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高中同步測控優(yōu)化訓練解析卷
第八章 圓錐曲線方程(一)(B卷)
說明:本試卷分為第Ⅰ、Ⅱ卷兩部分,請將第Ⅰ卷選擇題的答案填入題后括號內(nèi),第Ⅱ卷可在各題后直接作答.共100分,考試時間90分鐘.
第Ⅰ卷(選擇題 共30分)
一、選擇題(本大題共10小題,每小題3分,共30分)
1. 如果橢圓的兩個焦點將長軸三等分,那么這個橢圓的兩條準線間的距離是焦距的
A.4倍 B.9倍
C.12倍 D.18倍
答案
2. 橢圓+=1上一點P到左焦點F1的距離為2,M是線段PF1的中點,則M到原點O的距離等于
A.2 B.4
C.6 D.8
答案:
3. AB為過橢圓+=1中心的弦,F(xiàn)(c,0)為橢圓的右焦點,則△AFB面積的最大值是
A.b2 B.ab
C.ac D.bc
答案:
4.函數(shù)y=的圖象是平面上到兩定點距離之差的絕對值等于定長的點的軌跡,則這兩個定點間的距離為
A.8 B.4
C.4 D.2
答案:
5. 點P在橢圓7x2+4y2=28上,則點P到直線3x-2y-16=0的距離的最大值為
A. B.
C. D.
答案:
6. 一動圓與圓x2+y2=1外切,而與圓x2+y2-6x+8=0內(nèi)切,那么動圓的圓心的軌跡是
A.雙曲線的一支 B.橢圓
C.拋物線 D.圓
答案:
7. 過原點的直線l與雙曲線-=-1有兩個交點,則直線l的斜率的取值范圍是
A.(-,) B.(-∞,-)∪(,+∞)
C.[-,] D.(-∞,-]∪[,+∞)
答案:
8. 設P是雙曲線-=1上一點,雙曲線的一條漸近線方程為3x-2y=0,F1、F2分別是雙曲線的左、右焦點,若|PF1|=3,則|PF2|等于
A.1或5 B.6
C.7 D.9
分析:本題考查雙曲線的定義.
答案:
9. 橢圓具有這樣的光學性質(zhì):從橢圓的一個焦點出發(fā)的光線,經(jīng)橢圓反射后,反射光線經(jīng)過橢圓的另一個焦點.今有一個水平放置的橢圓形臺球盤,點A、B是它的焦點,長軸長為2a,焦距為2c,靜放在點A的小球(小球的半徑忽略不計)從點A沿直線出發(fā),經(jīng)橢圓壁反射后第一次回到點A時,小球經(jīng)過的路程是
A.4a B.2(a-c)
C.2(a+c) D.4a或2(a-c)或2(a+c)
答案:
10. 橢圓a2x2+y2=a2(0
1).
答案:x2-=1(x>1)
12.點M到一個定點F(0,2)的距離和它到一條定直線y=8的距離之比是1∶2,則M點的軌跡方程是__________.
解析:根據(jù)橢圓第二定義可知,橢圓焦點為(0,2),y==8,e=.
由c=2,=8,得a=4,滿足e===.
∴橢圓方程為+=1.
答案: +=1
13.橢圓+ =1的焦點為F1、F2,點P為其上的動點,當∠F1PF2為鈍角時,點P橫坐標的取值范圍是__________.
解析:設P點橫坐標為x0,則|PF1|=a+ex0=3+x0,|PF2|=a-ex0=3-x0.∠F1PF2為鈍角,當且僅當|F1F2|2-|PF1|2-|PF2|2>0,解之即得-|AP|+|PN|).
答案:(2,)
三、解答題(本大題共5小題,共54分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟)
15.(本小題滿分8分)設橢圓+=1(a>b>0)的左焦點為F1(-2,0),左準線l1與x軸交于點N(-3,0),過點N且傾斜角為30的直線l交橢圓于A、B兩點.
(1)求直線l和橢圓的方程;
(2)求證:點F1(-2,0)在以線段AB為直徑的圓上.
(1)解:可知直線l:y=(x+3).
由c=2及=3,解得a2=6,
∴b2=6-22=2.∴橢圓方程為+=1.
① ②
(2)證明:聯(lián)立方程組
將②代入①,整理得2x2+6x+3=0.
設A(x1,y1)、B(x2,y2),則x1+x2=-3,x1x2=.
方法一:kk==
===-1,
∴F1A⊥F1B,即∠AF1B=90.
∴點F1(-2,0)在以線段AB為直徑的圓上.
