2014高考數(shù)學一輪匯總訓練《數(shù)列求和》理新人教A版.doc

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[備考方向要明了] 考 什 么 怎 么 考 　熟練掌握等差、等比數(shù)列的前n項和公式. 1.以選擇題或填空題的形式考查可轉化為等差或等比數(shù)列的數(shù)列求和問題，如2012年新課標全國T16等． 2.以解答題的形式考查利用錯位相減法、裂項相消法或分組求和法等求數(shù)列的前n項和，如2012年江西T16，湖北T18等. [歸納知識整合] 數(shù)列求和的常用方法 1．公式法 直接利用等差數(shù)列、等比數(shù)列的前n項和公式求和 (1)等差數(shù)列的前n項和公式： Sn＝＝na1＋d； (2)等比數(shù)列的前n項和公式： Sn＝ 2．倒序相加法 如果一個數(shù)列{an}的前n項中首末兩端等“距離”的兩項的和相等或等于同一個常數(shù)，那么求這個數(shù)列的前n項和即可用倒序相加法，如等差數(shù)列的前n項和即是用此法推導的． 3．錯位相減法 如果一個數(shù)列的各項是由一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列的對應項之積構成的，那么這個數(shù)列的前n項和即可用此法來求，如等比數(shù)列的前n項和就是用此法推導的． 4．裂項相消法 把數(shù)列的通項拆成兩項之差，在求和時中間的一些項可以相互抵消，從而求得其和． [探究]　1.應用裂項相消法求和的前提條件是什么？ 提示：應用裂項相消法求和的前提條件是數(shù)列中的每一項均可分裂成一正一負兩項，且在求和過程中能夠前后抵消． 2．利用裂項相消法求和時應注意哪些問題？ 提示：(1)在把通項裂開后，是否恰好等于相應的兩項之差； (2)在正負項抵消后，是否只剩下了第一項和最后一項，或前面剩下兩項，后面也剩下兩項． 5．分組求和法 一個數(shù)列的通項公式是由若干個等差數(shù)列或等比數(shù)列或可求和的數(shù)列組成，則求和時可用分組求和法，分別求和后再相加減． 6．并項求和法 一個數(shù)列的前n項和，可兩兩結合求解，則稱之為并項求和．形如an＝(－1)nf(n)類型，可采用兩項合并求解． 例如，Sn＝1002－992＋982－972＋…＋22－12 ＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5 050. [自測牛刀小試] 1.＋＋＋…＋等于(　　) A.　　　　　　　　 B. C．1－ D．3－ 解析：選A　∵＝， ∴＋＋＋…＋ ＝ ＝＝. 2．已知數(shù)列{an}的通項公式是an＝，其前n項和Sn＝，則項數(shù)n等于(　　) A．13　　　　 B．10　　　　 C．9　　　　 D．6 解析：選D　∵an＝＝1－， ∴Sn＝＋＋…＋ ＝n－ ＝n－＝n－＝n－1＋. ∴n－1＋＝＝5，解得n＝6. 3．(教材習題改編)(2－35－1)＋(4－35－2)＋…＋(2n－35－n)＝________. 解析：(2－35－1)＋(4－35－2)＋…＋(2n－35－n) ＝(2＋4＋…＋2n)－3(5－1＋5－2＋…＋5－n) ＝－3 ＝n(n＋1)－＝n2＋n＋5－n－. 答案：n2＋n＋5－n－ 4．若Sn＝1－2＋3－4＋…＋(－1)n－1n，則S100＝________. 解析：S100＝1－2＋3－4＋5－6＋…＋99－100 ＝(1－2)＋(3－4)＋(5－6)＋…＋(99－100)＝－50. 答案：－50 5．已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn且an＝n2n，則Sn＝________. 