形結合的數(shù)學思想和方法． (三)情感、態(tài)度與價值觀： 培養(yǎng)學生用數(shù)學的意識；滲透數(shù)學來源于實踐又反過來作用于實踐的辯證唯物主義觀點． 教學重點：能熟練運用有關三角函數(shù)知識． 教學難點：解決實際問題． 教學疑點：株距指相鄰兩樹間的水平距離，學生往往理解為相鄰兩樹間的距離而造成錯誤． 教學過程 1．創(chuàng)設情境，導入新課． 例 1 同學們，如果你是修建三峽大壩的工程師，現(xiàn)在有這樣一個問題請

2、你解決：如圖6-33 水庫大壩的橫斷面是梯形，壩頂寬 6m，壩高 23m，斜坡 AB 的坡度 i=1∶3，斜坡 CD 的坡度 i=1∶，求斜坡 AB 的坡面角α， 壩 底寬 AD 和斜坡 AB 的長(精確到 0.1m) ． 2.介紹概念：坡度與坡角 教師講解：解直角三角形有廣泛的應用，解決問題時，?要根據(jù)實際情況靈活運用相關 知識．例如，當我們要測量如圖大壩的高度 h 時，只要測出仰角α和大壩的水平寬度 L，就 能算出 h=Ltanα．但是，當我們要測量如課本圖 28．2-10 所示的山 高 h 時，問題就不那么 簡單了．這是由于不能很方便地得到仰角α和山坡長度 L． 圖

3、 28．2-9  圖 28．2-10 與測壩高相比，測山高的困難在于：壩坡是“直〞的，而山坡是“曲〞的．怎樣 解決 這樣的問題呢？ 我們設法“化曲為直，以直代曲〞．我們可以把山坡“化整為零〞地劃分為一些小段， 課本圖 28．2-11 表示其中一局部小段．劃分小段時，注意使每一小段上的山坡近似是“直〞 的 ，可以量出這段坡長 L ，測出相應的仰角α，這樣就可以算出這段山坡的高度 h =L sin 1 1 1 α． 圖 28．2-11 在每個小段上，我們都構造出直角三角形，利用上面的方法分別算出各段山坡的高度 h ，h ，……．

4、1 2 然后我們再“積零為整〞，把 h ，h ，…相加，于是得到山高 h． 1 2 以上解決問題中所用的“化整為零，積零為整〞“化 曲為直，以直代曲〞的做法，就 是高等數(shù)學中微積分的根本思想，它在數(shù)學中有重要地位，在今后的學習中，你會更多地了 解這方面的內容． 3. 自主探究，解決問題 例 2  如右圖，纜車行駛線與水平線間的夾角α=30°，β=45°．?小明乘纜車上山，從 A 到 B，再從 B 到 D 都走了 200 米〔即 AB=BD=200 米〕，?請根據(jù)所給的數(shù)據(jù)計算纜車垂直上升 的距離．〔計算結果保存整數(shù)，以下數(shù)據(jù)供選用： s

5、in47°≈0.7314，cos47?°≈0.6820， tan47°≈1.0724〕 分析：纜車垂直上升的距離分成兩段：BC 與 DF．分別在 ABC 和 Rt△DBF?中求出 BC 與 DF，兩者之和即為所求． 解：在 ABC 中，AB=200 米，∠BAC=α=30°， ∴BC=AB·sinα=200sin30°=100〔米〕． 在 Rt△BDF 中，BD=200 米，∠DBF=β47°， ∴DF=BD·sinβ=200·sin47°≈200×0.7314=146.28 〔米〕． ∴BC+DF=100+146.28=246.28〔米〕． 答：纜車

6、垂直上升了． 說明：解直角三角形在實際生活中的應用，是中考考查的重點，也是考查的熱點．要解 決好這類問題：一是要合理地構造適宜的直角三角形；?二是要熟記特殊角的三角函數(shù)值； 三是要有很好的運算能力和分析問題的能力． 4．穩(wěn)固練習 教材練習 2 引導學生回憶前述例題，進行總結，以培養(yǎng)學生的概括能力． 1．弄清俯角、仰角、株距 、坡度、坡角、水平距離、垂直距離、水位等概念的意義，明確 各術語與示意圖中的什么元素對應，只有明確這些概念，才能恰當?shù)匕褜嶋H問題轉化為數(shù)學 問題． 2．認真分析題意、畫圖并找出要求的直角三角形，或通過添加輔助線構造直角三角形來解 決問題． 3．選

