《醫(yī)用高等數(shù)學(xué)》考點(diǎn)歸納.docx

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《醫(yī)用高等數(shù)學(xué)》主要知識(shí)點(diǎn)概要 第1章 函數(shù)與極限 1.1 函數(shù) 基本初等函數(shù)的圖像和性質(zhì)（教材第5頁(yè)） 1.2 極限 1、 極限的定義： 1) 兩種基本形式和 2) 左極限和右極限的概念 3) 極限的四則運(yùn)算【重點(diǎn)】 重點(diǎn)例題：教材第13頁(yè)例8-例12 2、 兩種重要極限【重點(diǎn)】 1) 基本形式，重點(diǎn)例題：教材第15頁(yè)13-15 2) 型，兩種基本形式：和 重點(diǎn)例題：教材第16頁(yè)，例16-17 3、 無(wú)窮大與無(wú)窮小量【重點(diǎn)】 1) 無(wú)窮大與無(wú)窮小的定義 2) 無(wú)窮小的基本性質(zhì) ①有限個(gè)無(wú)窮大的乘積或代數(shù)和也是無(wú)窮大 ②非零常數(shù)與無(wú)窮大乘積也是無(wú)窮大 ③常數(shù)或有界函數(shù)與無(wú)窮大的代數(shù)和也是無(wú)窮大 3) 無(wú)窮小的基本性質(zhì) ①有限個(gè)無(wú)窮小的代數(shù)和或乘積也是無(wú)窮小 ②有界函數(shù)或常數(shù)與無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小 ③在求的極限時(shí)，一些等價(jià)無(wú)窮小可以直接互相替換，但須注意替換時(shí)只能替換乘除因子中的無(wú)窮小，不能替換加減因子中的無(wú)窮小。 主要的代換有： 以及： 重要例題：教材17頁(yè)，例18-19，教材第20頁(yè)，練習(xí)1-2,第2題第（1）、（5）-（7） 1.3 函數(shù)的連續(xù)性 1、 函數(shù)連續(xù)的定義 2、 判定函數(shù)在連續(xù)的方法： 1) 2) 基本初等函數(shù)以及由基本初等函數(shù)經(jīng)過(guò)有限次四則運(yùn)算或有限次復(fù)合構(gòu)成的初等函數(shù)在其定義域內(nèi)均是連續(xù)的。 重點(diǎn)例題：教材第25頁(yè)，例26，第27頁(yè)，練習(xí)1-3，第1-3題 第2章 導(dǎo)數(shù)與微分 2.1 導(dǎo)數(shù)的概念 1、 導(dǎo)數(shù)的定義： 設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的取得的自變量增量和函數(shù)值增量分別為：和，且極限：存在，其值為，則稱(chēng)為函數(shù)在點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)；若函數(shù)在區(qū)間上每一點(diǎn)均存在導(dǎo)數(shù)，則稱(chēng)函數(shù)在該區(qū)間上可導(dǎo)，構(gòu)成的新函數(shù)稱(chēng)為原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，簡(jiǎn)稱(chēng)為導(dǎo)數(shù)，一般記為：或或 2、 判斷函數(shù)在點(diǎn)是否可導(dǎo)的方法： 從導(dǎo)數(shù)定義出發(fā)，判斷是否存在，若存在，則可導(dǎo)；否則不可導(dǎo)。 3、 導(dǎo)數(shù)的幾何意義： 函數(shù)在點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值實(shí)際上就是曲線在點(diǎn)處的切線斜率。 4、 函數(shù)在某點(diǎn)可導(dǎo)和該點(diǎn)存在切線的關(guān)系為：可導(dǎo)必有切線，有切線未必可導(dǎo)。 