解析：∵an＝n2n， ∴Sn＝121＋222＋323＋…＋n2n.① ∴2Sn＝122＋223＋…＋(n－1)2n＋n2n＋1.② ①－②得－Sn＝2＋22＋23＋…＋2n－n2n＋1 ＝－n2n＋1＝2n＋1－2－n2n＋1 ＝(1－n)2n＋1－2. ∴Sn＝2n＋1(n－1)＋2. 答案：(n－1)2n＋1＋2 分組轉化求和 [例1]　(2012山東高考)在等差數(shù)列{an}中，a3＋a4＋a5＝84，a9＝73. (1)求數(shù)列{an}的通項公式； (2)對任意m∈N*，將數(shù)列{an}中落入?yún)^(qū)間(9m,92m)內的項的個數(shù)記為bm，求數(shù)列{bm}的前m項和Sm. [自主解答]　(1)因為{an}是一個等差數(shù)列， 所以a3＋a4＋a5＝3a4＝84，a4＝28. 設數(shù)列{an}的公差為d， 則5d＝a9－a4＝73－28＝45， 故d＝9. 由a4＝a1＋3d，得28＝a1＋39，即a1＝1. 所以an＝a1＋(n－1)d＝1＋9(n－1)＝9n－8(n∈N*)． (2)對m∈N*，若9m0，a1>0. 由已知有 化簡得又a1>0，故q＝2，a1＝1. 所以an＝2n－1. (2)由(1)知，bn＝2＝a＋＋2＝4n－1＋＋2. 因此Tn＝(1＋4＋…＋4n－1)＋＋2n ＝＋＋2n＝(4n－41－n)＋2n＋1. 裂項相消法求和 [例2]　設數(shù)列{an}的前n項和為Sn，已知a1＝1，Sn＝nan－n(n－1)(n＝1,2,3，…)． (1)求證：數(shù)列{an}為等差數(shù)列，并寫出an關于n的表達式； (2)若數(shù)列的前n項和為Tn，問滿足Tn>的最小正整數(shù)n是多少？ [自主解答]　(1)當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝nan－(n－1)an－1－2(n－1)，得an－an－1＝2(n＝2,3,4，…)． 所以數(shù)列{an}是以1為首項，2為公差的等差數(shù)列． 所以an＝2n－1. (2)Tn＝＋＋…＋＋ ＝＋＋…＋ ＝ ＝＝， 由Tn＝>，得n>，所以滿足Tn>的最小正整數(shù)n為12. ——————————————————— 用裂項相消法求和應注意的問題 利用裂項相消法求和時，應注意抵消后并不一定只剩下第一項和最后一項，也有可能前面剩兩項，后面也剩兩項，再就是將通項公式裂項后，有時候需要調整前面的系數(shù)，使裂開的兩項之差與系數(shù)相乘后與原項相等． 2．等比數(shù)列{an}的各項均為正數(shù)，且2a1＋3a2＝1，a＝9a2a6. (1)求數(shù)列{an}的通項公式； (2)設bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an，求數(shù)列的前n項和． 解：(1)設數(shù)列{an}的公比為q. 由a＝9a2a6得a＝9a，所以q2＝. 由條件可知q>0，故q＝. 由2a1＋3a2＝1得2a1＋3a1q＝1，所以a1＝. 故數(shù)列{an}的通項公式為an＝. (2)bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an＝－(1＋2＋…＋n)＝－. 故＝－＝－2. ＋＋…＋ ＝－2 ＝－. 所以數(shù)列的前n項和為－. 錯位相減法求和 [例3]　(2012天津高考)已知{an}是等差數(shù)列，其前n項和為Sn，{bn}是等比數(shù)列，且a1＝b1＝2，a4＋b4＝27，S4－b4＝10. (1)求數(shù)列{an}與{bn}的通項公式； (2)記Tn＝a1b1＋a2b2＋…＋anbn，n∈N*，證明Tn－8＝an－1bn＋1(n∈N*，n≥2)． [自主解答]　(1)設等差數(shù)列{an}的公差為d，等比數(shù)列{bn}的公比為q.