維及二維期望計算.ppt

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概率與數(shù)理統(tǒng)計課件 天津科技大學理學院數(shù)學系 第十二單元隨機變量的數(shù)字特征 第十二單元隨機變量的數(shù)字特征總結 教學目的 掌握隨機變量的數(shù)字特征 了解切比雪夫不等式和大數(shù)定律 教學重點 理解數(shù)學期望和訪查的概念 掌握它們的性質與計算 記住常用分布的數(shù)學期望和方差 教學難點 隨機變量函數(shù)的數(shù)學期望 知識要點回顧 隨機變量的數(shù)學期望 離散型 連續(xù)型 隨機變量的函數(shù)的數(shù)學期望 二維隨機變量的函數(shù)的數(shù)學期望 數(shù)學期望的性質 隨機變量的方差 離散型 連續(xù)型 方差的性質 隨機變量的階原點矩 隨機變量的階中心矩 隨機變量與的協(xié)方差及其性質隨機變量與的相關系數(shù)及其性質切比雪夫不等式 切比雪夫定理 伯努利定理 隨機變量的數(shù)字特征典型例題 下一頁 總結 上一頁 隨機變量的數(shù)字特征典型例題解答 返回 解 注 計算隨機變量函數(shù)的數(shù)學期望原則上有兩種方法 一種是先求出隨機變量的概率分布或概率密度 再按數(shù)學期望的定義計算 一種是直接帶入要點2種所列的公式 通常用后一種方法較簡便 2 設二維隨機變量的概率密度求 隨機變量的數(shù)字特征典型例題解答 下一頁 注 二維隨機變量的許多計算都可歸結為計算二維隨機變量函數(shù)的數(shù)學期望 所以要點3所列公式應會靈活應用 返回 返回 隨機變量的數(shù)字特征典型例題解答 3 填空 1 已知 則 2 隨機變量相互獨立 又 則 3 設獨立且同分布 則 4 隨機變量的方差為2 則根據(jù)切比雪夫不等式 估計 解 1 2 3 或 4 隨機變量的數(shù)字特征典型例題解答 返回 4 一臺設備有三大部件構成 在設備運轉中各部件需要調整的概率相應為0 1 0 2 0 3 假設各部件相互獨立 以表示同時需要調整的部件數(shù) 求數(shù)學期望和方差 解 由服從 0 1 分布 得則注 利用性質來計算數(shù)學期望和方差往往較有效 應該學會這種方法 另外 應記住常用分布相應的數(shù)學期望和方差 分析 先引入新隨機變量 則相互獨立 再利用 隨機變量的數(shù)字特征典型例題解答 返回 5 甲乙兩隊比賽 若有一隊先勝四場 則比賽結束 假定甲隊在每場比賽中獲勝的概率為0 6 乙隊為0 4 求比賽場數(shù)的數(shù)學期望 解 場 注 對應用題而言 大量計算是計算概率 這就要求掌握好以前所學過的各種計算概率的方法 隨機變量的數(shù)字特征典型例題解答 返回 6 設隨機變量服從分布 其概率密度 其中是常數(shù) 求 解 又故 隨機變量的數(shù)字特征典型例題解答 返回 7 設在區(qū)域上服從均勻分布 求 解 注 二維隨機變量服從均勻分布也是常見的情形 可以自然的推廣到n維隨機變量服從均勻分布 其聯(lián)合概率密度寫法是類似的 隨機變量的數(shù)字特征典型例題解答 返回 8 計算下列各題 1 設與相互獨立 求 2 設與相互獨立 其數(shù)學期望與方差均為已知值 求 解 1 2 隨機變量的數(shù)字特征典型例題解答 下一頁 9 設二維隨機變量的概率密度 試問 1 與是否相互獨立 2 是否相關 解 1 的邊際概率密度分別為由于 所以與不相互獨立 2 利用奇函數(shù)性質 所以 與不相關 返回 總結 隨機變量的分布函數(shù)完整的描述隨機變量的統(tǒng)計特征 但在實際中要找出隨機變量的分布函數(shù) 或概率分布 概率密度 有時是十分困難的 而許多實際問題只需要知道隨機變量的某些特征數(shù)字就可以了 這說明掌握特征數(shù)字 即數(shù)學期望 方差等等的概念 計算及相關計算是十分重要的 學習隨機變量的數(shù)字特征 要求理解數(shù)學期望與方差的定義 掌握它們的性質與計算 理解獨立于相關的概念 會求協(xié)方差與相關系數(shù) 了解高階矩的概念 了解切比雪夫不等式與大數(shù)定律