2015高考數(shù)學理科全國一卷及詳解答案

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理科數(shù)學 注意事項： 1.本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分。第Ⅰ卷1至3頁，第Ⅱ卷3至5頁。 2.答題前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在本試題相應的位置。 3.全部答案在答題卡上完成，答在本試題上無效。 4.考試結束后，將本試題和答題卡一并交回。 第Ⅰ卷 一. 選擇題：本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。 （1）設復數(shù)z滿足=i，則|z|= （A）1 （B） （C） （D）2 （2）sin20cos10-con160sin10= （A） （B） （C） （D） （3）設命題P：nN，>，則P為 （A）nN, > （B） nN, ≤ （C）nN, ≤ （D） nN, = （4）投籃測試中，每人投3次，至少投中2次才能通過測試。已知某同學每次投籃投中的概率為0.6，且各次投籃是否投中相互獨立，則該同學通過測試的概率為 （A）0.648 （B）0.432 （C）0.36 （D）0.312 （5）已知是雙曲線上的一點，是上的兩個焦點，若，則的取值范圍是 （A）（-，） （B）（-，） （C）（，） （D）（，） （6）《九章算術》是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學名著，書中有如下問題:“今有委米依垣內(nèi)角，下周八尺，高五尺。問:積及為米幾何?”其意思為:“在屋內(nèi)墻角處堆放米(如圖，米堆為一個圓錐的四分之一)，米堆底部的弧長為8尺，米堆的高為5尺，問米堆的體積和堆放的米各為多少?”已知1斛米的體積約為1.62立方尺，圓周率約為3，估算出堆放斛的米約有 A.14斛 B.22斛 C.36斛 D.66斛 （7）設D為ABC所在平面內(nèi)一點，則 （A） (B) （C） (D) （8）函數(shù)的部分圖像如圖所示，則的單調(diào)遞減區(qū)間為 (A) (B) (C) (D) （9）執(zhí)行右面的程序框圖，如果輸入的t=0.01，則輸出的n= （A）5 （B）6 （C）7 （D）8 （10） 的展開式中，的系數(shù)為 （A）10 （B）20 （C）30 （D）60 （11） 圓柱被一個平面截去一部分后與半球(半徑為)組成一個幾何體，該幾何體三視圖中的正視圖和俯視圖如圖所示。若該幾何體的表面積為16 + 20，則= （A）1 （B）2 （C）4 （D）8 12. 設函數(shù),其中，若存在唯一的整數(shù)，使得，則的取值范圍是（ ） A. B. C. D. 第II卷 本卷包括必考題和選考題兩部分。第（13）題~第（21）題為必考題，每個試題考生都必須作答。第（22）題~第（24）題未選考題，考生根據(jù)要求作答。 二、填空題：本大題共3小題，每小題5分 （13）若函數(shù)為偶函數(shù)，則 （14）一個圓經(jīng)過橢圓的三個頂點，且圓心在軸上，則該圓的標準方程為 。 （15）若滿足約束條件則的最大值為 . （16）在平面四邊形中，∠A=∠B=∠C=75，BC=2，則AB的取值范圍是 三.解答題：解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。 （17）（本小題滿分12分） 為數(shù)列的前項和.已知， （Ⅰ）求的通項公式： （Ⅱ）設 ,求數(shù)列的前項和。 （18）如圖，四邊形ABCD為菱形，∠ABC=120，E，F(xiàn)是平面ABCD同一側(cè)的兩點，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE=2DF，AE⊥EC。 （1）證明：平面AEC⊥平面AFC （2）求直線AE與直線CF所成角的余弦值 （19）某公司為確定下一年度投入某種產(chǎn)品的宣傳費，需了解年宣傳費x（單位：千元）對年銷售量y（單位：t）和年利潤z（單位：千元）的影響，對近8年的年宣傳費和年銷售量數(shù)據(jù)作了初步處理，得到下面的散點圖及一些統(tǒng)計量的值。 46.6 563 6.8 289.8 1.6 1469 108.8 表中， （Ⅰ）根據(jù)散點圖判斷，與哪一個適宜作為年銷售量關于年宣傳費的回歸方程類型？（給出判斷即可，不必說明理由） （Ⅱ）根據(jù)（Ⅰ）的判斷結果及表中數(shù)據(jù)，建立y關于x的回歸方程； （Ⅲ）已知這種產(chǎn)品的年利率z與x、y的關系為。根據(jù)（Ⅱ）的結果回答下列問題： （i） 年宣傳費x=49時，年銷售量及年利潤的預報值是多少？ （ⅱ）年宣傳費x為何值時，年利潤的預報值最大？ 