由a1＝b1＝2，得a4＝2＋3d，b4＝2q3，S4＝8＋6d. 由條件，得方程組解得 所以an＝3n－1，bn＝2n，n∈N*. (2)證明：由(1)得 Tn＝22＋522＋823＋…＋(3n－1)2n，① 2Tn＝222＋523＋…＋(3n－4)2n＋(3n－1)2n＋1.② 由①－②，得 －Tn＝22＋322＋323＋…＋32n－(3n－1)2n＋1 ＝－(3n－1)2n＋1－2 ＝－(3n－4)2n＋1－8， 即Tn－8＝(3n－4)2n＋1. 而當n≥2時，an－1bn＋1＝(3n－4)2n＋1， 所以Tn－8＝an－1bn＋1，n∈N*，n≥2. 若本例(2)中Tn＝anb1＋an－1b2＋…＋a1bn，n∈N*，求證：Tn＋12＝－2an＋10bn(n∈N*)． 證明：由(1)得 Tn＝2an＋22an－1＋23an－2＋…＋2na1，① 2Tn＝22an＋23an－1＋…＋2na2＋2n＋1a1.② ②－①，得 Tn＝－2(3n－1)＋322＋323＋…＋32n＋2n＋2＝＋2n＋2－6n＋2＝102n－6n－10. 而－2an＋10bn－12＝－2(3n－1)＋102n－12＝102n－6n－10，故Tn＋12＝－2an＋10bn，n∈N*.　　　　 ——————————————————— 用錯位相減法求和應注意的問題 (1)要善于識別題目類型，特別是等比數(shù)列公比為負數(shù)的情形； (2)在寫出“Sn”與“qSn”的表達式時應特別注意將兩式“錯項對齊”以便下一步準確寫出“Sn－qSn”的表達式； (3)在應用錯位相減法求和時，若等比數(shù)列的公比為參數(shù)，應分公比等于1和不等于1兩種情況求解． 3．已知等差數(shù)列{an}的前3項和為6，前8項和為－4. (1)求數(shù)列{an}的通項公式； (2)設bn＝(4－an)qn－1(q≠0，n∈N*)，求數(shù)列{bn}的前n項和Sn. 解：(1)設{an}的公差為d. 由已知得 解得a1＝3，d＝－1. 故an＝3＋(n－1)(－1)＝4－n. (2)由(1)得，bn＝nqn－1，于是 Sn＝1q0＋2q1＋3q2＋…＋nqn－1. 若q≠1，將上式兩邊同乘以q有qSn＝1q1＋2q2＋…＋(n－1)qn－1＋nqn. 兩式相減得到(q－1)Sn＝nqn－1－q1－q2－…－qn－1 ＝nqn－ ＝. 于是，Sn＝. 若q＝1，則Sn＝1＋2＋3＋…＋n＝. 所以Sn＝ 1種思想——轉化與化歸思想 數(shù)列求和把數(shù)列通過分組、變換通項、變換次序、乘以常數(shù)等方法，把數(shù)列的求和轉化為能使用公式求解或者能通過基本運算求解的形式，達到求和的目的． 2個注意——“裂項相消法求和”與“錯位相減法求和”應注意的問題 (1)使用裂項相消法求和時，要注意正負項相消時，消去了哪些項，保留了哪些項，切不可漏寫未被消去的項，未被消去的項有前后對稱的特點． (2)在應用錯位相減法求和時，若等比數(shù)列的公比為參數(shù)，應分公比等于1和不等于1兩種情況求解． 4個公式——常見的拆項公式 (1)＝； (2)＝； (3)＝； (4)＝(－). 答題模板——利用錯位相減法解決數(shù)列求和 [典例]　(2012江西高考)(本小題滿分12分)已知數(shù)列{an}的前n項和Sn＝－n2＋kn(其中k∈N＋)，且Sn的最大值為8. (1)確定常數(shù)k，求an；(2)求數(shù)列的前n項和Tn. [快速規(guī)范審題] 第(1)問 1．審條件，挖解題信息 觀察條件：Sn＝－n2＋kn及Sn的最大值為8當n＝k時，Sn取得最大值． 2．審結論，明確解題方向 觀察所求結論：求k的值及anSn的最大值為8，即Sk＝8，k＝4. Sn＝－n2＋4n. 3．