5、 函數(shù)連續(xù)與可導(dǎo)的關(guān)系為：函數(shù)在某點(diǎn)可導(dǎo)必連續(xù)，連續(xù)未必可導(dǎo) 重點(diǎn)例題：教材第38頁(yè)，練習(xí)2-1，第4、6、7題 2.2 求導(dǎo)法則 1、 函數(shù)四則運(yùn)算的求導(dǎo)法則和基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式 設(shè)，則： （為常數(shù)） 基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式：教材第48頁(yè) 2、 復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則 設(shè)，則 3、 隱函數(shù)求導(dǎo)法則【重點(diǎn)】 基本方法：等號(hào)兩側(cè)分別對(duì)求導(dǎo)，且將視為的函數(shù)，利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則求導(dǎo)。 重點(diǎn)例題：教材第44頁(yè)，例16-18，教材第51頁(yè)，練習(xí)2-2，第3題 4、 對(duì)數(shù)求導(dǎo)法【重點(diǎn)】 基本方法：等式兩側(cè)分別取自然對(duì)數(shù)，化簡(jiǎn)后再求導(dǎo) 重點(diǎn)例題：教材第46頁(yè)，例20-21，教材第51頁(yè)，練習(xí)2-2，第4題 反函數(shù)求導(dǎo)和參數(shù)方程求導(dǎo)不作要求 5、 高階導(dǎo)數(shù)的概念和表示方法 2.3 函數(shù)的微分 1、 函數(shù)微分的定義和表示方法 重點(diǎn)例題：教材第53頁(yè)，例26-27 2、 微分在近似計(jì)算中應(yīng)用 重點(diǎn)例題：教材第57頁(yè)，例30-32 2.4 洛必達(dá)法則【重點(diǎn)】 重點(diǎn)例題：教材63頁(yè)，例39-40，例44，教材第65頁(yè)，練習(xí)2-4，第4題（1）-（4）、（6）-（7）、（11）-（14） 2.5 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性態(tài)【重點(diǎn)】：題型主要為選擇或填空，一般根據(jù)函數(shù)特性判斷函數(shù)大致圖像形狀，不要求作圖。 1、 利用函數(shù)一階導(dǎo)數(shù)判定函數(shù)單調(diào)性 2、 函數(shù)極值的兩種求法（第一判定條件、第二判定條件） 3、 函數(shù)最值的求法 4、 函數(shù)拐點(diǎn)的求法及凹凸性的判定 5、 函數(shù)漸近線的求法（水平漸近線、鉛直漸近線、斜漸近線） 重點(diǎn)例題：教材第77頁(yè)，例60-62 第3章 不定積分 3.1 不定積分的概念與性質(zhì) 1、 不定積分基本性質(zhì) （為常數(shù)） 2、 基本積分公式【熟練應(yīng)用】 重點(diǎn)例題：教材第91頁(yè)例7、例11-13 3.2 換元積分法【重點(diǎn)、核心】 1、 第一類(lèi)換元積分法（湊微分法） 對(duì)已知積分若不能直接根據(jù)積分公式得出其結(jié)果，則選定合適中間變量，令，將原積分代換為，若滿足基本積分公式，則求出，最后將結(jié)果中代換為 第一類(lèi)還原積分的關(guān)鍵問(wèn)題：選定合適的中間變量，將原積分恒等變形，將關(guān)于代換為，將代換為 重點(diǎn)例題：教材第96頁(yè)，例14-16，例19-24，例26-27、例30-31 2、 第二類(lèi)換元積分法 對(duì)已知積分若不能直接根據(jù)積分公式得出其結(jié)果，則選定合適中間變量，令，將原積分代換為，若，原積分變?yōu)?