7、擇適宜的邊角關系式，使計算盡可能簡單，且不易出錯． 4．按照題中的精確度進行計算，并按照題目中要求的精確度確定答案以及注明單位． 利用土埂修筑一條渠道，在埂中間挖去深為米的一塊(圖 6-35 陰影局部是挖去局部)，渠道 內坡度為 1∶，渠道底面寬 BC 為米，求： ①橫斷面(等腰 梯形)ABCD 的面積； ②修一條長為 100 米的渠道要挖去的土方數(shù)． [教學反思] 學生對展開圖通過各種途徑有了一些了解，但仍不能把平面與立體很好的結合；在遇 到問題時，多數(shù)學生不愿意自己探索，都要尋求幫助。在今后的教學中，我會不斷的鉆研探 索，使我的課堂真正成為學生學習的樂園。

8、 在本節(jié)課的教學中，我始終堅持以引導為起點，以問題為主線，以能力培養(yǎng)為核心，遵 照教師為主導，學生為主體，訓練為主線的教學原那么；通過師生雙邊活動，通過對單元的 復習，使學生對本單元的知識系統(tǒng)化，重點知識突出化，能力培養(yǎng)階梯化；在選擇題目時注 意了以基此題為主，少量思考性較強的題目為輔，兼顧了不同層次學生的不同要求。 本節(jié)課的教學活動，主要是讓學生通過觀察、動手操作，熟悉長方體、正方體的展開圖 以及圖形折 疊后的形狀。教學時，我讓每個學生帶長方體或正方體的紙盒 ，每個學生都剪 一剪，并展示所剪圖形的形狀。由于剪的方法不同，展開圖的形狀也可能是不

9、同的。學生在 剪、拆盒子過程中，很容易把盒子拆散了，無法形成完整的展開圖，就要求適當進行指導。 通過動手操作，動腦思考，集體交流，不僅提高了學生的空間思維能力，而且在情感上每位 學生 都獲得了成功的體驗，建立自信心。接著，我利用可操作材料，體會展開圖與長方體、 正方體的聯(lián)系；通過立體與平面的有機結合，開展學生的空間觀念。這樣由淺入深、由表及 里地使學生逐步達教學目標的要求：閉上眼睛想象展開或折疊的過程，促進學生建立表象， 幫助學生理解概念，開展空間觀念。 24.1 圓 (第 3 課時) 教學內容 1．圓周角的概念． 2．圓周角定理：在同圓或等圓中，

10、同弧或等弧所對的圓周角相等，?都等于這條弦所對 的圓心角的一半． 推論：半圓〔或直徑〕所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑及其它們的 應用． 教學目標 1．了解圓周角的概念． 2．理解圓周角的定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，?都等于這條 弧所對的圓心角的一半． 3．理解圓周角定理的推論：半圓〔或直徑〕所對的圓周角是直角，90?°的圓周角所對 的弦是直徑． 4．熟練掌握圓周角的定理及其推理的靈活運用． 設置情景，給出圓周角概念，探究這些圓周角與圓心角的關系，運用數(shù)學分類思想給予 邏輯證明定理，得出推導，讓學生活動證明定理推論的正確性，最后運用定理及其推

11、導解決 一些實際問題． 重難點、關鍵 1．重點：圓周角的定理、圓周角的定理的推導及運用它們解題． 2．難點：運用數(shù)學分類思想證明圓周角的定理． 3．關鍵：探究圓周角的定理的存在． 教學過程 一、復習引入 〔學生活動〕請同學們口答下面兩個問題． 1．什么叫圓心角？ 2．圓心角、弦、弧之間有什么內在聯(lián)系呢？ 老師點評：〔1〕我們把頂點在圓心的角叫圓心角． 〔2〕在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，?那么它們 所對的其余各組量都分別相等． 剛剛講的，頂點在圓心上的角，有一組等量的關系，如果頂點不在圓心上，它在其它的 位置上？如在圓周上，是否還存在一些

12、等量關系呢？這就是我們今天要探討， 要研究，要解決的問題． 二、探索新知 問題：如下圖的⊙O，我們在射門游戲中，設 E、F 是球門，?設球員們只能在  EF  所在 的⊙O 其它位置射門，如下圖的 A、B、C 點．通過觀察，我們可以發(fā)現(xiàn)像∠EAF、∠EBF、∠ ECF 這樣的角，它們的頂點在圓上，?并且兩邊都與圓相交的角叫做圓周角． 現(xiàn)在通過圓周角的概念和度量的方法答復下面的問題． 1．一個弧上所對的圓周角的個數(shù)有多少個？ 2．同弧所對的圓周角的度數(shù)是否發(fā)生變化？ A C 3．同弧上的圓周角與圓心角有什么關系？ 〔學生分組討論〕提問二