建聯(lián)系，找解題突破口 根據(jù)已知條件，可利用an與Sn的關系求通項公式： 求通項公式an＝Sn－Sn－1＝－n(n≥2)，a1＝S1＝an＝－n. 第(2)問 1．審條件，挖解題信息 觀察條件：an＝－n及數(shù)列＝. 2．審結論，明確解題方向 觀察所求結論：求數(shù)列的前n項和Tn可利用錯位相減法求和． 3．建聯(lián)系，找解題突破口 條件具備，代入求和：Tn＝1＋＋＋…＋＋①2Tn＝2＋2＋＋…＋＋②②－①：2Tn－Tn＝2＋1＋＋…＋－＝4－－＝. [準確規(guī)范答題] (1)當n＝k∈N＋時，Sn＝－n2＋kn取得最大值，即8＝Sk＝－k2＋k2＝k2，?(2分) 利用an＝Sn－Sn－1時，易忽視條件n≥2. 故k2＝16，因此k＝4，?(3分) 從而an＝Sn－Sn－1＝－n(n≥2)．?(4分) 又a1＝S1＝，?(5分) 所以an＝－n.?(6分) (2)因為＝， 錯位相減時，易漏項. 所以Tn＝1＋＋＋…＋＋，①?(7分) 所以2Tn＝2＋2＋＋…＋＋，②?(8分) ②－①：2Tn－Tn＝2＋1＋＋…＋－＝4－－＝4－.?(11分) 所以Tn＝4－.?(12分) [答題模板速成] 用錯位相減法解決數(shù)列求和的步驟： 第一步　判斷結構 ? 第二步　乘公比 ? 第三步　錯位相減 ? 第四步　求和 若數(shù)列{anbn}是由等差數(shù)列{an}與等比數(shù)列(公比q)的對應項之積構成的，則可用此法求和 設{anbn}的前n項和為Tn，然后兩邊同乘以q 乘以公比q后，向后錯開一位，使含有qk(k∈N*)的項對應，然后兩邊同時作差 將作差后的結果求和，從而表示出Tn 一、選擇題(本大題共6小題，每小題5分，共30分) 1．已知{an}是首項為1的等比數(shù)列，Sn是{an}的前n項和，且9S3＝S6，則數(shù)列的前5項和為(　　) A.或5　　　　　　　 B.或5 C. D. 解析：選C　設數(shù)列{an}的公比為q.由題意可知q≠1，且＝，解得q＝2，所以數(shù)列是以1為首項，為公比的等比數(shù)列，由求和公式可得S5＝. 2．數(shù)列1，3，5，7，…，(2n－1)＋，…的前n項和Sn的值等于(　　) A．n2＋1－ B．2n2－n＋1－ C．n2＋1－ D．n2－n＋1－ 解析：選A　該數(shù)列的通項公式為an＝(2n－1)＋，則Sn＝[1＋3＋5＋…＋(2n－1)]＋＝n2＋1－. 3．設Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和，若S8＝30，S4＝7，則a4的值等于(　　) A. B. C. D. 解析：選C　由題意可得 解得故a4＝a1＋3＝. 4.＋＋＋…＋等于(　　) A. B. C. D. 解析：選B　令Sn＝＋＋＋…＋，① 則 Sn＝＋＋…＋＋，② ①－②得： Sn＝＋＋＋…＋－ ＝－， 故Sn＝. 5．已知數(shù)列{an}的通項公式為an＝n2cos nπ(n∈N*)，Sn為它的前n項和，則等于(　　) A．1 005 B．1 006 C．2 011 D．2 012 解析：選B　注意到cos nπ＝(－1)n(n∈N*)， 故an＝(－1)nn2. 因此有S2 012＝(－12＋22)＋(－32＋42)＋…＋(－20112＋20122)＝1＋2＋3＋…＋2 011＋2 012＝＝1 0062 013，所以＝1 006. 6．(2013錦州模擬)設函數(shù)f(x)＝xm＋ax的導函數(shù)f′(x)＝2x＋1，則數(shù)列(n∈N*)的前n項和是(　　) A. B. C. D. 解析：選A　∵f′(x)＝mxm－1＋a，∴m＝2，a＝1. ∴f(x)＝x2＋x，f(n)＝n2＋n. ∴＝＝＝－， 令Sn＝＋＋＋…＋＋ ＝＋＋＋…＋＋＝1－＝. 