，若滿足積分公式，則求出，最后將結(jié)果中代換為 第二類(lèi)還原積分主要用于積分函數(shù)含有根號(hào)時(shí)，另附補(bǔ)充積分公式：教材第107頁(yè)【熟記并應(yīng)用】 重點(diǎn)例題：教材第102頁(yè)，例32、例34-36 3.3 分部積分法 1、 基本步驟： 1) 按照“反對(duì)冪指三”先后順序設(shè)定； 2) 求出和； 3) 原積分利用分部積分公式換為：進(jìn)行計(jì)算 重點(diǎn)例題：教材第110頁(yè)，例43-48 3.4 積分表的使用（不考） 第4章 定積分及其應(yīng)用 4.1 定積分的概念與性質(zhì) 1、 定積分的定義及幾何意義 2、 定積分的性質(zhì) 1) 基本性質(zhì)：（當(dāng)時(shí)） 2) 其他性質(zhì)： ①定積分結(jié)果為常數(shù)，僅與積分區(qū)間和被積函數(shù)有關(guān)，與采用哪個(gè)積分變量表示無(wú)關(guān)： ②， ③若在區(qū)間上，，且均存在定積分，則 3) 積分中值定理及其幾何意義 4.2 微積分學(xué)基本定理 1、 積分上限函數(shù)的定義及其導(dǎo)數(shù)【重點(diǎn)】 1) 定義： 2) 導(dǎo)數(shù)： 重點(diǎn)例題：教材第135頁(yè)，例2、例4-5 2、 牛頓-萊布尼茲定理【重點(diǎn)】 設(shè)函數(shù)式連續(xù)函數(shù)在區(qū)間上的一個(gè)原函數(shù)，則 對(duì)于分段函數(shù)或絕對(duì)值函數(shù)，一定要注意分區(qū)間討論求定積分。 重點(diǎn)例題：教材第138頁(yè)例6-8，練習(xí)4-2，第6題（7）-（10） 4.3 定積分的計(jì)算【重點(diǎn)】 1、 換元法求定積分：換元必?fù)Q限 經(jīng)驗(yàn)：通常使用第一類(lèi)換元法時(shí)，不必寫(xiě)出中間變量，因此不需要換限；使用第二類(lèi)換元法時(shí)，要寫(xiě)出中間變量，因此要換限再計(jì)算。 重點(diǎn)例題：教材第142頁(yè)，例10、例14-15，練習(xí)4-3第1題（1）-（6） 2、 分部積分法求定積分： 重點(diǎn)例題：教材第145頁(yè)，例16-18 4.4 定積分在幾何中的應(yīng)用 1、 利用定積分求平面圖形面積：教材第150頁(yè)，例20 2、 利用定積分求旋轉(zhuǎn)體體積：教材第154頁(yè)，例22 4.5 定積分在其他方面的應(yīng)用 1、 函數(shù)的平均值：函數(shù) 在區(qū)間上的平均值為： 2、 定積分在物理學(xué)上的應(yīng)用（不考） 3、 定積分在醫(yī)學(xué)上的應(yīng)用【重點(diǎn)】：教材第164頁(yè)，例31；第168頁(yè)，練習(xí)4-5，第11題；第175頁(yè)，第7題 4、 定積分在經(jīng)濟(jì)學(xué)上的應(yīng)用（不考） 4.6 反常積分（不考） 第5章多元函數(shù)微積分（不考） 第6章 常微分方程 一、 一階微分方程 1、 可分離變量的微分方程 1) 基本形式： 2) 解法： 重點(diǎn)例題：教材第221頁(yè)，例3-5 2、 一階線性非齊次微分方程 1) 基本形式： 2) 解法： ①求出其對(duì)應(yīng)齊次方程通解： ②代入通解公式：求解 重點(diǎn)例題：例9-11 二、 三種可降階微分方程 1、 右側(cè)僅含 1) 基本形式： 2) 解法：對(duì)右側(cè)連續(xù)進(jìn)行次積分運(yùn)算，得到含有個(gè)常數(shù)的通解 重點(diǎn)例題：教材第228頁(yè)，例12 2、 右側(cè)不含 1) 基本形式： 2) 解法： ①令，原方程換為 ②解得關(guān)于的一階微分方程通解 ③代入通解公式：求解 重點(diǎn)例題：教材第229頁(yè)，例13-14 3、 右側(cè)不含 1) 基本形式： 2) 解法： ①令，原方程換為 ②解得關(guān)于的一階微分方程通解 ③代入通解公式：求解 重點(diǎn)例題：教材第231頁(yè)，例15，練習(xí)6-3：第1、2題 三、 二階常系數(shù)線性齊次微分方程 1、 基本形式：（為實(shí)常數(shù)） 2、 解法： 1) 寫(xiě)出原方程的特征方程，并解得 2) 根據(jù)的三種情況對(duì)應(yīng)寫(xiě)出其通解 ①若為相異實(shí)根，通解為： ②若為重根，通解為： ③若為共軛復(fù)根，通解為： 重點(diǎn)例題：教材第236頁(yè)，例16-18 【其他內(nèi)容不考】 第7章 線性代數(shù)初步（不考）