13、、三位同學代表發(fā)言．  O 老師點評： 1．一個弧上所對的圓周角的個數(shù)有無數(shù)多個．  B 2．通過度量，我們可以發(fā)現(xiàn)，同弧所對的圓周角是沒有變化的． 3．通過度量，我們可以得出，同弧上的圓周角是圓心角的一半． 下面，我們通過邏輯證明來說明“同弧所對的圓周角的度數(shù)沒有變化， ? 并且 A  D 它的度數(shù)恰好等于這條弧所對的圓心角的度數(shù)的一半．〞 〔1〕設圓周角∠ABC 的一邊 BC 是⊙O 的直徑，如下圖 ∵∠AOC 是△ABO 的外角  B O  C ∴∠AOC=∠ABO+∠BAO ∵OA=OB ∴∠ABO=∠BAO ∴

14、∠AOC=∠ABO ∴∠ABC= 1 2  ∠AOC 〔2〕如圖，圓周角∠ABC 的兩邊 AB、AC 在一條直徑 OD 的兩側，那么∠ABC= ∠AOC 嗎？請同學們獨立完成這道題的說明過程． 1 2 老師點評：連結 BO 交⊙O 于 D 同理∠AOD 是△ABO 的外角，∠COD 是△BOC 的外角，?那么就有∠AOD=2∠ABO，∠DOC=2∠CBO，因此∠AOC=2∠ABC． 〔3〕如圖，圓周角∠ABC 的兩邊 AB、AC 在一條直徑 OD 的同側，那么∠ABC= ∠AOC 嗎？請同學們獨立完成證明． 1 2 老師點評：連

15、結 OA、OC，連結 BO 并延長交⊙O 于 D，那么∠AOD=2∠ABD，∠COD=2∠CBO， 而∠ABC=∠ABD-∠CBO= 1 1 1 ∠AOD- ∠COD= ∠AOC 2 2 2 現(xiàn)在，我如果在畫一個任意的圓周角∠AB′C，?同樣可證得它等于同弧上圓心角一半， 因此，同弧上的圓周角是相等的． 從〔1〕、〔2〕、〔3〕，我們可以總結歸納出圓周角定理： 在同圓或等圓中，同弧等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半． 進一步，我們還可以得到下面的推導： 半圓〔或直徑〕所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑． 下面，我們通過這個定理和推

16、論來解一些題目． 例 1．如圖，AB 是⊙O 的直徑，BD 是⊙O 的弦，延長 BD 到 C，使 AC=AB，BD 與 CD 的大小有什么關系？為什么？ 分析：BD=CD，因為 AB=AC，所以這個△ABC 是等腰，要證明 D 是 BC 的中點， ?只要連結 AD 證明 AD 是高或是∠BAC 的平分線即可． 解：BD=CD 理由是：如圖 24-30，連接 AD ∵AB 是⊙O 的直徑 ∴∠ADB=90°即 AD⊥BC 又∵AC=AB ∴BD=CD 三、穩(wěn)固練習 1．教材 P92 思考題． 2．教材 P93 練習． 四、應用拓展 例 2．如圖 ABC

17、內接于⊙O，∠A、∠B、∠C 的對邊分別設為 a，b，c，⊙O 半徑為 R， 求證： a b c = = =2R． sin A sin B sin C a b c a b c 分析：要證明 = = =2R，只要證明 =2R， =2R， =2R， sin A sin B sin C sin A sin B sin C a b c 即 sinA= ，sinB= ，sinC= ，因此，十清楚顯要在直角三 2 R 2 R 2 R 角形中進行． 證明：連接 CO 并延長交⊙O 于 D，連接 DB ∵CD 是直徑 ∴∠DBC=90° 又∵∠A=∠D 在

18、Rt△DBC 中，sinD= BC a ，即 2R= DC sin A b c 同理可證： =2R， =2R sin B sin C a b c ∴ = = =2R sin A sin B sin C 五、歸納小結〔學生歸納，老師點評〕 本節(jié)課應掌握： 1．圓周角的概念； 2．圓周角的定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，?都相等這條弧所 對的圓心角的一半； 3．半圓〔或直徑〕所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑． 4．應用圓周角的定理及其推導解決一些具體問題． 六、布置作業(yè) 1．教材 P95 綜合運用 9、10、 [教學反思]

19、 學生對展開圖通過各種途徑有了一些了解，但仍不能把平面與立體很好的結合；在遇 到問題時，多數(shù)學生不愿意自己探索，都要尋求幫助。在今后的教學中，我會不斷的鉆研探 索，使我的課堂真正成為學生學習的樂園。 本節(jié)課的教學活動，主要是讓學生通過觀察、動手操作，熟悉長方體、正方體的展開圖 以及圖形折 疊后的形狀。教學時，我讓每個學生帶長方體或正方體的紙盒 ，每個學生都剪 一剪，并展示所剪圖形的形狀。由于剪的方法不同，展開圖的形狀也可能是不同的。學生在 剪、拆盒子過程中，很容易把盒子拆散了，無法形成完整的展開圖，就要求適當進行指導。 通過動手操作，動腦思考，集體交流，不僅提高了學生的空間思維能力，而且在情感上每位 學生 都獲得了成功的體驗，建立自信心。