二、填空題(本大題共3小題，每小題5分，共15分) 7．(2012江西高考)等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，公比不為1.若a1＝1，且對任意的n∈N*都有an＋2＋an＋1－2an＝0，則S5＝________. 解析：由an＋2＋an＋1－2an＝0，得anq2＋anq－2an＝0，顯然an≠0，所以q2＋q－2＝0.又q≠1，解得q＝－2.又a1＝1，所以S5＝＝11. 答案：11 8．對于數(shù)列{an}，定義數(shù)列{an＋1－an}為數(shù)列{an}的“差數(shù)列”，若a1＝2，{an}的“差數(shù)列”的通項公式為2n，則數(shù)列{an}的前n項和Sn＝________. 解析：∵an＋1－an＝2n， ∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1 ＝2n－1＋2n－2＋…＋22＋2＋2＝＋2＝2n－2＋2＝2n. ∴Sn＝＝2n＋1－2. 答案：2n＋1－2. 9．數(shù)列{an}的通項an＝n(n∈N*)，其前n項和為Sn，則S2 013＝________. 解析：∵an＝n＝ncos nπ， ∴a1＝－1，a2＝2，a3＝－3，a4＝4，…， ∴S2 013＝(－1)＋2＋(－3)＋4＋(－5)＋6＋…＋(－2 009)＋2 010＋(－2 011)＋2 012＋(－2 013) ＝[(－1)＋2]＋[(－3)＋4]＋[(－5)＋6]＋…＋[(－2 009)＋2 010]＋[(－2 011)＋2 012]＋(－2013) ＝1＋1＋…＋1＋1－2 013＝1 006－2 013＝－1 007. 答案：－1 007 三、解答題(本大題共3小題，每小題12分，共36分) 10．(2012湖北高考)已知等差數(shù)列{an}前三項的和為－3，前三項的積為8. (1)求等差數(shù)列{an}的通項公式； (2)若a2，a3，a1成等比數(shù)列，求數(shù)列{|an|}的前n項和． 解：(1)設等差數(shù)列{an}的公差為d，則a2＝a1＋d，a3＝a1＋2d， 由題意得 解得或 所以由等差數(shù)列通項公式可得 an＝2－3(n－1)＝－3n＋5或an＝－4＋3(n－1)＝3n－7. 故an＝－3n＋5或an＝3n－7. (2)當an＝－3n＋5時，a2，a3，a1分別為－1，－4,2，不成等比數(shù)列； 當an＝3n－7時，a2，a3，a1分別為－1,2，－4，成等比數(shù)列，滿足條件． 故|an|＝|3n－7|＝ 記數(shù)列{|an|}的前n項和為Sn. 當n＝1時，S1＝|a1|＝4； 當n＝2時，S2＝|a1|＋|a2|＝5； 當n≥3時，Sn＝S2＋|a3|＋|a4|＋…＋|an|＝5＋(33－7)＋(34－7)＋…＋(3n－7)＝5＋＝n2－n＋10.當n＝2時，滿足此式． 綜上可知，Sn＝ 11．(2013合肥模擬)數(shù)列{an}的前n項和記為Sn，a1＝t，點(Sn，an＋1)在直線y＝3x＋1上，n∈N*. (1)當實數(shù)t為何值時，數(shù)列{an}是等比數(shù)列． (2)在(1)的結論下，設bn＝log4an＋1，cn＝an＋bn，Tn是數(shù)列{cn}的前n項和，求Tn. 解：(1)∵點(Sn，an＋1)在直線y＝3x＋1上， ∴an＋1＝3Sn＋1，an＝3Sn－1＋1(n>1，且n∈N*)． ∴an＋1－an＝3(Sn－Sn－1)＝3an， 即an＋1＝4an，n>1. 