附：對于一組數(shù)據(jù),其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為： （20）（本小題滿分12分） 在直角坐標系中，曲線與直線交與兩點， （Ⅰ）當時，分別求C在點M和N處的切線方程； （Ⅱ）軸上是否存在點P，使得當變動時，總有∠OPM=∠OPN？說明理由。 （21）（本小題滿分12分） 已知函數(shù) (Ⅰ)當a為何值時，x軸為曲線 的切線； （Ⅱ）用 表示m,n中的最小值，設函數(shù) ，討論h（x）零點的個數(shù) 請考生在（22）、（23）、（24）三題中任選一題作答，如果多做，則按所做第一個題目計分，做答時，請用2B鉛筆在答題卡上將所選題號后的方框涂黑。 （22）（本題滿分10分）選修4-1：幾何證明選講 如圖，是的直徑，是的切線，交于 （I） 若D為AC的中點，證明：DE是的切線； （II） 若，求∠ACB的大小. （23）（本小題滿分10分）選修4-4：坐標系與參數(shù)方程 在直角坐標系中。直線:，圓：,以坐標原點為極點， 軸的正半軸為極軸建立極坐標系。 （I） 求，的極坐標方程； （II） 若直線的極坐標方程為，設與的交點為, ,求的面積 （24）（本小題滿分10分）選修4—5：不等式選講 已知函數(shù). （Ⅰ）當時，求不等式的解集； （Ⅱ）若的圖像與軸圍成的三角形面積大于6，求的取值范圍 參考答案 一．選擇題 （1）A （2）D （3）C （4）A （5）A （6）B （7）A （8）D （9）C （10）C （11）B （12）D 二．填空題 （13）1 （14） （15）3 （16） 三．解答題 （17）解： （Ⅰ）由，可知 可得，即 由于，可得 又，解得（舍去）， 所以是首項為3，公差為2的等差數(shù)列，通項公式為…………………6分 （Ⅱ）由可知 設數(shù)列的前項和為，則 …………………………………………………………………………12分 （18）解： （Ⅰ）連結BD，設，連結 在菱形中，不妨設，由，可得 由平面，，可知，又，所以，且 在中，可得，故 在中，可得， 在直角梯形中，由，可得 從而，所以 又，可得平面 因為平面，所以平面平面…………………………6分 （Ⅱ）如圖，以G為坐標原點，分別以的方向為軸，軸正方向，為單位長，建立空間直角坐標系，由（Ⅰ）可得，，，， 所以…………………………………10分 故 所以直線與直線所成角的余弦值為…………………………12分 （19）解： （Ⅰ）由散點圖可以判斷，適宜作為年銷售量關于年宣傳費的回歸方程類型………………2分 （Ⅱ）令，先建立關于的線性回歸方程，由于 所以關于的線性回歸方程為，因此關于的線性回歸方程…………………………………………6分 （Ⅲ）（?。┯桑á颍┲敃r，年銷售量的預報值 年利潤的預報值 …………………………………9分 （ⅱ）根據(jù)（Ⅱ）的結果知，年利潤的預報值 所以，當，即時，取得最大值， 故年宣傳費為46.24千元時，年利潤的預報值最大……………12分 （20）解： （Ⅰ）由題設可得，或 又，故在處的導數(shù)值為，在點處的切線方程為，即 在處的導數(shù)值為，在點處的切線方程為，即 故所求切線方程為和…………………5分 （Ⅱ）存在符合題意的點，證明如下： 設為符合題意的點，，直線的斜率分別為 將代入的方程得 故 從而 當時，有，則直線PM的傾角與直線PN的傾角互補，故，所以點符合題意…………………………12分 （21）解： （Ⅰ）設曲線與軸相切于點，則，即 解得 因此，當時，軸為曲線的切線…………………………5分 （Ⅱ）當時，，從而， 故在無零點 當時，若，則，故是的零點；若，則，故不是的零點。 當時，。所以只需考慮在的零點個數(shù)。 （?。┤艋?，則在（0，1）無零點，故在（0，1）單調(diào)，而，所以，當時，在（0，1）有一個零點；當時，在（0，1）沒有零點。 （ⅱ）若，則在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，故在（0，1）中，當時，取得最小值，最小值為。 ①，即，在（0，1）無零點； ②，即，則在（0，1）有唯一零點； ③，即，由于，所以當時，在（0，1）有兩個零點；當時，在（0，1）有一個零點………………………………………………10分 綜上，當或時，有一個零點；當或時，有兩個零點；當時，有三個零點……………………………12分 （22）解： （Ⅰ）連結，由已知得， 在中，由已知得，，故 連結，則 又，所以，故，是的切線……………………………………5分 （Ⅱ）設，由已知得 由射影定理可得，，所以，即 可得，所以……………………………10分 （23）解： （Ⅰ）因為，所以的極坐標方程為，的極坐標方程為……………………………5分 （Ⅱ）將代入，得，解得，故，即 由于的半徑為1，所以的面積為………………………10分 （24）解： （Ⅰ）當時，化為 當時，不等式化為，無解； 當時，不等式化為，解得； 當時，不等式化為，解得 所以的解集為…………………5分 （Ⅱ）由題設可得， 所以函數(shù)的圖像與軸圍成的三角形的三個頂點分別為，，，的面積為 由題設得，故 所以的取值范圍為………………………………10分