方法二:=(x1+2,y1)(x2+2,y2)=(x1+2)(x2+2)+y1y2
=x1x2+2(x1+x2)+4+[x1x2+3(x1+x2)+9]
=x1x2+3(x1+x2)+7=0,
∴F1A⊥F1B,則∠AF1B=90.
∴點F1(-2,0)在以線段AB為直徑的圓上.
16.(本小題滿分10分)設F1、F2是雙曲線x2-y2=4的左、右兩個焦點,P是雙曲線上任意一點,過F1作∠F1PF2的平分線的垂線,垂足為M,求點M的軌跡方程.
解:如圖,F1(-2,0)、F2(2,0)、M(x,y),
延長F1M與PF2相交于點N,設N(x0,y0).
由已知可得M為F1N的中點,
∴
又|NF2|=|PN|-|PF2|=|PF1|-|PF2|=2a=4,
∴(x0-2)2+y02=16.
∴(2x+2-2)2+(2y)2=16.∴x2+y2=4.
評注:適當運用平面幾何知識把條件進行轉(zhuǎn)化,會給我們解題帶來方便.
17.(本小題滿分12分)如圖,某農(nóng)場在P處有一堆肥,今要把這堆肥料沿道路PA或PB送到莊稼地ABCD中去,已知PA=100 m,PB=150 m,∠APB=60.能否在田地ABCD中確定一條界線,使位于界線一側(cè)的點,沿道路PA送肥較近;而另一側(cè)的點,沿道路PB送肥較近?如果能,請說出這條界線是一條什么曲線,并求出其方程.
解:設M是這種界線上的點,
則必有|MA|+|PA|=|MB|+|PB|,
即|MA|-|MB|=|PB|-|PA|=50.
∴這種界線是以A、B為焦點的雙曲線靠近B點的一支.建立以AB為x軸,AB中點 O為原點的直角坐標系,則曲線為-=1,
其中a=25,c=|AB|.
∴c=25,b2=c2-a2=3750.
∴所求曲線方程為-=1(x≥25,y≥0).
18.(本小題滿分12分)已知點F(1,0),直線l:x=2.設動點P到直線l的距離為d,且|PF|=d,≤d≤.
(1)求動點P的軌跡方程;
(2)若=,求向量與的夾角.
解:(1)根據(jù)橢圓的第二定義知,點P的軌跡為橢圓.由條件知c=1,=2,∴a=.
e===滿足|PF|=d.
∴P點的軌跡為+=1.
又d=-x,且≤d≤,
∴≤2-x≤.∴≤x≤.
∴軌跡方程為+y2=1(≤x≤).
(2)由(1)可知,P點的軌跡方程為+y2=1(≤x≤),∴F(1,0)、P(x0,y0).
=(1,0),=(x0,y0),=(1-x0,-y0).
∵=,∴1-x0=.
∴x0=,y0=.
又=||||cosθ,
∴1x0+0y0=1cosθ.
∴cosθ====.
∴θ=arccos.
19.(本小題滿分12分)(1)求右焦點坐標是(2,0),且經(jīng)過點(-2,-)的橢圓C的標準 方程;
(2)對(1)中的橢圓C,設斜率為1的直線l交橢圓C于A、B兩點,AB的中點為M,證明:當直線l平行移動時,動點M在一條過原點的定直線上;
(3)利用(2)所揭示的橢圓幾何性質(zhì),用作圖方法找出下面給定橢圓的中心,簡要寫出作圖步驟,并在圖中標出橢圓的中心.
解:(1)由題中條件,設橢圓的標準方程為+=1,a>b>0,
∵右焦點為(2,0),∴a2=b2+4,
即橢圓的方程為+=1.
∵點(-2,-)在橢圓上,∴+=1.
解得b2=4或b2=-2(舍),
由此得a2=8,即橢圓的標準方程為+=1.
(2)設直線l的方程為y=x+m,與橢圓C的交點為A(x1,y1)、B(x2,y2),
則由得12x2+16mx+8m2-32=0,
即3x2+4mx+2m2-8=0.
∵Δ>0,∴m2<12,即-2<m<2.
則x1+x2=-,y1+y2=x1+m+x2+m=m,
∴AB中點M的坐標為(-m,).
∴線段AB的中點M在過原點的直線x+2y=0上.
(3)如下圖,作兩條平行直線分別交橢圓于點A、B和點C、D,并分別取AB、CD的中點M、N,連結(jié)直線MN;又作兩條平行直線(與前兩條直線不平行)分別交橢圓于點A1、B1和點C1、D1,并分別取A1B1、C1D1的中點M1、N1,連結(jié)直線M1N1,那么直線MN和M1N1的交點O即為橢圓中心 .
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