又a2＝3S1＋1＝3a1＋1＝3t＋1， ∴當t＝1時，a2＝4a1，數(shù)列{an}是等比數(shù)列． (2)在(1)的結論下，an＋1＝4an，an＋1＝4n， bn＝log4an＋1＝n. cn＝an＋bn＝4n－1＋n， Tn＝c1＋c2＋…＋cn＝(40＋1)＋(41＋2)＋…＋(4n－1＋n) ＝(1＋4＋42＋…＋4n－1)＋(1＋2＋3＋…＋n) ＝＋. 12．已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且滿足Sn＋n＝2an(n∈N*)． (1)證明：數(shù)列{an＋1}為等比數(shù)列，并求數(shù)列{an}的通項公式； (2)若bn＝(2n＋1)an＋2n＋1，數(shù)列{bn}的前n項和為Tn.求滿足不等式>2 013的n的最小值． 解：(1)證明：因為Sn＋n＝2an，即Sn＝2an－n， 所以Sn－1＝2an－1－(n－1)(n≥2，n∈N*)． 兩式相減化簡，得an＝2an－1＋1. 所以an＋1＝2(an－1＋1)(n≥2，n∈N*)． 所以數(shù)列{an＋1}為等比數(shù)列． 因為Sn＋n＝2an，令n＝1，得a1＝1. a1＋1＝2，所以an＋1＝2n，即an＝2n－1. (2)因為bn＝(2n＋1)an＋2n＋1， 所以bn＝(2n＋1)2n. 所以Tn＝32＋522＋723＋…＋(2n－1)2n－1＋(2n＋1)2n，① 2Tn＝322＋523＋…＋(2n－1)2n＋(2n＋1)2n＋1，② ①－②，得－Tn＝32＋2(22＋23＋…＋2n)－(2n＋1)2n＋1＝6＋2－(2n＋1)2n＋1＝－2＋2n＋2－(2n＋1)2n＋1＝－2－(2n－1)2n＋1. 所以Tn＝2＋(2n－1)2n＋1. 若>2 013，則>2 013， 即2n＋1>2 013. 由于210＝1 024,211＝2 048，所以n＋1≥11，即n≥10. 所以滿足不等式>2 013的n的最小值是10. 1．設f(x)＝，若S＝f＋f＋…＋f，則S＝________. 解析：∵f(x)＝，∴f(1－x)＝＝， ∴f(x)＋f(1－x)＝＋＝1. S＝f＋f＋…＋f，① S＝f＋f＋…＋f，② ①＋②得 2S＝＋＋…＋ ＝2 012， ∴S＝＝1 006. 答案：1 006 2．求和Sn＝＋＋＋＋…＋. 解：Sn＝＋＋＋＋…＋ ＝＋＋＋＋…＋ ＝(1＋2＋3＋…＋n)＋ ＝＋ ＝－n＋1. 3．在數(shù)列{an}中，a1＝1，當n≥2時，其前n項和Sn滿足S＝an. (1)求Sn的表達式； (2)設bn＝，求{bn}的前n項和Tn. 解：(1)∵S＝an，an＝Sn－Sn－1(n≥2)， ∴S＝(Sn－Sn－1)， 即2Sn－1Sn＝Sn－1－Sn，① 由題意Sn－1Sn≠0， ①式兩邊同除以Sn－1Sn，得－＝2， ∴數(shù)列是首項為1，公差為2的等差數(shù)列． ∴＝1＋2(n－1)＝2n－1.∴Sn＝. (2)又bn＝＝ ＝， 故Tn＝b1＋b2＋…＋bn ＝ ＝＝. 4．設數(shù)列{an}滿足a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－1an＝，n∈N*. (1)求數(shù)列{an}的通項； (2)設bn＝，求數(shù)列{bn}的前n項和Sn. 解：(1)∵a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－1an＝，① ∴當n≥2時， a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－2an－1＝，② ①－②得3n－1an＝，∴an＝. 在①中，令n＝1，得a1＝，適合an＝，∴an＝. (2)∵bn＝，∴bn＝n3n. ∴Sn＝3＋232＋333＋…＋n3n，③ ∴3Sn＝32＋233＋334＋…＋n3n＋1.④ ④－③得2Sn＝n3n＋1－(3＋32＋33＋…＋3n)， 即2Sn＝n3n＋1－， ∴Sn＝＋.